二元一次方程解决实际问题

二元一次方程解决实际问题

列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审：有什么，求什么，干什么；

2、设：设未知数，并注意单位；

3、找：等量关系；

4、列：用数学语言表达出来；

5、解：解方程(组)

6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．

7、答：完整写出答案(包括单位)．

列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等

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列二元一次方程----解决实际问题

类型：（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题;（12）优化方案问题;（13）分配问题

（1）行程问题

三个基本量的关系：

路程s=速度v×时间t

时间t＝路程s÷速度V

速度V＝路程s÷时间t

（2）三大类型：

①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

②追及问题：快行距－慢行距＝原距

③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速

顺水的路程 = 逆水的路程

甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

【变式】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度

（2）工程问题

三个基本量的关系：

工作总量＝工作时间×工作效率；

工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作效率＝工作总量÷工作时间

甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。

一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少

总结升华：

工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由.

甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件

（3）销售中的盈亏问题;

利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%

有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元

某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

求该商场购进A、B两种商品各多少件

（4）储蓄问题;

银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，

税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率

小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为％的教育储蓄，另一种是年利率为％的一年定期存款，一年后可取出元，问这两种储蓄各存了多少钱（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税

总结升华:

我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来

小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为%.三年后同时取出共得利息元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元

、李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息元。已知这两种储蓄的年利率的和为％，问这两种储蓄的年利率各是多少（注：公民应交利息所得税＝利息金额20％

（5）产品配套问题;

产品配套问题：加工总量成比例

某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少张方桌

（6）增长率问题;

增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量

原量×（1＋减少率）=减少后的量

某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元

（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元