勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础）

撰稿：吴婷婷 责编：常春芳

【学习目标】

1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

【高清课堂 勾股定理 知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222

a b c +=．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长

可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的

目的．

（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2

22c a b ab =+-．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

图（1）中，所以．

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以． 要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2. 用于解决带有平方关系的证明问题；

3． 与勾股定理有关的面积计算；

4．勾股定理在实际生活中的应用．

【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；

（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．

【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，

所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．

（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，

所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；

（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．

【答案】

解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，

∴ 2222210664a c b =-=-=，

∴ a ＝8．

（2）设3a k =，5c k =，

∵ ∠C ＝90°，b ＝32，

∴ 222a b c +=．

即222(3)32(5)k k +=．

解得k ＝8．

∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．

类型二、与勾股定理有关的证明

2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，

试说明222

AN BN AC -=．

【答案与解析】

解：因为MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222

BN MN MB +=，

所以2222AN BN AM BM -=-．

因为AM 是中线，所以MC ＝MB ．

又因为∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=，

所以222AN BN AC -=．

【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则AE 2-BE 2等于（ ）

A ．AC 2

B ．BD 2

C ．BC 2

D ．D

E 2

【答案】连接AD 构造直角三角形，得

，选A ．

类型三、与勾股定理有关的线段长

【高清课堂 勾股定理 例3】

3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】D ；

【解析】

解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，

∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，

∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，

EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，

在Rt △EFC 中，

由勾股定理解得FC ＝4，

在Rt △ABC 中，()2

2284x x +=+，解得6x =．

【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算

4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）

A ．6

B ．5

C ．11

D ．16

【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．

【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ACB=∠DEC ，

在△ABC 和△CDE 中，

∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABC ≌△CDE

∴BC=DE

∵222

AB BC AC +=

∴222AB DE AC +=

∴b 的面积为5+11=16，故选D ．

【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．

类型五、利用勾股定理解决实际问题

5、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？