DSP第五章

§5.6
全通滤波器
∑a z
k =0 N k k =0 k
N
− N +k
∑a z
−k
= z−N
∑a z ∑a z
k =0 k k =0 N k
N
k
−k
= −z−N
D ( z −1 ) D( z)
z −2 + a1i z −1 + a2i 写成二阶滤波器形式：H ( z ) = Π i =1 a z −2 + a z −1 + 1 1i 2i
§5.8
一、梳状滤波器的构成：
梳状滤波器
假设系统函数是H(z),传输函数为H(ejw )，H(ejw )以2π 为 周期。如果将H(z)的变量z用z 代替，得到H(z ),传输函数 为H(ejwN ),H(ejwN )以2π / N为周期, 相当于将原来的H(ejw )压 缩到0 ∼ 2π / N区间, 而且N 个周期中的波形一样。 1-z-1 例5.8.1 已知H(z)= ,0 < a < 1, 利用该系统函数构成 -1 1-az N = 8的梳状滤波器。 1-z 的变量z用z 代替，得：H(z )= 1-az-N
(2)最大相位滤波器：滤波器的全部零点都位于单位圆外。
（2）对同一系统函数幅频特性相同的所有因果稳定系统中
（3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。 B(z) 因果稳定系统H(z)= ，定义它的逆系统为 A(z) 1 A(z) -1 H (z)= = H(z) B(z) 原系统的极点变成了逆系统的零点，原系统的零点 变成了逆系统的极点。 故只有当因果稳定系统H(z)是最小相位系统时，它的 逆系统H -1(z)才是因果稳定的，也是一个最小相位系统。
非常靠近单位圆，则wr ≈ w0 ,3dB带宽为Δw ≈ 2 (1 − r ) 2、两个零点放在z = 1和z = −1，一对共轭极点为p1,2 = re ± jw0 其系统函数：H ( z ) = b0 (1 − z
−1
(
1 − re jw0 z −1
)(1 + z ) )(1 − re z )
−1 − jw0 −1
β ( jω ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况。
◆假设有一个信号x(n)，它的频率分量分布在频率范围 w1<w<w2中，该信号通过一个理想滤波器 ⎧Ce − jwn0 , w1 < w < w2 H (e jω ) = ⎨ 0, 其他w值 ⎩ C和n0是常数，滤波器的幅度特性 H (e jω ) = C 滤波器的相位特性： ϕ ( w ) = − wn0 相位特性是频率w的线性函数，称为线性相位。 dϕ ( w ) 群时延： τ g ( w) = − = n0 dw ★群时延为常数：表示输入信号中的所有频率分量的延迟 时间相同。
§5.1
数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器与数字滤波： 将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、 放大、从而改变输入信号的频谱结构---频率选择器。还 包括对信号进行检测和参数估计。数字滤波器是通过对 输入信号进行数值运算的方法来实现滤波的，模拟滤波 器则用电阻、电容、电感及有源器件等构成滤波器对信 号进行滤波。
§5.3.3 二阶数字滤波器 二阶数字滤波器：极点有2个，零点有1个、2个或没有。 但滤波器的零点和极点都是成对出现。 ( z − b1 )( z − b2 ) 二阶数字滤波器的系统函数：H ( z ) = G ( z − p1 )( z − p2 )
G是常数，p1 , p2为共轭极点；b1 , b2为共轭零点。
4、数字滤波器的种类：
◆经典滤波器：一般经典滤波器指的是用线性系统构成的 滤波器。 ◆现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上，利用 随机信号内部的统计特性对信号进行滤波、检测或估值 等。例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。
◆经典滤波器的分类：
（1）从滤波特性方面考虑：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器 注意： 幅度特性 以2π为 周期
理想数字滤波器
理想数字滤波器的特点和分类
◆理想滤波器有三个重要特点（1）在滤波器的通带内， 幅度为常数（非零），在阻带内幅度为零；（2）具有 线性相位；（3）单位脉冲响应是非因果无限长序列。 ◆频率响应： H (e jω ) = H (e jω ) e jβ ( jω )
H (e jω ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况。
（2）从实现方法上考虑：
无限脉冲响应滤波器---IIR滤波器（N阶）
bk z − k ∑ 1 − ∑ ak z
k =1 k =0 N −k M
H ( z) =
有限长单位脉冲响应滤波器--- FIR滤波器（N-1阶）
H ( z ) = ∑ h( n) z
n =0 N −1 −n
§5.2
§5.2.1
( ) = 10 H ( e )
jw p jw p
2
⎛ 2a ⎞ = 10 ≈ 0.5 ⇒ wp = arccos ⎜ 得： e H ⎟ 1 + a2 ⎠ ⎝ 当极点很靠近单位圆时，wp ≈ β = 1 − a，β 称为3dB带宽，
jw p 2 −3 10
( )
用β 计算的带宽和精确带宽很近似，见P119表5.3.1。
§5.3.2 一阶低通数字滤波器带宽的计算 1 − a 1 + z −1 一阶低通数字滤波器： H2 ( z ) = 2 1 − az −1
0 < a <1
w = 0时幅度最大, H ( e j 0 ) = 1, 幅度为0dB，设w = wp时幅度 降到 − 3dB，有： 3 = 20lg H e −
2、数字滤波器的实现方法： （1）用软件在计算机上实现。 （2）用专用的数字信号处理芯片完成。 （3）用硬件（加法器、乘法器和延时器的组合）完成。 3、数字滤波器的可实现性： 数字滤波器是一个LTI系统。实现一个LTI系统要考虑 系统的可实现性，即要求系统因果稳定---要求设计出的 系统极点全部集中在单位圆内。硬件乘法器只能完成实 数乘法，要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系 数为实数，即要求系统的零极点必须共轭成对出现，或 者是实数。
( )( ) 其系统函数：H ( z ) = ( z − ae )( z − ae )
z − e jw0
jw0
z − e − jw0
− jw0
陷波器的3dB带宽为2 β = 2 (1 − a )，说明a越大，即极点越 靠近零点（越靠近单位圆），陷波器的3dB带宽越窄。
全通滤波器：滤波器的幅度特性在整个频带 [0，2π ] H 0 上均等于常数，或者等于1，即： ( e jw ) = 1，， ≤ w ≤ 2π 信号通过全通滤波器后，其输出的幅度特性保持不变， 仅相位发生变化，故全通滤波器也称纯相位滤波器。 其系统函数：H ( z ) =
第五章
数字滤波器的基本概念及一些特 殊滤波器
学习目标：
理解数字滤波器的基本概念。 理解理想数字滤波器的特点、分类及如何近似实现。 会用零极点放置法来设计简单的滤波器：一阶数字滤波 器、二阶数字滤波器。掌握低通到高通的简单变换。 理解掌握数字谐振器的概念及两种类型。 理解掌握数字陷波器、全通滤波器、最小相位滤波器、 梳状滤波器和正弦波发生器的概念。
L
它的零点和极点互成倒数关系。
§5.7
最小相位滤波器
一、因果稳定的滤波器的全部极点必须位于单位圆内, 但零点可以位于任意位置：
(1)最小相位滤波器：滤波器的全部零点都位于单位圆内。 (3)混合相位滤波器：在单位圆内、外均有零点。 二、最小相位滤波器的重要性质： （1）任何一个因果稳定的滤波器H(z)均可以用一个最小 相位滤波器和一个全通滤波器H ap(z)级联构成。 最小相位系统的延迟最小。
§5.5
数字陷波器
数字陷波器：二阶滤波器，它的幅度特性在w = ± w0处为零， 设零点为z=e ± jw0，使幅度特性在w = ± w0处为零，为使幅度 离开w = ± w0后迅速上升到一个常数，将两个极点放在很靠 近零点的地方，极点为z = ae ± jw0，
在其他频率上接近于常数，是一个滤除单频干扰的滤波器。
P118图5.3.1(a)：一个极点，没有零点 1− a 0 < a <1 H1 ( z ) = z−a P118图5.3.1(b)：一个极点，一个零点。 1 − a 1 + z −1 H2 ( z ) = −1 0 < a <1 2 1 − az 结论： ◆设计单极点、单零点低通滤波器应该让零点远离极点--滤波器幅频特性最好。
H hp ( e jw ) = H lp e hhp ( n ) = e
jπn
(
j ( w−π )
)
相当于将低通滤波器传输函数的w用w − π 代替。 hlp ( n ) = ( −1) hlp ( n )
n
相当于将低通滤波器的单位脉冲响应的奇数项加一个负号。
§5.4
数字谐振器
数字谐振器：二阶滤波器，特殊的双极点带通滤波器， 一对共轭极点re ± jw0，r接近于1，幅度特性在w0附近最大， 相当于在该频率发生了谐振。 数字谐振器的零点有两种放置法： （1）放置在原点； （2）两个零点分别放置在z = 1和z = −1。 1、零点在原点，一对共轭极点为p1,2 = re ± jw0 b0 其系统函数：H ( z ) = 1 − re jw0 z −1 1 − re − jw0 z −1
见P121例5.3.2和例5.3.3
§5.3.4 低通到高通的简单变换 ◆设计高通滤波器：首先设计一个低通滤波器，再将低通 滤波器转换成高通滤波器。 低通滤波器的通带在w=0附近，阻带在w=π附近；高通 滤波器的通带在w=π附近，阻带在 w=0附近 ◆简单的转换方法：将低通滤波器的频率响应旋转π弧 度，可得高通滤波器。