状态空间分析法的特点及其应用

状态空间分析法的主要特点及其应用

1.引言

60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。

所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。

1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。

2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。

3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。

4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。

上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。

状态空间法的缺点:

1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。对于简单问题，显得有点烦琐。

2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。。

2.状态空间分析法在部分系统中的应用

2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用

状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。

在许多控制系统中，包括直流和交流电源系统，采用了脉冲宽度调制(卫WM)方式。可用于计算机和重要负荷的UPS(不停电供电电源)，采用PWM ，除对输出电压进行调节外，还可通过合理选择每周期脉冲数，消除指定的高次谐波，并可加快系统的动态响应速度。在对DC 一Dc 变换器等只具有正脉冲调制的系统分析中，如满足一定条件，则可运用状态空间平均值法。对交变的PWM 系统，每周期系统状态变化较大，有的变量正负值交替变化，因而不能运用平均值法分析，故采用状态空间分析方法。

PWM 系统通常均含开关器件，不同的脉冲间隔对应于开关器件的不同状态，即器件的导通或开断。开关状态的变化引起系统结构或参数的变化，则描述系统运动过程的状态方程也相应改变。

设输出脉冲波形如图1所示，每周期有k 个脉冲，正负脉冲数各一半，且设每个脉冲前沿可调，其时刻记为j t ，j=l ，3，5，…，2k 一1，为奇数;脉冲后沿固定，记为l t ，l=2，4…，2k ，为偶数。记在时间1-h h t t -内状态方程的系统矩阵

A ，输入矩阵

B 和输出矩阵

C 分别记为，，，h h h C B A h=1，2，…，2k 。

则系统在各脉冲间隔内的状态方程为: {h h h 1-h h t t t y B X A X X C U +=≤≤=，

由于一周期T 内各脉冲宽度相等;记为n D 。两个脉冲间隔为

K

T 。则零电平宽度为n n D K T H -=。对各区间引入逻辑变量()t d i 。

()()t d -1t d i i =‘

则描述多脉冲系统的多组状态方程式可写成如下一个完整的表达式:

()()()()()()()(){

t U t B t X t A X t X t C y +==t t

式中

()()()[]()()()[]

()()()[

]∑∑∑=-=-=-+=+=+=k

i i

i i i k i i i i i k i i

i i i C t d C t d t C B t d B t d t B A t d A t d t A 1212'1

212'1

212'

分析对上式有以下结论:

(l)、多脉冲调制系统为时变系统，其状态方程具有时变系数A(t)，B(t)，C(t)。

(2)、如果const D n =，系统处于定宽稳定工作状态，即在无扰动情况下，PWM 系统为周期时变的线性系统，其周期为T ，即有()()T t A t A +=，()()T t B t B +=， ()()T t C t C +=

(3)、在扰动及控制作用下，()()t B t A H D ,,,n n 为系统状态与激励的函数，此时系统为时变非线性的。

当系统存在扰动作用时，设()()D K T H n D D U U d U -=+=+=∧

∧,,t t n 有

()⎪⎩

⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∈-∧]n,)[(),sgn(0D T k i n D T k i n t D Dn t d i ，其它 式中()⎪⎩

⎪⎨⎧-+=101sgn z 如果000〈=〉z z z

系统状态变量在扰动作用下变化为：

()()()t X

t X X ∧+=t 在无扰动作用时则系统的稳态方程为: ()()()()()()

∑∑=-=-∙

+++=k i i i i k i i i i

X B t d B t d A t d A t d 12i 12'12i 12'

U x 由于所选状态量在逆变器改变工作量较大。由于所选状态变量在逆变器改变工作状态时均为连续的，故采用递推方法求解。状态方程组采用定步长四阶龙格一库格法求解，步长h=0.0004s ，计算换向过程的步长改为h=0.00001s 通过计算机进行求解。

多脉冲宽度调制系统由于其内部非线性开关器件状态的变化，使其电路结构