非奇次和齐次线性方程组解得结构

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2002年考研数学二试题[卷]及的答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x xf xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y ，21|0='=x y 的特解是______．【答案】1y x =+【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+.再以初值代入，21C =±所以应取""+且21C =.于是特解1y x =+.方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+.以01x y ==代入，得21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+.（4）++++∞→nn n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1n n ______．【答案】22π【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦111c o s ,n i i n nπ==+∑ 所以 1011lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n ππ→∞→∞==+=+∑⎰11122cos 2cos2cos222xxxdx dx dx πππ===⎰⎰⎰12222sin2x πππ=⋅=.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但l i m ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为3313(,,,)2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424y x --=--，即353044x y --+=法线方程为13133()(()),24124y x --=---即31044x y +-+=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =，代入，计算得 2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011 =-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2n n n n n n n x x x x x x x ----=--=-+ 222933()42033(3)(3)22n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-+-+所以132n x +≤（当1,2,n =），即32n x ≤（当2,3,n =），数列{}2,3,n x n =有上界32. 再考虑（2）21(3)(3)(3)n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x ----=--=-+(32)0.(3)n n n n nx x x x x -=≥-+ 2,3,n =.所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1(3)n n n x x x +=-两边取极限，于是得 (3),a a a =-2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故()21111130(3)(3).22x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤，则 113(3)(3).22k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.21(3)(32)(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x x +-----≤=≥-+-+-=所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a . 再由1(3)n n n x x x +=-两边命n →∞取极限，得(3)a a a =-,32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b a x a b b a ξξξ=-'==<<<-而22112a b a b ξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边.方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=. 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以xb =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命1()ln ln (),x x a x a axφ=--- 有()0a φ=，及2111()()()0,222a x a x x a x x x x axφ-'=-+=-< 所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得1ln ln (),b a b a ab-<-即ln ln 1b a b a ab -<-. 右边证毕. 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,12320()(2)(3)(0)lim 0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++=（1）由洛必达法则，12320()(2)(3)(0)lim h f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h h λλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim (49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入 12320()(2)(3)(0)0lim h f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣ 2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =-即 24AB B A -= (2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+(2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --= 得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）. (2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+ 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 方法2：由题设条件 124A B B E -=-等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r Ar ααααβααααβ==== 故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系. 又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1T η*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为 []112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++== 已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++ 将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-= 由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当 1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取自由未知量3x k =，则方程组有解 431321,,,23x x k x x k x k =====-+ 即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

线性代数知识点整理

➢∑⋯⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=pnp p n n nnn n nnp a p a p a a a a a a a a a a D 212211212222111211)1(逆序数（1）行列中两个数一次对换改变奇偶性（2）全部n （n ≥2）级排列中奇偶各占一半，2!n 个；n!项相加，每项n 个数相乘 ➢ 行列式性质：（1）D=D T（2）某行（列）提公因数k 出来（3）任意互换两行（列），值变号，r 行j 列（4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为0，D=0 （6）可拆（7）某一行（列）×k ＋另一行（列），值不变➢ 反对称行列式：00⋯---⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯-⋯=y x n cb ca nb a D =0➢ 余子式：划去a ij ，所剩M ij ；代数余子式：A ij =(-1)i+jM ij ➢ D=a i1A i1+a i2A i2+……+a in A in （按行展开）D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +……+a nj A nj （按列展开）（1）各元素与其代数余子式乘积的和（2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0➢ 上（下）三角：n ab n b aD ⋯=⋯=➢ 副对角：n ab ab n D n n ⋯-=⋯=-2)1()1(➢ 范德蒙：的乘积所有满足)(1)(1111112112222121i j nj i i j n nn n n nx x n j i x x x x x x x x x x x -≤≤≤=-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∏≤≤≤---➢ 拉普拉斯展开式：b a bca cba =O =O➢ n 元线性方程组：（1）D ＝D n ≠0 → 唯一解 n j DD x j j ⋯⋯==2,1,（2）D ＝D n ≠0 → 齐次方程“零解”D ＝D n ＝0 → 齐次方程“非零解”➢ 方（矩）阵：m=n零矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=O 000000000上三角：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O ⋯nn a a a 2211＊下三角：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯O nn a a a ＊2211 对角：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O ⋯O nn a a a 2211 数量：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O ⋯O a a a 单位： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O ⋯O 111对称：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯0000n b a n b a 反对称：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯0-0-0-0n b a n b a （主对角线必为0） ➢ 矩阵加法：（1）A B B A +=+ （2）A A =O +（3）)()(C B A C B A ++=++（4）（矩阵）O =-A A➢ 矩阵数乘：(1))(A A μλλμ=）（（2）A A A μλμλ+=+）（（3）B A B A λλλ+=+)( （4）（矩阵）O =⨯A 0➢ 矩阵乘法：（1）Cms Bns Amn =⨯ （2））（）（）（B A B A AB λλλ== （3）AC AB C B A +=+)(（3）CA BA A C B +=+)(（不满足交换律！）（5）存在Im 、In ，使得A AI A I n n m m ==⨯➢ 方阵的幂：（1）A A A A n ⨯⋯⋯⨯⨯=（2）nm n m A A A +=⨯（3）mnn m A A =）（➢ 方阵多项式：n m m m m I a A a Aa A a A f 0111)(++⋯⋯++=-- ➢ 矩阵转置：（1）A A T T =）（（2））（）（T T A A λλ= （3）TT T B A B A +=+）（（4）TTTA B AB =）（（5）22TT A A A A A -++= （6）为对称矩阵A A A T ⇒= （7）为反对称矩阵A A A T⇒-=➢ 方阵行列式：（1）A A T = （2）A A n λλ= （3）B A AB =➢ 伴随矩阵（各元素代数余子式）：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111*（注意下标！）I A A A A A ⨯=⨯=⨯**➢ 逆矩阵：（1）1-⇔==A A B I BA AB 的是（2）⎪⎩⎪⎨⎧⨯=≠⇔-*11A A A A A 可逆（3）所有2×2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b c d A d c b a A * （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O ⋯O =≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O ⋯O =-n n a a a A A a a a A 111021121，则，若所有对角（5）A A =--11）（（6）TT A A ）（）（11--= （7）1110--=≠A A λλλ），（（8）AA11=- （9）111---=A B AB ）（（10）kk A A ）（1--=➢ 解矩阵方程：AX=B(1)）所求矩阵单位矩阵（）矩阵矩阵（X IB A → （2）代回验证 ➢线性表出。

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。

有解时再化为行最简形求解。

(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。

(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。

2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。

3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。

例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。

《高等代数与解析几何》教学大纲

《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。

三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。

高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。

主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。

四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。

本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。

【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。

难点：向量间垂直、共线、共面的条件。

第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。

厦门大学网络教育第一学期考试真题线性代数

厦门大学网络教育第一学期考试真题-线性代数1.下列排列中，（）是四级奇排列。

A 43212.若（-1）。

是五阶行列式【。

】的一项，则k,l之值及该项符号为（）B k=2,l=3,符号为负3.行列式【k-1 2。

】的充分必要条件是（）C k不等于-1且k不等于34.若行列式D=【a11 a12 a13。

】=M不等于0，则D1=【2a11 2a12 2a13。

】=（）C 8M5.行列式【0111】101111011110 =（）D -36.当a=（）时，行列式【-1 a 2…】=0B 17.如果行列式【a11 a12 a13 …】=d 则【3a31 3a32 3a33 …】=()B 6d8.当a=()时，行列式【a 1 1 …】=0A 19.行列式【125 64 27 8 。

】的值为（）A 1210.行列式【a 0 0 b …】中g元素的代数余子式为（）B bde-bcf11.设f(x)= 【1 1 2 。

】则f(x)=0的根为（）C 1，-1，2，-212.行列式【0 a1 0…0。

】=()D (-1)n+1 a1 a2…an-1 an113.行列式【a 0 b 0…】=()D (ad-bc)(xv-yu)14.~不能取（）时，方程组~X1+X2+X3=0…只有0解B 215.若三阶行列式D的第三行的元素依次为1，2，3它们的余子式分别为2，3，4，则D=()B 816.设行列式【a11 a12 a13…】=1,则【2a11 3a11-4a12 a13…】=()D -81.线性方程组x1+x2=1…解的情况是（）A 无解2.若线性方程组AX=B的增广矩阵A经初等行变换化为A- 【1234…】,当~不等于（）时，此线性方程组有唯一解B 0，13.已知n元线性方程组AX=B,其增广矩阵为A ，当（）时，线性方程组有解。

C r(A)=r(A)4.设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是（）A A的列向量线性无关5.非齐次线性方程组AX=B中，A和增广矩阵A 的秩都是4，A是4*6矩阵，则下列叙述正确的是（）B 方程组有无穷多组解6.设线性方程组AX=B有唯一解，则相应的齐次方程AX=0（）C 只有零解7.线性方程组AX=0只有零解，则AX=B(B不等于0)B 可能无解8.设有向量组a1,a2,a3和向量BA1=(1,1,1) a2=(1,1,0) a3= (1,0,0) B=(0,3,1) 则向量B由向量a1,a2,a3的线性表示是（）A B=a1+2a2-3a39.A 线性相关10.下列向量组线性相关的是（）11.向量组a1.a2…ar 线性无关的充要条件是（）B 向量线的秩等于它所含向量的个数12.向量组B1.B2…Bt可由a1.a2…as线性表示出，且B1.B2…Bt线性无关，则s与t的关系为（）D s≥t13.n个向量a1.a2…an线性无关，去掉一个向量an，则剩下的n-1个向量（）B 线性无关14.设向量组a1.a2…as(s≥2)线性无关，且可由向量组B1.B2…Bs线性表示，则以下结论中不能成立的是（）C 存在一个aj，向量组aj，b2…bs线性无关15.矩阵【1 0 1 0 0…】的秩为（）A 516.向量组a1.a2…as（s≥2）线性无关的充分必要条件是（）C a1.a2…as每一个向量均不可由其余向量线性表示17.若线性方程组的增广矩阵为A=【1.~.2】则~=（）时，线性方程组有无穷多解。

线性代数习题1

习题一一.单项选择题1.三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则下列矩阵中非奇异矩阵是（）． A.2+A E ； B. 2-E A ； C.-E A ； D.3-A E . 答案：A解因为若λ为三阶矩阵A 的特征值，则0λλ-=-=A E E A ，也即当λ为矩阵A 的特征值时，矩阵,λλ--A E E A 为奇异矩阵. 由于2λ=-不是矩阵A 的特征值，所以20+≠A E ，即矩阵2+A E 非奇异. 故答案A 正确.2.与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似的矩阵是（）． A.110021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B.110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.101010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.101021001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：C解由于答案A ，B ，C ，D 均为上三角矩阵，其特征值均为1231,2λλλ===，它们是否与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似，取决于对应特征值121λλ==四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即()1R -=B E .由于只有答案C 对应的()1R -=B E ，即对应121λλ==有两个线性无关的向量，所以答案C 正确.3.二次型),,(321x x x f 22112263x x x x =++的矩阵是（）. A.1113-⎛⎫⎪-⎝⎭； B.1243⎛⎫ ⎪⎝⎭； C. 1333⎛⎫ ⎪⎝⎭； D. 1513⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C解因为),,(321x x x f 22112263x x x x =++112213(,)33x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以二次型矩阵为1333⎛⎫=⎪⎝⎭A ，故答案C 正确. 4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确.二、解答下列各题1.试证:由123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)T T T ===ααα所生成的向量空间就是3R . 证设123(,,)ααα=A ，因为011101110=A 20=-≠于是()3R =A ，故123,,ααα线性无关.由于123,,ααα均为三维且秩为 3. 所以123,,ααα为此三维空间的一组基，故由123,,ααα所生成的向量空间就是3R .2.利用施密特正交化方法，将向量组化T 1(011),α=，，T 2110,α=（，，）T3101α=（，，）为正交的单位向量组．解令1β=T 1011α=（，，）， 2β=2121111111(1,1,0)(0,,)(1,,)2222T T T T T αβαβββ-=-=-，3β=31323121122T T T T αβαβαββββββ--，=11111(1,0,1)(0,,)(,,)22366T T T---=（T)32,32,32-，再将向量组123,,βββ单位化，即得到正交的单位向量组．T T T12363(),),)33γγγ==． 3.判别矩阵211020011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵．解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 211020012λλλ----=2(2)(1)λλ--- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,2λλλ===对于11λ=，解齐次线性方程组() -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系1(1,0,1)T =-α. 对于232λλ==，解齐次线性方程组(2) -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系2(1,0,0)T =α，3(0,1,1)T =-α.由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可对角化．令123110(,,)001101ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P 则1100020002-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP4.求一个正交变换将二次型322322214332x x x x x f +++=化为标准形.解二次型的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，其特征多项式为20032032(2)23023λλλλλλλ---=-=---A E )1)(5)(2(λλλ---=令0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1,5,2321===λλλ当21=λ时, 解方程组(2) -=A E x 0，由0000122012001021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E . 得基础解系 1100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α.当52=λ时，解方程(5) -=A E x 0，由3001005022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E 得基础解系 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当13=λ时，解方程() -=A E x 0，由100100022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E 得基础解系 3011α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.将123,,ααα单位化，得1100β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,20β⎛⎫ = ⎝,30β⎛⎫ =- ⎝⎭于是正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321************1y y y x x x . 且标准形为 23222152y y y f ++=． 5.判别二次型),,(321x x x f =322123222144465x x x x x x x --++是否为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为520262024-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .由于1150a =>，5226026-=>-，520262840024-=--=>-A即A 的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.三、证明题如果A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶正交矩阵，证明1-B AB 为n 阶实对称矩阵．证因为111()()()T T T T T T T ---==B AB B A B B A B 又A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶正交矩阵，所以T =A A 及T =B B E ，即1()T -=B B于是 11()()T T T T T --==B AB B A B B AB 1-=B AB 所以1-B AB 为n 阶实对称矩阵．习题2一.单项选择题1.与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似的矩阵是（）． A.110021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B.110010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.101010002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.101021001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：C解由于答案A ，B ，C ，D 均为上三角矩阵，其特征值均为1231,2λλλ===，它们是否与矩阵100010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似，取决于对应特征值121λλ==四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即()1R -=B E .由于只有答案C 对应的()1R -=B E ，即对应121λλ==有两个线性无关的向量，所以答案C 正确.2.设矩阵A 与B 相似，其中12312001x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，已知矩阵B 有特征值1,2,3，则=x （）． A.4； B.3-； C.4-； D.3. 答案：A解因为相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵A 的特征值为1,2,3. 由11123x ++=++，得4x =，故答案A 正确. 3.设,A B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，则（）.A. A 与B 相似；B. =A B ；C. A 与B 有相同的特征值；D. ()()R R =A B 答案：D解因为A 与B 合同，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T=B C AC ，故()()R R =A B故答案D 正确.4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确. 二、解答下列各题1.已知3R 的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，求向量(2,0,0)Tα=在此基下的坐标.解设112233k k k αααα=++，则123,,k k k 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+002323121k k k k k k 的解.解得1231,1,1k k k ===-，所以向量α在此基下的坐标为(1,1,1)T-.2.求矩阵211020011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 的特征值和特征向量解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 211020012λλλ----=2(2)(1)λλ--- 令0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,2λλλ===对于11λ=，解齐次线性方程组() -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系1(1,0,1)T=-α，于是A 的属于11λ=的全部特征向量为11c α（1c 为不等于零的常数）对于232λλ==，解齐次线性方程组(2) -=A E x 0，可得方程组的一个基础解系2(1,0,0)T =α，3(0,1,1)T =-α，于是A 的属于23,λλ的全部特征向量为2233c c +αα（23,c c 为不全等于零的常数）.3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为对角矩阵.解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 010(1)(1)1λλλλλλ--=--+- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1,1,0321-===λλλ对于10λ=，解方程组(0) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 1(0,1,0)=α；对于21λ=，解方程组() -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 2(1,0,1)α=；对于13-=λ，解线性方程组() +=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 3(1,0,1)α=-. 分别将123,,ααα单位化得T T T123(0,1,0),,(βββ===，令1230(,,)1000βββ⎛== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q ，则 1000010001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ .4.用配方法将二次型22123131323(,,)222f x x x x x x x x x =+++化成标准形, 并写出所用变换的矩阵：解对二次型配方，得222212313132313323(,,)222()2f x x x x x x x x x x x x x x =+++=+++22213223()()x x x x x =+-++令 11322323y x x y x y x x =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 即112322323x y y y x y x y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩,写成矩阵形式为112233111010011x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，变换矩阵为111010011C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭在此变换下二次型化为规范形 222123f y y y =-+. 5.当t 为何值时，二次型),,(321x x x f =3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为 1112125t t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A . 此二次型正定的充要条件为 0111>=a , 11t t =21t ->0, 254t t =--A >0，由此解得 054<<-t . 三、证明题若矩阵A 与B 相似，试证明（1）A 与B 有相同的特征多项式和特征值；（2）A 与B 的行列式相等，即A B =.证（1）由相似定义可知，存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B ，于是1111()B E P AP P P P A E P P A E P A E λλλλλ-----=-=-=-=-即A 与B 的特征多项式相同，因而有相同的特征值.（2）由1B P AP -=，有11B P AP P A P A --===，即A 与B 的行列式相等.习题3一.单项选择题1.设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（）． A.λλ-=-A E B E ； B.A 与B 有相同的特征值和特征向量； C.A 与B 都相似于一个对角矩阵； D.对于任意常数t ，t -A E 与t -B E 相似. 答案：D解因为由A 与B 相似不能推得=A B ，所以答案A 错误；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B 错误；由A 与B 相似不能推出A 与B 都相似于一个对角矩阵，所以答案C 错误；由A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，所以11()t t t ---=-=-P A E P P AP E B E所以，对于任意常数t ，t -A E 与t -B E 相似. 故答案D 正确.2.设A 为n 阶实对称矩阵，则（）． A.A 的n 个特征向量两两正交；B.A 的n 个特征向量组成单位正交向量组；C.A 的k 重特征值0λ，有0()R n k λ-=-A E ；D.A 的k 重特征值0λ，有0()R k λ-=A E .答案：C解由实对称矩阵特征值的性质可知，对于实对称矩阵A 的k 重特征值0λ，有0()R n k λ-=-A E . 故答案C 正确.3.设矩阵2001002005-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则与A 合同的矩阵是（）.A.100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； B. 300020005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； C. 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D. 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭答案：A解两矩阵合同时，其正惯性指数相同，且负惯性指数也相同，只有答案A 满足题意. 故答案A 正确.4.对于二次型12(,,,)n f x x x =L T x Ax ，其中A 为n 阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（）.A.化f 为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化f 为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.f 的标准形是唯一的；D.f 的规范形是唯一的. 答案：D解因为二次型f 的规范形是唯一的，所以答案D 正确，而答案A,B,C 均不正确. 故答案D 正确. 二、解答下列各题1.已知3R 的两个基为123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)T T T ααα==-=123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,3)T T T βββ===求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P .解取矩阵123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，对()A B M 作初等行变换()=A B M 111123100234100234010010111143001101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭故过渡矩阵234010101⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭P .2.设矩阵20131405x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可相似对角化, 求x .解矩阵A 的特征多项式为2201||31(1)(6)45x λλλλλλ--=-=----A E , 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为1231,6λλλ===因为A 可相似对角化，所以对于121λλ==, 齐次线性方程组() -=A E x 0有两个线性无关的解, 因此()1R -=A E . 由101101()30003404000x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E 知当3x =时()1R -=A E , 即3x =为所求.3.试求一个正交相似变换矩阵，将实对称矩阵111111111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为对角矩阵.解矩阵A 的特征多项式为λ-=A E 2111111(3)111λλλλλ--=--- 由0 A E λ-=，得矩阵A 的特征值为3,0321===λλλ对于120λλ==，解齐次线性方程组(0) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 1(1,1,0)=-α ，T 2(1,0,1)α=-对于33=λ，解齐次线性方程组(3) -=A E x 0，得方程组的一个基础解系T 3(1,1,1)α=将向量组12,αα正交单位化得T T12,,ββ== 将向量3α单位化得T3β=，令 123(,,)βββ=Q 0⎛ = ⎝则 1-Q AQ 000000003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4.用配方法化二次型2221231231213(,,)3524=+++-f x x x x x x x x x x 为标准形, 并写出所用变换的矩阵.解先将含有1x 的项配方.2221231231213(,,)3524=+++-f x x x x x x x x x x=21x +1232(2)x x x -+223(2)x x -－223(2)x x -+223x +235x=2123(2)x x x +-+222x +324x x +23x再对后三项中含有2x 的项配方，则有123(,,)f x x x =222123233(2)2()x x x x x x +-++- 令 1123223332y x x x y x x y x=+-⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即所作变换为 1123223333x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,写成矩阵形式为112233113011001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，变换矩阵为113011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C在此变换下二次型化为标准形为 2221232f y y y =+- 5.当t 为何值时，二次型),,(321x x x f =322123222122x tx x x x x x ++++为正定二次型.解二次型),,(321x x x f 的矩阵为210112012t t ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 此二次型正定的充要条件为 1120a =>, 1112>0, 2102t =->A ；由此解得 22<<-t .三、证明题（1）设,A B 都是n 阶方阵，且0≠A ，证明AB 与BA 相似．（2）如果矩阵A 与B 相似，且A 与B 都可逆，证明1A -与1B -相似. 证（1）因为0≠A ，则A 可逆.由于11()()()--==A AB A A A BA BA所以AB 与BA 相似.（2）因为矩阵A 与B 相似，所以存在一个可逆矩阵P ，使得1P AP B -= 所以 111()P AP B ---=，即111P A P B ---=，所以1A -与1B -相似.。

工学计算机控制技术非齐次状态方程的解

X (s)
s2
1 3s
2
s 3 2
1 x1(0)
s
x2
(0)
s2
1 3s
2
s 3 2
10 1 s1 s
s2
1 3s
2
(s 3)x1(0)
2x1(0)
x2(0)
sx2 (0)
s2
1 3s
2
1/ s 1
拉氏反变换得方程解为：
x(t) L1X (s)
1 2
( 2 x1 (0)
第三节线性定常非齐次状态方程的解
2024/10/14
1
一、直接求解法若线性定常系统的非奇次状态方程 x Ax Bu, 初始状态为x(t0 ) 的解存在，则解形式如下：
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
t e A(t )Bu( )d
t0
初始状态引起的响应，零输入响应输入引起的响应,零状态响应
3）对上式在 t0, t 区间内进行积分，得:
e A x( ) t t e A Bu( )d
t0
t0
e At x(t ) e At0 x(t0 )
t e A Bu( )d
t0
x(t ) e A(tt0 ) x(t0 )
t e A(t ) Bu( )d
t0
t
(t t0 ) x(t0 )
说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。
2024/10/14
2
[证]： 1）先把状态方程 x Ax Bu 写成 x Ax Bu
2）两边左乘 e At ，再利用 e At 的性质
eAt
x Ax
d dt

自动控制原理习题及答案

1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。

答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。

去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期=0.1s。

试求系统稳定时K的取值范围。

答案:首先求出系统的闭环传递函数。

由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得+1 4 +( 7 -0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。

3. 求下列函数的z变换。

(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(n )z-n+…= + e-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+n e-naT z-n+…= (e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)两边同时乘以e-aT z-1，得e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2). e( )=答案 e( )=对e( )= 取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4. 求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得(z)的z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*( )= δ( -T)- δ( - )+1 δ( -5T)-14δ( -7 )+18δ( -9 )+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z 反变换为5. 分析下列两种推导过程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2). 对于和(1)中相同的(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。

【考研必备资料】考研数学大纲数三

【2012考研必备资料】全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital ）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle ）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解x e ．sin x ．cos x ．ln(1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()00xe f x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x>0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev ）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli ）大数定律辛钦（Khinchine ）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre －Laplace ）定理列维—林德伯格（Levy －Lindberg ）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩 2χ分布 t 分布 F 分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211()1ni i S X X n ==--∑χ变量、t变量和F变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t分2．了解产生2布和F分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。

数学三考试内容和考试要求

．了解高阶导数地概念，会求简单函数地高阶导数．
．了解微分地概念，导数与微分之间地关系以及一阶微分形式地不变性，会求函数地微分．
．理解罗尔（）定理．拉格朗日( )中值定理．了解泰勒定理．柯西（)中值定理，掌握这四个定理地简单应用．个人收集整理勿做商业用途
．会用洛必达法则求极限．
．掌握函数单调性地判别方法，了解函数极值地概念，掌握函数极值、最大值和最小值地求法及其应用．
考试要求
．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
．掌握变量可分离地微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程地求解方法．
．会解二阶常系数齐次线性微分方程．
．了解线性微分方程解地性质及解地结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数地二阶常系数非齐次线性微分方程．个人收集整理勿做商业用途
考试要求
．理解原函数与不定积分地概念，掌握不定积分地基本性质和基本积分公式，掌握不定积分地换元积分法和分部积分法．个人收集整理勿做商业用途
．了解定积分地概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限地函数并会求它地导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分地换元积分法和分部积分法．个人收集整理勿做商业用途
考试内容
随机事件与样本空间事件地关系与运算完备事件组概率地概念概率地基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率地基本公式事件地独立性独立重复试验个人收集整理勿做商业用途
考试要求
．了解样本空间（基本事件空间）地概念，理解随机事件地概念，掌握事件地关系及运算．
．理解概率、条件概率地概念，掌握概率地基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率地加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（）公式等．个人收集整理勿做商业用途

《线性代数》教学大纲

《线性代数》教学大纲课程编号：010课程名称：线性代数英文名称：Linear algebra学时：48+4 学分：3课程类型：必修课程性质：学科基础课适用专业：工科各专业先修课程：无开课学期：第2学期开课院系：数学与统计学院一、课程的教学目标与任务线性代数是高等学校理工科和经管金融等学科大学生的一门重要基础课程，是学习后继课程的工具。

随着计算机技术的飞速发展与广泛应用，大量工程与科研中的问题通过离散化的数值计算得到定量的解决，这就使得以处理离散量为主的线性代数课程占有越来越重要的地位。

通过本课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论与方法；理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；培养创新意识及能力，培养解决实际问题的能力和科学计算能力，并为学习后继相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、本课程与其它课程的联系和分工该课程是中学代数的继续与提高，是学习概率论与数理统计、复变函数、大学物理等课程的基本必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。

三、课程内容及基本要求(一) 矩阵( 10学时)内容：矩阵的概念；矩阵的运算；可逆矩阵及性质；矩阵的分块；高斯消元法；初等变换概念及性质；初等矩阵。

1.基本要求（1）了解矩阵概念产生的背景。

（2）熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方幂、多项式等运算及其运算规律。

（3）正确理解和掌握逆矩阵的概念与性质。

（4）了解分块矩阵的意义，会分块矩阵的加法、乘法的运算。

（5）理解一般线性方程组的解，系数矩阵，增广矩阵，同解方程组等概念。

（6）正确理解初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系。

（7）掌握用初等变换方法求方阵的逆矩阵。

2. 重点、难点重点：矩阵的运算；逆矩阵及其性质；初等变换、初等矩阵的概念与性质；用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形；用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。

难点：矩阵的乘积；逆矩阵及其性质；分块矩阵的意义及运算。

（二）行列式（8学时）内容：二、三阶行列式；排列；n阶行列式的概念；n阶行列式的性质；行列式的计算；行列式按一行（列）展开；矩阵可逆的充要条件；克兰姆法则。

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A =-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数笔记

线性代数笔记Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】线性代数笔记第一章行列式1.3.1行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

性质1 转置的行列式与原行列式相等。

即(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。

可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。

性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。

以二阶为例推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。

性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。

范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式…….=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:定理如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。

推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。

第二章矩阵一、矩阵的运算1、矩阵的加法设A=（a ij）m×n ，B=（b ij）m×n，则A+B=（a ij+b ij）m×n矩阵的加法适合下列运算规则：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+0=0+A=A此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（a ij）m×n，0=0m×n（4）矩阵A=（a ij）m×n，规定-A=（-a ij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=02、矩阵的数乘设A=（a ij）m×n，K为数，则KA=（Ka ij）m×n矩阵的数乘适合下列运算规则：（1）K（A+B）=KA+KB（2）（K+L）A=KA+LA（3）（KL）A=K（LA）（4）1*A=A（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。

最完整的线代基础知识点

最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。

后续的所有变换也都是基于此的。

了解到根源了，就不难理解了。

知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。

以后看到二三阶可以直接用这个算哦。

2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。

不用理解，直接记住。

（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。

1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。

知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。

2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。

1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。

只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。

2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。

因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。

上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。

好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。

1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。

2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。

相同的行不变，不同的行相加。

《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 10 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 12 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 -31、线性相关(无关）与线性表示的3个定理 ......................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ,则①元素11a ，12a ,13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ,M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。