小船过河问题高考讲解

小船过河问题

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情冴下，渡河时间θ

υυsin 1

船d

d

t =

=

，显然，当︒=90θ时，即船头

的指向与河岸垂直，渡河时最小为v

d ，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 若水船υυ>

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河

宽，偏离上游的角度为船

水

υυθ=

cos

若水船v v <，则不论船的如何，总是被水冲向下游，怎样才

v

能使漂下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水

船v v =

θcos 船头与河岸的夹角应为

水

船v v arccos

=θ，船沿河漂下的最短距离为：

θ

θsin )cos (min 船船水v d

v v x ⋅

-=

此时渡河的最短位移：船

水v dv d

s =

=θcos

【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：

(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是

(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

★解析： (1使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

s s d

t 2030

60

2

==

=

υ (2)渡河航程最短有两种情冴：

①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；

②船速v 2小于度v l 时，即v 2

设航程最短时，船头上游河岸与河岸成θ角，则

2

1

63cos 12===

υυθ， 60=θ 最短行程，m m d s 1202

660

cos ===

θ 小船的船头与上游河岸成600

角时，渡河的最短航程为120m 。

技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能也是教学大纲中要求培养的五种能力

之一。

【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点 C )

A ．

21

2

22

υ

υυ-d B ．0

C ．2

1υυd D ．1

2

υυd

★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，到达江岸所用时间t=

2

v d

；沿江岸方向的运动速度是水速v 1

在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离2

11v dv t v s ==。答案：C

【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）

(A)

21

22

2T

T T - (B)

1

2T T

(C)

22

21

1T

T T - (D)

2

1T T

★解析：设船速为1v ，水速为2v ，河宽为d ，则由题意可知 ：

1

1v d T =

①

当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则22

21

2v

v d T -=

②

联立①②式可得：1

2

22121

v v v T T -=

，进一步得

2

1222

21T T T v v -=

【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，d

v k kx v 0

4=

=，水，x 是各点到近岸

的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ A ）

A 、小船渡河的轨迹为曲线

B 、小船到达离河岸2

d 处，船渡河的速度为

02v

C 、小船渡河时的轨迹为直线

D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v