非奇次和齐次线性方程组解得结构

证明 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
方程组的解向量组的极大无关组即为该方程组的基础解系.
b1nr
d r1
br1 1
dr2
br 0
2
dn
brnr 0
0
0
1
d r1 1 d r2 2 d n nr
所以1 , ,nr 是齐次线性方程组解向量组的一个
基础解系.
说明 １．解向量组的基础解系即为解空间的基， 且不是唯一的．
2．若 1 ,2 , ,nr 是 Ax 0的基础解系，则
v1
3 2 7 2
,
v2
1
2
;
0
1 0
1
方程组的全部解为
v
c1
3 2 7 2
c2
1 2 0
1 0
1
其中，c1 ,c2为任意常数.
例1 求齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0
若记
（1）
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
则上述方程组（1）可写成矩阵形式
Ax 0.
(2)
若 x1 11 , x2 21 , , xn n1 为方程 Ax 0 的
解，则
11
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也就是矩阵方程 (2)的解．
xr1
xn
下面在这无穷多解作成的解向量组中寻找极大无关组，
即为所求的基础解系.
现对xr1 , , xn 取下列单位向量组，一般共有n-r个：
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
1
,
0
0
,
0
.
1
分别
代入
x1
b11 xr1
b1,n
r xn
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
u u1 c1v1 c2v2
13 7
,
4 7
,
0,
0
T
c1
3 7
,
2 7
,1,
0
T
c2
13 7
,
4 7
,
0,1
T
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
u1
13 7
,
4 7
,
0,
0
T
原方程组对应齐次方程组与方程组
x1
3 7
x3
13 7
x4
x2
2 7
x3
4 7
x4
同解，其中 x3 , x是4 自由未知量，
x3 , x4 T 取值 1,0T ,0 ,1T ，分别得基础解系
v1
3 7
,
2 7
,1,
0
T
, v2
13 7
,
4 7
,
0,1
T
方程组的全部解为
1 2 （1）化方程组的增广矩阵为行最简形，写
出方程组的全部解。令自由未知量全为0，
0 12
.
得到一个特解。
0
在对应的齐次线性方程组
x1 x3
x
2
x4 ,中, 2 x4
取
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
x k11 knrnr . 其中 k11 knrnr 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特
解.
例2 x1 5x2 x3 x4 1
x1
2 x2
x3
3 x4
3
3
x1
8 x2
x3
x4
1
x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
解 方程组的增广矩阵为 1 5 1 1 1
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２．齐次线性方程组解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明 A1 0, A2 0
A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
R).
(3)所得非齐次线性方程组的通解即为其特 解加上对应齐次线性方程组的基础解系的
线性组合
３．与方程组 Ax b有解等价的命题
线性方程组 Ax b有解
向量b能由向量组1 , 2 ,
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,
,
与向量
n
组1
,
2
,
, n , b等价;
矩阵A 1,2 , ,n 与矩阵B 1,2 , ,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
（2）利用初等变换
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法．
2 7
3 7
即得基础解系
1
57 1
,
2
47 0
,
0
1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2 x3 x4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
,
(c1
,
c2
R).
例2 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.
x1 3 x2 2 x3 2 x4 0
2
x1
x1 x2 5 x3 x4 0
x1
x2
2 x3
3 x4
0
3
x1
x2
8
x3
x4
0
x1 3x2 9x3 7 x4 0
解 对系数矩阵进行初等行变换
1 1 5 1 1 1 5 1
A
1 3 1
1 1 3
2 8 9
3 1 7
0 0 0
2 2 4
7 7 14
4
4 8
1
1
1 0
,
0
1
2
0 2
,
1
（2）在非齐次线性方程组的全部解中令常 数项为0，得到对应齐次线性方程的全部解， 在其全部解中另自由未知量为单位向量组，
得到基础解系.
于是所求通解为
x1 1 1 1 2
x2
x3 x4
c1
1 0 0
c2
0 2 1
0 12
,
(c1
,
c2
0
础解系 v1,v2 ,L ,vnr ，此时线性方程组的解可以表示为 v c1v1 c2v2 L cnrvnr
其中c1,c2 ,L ,cnr为任意实数，解空间可以表示为
S v c1v1 c2v2 L cnrvnr ,其中c1,c2 ,L ,cnr R
三、应用举例 例1 求如下方程组的基础解系和方程的全部解
1 0 b11 b1,nr
A
0
1
br1
br
,nr
0 0
0
0
x1
b11xr1
b1,nr
xn
xr
br1xr1
br,nr xn
其中xr1, xr2 , , xn为自由未知量.
(可以取任意的常数）
x1
即方程组的解向量x
xr
有无穷多个，
从而基础解系为 v1
1 2
,
v2
0
;
3
通解为v
c1v1
c2v2 .
0
1
三、非齐次线性方程组解的性质
１．非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
1
AMb
1
2
1
3
3 8 1 1
3 1
0
0 1
3 7 2 7
13 7 4 7
13
7
4 7
1
9
3
7
7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
即原方程组与方程组
x
1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x
2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
同解，其中 x3 , x4 是自由未知量
x3 , x4 T 取值 0 ,0T ，得方程组的一个解
1
0 0 0
1 2 0 0
5 7 0 0
1 1
4 0
0 0
0 0
1 1 0 0
5 7
2 0
0
1
1
2 0 0
0
0
0
0
1 0 0
3
2 7
2 0
0
1
2
0
0
即原方程组与方程组
x1
3 2
x3
x4
x2
7 2
x3
2 x4
同解，其中 x3 , x4 是自由未知量
x3 , x4 T 取值 1,0T ,0 ,1T ，分别得方程组的解为
xr
br1 xr1
br ,nr xn
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
br 1
1 1 ,
0
0
b12
b1,nr
br
2
br
,n r
2 0 , , nr 0 .
1
0
0
1
下面证明 1 ,2 , ,nr 是齐次线性方程组解 向量组中的一个极大无关组．
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
0 0 0 0 0
可见r( A) r(B) 2,故方程组有解,并有
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
取 x2
x4
0, 则 x1
x3
1 ,即得方程组的一个解 2
其中k1 , k2 ,L , kt是任意常数.
２．线性方程组基础解系的求法
（1）先将齐次线性方程组的系数矩阵化为行最简形，求 出方程组的解（2）在解向量组中寻找极大无关组即为基 础解系（令所有自由未知量（n-r个)为单位向量组，得到 的解即为基础解系）.
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，
于是 A可化为
方程组的一个解. 因为d1 b11dr1 b12dr2 b1nr dn
dr br1dr1 br 2dr2 brnr dn
所以
b 11
d
r
1
x
br 1 d
r 1
d r1
b 12
d
r
2
br 2 d r2
b1 n r
d n
b d rnr n
d n
b11
b12
(1)证明1,2, ,nr 线性无关.
由于 n r 个 n r 维向量 线性无关，
1 0
0
0,
1,
,
0
0 0
1
所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 , ,nr 亦线性无关.
(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 , ,nr
线性表示.
设x d1 dr dr1 dn T 为上述
第四节 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn 0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
x3
5 x4
0
解
2
x2
x3
3 x4
0
方程组的系数矩阵
1
A
2 0
3 0 2
2 1 1
2
5 3
r23 rr21
32r13 (21r2)
11 02 00
13 6202 602
02 42
1131 031
0533939
1
4
x1 x2 4 x4
所以
x2 x3
x2 2 x2
3 x4
x4 x4
1,2 , ,t称为齐次线性方程组Ax 0的基础
解系, 如果
(1)1 ,2 , ,t是Ax 0的一组线性无关的解; (2)Ax 0的任一解都可由1,2 , ,t线性表
出.
如果1 ,2 , ,t为齐次线性方程组 Ax 0
的一组基础解系,那么, Ax 0 的通解可表示为
x k11 k22 ktt
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩 阵，有
1 A 2
1 5
1 3
1 2
~
1 0
0 1
2 7 5 7
3 7 4 7,
7 7 3 1 0 0 0
0
便得
x1 x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 , x4 .
令 x3 1及 0, x4 0 1
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 , k2 , , knr是任意常数.
定理 ｎ元齐次线性方程组 Amn x 0的全体解所构成的 集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空 间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.
当R( A) n 时，线性方程组只有零解，故没有基础
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间） 当R( A) n 时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基