专题06一元二次方程的根的判别式(知识点串讲)(解析版)

专题06 一元二次方程的根的判别式

知识框架

重难突破

一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

备注：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.

2. 一元二次方程根的判别式的逆用

在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤

0. )0(02≠=++a c bx ax ac b 42

-)0(02≠=++a c bx ax ?ac b 42

-=?c b a .,ac b 42-ac b 42

-()002≠=++a c bx ax ?ac b 42

-?ac b 42

-?ac b 42

-

备注：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.

例1．（2020·重庆巴蜀中学初二月考）关于x 的一元二次方程220x kx --=（k 为实数）根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．不能确定 【答案】A

【解析】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，24b ac -叫做一元二次方程()2

00++=≠ax bx c a 的根的判别式，通常用“?”来表示，即2=4?-b ac ，当>0? 时，方程有2个实数根，当=0?时，方程有1个实数根（2个相等的实数根），当?<0 时，方程没有实数根.方程220x kx -+=根的判别式()2

2=-41(2)80k k ?-??-=+>，所以有两个不相等的实数根．

练习1．（2020·吉林大学附属中学初三一模）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，则常数c 的值不可能为（ ）

A ．1-

B ．0

C ．4

D ．5 【答案】D

【解析】根据题意得△=（-4）2-4c≥0，

解得c≤4．

故选：D ．

练习2．（2019·

2210x -+=的根的情况是（ ）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定 【答案】C

【解析】∵24b ac =-△ (

)2

241=--

40=-<，

∴方程没有实数根．

故选：C ．

ac b 42-

例2．（2020·山东省初二期中）若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1

B ．0

C ．1或﹣1

D ．2或0 【答案】A

【解析】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0，

解得：k ＝﹣1，

故选：A ．

练习1．（2020·遵义市播州区泮水中学初三二模）已知关于x 的一元二次方程x 2－2x －k －2＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )

A ．k ≥－3

B ．k ≤3

C ．k ＞－3

D ．k ＜3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得△=（-2）2-4（-k -2）＞0，

解得k>-3．

故选C ．

练习2．（2020·石家庄市第四十中学初三其他）已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）

A ．2a ≤

B ．2a >

C ．2a ≤且1a ≠

D ．2a <- 【答案】C

【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（a －1）x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，

∴1044(1)0

a a -≠??=--?， 解得a ≤2且a ≠1．

故选：C ．

例3．（2019·广东省初三二模）已知关于x 的一元二次方程2x 2x a 0+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）

A ．4

B ．﹣4

C ．1

D ．﹣1

【答案】D

【解析】解：根据一元二次方程根的判别式得，

△()2

24a 0=-?-=， 解得a=﹣1．

故选D ．

练习1．（2019·上海市市西初级中学初二期中）对于二项方程0n ax b +=（0a ≠，0b ≠），当n 为偶数时，已知方程有两个实数根，那么ab 一定（ ）

A ．0ab <

B ．0ab >

C ．0ab ≥

D ．0ab ≤ 【答案】A

【解析】0n ax b +=，

可得：x n ＝?b a

， 因为当n 为偶数时，已知方程有两个实数根，

所以?b a

＞0， 所以ab ＜0，

故选：A ．

练习2．（2019·山东省初三其他）若关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =+的图象不经过（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】A

【解析】解：∵关于x 的一元二次方程mx 2-2x -1=0无实数根，

∴m ≠0且△=（-2）2-4m （-1）＜0，

m ＜-1且m ≠0，

∴一次函数y=mx+m 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．

故选：A ．

例4．（2019·吉林省东北师大附中初三月考）—元二次方程22310x x --=根的判别式的值是_____________；

【答案】17

【解析】解：2x 2-3x -1=0，

△=（-3）2-4×2×（-1）=17，

即一元二次方程2x 2-3x -1=0根的判别式的值是17，

故答案为：17．

练习1．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a

+的值等于_______． 【答案】2.

【解析】解：根据题意得：

△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，

整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，

4a （c ﹣2）＝﹣4，

∵方程ax 2+2x+2﹣c ＝0是一元二次方程，

∴a≠0，

等式两边同时除以4a 得：12c a -=-

， 则12c a

+=， 故答案为：2．

练习2．（2020·北京初三一模）关于x 的方程x 2+4x+m+2＝0有两个不相等的实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．

【答案】1m =，123,1x x =-=-．

【解析】由题意得2

441(2)0m ?=??+>-

解得2m <

∵m 为正整数

∴1m =

此时，方程为2430x x ++=

因式分解得(3)(1)0x x ++=

于是得30x +=或10x +=

解得123,1x x =-=-．

例5．（2019·清华附中上庄学校初三月考）关于x 的一元二次方程x 2+（m +4）x ﹣2m ﹣12＝0，求证： （1）方程总有两个实数根；

（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根．

【答案】（1）见解析；（2）x 1＝x 2＝2．

【解析】1）∵△＝（m+4）2﹣4（﹣2m ﹣12）＝m 2+16m+64＝（m+8）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）如果方程的两根相等，则△＝（m+8）2＝0，

解得m ＝﹣8，

此时方程为x 2﹣4x+4＝0，

即（x ﹣2）2＝0，

解得x 1＝x 2＝2．

练习1．（2020·北京四中初三月考）关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣（n ﹣1）＝0有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；

（2）若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

【答案】（1）n ＞0；（2）x 1＝0，x 2＝﹣2．

【解析】解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n ﹣1）]＞0，

解得n ＞0；

（2）因为n 为取值范围内的最小整数，

所以n ＝1，

方程化为x 2+2x ＝0，

x （x +2）＝0，

x ＝0或x +2＝0，

所以x 1＝0，x 2＝﹣2．

练习2．（2020·北京八中初三月考）已知关于x 的一元二次方程()2

2310m x x -+-=有两个不相等的实数根．

(1)求m 的取值范围；

(2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m ，并求出此方程的根．

【答案】(1)14

m >-且2m ≠；(2)当0m =时，11x =，22x =． 【解析】(1)由题意可得()()22434210b ac m -=--?->，

9480m +->， 解得14

m >-

，

又20m -≠，

∴2m ≠，

∴m 的取值范围：14

m >-且2m ≠； (2)∵方程的两个根都是有理数，

0，

0，

1=，0m =，

∴当0m =时，原方程化为22310x x --+=， 解得11x =，22x =．