邻补角-对顶角-垂线练习
新人教版七年级数学下册全册教案附同步练习及单元测试卷(含答案)
新人教版七年级数学下册全册教案附同步练习及单元测试卷（含答案）第五章相交线与平行线5.1.1相交线教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题．二、探究新知，讲授新课1．对顶角和邻补角的概念学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书．【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．紧扣对顶角定义强调以下两点：（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．2．对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
【初中数学】相交线(1)邻补角与对顶角讲练课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册
4. 如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＋∠2＝140°， 则∠1＝_7_0__°，∠4＝_1_1_0__°.
利用邻补角与对顶角的性质求角度 5. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝40°，
OA平分∠COE，求∠DOE的度数． 解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵OA平分∠COE， ∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
同学们，再见！
பைடு நூலகம்
∴∠DOE＝180°－∠COE＝100°.
6. (2023·湛江霞山区一模)如图，直线AB，CD相交于点 O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝26°，求∠AOE 的度数．
解：∵∠AOC＝26°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝154°. 又∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝ 12∠AOD＝77°.
新人教版初中七年级数学下学期
第五章 相交线与平行线
第1课 相交线(1) 邻补角与对顶角
邻补角与对顶角的定义及性质
定义
图例 性质 几何语言
邻 有一条公共边，另一 补 边互为反向延长线的 角 两个角
∵∠1与∠2 邻补角 是邻补角， 互__补___ ∴∠__1_＋__∠__2__
＝__1_8_0_°______
对 有公共顶点，一角的 顶 两边与另一角的两边 角 互为反向延长线
对顶角 _相__等__
∵∠1与∠2 是对顶角， ∴∠__1_＝__∠__2__
1. 下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是
( D)
2. (2023·东莞月考)下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角
的是
( B)
3. 如图，直线a，b相交于点O. (1)∠1的对顶角是_∠__3_，∠1的邻补角是_∠__2_，__∠__4___； (2)(2023·东莞月考)∠2＝140°，则∠1＝___4_0_°_，∠3 ＝__4_0_°__．
垂线 习题 (含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
七下数学每日一练：对顶角、邻补角练习题及答案_2020年压轴题版
七下数学每日一练：对顶角、邻补角练习题及答案_2020年压轴题版答案答案答案2020年七下数学：图形的性质_相交线与平行线_对顶角、邻补角练习题~~第1题~~(2019端州.七下期中) 如下图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD=25°，求∠COE、∠AOE 、∠AOG 的度数．考点： 角的平分线;对顶角、邻补角;垂线;~~第2题~~(2019成都.七下期中) 已知，如图，把直角三角形的直角顶点放在直线 上，射线平分.（1） 如图，若 ，求的度数.（2） 若 ，则的度数为.（3） 由（1）和（2），我们发现和 之间有什么样的数量关系？（4） 若将三角形 绕点 旋转到如图所示的位置，试问 和 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由.考点： 角的平分线;对顶角、邻补角;~~第3题~~(2019江苏.七下期中) 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是△ABC的角平分线，P 是射线AC 上任意一点 (不与A 、D 、C 三点重合)，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，交线段BD 于E.（1） 如图①，当点P 在线段AC 上时，说明∠PDE ＝∠PED.（2） 画出∠CPQ 的角平分线交线段AB 于点F ，则PF 与BD 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由.考点： 角的平分线;对顶角、邻补角;垂线;平行线的判定;~~第4题~~(2019长兴.七下期末) 如图1，直线MN 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，∠1与∠2互补答案（1） 试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由（2） 如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH（3） 如图3，在(2)的条件下，连结PH ，在GH 上取一点K ，使得∠PKG=2∠HPK ，过点P 作PQ 平分∠EPK 交EF 于点Q ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)考点： 对顶角、邻补角;垂线;平行线的判定与性质;~~第5题~~(2017江阴.七下期中) 如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补．（1） 试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2） 如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；（3） 如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK=∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．考点：角的平分线;对顶角、邻补角;平行线的判定与性质;三角形内角和定理;答案2020年七下数学：图形的性质_相交线与平行线_对顶角、邻补角练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(5)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( )A．线段AC的长度是点A到BC的距离B．CD与AB互相垂直C．AC与BC互相垂直D．点B到AC的垂线段是线段CA2．我们在运动会时测量跳远的成绩，实际上是要得到( )A．两点之间的距离B．点到直线的距离C．两条直线之间的距离D．空中飞行的距离3．下列语句正确的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，交点叫做垂足D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交4．有下列说法：①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边6．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°7．同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c8．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE＝32°，∠FOG＝29°，则∠AOC 的度数是( )A．19°B．29°C．32°D．39°9．如图，直线 AD，BE 相交于点 O，CO⊥AD 于点 O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°二、填空题1．如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有________个直角，图中线段________的长表示点C到AB的距离，线段________的长表示点A到BC的距离．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE丄AB于O，∠DOE=35°，则∠AOC=______．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC=___________，∠2=_________．4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD=132°，则∠EOC=_____°．5．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是_______________________三、解答题1．读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？3．如图是某次跳远测验中某同学跳远记录示意图．这个同学的成绩应如何测量，请你画出示意图．4．如图，直线AB，CD相交于点O．OF平分∠AOE，OF⊥CD于点O．(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角：______.(2)若∠AOD＝150°，求∠AOE的度数．5．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．参考答案一、单选题1．D解析：根据垂线的定义可做出判断.详解：A. ∵∠ACB＝90°，故线段AC的长度是点A到BC的距离，正确；B. 由CD⊥AB 知CD与AB互相垂直，正确；C. 由∠ACB＝90°知AC与BC互相垂直，正确D. 点B到AC的垂线段应该是线段CB，故错误；选D.点睛：此题主要考察垂线的定义.2．B解析：跳远时,测量的是跳远者落地时脚后跟与起跳时直线之间的距离,测量是把脚后跟当做一个点处理,即是求点与直线之间的距离.故选B.3．B解析：试题A、过一点须指明过直线外一点，错误；B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂线的性质，正确；C、只有垂直相交，交点才叫垂足，错误；D、过直线上一点与已知直线相交的直线有无数条，错误．故选B．4．B解析：试题①两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等且均不为90°，那么这两条直线不垂直，故①错误；②两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故②正确；③在同一平面内，过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直．故③错误；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故④错误；综上所述，正确的说法是1个．故选B．5．B分析：根据垂线段的定义判断即可.详解：解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,选:B.点睛：直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．6．C分析：根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．详解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；故选C．点睛：本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．7．C解析：根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．详解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d.故选C.点睛：此题考查垂线，难度不大8．B解析：先根据垂直的定义得出∠BOG=90°，那么∠BOF=61°，由对顶角相等求出∠AOE=∠BOF=61°，进而求出∠AOC=61°-32°=29°．详解：解：∵OG⊥AB，∴∠BOG=90°，∵∠FOG=29°，∴∠BOF=∠BOG-∠FOG=90°-29°=61°，∴∠AOE=∠BOF=61°，∵∠COE=32°，∴∠AOC=∠AOE-∠COE=61°-32°=29°．故选B．点睛：本题考查垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解题关键．9．A分析：由CO⊥AD于点 O，得∠AOC=90︒，由已知∠AOB=32︒可求出∠BOC的度数，利用OF 平分∠BOC可得∠BOF=1BOC2∠，即可得∠AOF 的度数.详解：∵CO⊥AD 于点 O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.点睛：本题考查垂线，角平分线的定义.二、填空题1．3, CD, AC解析：分析：运用垂直的定义和点到直线的距离，结合图形作答．详解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，即图中共有3个直角．图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段AC的长表示点A到BC的距离．故空中应填：3，CD，AC．点睛：点到直线的距离是过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长度．2．o详解：解：∵OE丄AB于O，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE=90°又∵∠DOE=35°，∴∠BOD=90°-35°=55°，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC=55°故答案为：55°．3．153° 54°分析：由垂线的定义和角平分线的定义即可得出结果．详解：∵OF⊥OC，∴∠DOF=∠COF=90°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1．∵∠1与∠3的度数之比为3：4，∴∠AOD：∠3=3：2．∵∠3+∠AOD=90°，∴∠3=36°，∠AOD=54°，∴∠2=∠AOD=54°，∠112=∠AOD=27°，∴∠EOC=180°－∠1=180°－27°=153°．故答案为153°，54°．点睛：本题考查了垂线，角平分线定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．4．42°分析：根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．详解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°－90°＝42°，故答案为42°.点睛：本题考查了垂线, 对顶角、邻补角的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.5．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．解析：根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．详解：解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，∴OA与OB重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）．故答案为同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．点睛：本题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．三、解答题1．如图所示见解析.解析：先画直线AB和点P，过P作AB的平行线CD，过P作直线EF⊥AB，即可得出答案．详解：解：如图所示：．点睛：本题考查了画垂线，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，用了数形结合思想．2．(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”分析：前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.详解：（1）（2）如图所示．（3）在直角△FPO中,PO＜FO,在直角△PEO中,PE＜PO,∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．点睛：本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.3．见解析解析：试题分析：从落地点作沙坑一边的垂线，测量落地点与踏跳板间的距离即为跳远成绩．试题如图所示，红线的长度即为该同学的跳远成绩.点睛：本题考查了垂线的应用，根据体育常识，跳远时只要不越过踏跳板起跳，测量成绩时从踏跳板开始测量，越过踏跳板则成绩视为无效．4．(1)∠BOD，∠DOE；(2)∠AOE＝120°．解析：（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠AOC，从而最后得解；（2）根据垂直的定义得到∠DOF，根据角平分线的定义求出即可得到结论．详解：解：(1)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF，∵OF⊥CD，∴∠COF＝∠DOF＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴与∠AOD相等的角有∠BOD，∠DOE，故答案为：∠BOD，∠DOE.(2)∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∵∠AOD＝150°，∴∠AOF＝60°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠AOF＝120°．点睛：本题考查了垂线，余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义．5．（1）①∠BOF= 30°，∠POE=30°，②∠POE＝∠BOP（2）①∠POE＝∠BOP②∠POE+∠DOP ＝270°解析：（1）①根据余角的性质得到∠BOF＝∠COE＝30°，求得∠COF＝90°+30°＝120°，根据角平分线的定义即可得到结论；②根据垂线的性质和角平分线的定义即可得到结论；（2）①根据角平分线的定义得到∠COP＝∠POF，求得∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，于是得到∠POE＝∠BOP；②根据周角的定义即可得到结论．详解：（1）①∵CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE＝30°，∴∠COF＝90°+30°＝120°，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝12∠COF＝60°，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；②CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，∴∠POE＝∠BOP；（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∵PO平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，∴∠POE＝∠BOP；②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，∴∠POE+∠DOP＝270°．点睛：本题考查了垂线，角平分线定义，角的和差，正确的识别图形是解题的关键．。
【暑假分层作业】第01练 相交线-2022年七年级数学(含答案及解析)
第01练相交线知识点1 直线交点个数1、两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．2、n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=()12n n-个交点，最少有1个交点．知识点2 邻补角与对顶角邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.知识点3 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.知识点4 同位角、内错角、同旁内角三线八角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.1．如图，直线a，b被c所截，则1∠与2∠是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角【答案】A【解析】【分析】 两条直线a 、b 被第三条直线c 所截，在截线c 的同旁，被截两直线a 、b 的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据同位角的特点选择即可．【详解】解：∵1∠和2∠ 两个角都在两被截直线b 和a 的同侧，并且在第三条直线c 的的同旁， ∴1∠和2∠是直线a ，b 被c 所截而成的同位角．故选A ．【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角的判别，熟练掌握每种角的特征是解题的关键．2．如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则下列结论中：①AOE EOC ∠=∠；②EOC COB ∠=∠；③AOD AOE ∠=∠；④2DOB AOD ∠=∠，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线的定义和对顶角的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵OE 是AOC ∠的平分线，∴AOE EOC ∠=∠，故①正确；∵OC 恰好平分EOB ∠，∴EOC COB ∠=∠，故②正确；∴AOE COB ∠=∠，∵COB AOD ∠=∠，∴AOD AOE ∠=∠，故③正确；∵2AOC AOE ∠=∠，∴2AOC AOD ∠=∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴2DOB AOD ∠=∠，故④正确；∴正确的有4个．故选：D【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和对顶角的性质，熟练掌握一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；对顶角相等是解题的关键．3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥于点O ，140∠=︒，则AOC ∠的度数（ ）A ．50°B ．120°C ．130°D ．140°【答案】C【解析】【分析】 根据垂直定义得出∠EOD =90°，得出130BOD ∠=︒，根据对顶角相等，得出∠AOC 的度数即可．【详解】解：OE CD ⊥，∴∠EOD =90°，∵∠1=40°，∴4090130BOD BOE DOD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴∠AOC =∠BOD =130°，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂直的定义，对顶角性质，求出∠BOD 的度数是解题的关键．4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO CD ⊥．若2AOE AOC ∠=∠，则∠BOD 的度数为（ ）A ．25︒B ．30C ．45︒D ．60︒ 【答案】B【解析】【分析】先求解90,COE AOC AOE 结合2AOE AOC ∠=∠，求解AOC ∠，再利用对顶角的性质可得答案．【详解】 解： EO CD ⊥， 90,COE AOC AOE2AOE AOC ∠=∠，30,AOC30.BOD AOC故选B【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的运用几何图形中角的和差关系是解本题的关键．5．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ⊥于点O ，若240∠=︒，则13∠-∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°【答案】D【解析】【分析】 先根据对顶角相等得出3240∠=∠=︒，再由垂直的定义得出90AOE ∠=︒，进一步求出1∠，即可得到答案．【详解】解：∵240∠=︒，∴3240∠=∠=︒，∵EO AB ⊥，∴90AOE ∠=︒，∴1902904050∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴13504010∠-∠=︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义和对顶角的性质．6．李庄附近有一条河，为了方便出行，村民想在河两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是______，理由是______．【答案】 AC##CA 垂线段最短【解析】【分析】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知搭建方式最短的是AC ，理由是垂线段最短．【详解】解：因为AC ⊥BE ，垂足为C ，则AC 为垂线段，可知最短的是AC ，理由是垂线段最短． 故答案为：AC ，垂线段最短．【点睛】本题考查了垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 7．点O 在直线AB 上，过点O 作射线OC 、OD ，使得OC ⊥OD ，若∠AOC ＝20°，则∠BOD 的度数是______．【答案】70︒或110︒【解析】【分析】根据题意可知，射线OC 、OD 可能在直线AB 的同侧，也可能在直线AB 的异侧，分两种情况进行讨论即可．【详解】如图，当OC ，OD 在直线AB 同侧时，∵OC ⊥OD ，∠AOC ＝20°，∴180180209070BOD AOC COD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；如图，当OC ，OD 在直线AB 异侧时，∴180180()180(9020)110BOD AOD COD AOC ∠=︒-∠=︒-∠-=︒-︒-︒=︒．综上可知，∠BOD 的度数是70︒或110︒．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．8．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，若∠DOM ＝55°，则∠AOC ＝______°．【答案】35【解析】【分析】根据垂线的定义，求一个角的余角即可求解．【详解】解：∵OM ⊥AB ，∴∠BOM ＝90°，∵∠DOM ＝55°，∴∠BOD ＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握垂线的定义是解题的关键．9．如图，直线AB ，CD 交于点O ，OC 平分∠BOE ，OE ⊥OF ，若∠DOF ＝15°，则∠EOA ＝_________．【答案】30°##30度 【解析】【分析】根据垂直定义可得∠EOF ＝90°，从而利用平角定义求出∠COE ＝75°，然后利用角平分线的定义求出∠BOE ＝2∠COE ＝150°，最后利用平角定义求出∠EOA ，即可解答．【详解】解：∵OE ⊥OF ，∴∠EOF ＝90°，∵∠DOF ＝15°，∴∠COE ＝180°﹣∠EOF ﹣∠DOF ＝75°，∵OC 平分∠BOE ，∴∠BOE ＝2∠COE ＝150°，∴∠AOE ＝180°﹣∠∠BOE ＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 10．已知点O 是直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90BOE ∠=︒，请写出下列正确结论的序号_____________①130BOC ∠=︒②25AOD ∠=︒③155BOD ∠=︒④45COE ∠=︒【答案】①②③【解析】【分析】根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答．【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴∠BOC =180°-AOC ∠=130°，则①正确∵OD 平分AOC ∠，∴∠AOD =1252AOC ∠=︒，则②正确 ∴∠BOD =180°-∠AOD =155°，则③正确∵90BOE ∠=︒∴∠COE =90︒-AOC ∠=40°，则④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点，熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键．11．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ⊥，且40COE ∠=︒，求BOD ∠的度数．【答案】50︒【解析】【分析】结合图形，根据对顶角、垂直关系、互余等找到各个角之间的关系求解即可．【详解】 解：直线AB 、CD 相交于点O ，AOC BOD ∴∠=∠，OE AB ⊥，90AOE ∴∠=︒，40COE ∠=︒，904050BOD AOC AOE COE ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，故BOD ∠的度数是50︒．【点睛】本题考查求角度问题，涉及到对顶角相等、垂直定义和互余求角度，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，.50FO CD AOF ⊥∠=︒，求BOE ∠的度数．【答案】70︒【解析】【分析】利用余角、邻补角和垂线的定义来求解即可．【详解】解：FO CD ⊥，50AOF ∠=︒，9040AOC AOF ∴∠=︒-∠=︒，180AOC BOC ∠+∠=︒，18040140BOC ∴∠=︒-︒=︒， OE 平分BOC ∠，1702BOE BOC ∴∠=∠=︒． 【点睛】本题考查的是余角、邻补角和垂线的定义，解题的关键是掌握互余两角的和为90°，互补两角的和为180°．13．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，:2:3AOE EOC ∠∠=，OF 平分∠BOE ．(1)若60BOD ∠=︒，求∠BOE 的度数；(2)若1102AOE BOF ∠=∠-︒，求COE ∠的度数． 【答案】(1)156BOE ∠=︒(2)42COE ∠=︒【解析】【分析】（1）由对顶角相等求出AOC ∠，从而可得AOE ∠的度数，再由平角的定义求∠BOE ； （2）设2AOE x ∠=，3EOC x ∠=，利用角平分线的性质表示出BOF ∠，再由1102AOE BOF ∠=∠-︒解方程即可求出x 的值，从而计算COE ∠的度数． (1)解：60AOC BOD ∠=∠=︒，:2:3AOE EOC ∠∠=，∴22602455AOE AOC ∠=∠=⨯︒=︒， ∴180********BOE AOE ∠=︒-∠=︒-︒=︒．(2)解：设2AOE x ∠=，3EOC x ∠=，则1802BOE x ∠=︒-，OF 平分∠BOE ，∴1902BOF BOE x ∠=∠=︒-， 1102AOE BOF ∠=∠-︒， ∴12(90)102x x =⨯︒--︒， 解得14x =︒，∴342COE x ∠==︒．【点睛】本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义，平角的定义，掌握角的相关性质定理是解题的关键．14．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．(1)图中的对顶角有对，它们是．(2)图中互补的角有对，它们是．(3)求∠EOD的度数．【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE 和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD(3)140°【解析】【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；（2）根据补角的定义进行判断即可；（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25 x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．(1)解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．(2)图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠COE+∠BOE=180°，∴∠EOC和∠EOB互补，∵∠COE+∠EOD=180°，∴∠AOE+∠EOD=180°，∴∠AOE和∠EOD互补．故答案为：八；∠AOC 和∠BOC ，∠AOC 和∠AOD ，∠BOD 和∠AOD ，∠BOD 和∠BOC ，∠AOE 和∠BOE ，∠EOC 和∠EOD ，∠EOC 和∠EOB ，∠AOE 和∠EOD ．(3)∵OE 平分∠AOC ，∴∠EOC ＝∠AOE ，设∠BOC ＝x ，则∠EOC ＝∠AOE ＝25x ，由平角定义得， 25x +25x +x ＝180°， 解得：x ＝100°∴∠EOC ＝∠AOE ＝12（180°﹣100°）＝40°，∴∠DOE ＝100°+40°＝140°，答：∠EOD 的度数为140°． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC 的度数，是解题的关键． 15．（1）如图1，点B 在直线AC 上，∠ABD =90°，BE 平分∠ABD ．试说明∠CBD =2∠DBE ． （2）如图2，点B 在直线AC 上，∠EBD =90°，BF 平分∠ABD ，试说明∠CBD =2∠EBF ． （3）如图3，点B 在直线AC 上，∠EBD =90°，BF 平分∠ABD ，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，写出你发现的结论，并说明理由；如果成立，也请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）分别求解90,45,CBD DBE从而可得结论； （2）先证明90,90,ABE CBD EBFDBF ,ABE EBF DBF 可得290,EBF ABE 再利用等量代换可得结论；（3）设,ABFx 求解,ABF DBF x 1802,CBD x 再求解90,EBF x 从而可得结论．【详解】解：（1） 点B 在直线AC 上，∠ABD =90°，1809090,CBDBE 平分∠ABD ，145,2DBE ABD 2.CBD DBE（2） 点B 在直线AC 上，∠EBD =90°，90,90,ABE CBD EBF DBF BF 平分∠ABD ，1,2ABFDBF ABD 即,ABE EBF DBF 290,EBF ABE 2,ABE CBD EBFABE 2.CBD EBF （3）2CBD EBF 成立，理由见解析：设,ABF x 而BF 平分∠ABD ，,ABFDBF x 1801802,CBD ABD x∠EBD =90°，9090,EBF DBF x2.CBD EBF【点睛】本题考查的是与余角和补角有关的计算，角平分线的定义，熟练的运用角的和差运算是解本题的关键．1．如图，C 是直线AB 上一点，CD ⊥AB ，EC ⊥CF ，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）A ．3，4B ．4，7C ．4，4D ．4，5【答案】B【解析】【分析】 根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．【详解】CD AB ⊥，90ACD BCD ∴∠=∠=︒，90ACE DCE ∴∠+∠=︒，90BCF DCF ∠+∠=︒，EC CF ⊥，90ECF ∴∠=︒，90DCE DCF ∴∠+∠=︒，ACE DCF ∴∠=∠，BCF DCE ∠=∠，90BCF ACE ∴∠+∠=︒，则图中互余的角的对数为4对；90ACD BCD ECF ∠=∠=∠=︒，180ACD BCD ACD ECF BCD ECF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，点C 是直线AB 上一点，180ACB ∴∠=︒，180ACE BCE ∴∠+∠=︒，180ACF BCF ∠+∠=︒，又ACE DCF ∠=∠，BCF DCE ∠=∠，180DCF BCE ∴∠+∠=︒，180ACF DCE ∠+∠=︒，则图中互补的角的对数为7对，故选：B ．【点睛】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．2．已知直线AB CD ⊥，垂足为O ，OE 在BOD ∠内部，125COE ∠=︒，OF OE ⊥于点O ，则AOF ∠的度数是______．【答案】125°或55°【解析】【分析】根据题意画出图形，分两种情况：当点F 在射线OM 上，当点F ′在射线ON 上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：如图：分两种情况：当点F 在射线OM 上，∵AB ⊥CD ，OF ⊥OE ，∴∠AOC ＝∠EOF ＝90°，∴∠AOC ＋∠COF ＝∠EOF ＋∠COF ，∴∠AOF ＝∠COE ，∵∠COE ＝125°，∴∠AOF ＝125°，当点F ′在射线ON 上，∵∠AOF ＝125°，∴∠AOF ′＝180°−∠AOF ＝55°，综上所述，∠AOF 的度数为125°或55°，故答案为：125°或55°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，垂线，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键，同时渗透了数学的分类讨论思想．3．直线AB ，CD 相交于点O ，OF CD ⊥于点O ，作射线OE ，且OC 在AOE ∠的内部．(1)当点E ，F 在直线AB 的同侧，①如图1，若15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，求EOF ∠的度数；②如图2，若OF 平分∠BOE ，请判断OC 是否平分AOE ∠，并说明理由；(2)若2AOF COE ∠=∠，请直接写出∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系．【答案】(1)①45EOF ∠=︒；②OC 平分AOE ∠，理由见解析；(2)2270AOC BOE ∠+∠=︒或32270AOC BOE ∠+∠=︒；【解析】【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出=45EOF ∠︒；②利用OF 平分∠BOE 可得1=2∠∠，利用余角的定义证明902BOD ∠=︒-∠，901COE ∠=︒-∠，即BOD COE ∠=∠，再由对顶角相等，等量代换可得AOC COE ∠=∠，所以OC 平分AOE ∠；（2）需要分类讨论，当点E ，F 在直线AB 的同侧和点E ，F 在直线AB 的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE 与AOC ∠，再消去α即可．(1)解：①∵OF CD ⊥，∴90DOF ∠=︒，∵15BOD ∠=︒，∴901575BOF ∠=︒-︒=︒，∵120BOE ∠=︒，∴1207545EOF ∠=︒-︒=︒，②OC 平分AOE ∠，如下图：∵OF 平分∠BOE ，∴1=2∠∠，∵OF CD ⊥，∴902BOD ∠=︒-∠，901COE ∠=︒-∠，∴BOD COE ∠=∠，∵BOD AOC ∠=∠，∴AOC COE ∠=∠，∴OC 平分AOE ∠．(2)解：设COE α∠=，则2AOF α∠=，当点E ，F 在直线AB 的同侧时，如图：90EOF α∠=︒-，∴290AOC AOF COF α∠=∠-∠=-︒，①()180180902703BOE COE AOC ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒-，②令①×3+②×2可得：32270AOC BOE ∠+∠=︒， 当点E ，F 在直线AB 的异侧时，如图：90EOF α∠=︒+，∴290AOC AOF COF α∠=∠-∠=-︒，①()180180180BOE AOE BOD AOC AOC αα∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠=︒-，②令①+②×2可得：2270AOC BOE ∠+∠=︒，综上所述：32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒．【点睛】本题考查对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E 点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．。
垂线(2)
5.1.2 垂线(2)
主要讲了哪些知识? 有哪些困惑?
m
在直线m上任意选取点A，B, C，D，分别与 直线m外一点P连接，所成的线段PA、PB、PC、 PD,中，哪一条线段最短？
答：线段ＰB最短．
“垂线”和“垂线段”是一回事吗？
垂线的性质（2）
连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短。 也可简单地说成：垂线段最短。
2.垂直的表示： a、b互相垂直, 垂足为O
记作a⊥b或b⊥a,垂足为O , 或a⊥b于O , 或b⊥a于O ,
b O
3.垂直的判定
∵∠AOD=90°（
已知
）
A O C
D
∴AB⊥CD（ 垂直的定义 ） ∵∠AOC=90°（
已知
)
B
∴AB⊥CD( 垂直的定义 ） ∵∠BOD=90°（ 已知 ) ∴AB⊥CD( 垂直的定义）
D
C
5. 如图所示，在△ABC中，∠ABC=90 ， AB 的长度. 点A到直线BC的距离是线段 点B到直线AC的距离是线段 BD 的长度. DE 的长度 点D到直线AB的距离是线段 线段AD的长度是点 A 到直线 BD 的距离. B
A
C
6.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 度。 162°
O 2
D
C
例2：如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D， DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB 的大小 解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
人教版数学七年级下册5.1 相交线 第1课时 相交线 同步练习
5.1 相交线第1课时相交线基础训练知识点1 邻补角1.识别邻补角应同时满足以下三条:①有公共_____________;②有一条公共边;③两角的另一边_____________. 2·1·c·n·j·y2.邻补角是指()A.和为180°的两个角B.有公共顶点且互补的两个角C.有一条公共边且相等的两个角D.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角3.下列选项中,∠1与∠2互为邻补角的是()4.如图,∠1的邻补角是()A.∠BOCB.∠BOE和∠AOFC.∠AOFD.∠BOC和∠AOF5.如图,∠α的度数等于()A.135°B.125°C.115°D.105°知识点2 对顶角及其性质6.识别对顶角应同时满足:①有公共___________;②两个角的两边___________.7.如图,小强和小丽一起玩跷跷板,横板AB绕O上下转动,当小强从A到A'的位置时,∠AOA'=45°,则∠BOB'的度数为___________,理由是___________.8.如图,直线AB,CD相交于点O,则∠1∠2,根据的是;∠2+∠3=,根据的是.9.下列选项中,∠1与∠2是对顶角的是()10.如图,直线AB,CD交于点O,下列说法中,错误的是()A.∠AOC与∠BOD是对顶角B.∠AOE与∠BOE是邻补角C.∠DOE与∠BOC是对顶角D.∠AOD与∠BOC都是∠AOC的邻补角11.如图,三条直线交于点O,则∠1+∠2+∠3等于()A.90°B.120°C.180°D.360°12.下列语句正确的是()A.顶点相对的两个角是对顶角B.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角C.两条直线相交,有公共顶点的两个角是对顶角D.两条直线相交,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角易错点邻补角与补角区别不清13.如图,点O是直线AB上的任意一点,OC,OD,OE是过点O的三条射线,若∠AOD=∠COE=90°,则下列说法:①与∠AOC互为邻补角的角只有一个;②与∠AOC互为补角的角只有一个;③与∠AOC互为邻补角的角有两个;④与∠AOC互为补角的角有两个.其中正确的是()A.②③B.①②C.③④D.①④易错点2 对对顶角的定义理解不透而产生错误14.下列说法正确的有()①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个提升训练考查角度1 利用对顶角的性质求角15.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=65°,∠DOF=50°.(1)求∠BOE的度数;(2)通过计算∠AOF的度数,你发现射线OA有什么特殊性吗?考查角度2 利用邻补角及对顶角的性质求角(方程思想)16.补全解答过程:如图,已知直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,若∠EOC∶∠EOD=2∶3,求∠BOD的度数.解:由∠EOC∶∠EOD=2∶3,设∠EOC=2x°,则∠EOD=3x°.因为∠EOC+∠____________=180°(____________),所以2x+3x=180,解得x=36.所以∠EOC=72°.因为OA平分∠EOC(已知),所以∠AOC=错误!未找到引用源。
(完整版)邻补角-对顶角-垂线练习
邻补角，对顶角,垂线习题1.若点O是直线AB上的一点，AB⊥OD,OC⊥OE，则图中互余的角有 ( ）A。
3对 B.4对 C。
5对 D.6对2.下列说法中错误的个数是（ )（1）一个角的邻补角只有一个（2）一个角的邻补角一定大于这个角(3）如果两个角互为邻补角，则两个角必定一个是锐角,一个是钝角（4）钝角的邻补角一定为锐角A.1个B.2个 C。
3个 D。
4个3.下列说法中正确的是（）A.因为对顶角相等，所以相等的角是对顶角B.互为对顶角的两个角度数之和不会超过1800C.有着公共顶点的两个角不一定是对顶角D.有一条公共边的两个角是邻补角4.画一条线段的垂线，垂足在（）A.线段上 B。
线段的端点 C.线段的延长线上 D。
以上都有可能5.点到直线的距离是指这点到这条直线的 ( ）A。
垂线段 B。
垂线的长 C。
长度 D.垂线段的长6.下列语句正确的是（ )A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离B.直线外一点与直线上的各点连接的所有线段中,垂线最短C.平分线段的直线只有一条D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线7.下列作图语句正确的是（）A.作直线MN的中垂线B.过点P作线段AB的垂直平分线C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足D.过点P作直线PQ，使它平分线段AB8。
若点A在直线l外，点B在直线l上，AB两点之间的距离记作a, 点A到直线l的距离记作b，则a和b之间大小关系是（ )A. a＜bB. a＞b C。
a≤b D。
a≥b9.若点P到直线l的距离为3，则直线l上到点P 距离为4的点的个数为（）A。
0个 B。
1个 C.2个 D.3个10。
若点A,B分别位于直线l的两侧,点A到直线l的距离为5cm，点B到直线l的距离为8cm，则AB两点间的距离（）A.等于13cmB.大于13cmC.不小于13cmD.小于13cm11。
两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是（）A。
对顶角邻补角考点训练含答案解析
5. （2013?贺州）下面各图中 7 1和7 2是对顶角的是（ )4. （2012?梧州）如图，直线 AB 和CD 相交于点 O ,若 7 AOC=125 ° 贝9 7 AOD=(A50 ° B . 55 C . 60 ° D . 65 °【考点训练】对顶角、邻补角 一1、选择题（共6小题）1.（ 2012?北京）如图，直线 AB , CD 交于点 O ,射线 OM 平分/ AOC ，若/ BOD=76 °,贝U / BOM 等于（A38 ° D . 144 °2 .如图，AB 是一条直线，OC 是/ AOD EOB=A36 ° B . 72° 108 °3. （ 2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线 L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系, 何者正确（ ）D . 7 2+ 7 3+7 5=360 （第1（第2则/ 的平分线，0E 在/ BOD 内, （第4C.6. （2012?卯州）如图，直线a与直线c相交于点O, / 1的度数是（A60 ° B . 50 C. 40 D . 30 °、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）7.（2012?泉州）如图，在厶ABC中，/ A=60。
，/ B=40。
，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则/仁___________________ &（2013?湘西州）如图，直线a和直线b相交于点O, /仁50 °,则/ 2 ______________________ .9. （2013?曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O,若/ BOD =40 ° OA平分/ COE，则/ AOE= ____________________三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）10. （2011?泉州）如图，直线a、b相交于点O,若/仁30 °则/ 2= _____________________（第10（第1111. （2012?泉州）（2）如图，点A、O、B在同一直线上，已知/ BOC=50 ° 贝U / AOC= _ _参考答案与试题解析、选择题（共6小题）1. （2012?北京）如图，直线AB, CD交于点O,射线OM平分/ AOC，若/ BOD=76 °贝U / BOM等于（占DA. 38°B. 104C. 142 D . 144考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义.专题：常规题型.分析：根据对顶角相等求出Z AOC的度数，再根据角平分线的定义求出Z AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解.解答：解：•/ Z BOD=76°,••• / AOC= / BOD=76 °•/射线OM平分/ AOC ,•/ AOM=u/ AOC」X76 °38 °I I•/ BOM=180 ° Z AOM=180 - 38 =142 :故选C.点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键.2 .如图，AB是一条直线, OC是Z AOD的平分线, OE 在Z BOD 内,Z BOD , Z COE=72 ° 贝U Z EOB=A. 36°B. 72 D . 120°考点：角平分线的定义；对顶角、邻补角.专题：计算题.分析：设/DOE=x,根据题意得到 / B0E=2x, / AOC= / COD=72°- X,再根据平角为180度，得到2X( 72°-x) +3x=180 °，解得x=36 °，即可得到/ BOE的度数.解答：解：如图，设/ DOE=x,/ DOE)/ BOD ,3••• / BOE=2x,又••• OC 是/ AOD 的平分线，/ COE=72°,•/ AOC= / COD=72 °- x;• 2 X( 72 °- x) +3x=180 °解得x=36°,•/ BOE=2x=2 X6 =72 °故选B.点评：本题考查了角的有关计算以及角平分线的性质和平角的定义，是基础知识比较简单.3. ( 2011?台湾)如图中有四条互相不平行的直线L i、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列何者正确( )C. / 1 + / 4+ / 6=180° D . / 2+ / 3+ / 5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质.分析：根据对顶角的性质得出 /仁/ AOB，再用三角形内角和定理得出/ AOB+ / 4+ / 6=180°,即可得出答案.解：•••四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，解答：•/ / 1 = / AOB,•/ / AOB+ / 4+ / 6=180 ,°• / 1 + / 4+Z 6=180 °故选C.点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理, 正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键.4. （2012?梧州）如图，直线贝U / AOD=(A. 50° D . 65考点：对顶角、邻补角.分析：根据邻补角的和等于180°列式进行计算即可得解.解答：解：•/ Z AOC=125°,••• Z AOD=180 ° 125 =55 °故选B.点评：本题考查了邻补角的两个角的和等于180°的性质，是基础题5. （2013?贺州）下面各图中/1和/2是对顶角的是（考点：对顶角、邻补角.分析：根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.解答：解：A、/ 1和/ 2不是对顶角，故本选项错误；B、 /1和/2是对顶角，故本选项正确；C、 /1和/2不是对顶角，故本选项错误；D、 / 1和/2不是对顶角，是邻补角，故本选项错误.故选B.点评：本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并准确识图是解题的关键.6. （2012?卯州）如图，直线 a 与直线c 相交于点O ,/ 1的度数是（考点：对顶角、邻补角.分析：根据邻补角的和等于 180。
知识点246 对顶角、邻补角(填空题)
246 对顶角、邻补角（填空题）1、（2011•）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2= _________ 度．2、（2011•广西）如图，O是直线AB上一点，∠COB=30°，则∠1= _________ °．3、（2010•湘西州）如图，两条直线a、b相交于点O，若∠1=70°，则∠2= _________ ．4、（2010•）如图，直线AB、CD相交于点O．OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE= _________ 度．5、（2006•）用剪刀剪东西时，剪刀开的角度如图所示，若∠1=25°，则∠2= _________ 度．6、（2002•）如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°，则∠EOF= _________ 度．7、（2002•）如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于_________ 度．8、（2002•）如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOC的度数是_________ 度．9、（1998•）如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠AOD=120°，则∠COB的补角是_________ 度．10、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于_________ 度．11、如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大_________ 度．12、如图，已知AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠AOE=30°，则∠BOD= _________ 度．13、如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE= _________ 度．14、若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互补，又知∠3=60°，则∠1= _________ ．15、如图，已知直线a、b、c相交于点O，∠1=30°，∠2=70°，则∠3= _________ ．16、如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=54°，∠1比∠2大10°，则∠1= _________ 度；∠2= _________ 度．17、如图，a、b直线相交，∠1=36°，则∠3= _________ 度，∠2= _________ 度．18、如图，三条直线相交于一点，则∠1+∠2+∠3= _________ 度．19、若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3=45°，则∠1的度数为_________ ．20、如图，直线a，b，c两两相交，∠1=80°，∠2=2∠3，则∠4= _________ 度．21、如图，直线a与直线b相交于点O，∠1=30°，∠2= _________ ．22、如图直线AB，CD，EF相交于点O，图中∠AOE的对顶角是_________ ，∠COF的邻补角是_________ ．23、如图，三条直线相交于O点，则图中相等的角（平角除外）有_________ 对．24、下列说法：①射线OA和射线AO是同一条射线；②两直线相交，只有一个交点；③相等的两个角的余角相等；④相等的两个角是对顶角．其中错误的是_________ ．25、图中有_________ 对对顶角．26、如图所示，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB且∠DOE=40°，则∠COE= _________ 度．26、如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OD，且∠AOC=40°，则∠BOD=_________，∠AOD=_________ ．28、如图直线AB、CD、EF相交于同一点O，而且∠BOC=∠AOC，∠DOF=∠AOD，那么∠FOC= _________ 度．29、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，则∠AOD的对顶角是_________ ，∠AOC的邻补角是_________ ；若∠AOC=50°，则∠BOD= _________ ，∠COB= _________ ．30、如图，若∠3+∠6=190°，则∠1+∠5= _________ ；若∠3+∠4=130°，则∠2+∠5= _________ ．31、如图，直线AB，CD，EF相交于点O，若∠DOF=30°，∠AOE=20°，则∠BOC= _________ ．32、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD=140°，∠DOE=70°，则∠AOF=_________ °．33、如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播向改变了_________ 度．34、如图，两条直线MN、PQ相交于点O，OG平分∠NOQ，∠1：∠2=2：5，则∠1= _________ 度，∠2= _________ 度．34、如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=60°，∠2=∠4，则∠3= _________ 度，∠5= _________ 度．36、三条直线两两相交于3个交点，共有_________ 对对顶角，_________ 对邻补角．37、如图，直线AB与直线CD相交于点0，E是∠AOD一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数为_________ 度．38、已知直线AB和CD相交于点O，OE平分∠BOC，已知∠BOE=65°，则∠AOC= _________ ．39、如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=50°，则∠2= _________ 度．40、如图，AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=80°，则∠BOE= _________ °．41、如图，直线AB、CD相交于O，∠1=30°，∠2=75°，则∠EOB= _________ ．42、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是_________ ．43、如图对顶角有_________ 对．44、如图，AB、CD相交于点O，∠AOD+∠COB=278°，则∠AOD= _________ °，∠DOB= _________ °，若OE 平分∠AOC，则∠AOE= _________ °．45、已知直线AB和CD相交于O点，OE⊥AB，∠1=55°，则∠BOD= _________ 度；若OF平分∠DOB，则∠EOF 的度数是_________ 度．46、如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为_________ ．47、已知直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD=150°，那么直线AB与直线CD的夹角为_________ 度．48、如图，三条直线交于同一点，∠1：∠2：∠3=2：3：1，则∠4= _________ ．49、如图所示，直线AB、CD相交于点O，OP是∠BOD的平分线，已知∠AOC=100°，那么∠BOP= _________ ．答案与评分标准1、（2011•）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2= 90 度．考点：对顶角、邻补角；余角和补角。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第5讲 邻补角、对顶角及垂直(讲义)解析版
第5讲邻补角、对顶角及垂直模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．例题解析例1．（2018·上海七年级零模）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．【答案】60【分析】设A x ∠=，则2B x ∠=，然后根据领补角的定义进行求解即可．【详解】解：设A x ∠=，则2B x ∠=根据题意得，2180x x +=︒，解得：60x =︒，∴60A ∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键．例2．（2019·上海浦东新区·七年级期末）互为邻补角的两个角的大小相差60︒，这两个角的大小分别为_____________【答案】60,120︒︒【分析】设其中一个角为x ，则根据邻补角的定义得另一个角为180x ︒-，再根据两个角的大小相差60︒，列出方程，解方程即可【详解】解：设其中一个角为x ，则另一个角为180x ︒-，∵两个角的大小相差60︒，∴()18060x x ︒︒--=或()18060x x ︒︒--= ∴120x ︒=或60x ︒=，∴18060x ︒︒-=或120︒，故答案为：60,120︒︒【点睛】本题考查了邻补角的定义和解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键 例3．（2018·上海七年级期中）如果两个角互为邻补角，其中一个角为65°，那么另一个角为______度．【答案】115【分析】根据邻补角互补即可得到结论．【详解】解：由题意得，180°-65°=115°， 答：另一个角为115°， 故答案为115．【点睛】本题考查了邻补角，熟记邻补角互补是解题的关键．例4.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD =35°，则∠AOC =___________；∠BOD=_________；∠BOC=______________．【难度】★【答案】145︒，145︒，35︒．【解析】AOD∠和AOC∠互为邻补角，∠，BOC∠互为邻补角．∠和BODBOD∠和AOD【总结】考察邻补角的定义．例5.经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点．【难度】★【答案】1，1．【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义．例6.如图，∠BOF的邻补角是（）．A．∠AOE B．∠AOF和∠BOE C．∠AOB D．∠BOE和∠DOF【难度】★【答案】B【解析】考察邻补角的意义．例7.把下图中邻补角分别写出来．【难度】★【答案】AFE ∠和BFE ∠，BOD ∠和AOD ∠，BOD ∠和BOC ∠，AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和BOC ∠．【解析】考察邻补角的意义例8.已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4．【难度】★【答案】<．【解析】1+3=90∠∠︒（互余的意义），2+4=180∠∠︒（互补的意义），又1=2∠∠（已知）， 9031804∴︒-∠=︒-∠（等式性质）． 4390∴∠-∠=︒（等式性质）， 34∴∠<∠．【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小．例9.已知，AB 与CD 相交于O 点，若∠AOD 比∠AOC 大40°，则∠BOD =________，若∠AOD =2∠AOC ，则∠BOD =________，若∠AOD =∠AOC ，则∠BOD =________．【难度】★【答案】706090︒︒︒，，．【解析】设AOC x ∠=，则40AOD x ∠=+︒，40x x ++180=︒（邻补角的意义）， 解得：70x =︒，所以40110x +︒=︒， 所以70BOD ∠=︒（邻补角的意义）； 设AOC x ∠=，则2180x x +=︒解得：60x =︒，所以2120x=︒，所以60BOD∠=︒（邻补角的意义）；设AOC x∠=，则2180x=︒，解得：90x=︒，所以90BOD∠=︒．【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义．例10.如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．【难度】★★【答案】90︒．【解析】因为OD平分BOC∠，OE平分AOC∠（已知）所以BOD COD∠=∠，COE AOE∠=∠（角平分线的意义）因为180BOD COD EOC AOE∠+∠+∠+∠=︒（平角的意义）所以22180EOC COD∠+∠=︒（等量代换）所以90EOC COD∠+∠=︒（等式性质）即90DOE∠=︒【总结】主要考察平角的意义，角平分线的意义的综合运用．例11.如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=5 4∠BOC，求∠BOC的度数．【难度】★★【答案】80︒．【解析】因为∠AOD=54∠BOC，所以设BOC x∠=，则54AOD x∠=．因为360AOB AOD COD BOC∠+∠+∠+∠=（周角的意义）又∠AOB=90°，∠COD=90°（已知）所以51804x x+=︒（等式性质）解得：80x=︒，即80BOC∠=．【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数．例12.（1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度数；（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数．【难度】★★【答案】（1）1140∠=︒，240∠=︒；（2）15︒．【解析】（1）因为∠1和∠2互为邻补角，所以12180∠+∠=︒（邻补角的意义）．因为13220∠=∠+︒（已知），所以4220180∠+︒=︒（等量代换），所以240∠=︒，1140∠=︒（等式性质）；（2）设这个角为x，则根据题意可得：180(90)215x x-=-⨯+︒，解得：15x=︒，即这个角的度数为15︒．【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用．例13.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC =54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数．【难度】★★【答案】22︒，32︒．【解析】因为直线AB 、CD 相交于点O （已知），所以AOC BOD ∠=∠54=︒（对顶角相等）．设1x ∠=，则210x ∠=+， 故1054x x ++=︒， 解得：22x =︒，所以1032x +=︒， 即122∠=，232∠=．【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用．例14.如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠AOF =3∠BOF ，∠AOC =90°，（1） 求∠COE 的度数；（2） 说明OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线的理由．【难度】★★【答案】（1）45︒；（2）略．【解析】（1）因为180AOF BOF ∠+∠=︒（邻补角的意义）又3AOF BOF ∠=∠（已知）所以4180BOF ∠=︒（等量代换）所以45∠=︒（等式性质）BOF因为直线AB、EF相交于点O（已知）所以BOF AOE∠=∠（对顶角相等）因为90∠=︒（已知）AOC所以9045∠=︒-∠=︒（等式性质）COE BOF（2）因为90COE∠=︒（已知）AOC∠=︒，45所以45AOE∠=︒（等式性质）所以AOE COE∠=∠（等量代换）因为BOF AOE∠=∠（对顶角相等）所以45∠=∠=︒（等量代换）AOE BOF同理45∠=︒DOF所以OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线（角平分线的意义）【总结】考察邻补角的意义，角平分线的意义以及相应的计算，综合性较强，注意认真分析题目中的条件．模块二：对顶角的意义和性质知识精讲1、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．2、对顶角的性质对顶角相等．例题解析例1．（2019·上海浦东新区·七年级期中）下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；其中正确的说法有( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据对顶角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①对顶角相等，正确；②相等的两个角是一定对顶角，错误；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；错误；故选：B．【点睛】本题考查了对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，掌握概念与性质是解题的关键．例2．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）在下列四个选项中的图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( ).A．B．C．D．【答案】C【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．【详解】解：根据对顶角的定义可得，四个图形中C中∠1与∠2为对顶角．故答案为：C．【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解定义是解题的关键.例3.下列说法中，正确的是( )A．有公共顶点的两个角是对顶角B．对顶角一定相等C．有一条公共边的两个角是邻补角D．互补的两个角一定是邻补角【难度】★【答案】B【解析】A错误，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角才叫做互为对顶角；B正确；C错误，有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线；D错误，互补的两个角不一定是邻补角．【总结】考察邻补角和对顶角的概念．例4.把下图中对顶角分别写出来．【难度】★【答案】AOB∠和AOD∠．∠，BOC∠和COD【解析】考察对顶角的定义．例5.（1）如果以点O为端点画四条射线OA、OB、OC、OD，且OA、OC， OB、OD互为反向延长线，那么∠AOB和∠COD互为_________；（2）如果以点O为端点画三条射线OA、OB、OC，且射线OA、OC互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COB 互为_________．【难度】★【答案】对顶角，邻补角．【解析】考察对顶角和邻补角的定义．例6.如图，共有对顶角（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．8对【难度】★【答案】D【解析】CJA ∠和KJG ∠，CJK ∠和AJG ∠，BIJ ∠和EIF ∠，BIE ∠和JIG ∠，CGB ∠和FGD ∠， CGF ∠和BGD ∠，CHF ∠和EHD ∠，CHE ∠和FHD ∠均互为对顶角．【总结】本题主要考察对顶角的概念．例7.下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 【难度】★★【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，相等的角不一定是对顶角；（3）正确，对顶角一定是相等的，（4）错误，不是对顶角也可以相等．【总结】主要考察学生对对顶角的理解，相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，不是对顶角的两个角也可以相等．例8.a、b、c两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数．【难度】★★【答案】40︒，120︒．【解析】因为12∠=︒（已知）∠=∠（对顶角相等），160所以260∠=︒（等量代换）因为2:43:2∠=︒（等式性质）∠∠=（已知），所以440因为34∠=︒（等量代换）∠=∠（对顶角相等），所以340因为25180∠=︒（等式性质）∠+∠=︒（邻补角的意义），所以5120【总结】考察邻补角和对顶角的意义及综合运用．例9.如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________；（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________；（3）若∠2-∠1=100°，则∠3=__________．【难度】★★【答案】45︒，144︒，40︒．【解析】（1）因为12180∠+∠=︒（邻补角的意义）， 又231∠=∠（已知）所以41180∠=︒（等量代换）， 所以145∠=︒（等式性质）；（2）因为23180∠+∠=︒（邻补角的意义），∠2：∠3=4：1（已知）所以设24x ∠=，3x ∠=， 则4180x x +=︒（等量代换），解得：36x =︒，4144x =︒（等式性质）， 即2144∠=；（3） 因为12180∠+∠=︒（邻补角的意义），∠2-∠1=100°（已知）所以2140∠=︒，140∠=︒（等式性质）， 所以340∠=︒（对顶角相等）【总结】考察学生对于邻补角知识点的掌握，同时还考察学生对于二元一次方程组的计算，设未知数列式计算等．例10.a 、b 、c 交于点O ，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数【难度】★★【答案】36︒．【解析】设12x ∠=∠=，则38x ∠=， 故8180x x x ++=︒，解得：18x =︒（等式性质）， 所以1218∠=∠=．所以436∠=︒（对顶角相等）【总结】考察学生对邻补角和对顶角的意义及综合运用．例11.已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2：∠1=4:1，求∠AOF 的度数．【难度】★★★【答案】135︒．【解析】因为OE平分∠BOD（已知）所以1DOE∠=∠（角平分线的意义）设1x∠=，则DOE x∠=，24x∠=，因为4180x x x++=︒（平角的意义），所以30x=︒（等式性质）即30DOE∠=，所以150COE∠=︒（邻补角的意义）．因为OF平分∠COE（已知），所以COF EOF∠=∠（角平分线的意义）所以COF EOF ∠=∠12COE=∠75=︒（等式性质）因为1EOF BOF∠=∠+∠（角的和差）所以45BOF∠=︒（等式性质）因为180AOF BOF∠+∠=（邻补角的意义）所以135AOF∠=︒（等式性质）【总结】考察学生对邻补角，角平分线的意义的概念的理解以及简单的运算，综合性较强，注意认真分析条件．例12．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）观察图形，回答下列各题：（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1) (n≥2).试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n ≥2）.试题解析：（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对；3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对；4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对；…n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对.点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式.模块三：垂线(段)的意义和性质知识精讲1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．例题解析例1.“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置【难度】★【答案】D【解析】考察对垂直公理的理解及运用．例2.如图，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=_______．【难度】★【答案】125︒．【解析】OA OB⊥（已知）AOB∴∠=︒（垂线的意义）90AOD∠=︒（已知）35∴∠=︒（互余）BOD55∴∠=︒（邻补角的意义）125BOC【总结】考察垂线的意义以及互余的意义及综合运用．例3.下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离C．互相垂直的两条线段一定相交D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A 到直线c的距离是3cm【难度】★★【答案】D【解析】A错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B错误，垂线段的长度；C错误，互相垂直的两条直线一定相交； D正确．【总结】考察垂直公理，点到直线的距离以及垂线段的性质等内容．例4.列说法正确的个数是（）①直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线l上一点A和直线l外一点B的直线，使它与直线l垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离.A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】C【解析】（1）错误，在同一平面内；（2）错误；（3）错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，故选C．【总结】考察学生对基本概念的理解．∆，根据下列语句画图．例5．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知ABC⊥，垂足为D；（1）过点A作AD BC（2）过点D作DE AB∥，交AC于点E；（3）点C到直线AD的距离是线段_______的长度．【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）CD．【分析】（1）根据垂线的定义画出直线AD即可；（2）根据平行线的定义画出直线DE即可；（3）根据点到直线的距离判断即可．【详解】（1）如图，直线AD 即为所求（2）如图，直线DE 即为所求（3）点C 到直线AD 的距离是线段CD 的长度．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定及性质、点到直线的距离，熟练掌握垂线、平行线、点到直线的距离的定义是解题的关键．例6．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）按下列要求画图并填空：如图，（1）过点A 画直线BC 的平行线AD ；（2）过点B 画直线AD 的垂线段，垂足为点E ；（3）若点B 到直线AD 的距离为4cm ，BC=2cm ，则ABC S =________2cm ．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4【分析】（1）根据平行线的画法画出即可；（2）根据垂线的画法画出即可；（3）根据平行线间的距离处处相等得出三角形ABC的高为4cm，再根据三角形的面积公式即可求出．【详解】解：（1）如图:AD即为所求（2）如图: BE即为所求（3）因为BC//AD,所以三角形ABC的高为4cm；所以12442ABCS=⨯⨯=；故答案为：4【点睛】本题考查了基本作图的知识以及三角形的面积公式，正确的作出图形是解答第（3）题的关键，难度不大．例7.（2019·上海七年级单元测试）如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P 画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?【答案】（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F；（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP然后利用等量代换得到结论即可．解:如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.例8.如图，点A到直线BC的距离是线段_______的长；线段CH的长表示点C到直线________的距离；点A到点C的距离是线段_________长．【难度】★★【答案】AE，AD，AC．【解析】考察点到直线的距离的概念的理解及运用．例9.如图,AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6，那么点C到AB的距离是_______，点A到BC的距离是________，点B到CD的距离是_____，A、B两点的距离是_________．【难度】★★【答案】4.8，6，6.4，10．【解析】点C到AB的距离是线段CD的长，即4.8；点A到BC的距离是线段AC的长，即6；点B到CD的距离是线段BD的长，即6.4；A、B两点的距离是线段AB的长，即10．【总结】考察点到直线的距离的内容．例10.作图题：过点P分别画直线a、b的垂线，垂足分别为M、N．【难度】★★【答案】【解析】考察垂线的画法例11.按下列要求画图并填空：（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段_________的长．（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM．那么线段CM是△ABC的___________．（保留作图痕迹）【难度】★★【答案】（1）BD；（2）AB边上的中线【解析】考察垂线的画法．例12.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校；（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．（2）当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?【难度】★★★【解析】（1）如下图所示，到C 点时对M 影响最大，到D 点时对N 影响最大；（2）由A 向C 时，对两学校影响逐渐增大；由D 向B 时，对两学校影响逐渐减小；由C 向D 时，对M 影响减小，对N 影响增大．【总结】本题主要考察对点到直线的距离的概念的理解及在实际问题中的运用．随堂检测1.到一条直线的距离等于2的点有（） A ．1个B ．0个C ．无数个D ．无法确定 【难度】★【答案】C【解析】到直线的距离等于2的点有无数个，这些点组成两条直线．【总结】考察点到直线的距离．2.下列说法错误的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．和已知直线垂直的直线有且只有一条C ．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线D ．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线DC N MBA【难度】★【答案】B【解析】B错误，有无数条．【总结】考察学生对垂线的意义和性质的理解．3.如图，过△ABC三个顶点A、B、C，分别作BC、AC、AB的垂线，并用“⊥”符号表示出来．【难度】★【答案】【解析】考察垂线段的作法．4.下列说法正确的个数有（）（1）直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短；（2）画一条直线的垂线可以画无数条；（3）在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离A．1个B． 2个C． 3个D．4个【难度】★★【答案】C【解析】（4）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选C．【总结】本题主要考查点到直线的距离及垂线的相关概念等．5.若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________．【难度】★★【答案】54︒或126︒．【解析】∠α和∠β是相等或者互补的关系．【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．6.平面上三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m n+=____________．【难度】★★【答案】4．【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．3+=．m nn=，4m=，1【总结】考察学生的作图分析能力．7.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OA平分∠COE，当∠COE=70°，求∠BOD的度数，当∠DOE=110°时，求∠BOD的度数．【难度】★★【答案】35︒，35︒．【解析】因为OA平分COE∠，∠COE=70°（已知）所以1352AOC AOE COE∠=∠=∠=︒（角平分线的意义）所以35BOD AOC∠=∠=︒（对顶角相等）同理，35BOD∠=︒【总结】考察学生对邻补角和对顶角知识点的掌握和简单应用．8.已知AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，问：A、B、C三点共线吗?为什么? 【难度】★★【答案】共线．【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【总结】考察垂线段意义和性质，注意对三点共线的理解．9.如图已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=1 2∠EOC，∠DOE=70°，求∠EOC的度数．【难度】★★★【答案】80︒．【解析】因为OD平分∠AOB（已知）所以AOD BOD∠=∠（角平分线的意义）设BOE x∠=，BOD y∠=，则7023180x yy x+=︒⎧⎨+=︒⎩，解得：4030xy=︒⎧⎨=︒⎩，所以∠EOC =280x=︒．【总结】这一题考察学生对角平分线的内容理解，对补角的知识点的掌握以及二元一次方程组的列式和计算等．10.如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD与∠AOB的数量关系，并说明理由．【难度】★★★【答案】相等或互补【解析】如图．【总结】主要考察多解问题，是对学生发散思维的要求．。
垂线 习题 (含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
7年级寒假班05-邻补角、对顶角及垂直-学生版
邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．【例2】 判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ） （2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ） （3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（） （4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）【例3】 如图，∠AOD 的邻补角是__________．【例4】 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小．【例5】 如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．例题解析Aab12 34ABC DEFOAB C D OOE DCBA 【例6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【例7】 同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点．1、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质 对顶角相等．【例8】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ． 有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ． 由两条直线相交所成的角是对顶角D ． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【例9】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并 把他们写出来．例题解析知识精讲模块二：对顶角的意义和性质ABC DEFO【例10】 判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（ ） （2）相等的两个角是对顶角．（）【例11】 若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________． 【例12】 如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________． （2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________． （3）若∠2-∠1=100度，则∠3=__________．【例13】 如图（1）所示，两条直线AB 与CD 相交成几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交呢？ （3）试猜想n 条直线相交会成多少对对顶角？1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．知识精讲模块三：垂线(段)的意义和性质321ODBCA3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例14】 判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（ ） （2）两条直线的交点叫垂足． （ ） （3）线段和射线没有垂线．（） （4）两条直线不是平行就是互相垂直．（）（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（【例15】 如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段__________的距离；线段AC 是点___________到线段__________的距离．【例16】 下列选项中，哪个是直线l 的垂线（ ）【例17】 如图，AC BC ，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______．例题解析ABCDllllABN【例18】 如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则 COE ∠=_________．【例19】 作图题：1、已知直线AB 和点C ，过点C 做AB 的垂线；2、作线段MN 的中垂线．【例20】 B 两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C ，若由B 厂独家兴建，并考虑B 厂的利益，则要求货物离B 厂最近，请在图10中作出此时货场C 的位置，并说出这样做的道理．【例21】 如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的 度数为_______．【例22】 如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?AB C DEOAB公路ABCDO【例23】 如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【例24】 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．【例25】 下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角是对顶角C ．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等例题解析模块四：综合运用A【例26】 如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【例27】 如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA =4.5米，DB =4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米．【例28】 如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______．【例29】 如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数．【例30】 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ， ∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【例31】 已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．【例32】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，A BCD EFABCDE O28 AA B CD E F12 O3F E ODCB AEOD CB求∠AOE 的度数．【习题1】 下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线 【习题2】 下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）ABCD【习题3】 如图5，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．【习题4】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______【习题5】 如图7，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠12121212随堂检测E a b1 23 4OE DCBA AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________．【习题6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC =120°，求BOD ，∠AOE 的度数．【习题7】 如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．【习题8】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ．【习题9】 如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数．【习题10】 已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠ABCD EFOb a c2314AOC 与∠BOD 是对顶角吗?为什么?【作业1】 判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（ ）（2）∠A 与∠B 互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（ ）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（ ）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（ ） （7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）【作业2】 如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD 于O ，∠EOD 与∠FOB 的大小关系是（ ） A ．∠EOD 比∠FOB 大B ．∠EOD 比∠FOB 小C ．∠EOD 与∠FOB 相等D ．∠EOD 与∠FOB 大小关系不确定【作业3】 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，C ，D 是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB 上点M 的位置时，距离加油站C 最近；行驶到点N 的位置时，距离加油站D 最近，请在图中的公路上分别画出点M ，N 的位置并说明理由．【作业4】 如图，AOB 为直线，∠AOD ：∠DOB =3：1，OD 平分∠COB ．（1）求∠AOC 的度数；（2）判断AB 与OC 的位置关系．【作业5】 若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．【作业6】 作图：已知线段AB 及线段外一点P ．课后作业（1） 过点P 作线段AB 的垂线； （2） 画线段AB 的垂直平分线．【作业7】 如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）【作业8】 如图所示，直线、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数．【作业9】 如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______．【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．a bc1 2 34 5 ACD O123 ABP起跳线。
《§5.1.2垂线》作业-有答案
《§5.1.2垂线》作业1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A 处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．3．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．4．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115 C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．5．下列说法中不正确的是A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．6．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
邻补角、对顶角练习题
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246 对顶角、邻补角（解答题）1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°,求∠2和∠3的度数．2、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°,∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？3、如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．4、如图,AB，CD交于O点．（1）如果∠AOD=3∠BOD,那么∠BOD=_________度，∠COB=_________度;（2)如果∠AOC=2x°，∠BOC=（x+90)°，∠BOD=(y+4）°，求x，y的值．5、如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2:3，求∠AOE的度数．6、如图（1)两条直线相交于一点，有_________对对顶角；如图（2）三条直线相交于一点，请写出所有对顶角；如图（3）n条直线相交于一点，有_________对对顶角．7、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数．8、如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．（1）图中∠AOD的补角是_________（把符合条件的角都填出来）；(2）若∠AOD=140°，求∠AOE的度数．9、(动手操作实验题)如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定;（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°,∠ACF为多少?10、如图，直线a，b，c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°，求∠4的度数．11、如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠AOC，∠AOD比∠AOE大75°,求∠AOD的度数．12、如图,要测量两堆围墙所形成的∠AOB的度数，但人既不能进入围墙内，又不能站在围墙上,只能站在墙外，如何测量？(要求用两种方法）13、已知直线AB与直线CD相交于O点,∠1=70°，则∠2=_________度．14、如图，把∠AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得∠COD，且使射线OC平分∠AOE的邻补角，已知∠DOE=30°，问∠AOE按顺时针方向旋转了多少度．15、如图，直线a，b，c相交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1,求∠4的度数．16、如图,三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，若∠AOE=2∠AOC，∠COF=60°，求∠BOD的度数．17、如图∠AOD=90°,OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线,若∠AOB=40°，求∠COE的度数．18、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD，∠COE=28°．求∠AOC和∠DOF的度数．19、如图，直线AB，CD，EF交于点O，∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC,求:（1）∠2和∠3的度数；（2）射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．20、已知：如图,直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE=4:1．求∠AOF的度数．21、已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1:∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．22、如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．23、如图,直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=80°，求∠BOD的度数．24、如图:AB、CD、EF相交于点O，∠1=50°,∠2=50°．求∠3的度数．25、如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线．（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗?为什么？26、如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOC，∠BOE的度数．。
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邻补角，对顶角,垂线习题
1.若点O是直线AB上的一点，AB⊥OD,OC⊥OE,则图中互余的角有（）
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
2.下列说法中错误的个数是 ( )
（1）一个角的邻补角只有一个
（2）一个角的邻补角一定大于这个角
（3）如果两个角互为邻补角，则两个角必定一个是锐角，一个是钝角
（4）钝角的邻补角一定为锐角
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.下列说法中正确的是（）
A.因为对顶角相等，所以相等的角是对顶角
B.互为对顶角的两个角度数之和不会超过1800
C.有着公共顶点的两个角不一定是对顶角
D.有一条公共边的两个角是邻补角
4.画一条线段的垂线，垂足在（）
A.线段上
B.线段的端点
C.线段的延长线上
D.以上都有可能
5.点到直线的距离是指这点到这条直线的（）
A.垂线段
B.垂线的长
C.长度
D.垂线段的长
6.下列语句正确的是（）
A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
B.直线外一点与直线上的各点连接的所有线段中，垂线最短
C.平分线段的直线只有一条
D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
7.下列作图语句正确的是（）
A.作直线MN的中垂线
B.过点P作线段AB的垂直平分线
C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足
D.过点P作直线PQ,使它平分线段AB
8.若点A在直线l外，点B在直线l上，AB两点之间的距离记作a, 点A到直线l的距离记作b，则a和b之间大小关系是（）
A. a＜b
B. a＞b
C. a≤b
D. a≥b
9.若点P到直线l的距离为3，则直线l上到点P 距离为4的点的个数为（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
10.若点A,B分别位于直线l的两侧，点A到直线l的距离为5cm，点B到直线l的距离为8cm，则AB两点间的距离（）
A.等于13cm
B.大于13cm
C.不小于13cm
D.小于13cm
11.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对角相等
12.两个角的角平分线互相垂直，则（）
A.这两角互补
B.这两角互为对顶角
C.这两角都是直角
D.这两角为邻补角
13.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P 到直线m的距离为（）
A.4cm
B.2cm
C.小于2cm
D.不大于2cm
14.如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
15.两条直线相交，有对对顶角，对邻补角；三条直线相交，有对对顶角，对邻补角；四条直线相交，有对对顶角，对邻补角；由此可见，n条直线相交，有对对顶角，对邻补角.
16.如图，∠ACB=900，CD⊥AB,垂足为D,那么点A到线段BC的距离是线段的长度，线段CD的长度是点到的距离.
17.自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们的度数比是1：2，则这个钝角的度数是
18.如图，直线MN,PQ交于点O,OE⊥PQ于点O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=450，则∠NOE= , ∠NOF= , ∠PON=
【精解名题】
一、简答题：
1.如图，已知直线AB,CD,EF相交于点0，∠1=950，∠2=320，则∠BOE的度数
2.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠BOC比∠AOB少100，求∠COD的补角的度数
3.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠AOD=3∠BOC,求∠BOC的度数
4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数
5.如图所示，直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF, ∠AOE=700,求∠DOG的度数
二、作图题：
，画出BC边上的高和AB边上的中垂线
1.（1）如图，已知ABC
（2）如图，分别过点M,N画出OA,OB的垂线
2.如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M,N 分别是位于公路AB 两侧的村庄
（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 位置时，距离村
庄N 最近，请在图中的AB 上分别画出点P,Q 的位置
（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M,N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远？
三、简答计算：
1.如图所示，射线OA,OB,OC,OD 有公共端点O,且OA ⊥OB,OC ⊥OD, ∠AOD=4
5∠BOC,求∠BOC 的度数.
2.如图，已知直线AB ，CD 交于点O,OE 平分∠BOD, ∠3：∠2=8:1，求∠AOC 的度数
3.如图，直线AB,CD,EF和GH相交于点P,且∠APC=250，∠EPG=250 ，∠BPF=650 ，问哪些直线互相垂直？
4.如图，两直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,如果∠AOC: ∠AOD=7:11. (1)求∠COE (2)若OF⊥OE, ∠AOC=700，求∠COF
5.如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，则∠1和∠2的关系是什么？。