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轴对称知识点及习题

轴对称知识要点

1．轴对称图形与轴对称

轴对称知识点及习题

轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线 (成轴 )对称 ,这条直线叫做对称轴．

2．轴对称的性质

如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

3．线段的垂直平分线的性质和判定

性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

判定：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．

4．关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标的特点

点 (x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为(x,－ y)；

点 (x,y) 关于 y 轴对称的点的坐标为(－ x,y) ；

温馨提示

1．轴对称图形是针对一个图形而言,是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系．

2．在平面直角坐标系中,关于 x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数,纵坐标相同．

等腰三角形知识要点

1．等腰三角形的性质

性质 1：等腰三角形的两个底角相等( 简写成“等边对等角”)；

性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．

2．等腰三角形的判定方法

如果一个三角形有两个角相等 ,那么这两个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边” )．3．等边

三角形的性质和判定方法

性质：等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°．

判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

4．直角三角形的性质

在直角三角形中,如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半．

温馨提示

1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中,在两个三角形中时,上述结论不一定成立．

2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1) 必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．

方法技巧

1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法,当要证明同一个三角形的两个内角相等时,可尝试用“等边对等角”．

2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法,当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时,可尝试用“等角对等边”．

3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题 ,本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和

大于第三边．

13.1 轴对称

13.2 画轴对称图形

专题一轴对称图形

1．【 2012 ·连云港】下列图案是轴对称图形的是（）

2．众所周知 ,几何图形中有许多轴对称图形,写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________ ．（答案不唯一）

3．如图 ,阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形,请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形,使它们成为轴对称图形．

专题二轴对称的性质

4．如图 ,△ABC 和△ ADE 关于直线l 对称 ,下列结论：①△ABC ≌△ ADE ；② l 垂直平分DB ；③∠ C=∠ E；④ BC 与 DE 的延长线的交点一定落在直线l 上．其中错误的有（）

A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个

5．如图 ,∠ A=90 °,E 为 BC 上一点 ,A 点和 E 点关于 BD 对称 ,B 点、 C 点关于 DE 对称 ,求∠ ABC 和∠ C 的度数．

6．如图 ,△ ABC 和△ A ′B′C′关于直线m 对称．

（1）结合图形指出对称点．

（2）连接 A、 A ′,直线 m 与线段 AA ′有什么关系？

（3）延长线段 AC 与 A ′C′,它们的交点与直线 m 有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规

律 ,请叙述出来与同伴交流．

专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题

7．如图 ,在 Rt△ ABC 中 ,∠ ACB=90°,AB 的垂直平分线DE 交于 BC 的延长线于F,若∠ F=30°,DE=1, 则 EF 的长是（）

A．3B．2C．3

D．1

8．如图 ,在△ ABC 中 ,BC=8,AB 的垂直平分线交BC 于 D,AC 的垂直平分线交BC 与 E,则△ ADE 的周长等于________．

9．如图 ,AD ⊥ BC,BD=DC, 点 C 在 AE 的垂直平分线上 ,那么线段 AB 、BD 、 DE 之间有什么数量关系？并加以证明．

专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围

10．已知点 P（－ 2,3）关于 y 轴的对称点为Q（ a,b） ,则 a+b 的值是（）

A．1B．－ 1C．5D．－ 5

11．已知 P1点关于 x 轴的对称点P2（ 3－ 2a,2a－ 5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点,称为整点） , 则 P1点的坐标是 __________ ．

13.3 等腰三角形

13.4 课题学习最短路径问题

专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用

1．如图在△ ABC 中 ,BF、 CF 是角平分线 ,DE ∥ BC,分别交AB 、 AC 于点 D、 E,DE 经过点F．结论：①△BDF 和△ CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ ADE 的周长 =AB+AC ；④ BF=CF ．其中正确的是___________． (填序号 )

3．如图 ,已知△ ABC 是等腰直角三角形,∠ BAC=90°,BE 是∠ ABC 的平分线 ,DE⊥ BC,垂足为 D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由．

（3）如果 BC=10, 求 AB+AE 的长．

专题二等边三角形的性质和判定

4．如图 ,在等边△ ABC 中,AC=9, 点 O 在 AC 上 ,且 AO=3, 点 P 是 AB 上一动点 ,连接 OP,以 O 为圆心 ,OP 长为半径画弧交BC 于点 D, 连接 PD,如果 PO=PD, 那么 AP 的长是 __________．

5．如图．在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且 OD∥ AB,OE ∥ AC ．

（1）试判定△ ODE 的形状 ,并说明你的理由；

（2）线段 BD 、 DE、 EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．