【教学课件】第二章优化的数学基础
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-第二章优化设计的数学基础newPPT课件
15
机械优化设计 上式写成矩阵形式：
f (x)
f
( x0
)
f x1
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x1x2
f x2
x0
x1 x2
2 f
x1x2
2 f
x1 x2
机械优化设计
第二章 优化设计的数学基础
一、多元函数的方向导数和梯度
二、多元函数的泰勒展开
三、无约束优化问题的极值条件
四、凸集、凸函数与凸规划 五、等式约束优化问题的极值条件
六、不等式约束优化问题的极值条件
2020/2/20
1
机械优化设计
一、多元函数的方向导数和梯度
1、方向导数
二元函数 f (x1, x2 )在 x0 x10, x20 点处的偏导数的定义是：
23
机械优化设计 定理：若二次函数 f (X ) 1 X TQX bX c 中Q正定，
2 则它的等值面是同心椭球面族，且中心为 X Q1b
证明：作变换 X Y Q1b ，代入二次函数式中：
(Y ) f (Y Q1b)
1 (Y Q1b)Q(Y Q1b) bT (Y Q1b) c 2
f x1
xn
cosn
n i 1
f xi
x0
cosi
2020/2/20
4
机械优化设计
2、二元函数的梯度
f d
x0
f x1
cos 1 +
x0
f x2
【优化方案】高考数学一轮复习 第2章第二节 函数的定义域、值域和最值课件 文 苏教
(5)令 x＝ 5sinθ(－π2≤θ≤π2)，
得 y＝ 5sinθ＋ 5－ 5sinθ2 ＝ 5sinθ＋ 5cosθ＝ 10sin(θ＋π4)． ∵－π2≤θ≤π2，∴－π4≤θ＋π4≤34π.
于是－ 22≤sin(θ＋π4)≤1， 则－ 5≤ 10sin(θ＋π4)≤ 10， 即－ 5≤y≤ 10. ∴所求值域为[－ 5， 10]．
解析：分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝32x＋12， y＝x2－4x＋3 的图象(如图)，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数 f(x)的表达式：
x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1，
f(x)＝
32x＋211＜x≤5， x2－4x＋3x＞5.
f(x)的 图 象 是
∴f(x)的值域为[－52，－2]∪[－32，32]．
【名师点评】 求某个函数的最值或值域时，首 先要仔细、认真地观察其解析式的特征，然后再 选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数的 单调性法．
互动探究4 例4条件不变，设函数g(x)＝ax－2， x∈[－2，2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存 在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a 的取值范围．
3．函数值域的主要求法 (1)利用函数的单调性 若y＝f(x)是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、 f(b)分别是f(x)在区间[a，b]上的最_小__(_大__)值， 最_大__(_小__) 值． (2)利用配方法
将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式， 用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的 值是否能使完全平方式取得__零__．__
第二节 函数的定义域、值域和最值
第
二
节
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.4点到直线的距离课件 新人教B版必修2
跟踪训练3 如图，在△ABC中，顶点 、B和内 如图， 跟踪训练 中 顶点A、 和内 的坐标分别为A(9,1)、B(3,4)、I(4,1)，求顶点 心I的坐标分别为 的坐标分别为 、 、 ， C的坐标． 的坐标． 的坐标
y－1 x－9 － － 法一： 解：法一：AB 边所在直线方程为 ＝ ， 4－1 3－9 － － 即 x＋2y－11＝0. ＋ － ＝ 由于内心 I 到直线 AB 的距离等于内切圆半径 r， ， |4＋2×1－11| ＋ × － 则 r＝ ＝ ＝ 5. 5 设 AC 边所在直线的方程为 y－1＝k(x－9)， － ＝ － ， 即 kx－y＋1－9k＝0. － ＋ － ＝ 又 I 到直线 AC 的距离也是 5， ，
a＝1 ＝ 由①②方程联立，解得 ＝－4 ＝－ b＝－ a＝27 ＝ 7 8 ＝－ b＝－7
，或
.
27 8 所以， ，－4)或 所以，所求的点为 P(1，－ 或 P( ，－ )． ，－ ． 7 7
点评】 【 点评 】 解析几何的主要方法就是利用点的 坐标反映图形的位置． 对于求点的问题， 坐标反映图形的位置 ． 对于求点的问题 ， 首先 需设出点的坐标， 根据题目中的条件， 需设出点的坐标 ， 根据题目中的条件 ， 用点的 坐标表示出来， 列出方程组进行求解， 坐标表示出来 ， 列出方程组进行求解 ， 即可得 出所需结论． 出所需结论 ． 对于所求点到两定点的距离相等 的问题， 根据直线的性质可知， 的问题 ， 根据直线的性质可知 ， 点一定在连接 两点的线段的垂直平分线上， 两点的线段的垂直平分线上 ， 然后再根据题目 给出的条件即可求出点的坐标． 给出的条件即可求出点的坐标．
直线l经过点 直线 经过点P(2， － 5)， 且与点 经过点 ， ， 且与点A(3， － 2) ， 的距离之比为1∶ ，求直线l的方程 的方程． 和B(－1，6)的距离之比为 ∶2，求直线 的方程． － ， 的距离之比为 分析】 在已知一点求直线方程时， 【 分析 】 在已知一点求直线方程时 ， 应首先考 虑斜率不存在时直线是否满足题意， 虑斜率不存在时直线是否满足题意 ， 然后再设出 斜率，利用点到直线的距离公式求之． 斜率，利用点到直线的距离公式求之． 直线l过点 过点P(2， 【解】 ∵直线 过点 ，－5)，当斜率不存在时， ，当斜率不存在时， 直线为x＝ ，这时d 直线为 ＝2，这时 1＝1，d2＝3，d1∶d2≠1∶2， ， ， ∶ ， 所求直线的斜率是存在的． ∴所求直线的斜率是存在的． 设直线l的方程为 的方程为y＋ ＝ － ， ∴设直线 的方程为 ＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0， － － － ＝ ，
2024新人编版七年级数学上册《第二章2.2.1有理数的乘法第1课时》教学课件
54 6
多个有理数相乘
时若存在带分数， 要先将其画成假分 数，然后再进行计 算.
巩固练习
计算：
（1）(−4)×5×(−0.25)；
（2）
(
3 5
)
(
5) 6
(2).
解：（1）(−4)×5 ×(−0.25)
（2）
(
3 5
)
(
5 6
)(Βιβλιοθήκη )= [−(4×5)]×(−0.25)
[( 3 5)] (2)
探究新知
(+2)×(+3)= +6 (–2)×(+3)= –6 2×0=0
(–2)×(–3)= +6 (+2)×(–3)= –6 (–2)×0=0
根据上面结果可知：
1.正数乘正数积为＿正＿数；负数乘负数积为＿正＿数; （同号得正）
2.负数乘正数积为＿负＿数；正数乘负数积为＿负＿数; （异号得负）
探究新知
相反数 是自己
探究新知
求一个数的倒数的方法：
1. 求一个不为0的整数的倒数，就是将该整数作分母，1作分子； 2. 求一个真分数的倒数，就是将这个真分数的分母和分子交换位置； 3. 求一个带分数的倒数，先将该数化成假分数，再将其分子和分母的
位置进行互换； 4. 求一个小数的倒数，先将该小数化为分数，再求其倒数 .
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下 降3厘米，4天后，甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
第四天 第三天 第二天 第一天
第一天 第二天 第三天 第四天
甲水库
乙水库
探究新知
知识点 1 有理数的乘法法则 探究：如图，一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的
多个有理数相乘
时若存在带分数， 要先将其画成假分 数，然后再进行计 算.
巩固练习
计算：
（1）(−4)×5×(−0.25)；
（2）
(
3 5
)
(
5) 6
(2).
解：（1）(−4)×5 ×(−0.25)
（2）
(
3 5
)
(
5 6
)(Βιβλιοθήκη )= [−(4×5)]×(−0.25)
[( 3 5)] (2)
探究新知
(+2)×(+3)= +6 (–2)×(+3)= –6 2×0=0
(–2)×(–3)= +6 (+2)×(–3)= –6 (–2)×0=0
根据上面结果可知：
1.正数乘正数积为＿正＿数；负数乘负数积为＿正＿数; （同号得正）
2.负数乘正数积为＿负＿数；正数乘负数积为＿负＿数; （异号得负）
探究新知
相反数 是自己
探究新知
求一个数的倒数的方法：
1. 求一个不为0的整数的倒数，就是将该整数作分母，1作分子； 2. 求一个真分数的倒数，就是将这个真分数的分母和分子交换位置； 3. 求一个带分数的倒数，先将该数化成假分数，再将其分子和分母的
位置进行互换； 4. 求一个小数的倒数，先将该小数化为分数，再求其倒数 .
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下 降3厘米，4天后，甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
第四天 第三天 第二天 第一天
第一天 第二天 第三天 第四天
甲水库
乙水库
探究新知
知识点 1 有理数的乘法法则 探究：如图，一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.4两条直线的交点课件 苏教版必修2
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 ． 方程组 的解 无解 有惟 一解 交点 无 两直线____交点 直线____交点 两条直线 两条直线 有一个 交点 _________交点 两直线位 置关系 平行 相交 重合 方程系 方程系 数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1 A1B2≠A2B1 A1B2＝A2B1 B2C1＝B1C2
12－12k － x＝ ＝ ， 4k＋1 ＋ 得 7k－2 － ＝ y＝4k＋1. ＋
6分
又两条直线的交点在第一象限， 又两条直线的交点在第一象限，
12－12k － x＝ ＝ ＞0， ， 4k＋1 ＋ 所以 7k－2 － ＝ ， y＝4k＋1＞0， ＋
2 解得 ＜k＜1.12 分 ＜ 7
法二： ∵ 法二： 直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y － － ＝ ＋ ＋2＝0 的交点， ＝ 的交点， 的方程为： － － ＋ ＋ ＋ ∴可设直线 l 的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋ 2)＝0， ＝ ， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ＋ ＋ － ＋ － ＝ ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ＋ － ＝ 平行， λ＋2 λ－3 2λ－3 ＋ － － 11 ∴ ＝ ≠ ，解得 λ＝ . ＝ 1 2 3 －1 从而所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0. ＋ ＋ ＝
法二：设直线 的方程为 的方程为x－ ＋ ＋ ＋ － ＝ 法二：设直线l的方程为 －2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， ＋ ＋ － ＋ － ＝ ， 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ⊥ × ＋ ＋－ － ＝ ， 解得λ＝ ， 解得 ＝11， 的方程为4x＋ － ＝ ∴直线l的方程为 ＋3y－6＝0. 直线 的方程为 名师点评】 【名师点评】 直线系是直线和方程的理论发展, 直线系是直线和方程的理论发展 是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧， 是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧 ， 应注意掌握和应用． 应注意掌握和应用．
新人教版数学三年级上册第二单元《万以内的加法和减法(一)》单元教学课件
课堂练习
1.口算题
23 + 65 = 88 56 – 24 = 32 47 + 36 = 84
35 – 26 = 9 27 + 18 = 45 86 – 37 = 49
口算两位数减两位数时，如果个位上不够减, 要从十位退1再减。
教材第11页做一做
2.买一双鞋74元，一双袜子17元，买一双鞋比
一双袜子贵多少元？
两位数的计算方法，解决几百几十加、减几百 几十的问题。
【重点】 正确笔算几百几十数加、减几百几十。
方法1
先算34＋30＝64， 再算64＋5＝69。
35 + 34 = 69
30 5 64
说一说你是怎么想的。你先算什么？后算什么？
01 先算30 + 30 = 60 02 再算5 + 4 = 9 03 60 + 9 = 69
35 + 34 = 69
30 5 30 4 60 9
方法2
对比以上几种方法，试着总结两位数加两位数 不进位的口算方法。
40 – 1 84
转化
两位数 + 两位数
两位数 + 相近整十数 - 一位数
方法3
（2）二年级一共需要多少个座位？
39 + 44 = 83（个） 答：二年级一共需 要83个座位。
考考你（二）。
15 + 65 = 80 60 5
75
74 + 17 = 91 70 4 10 7
80 11
先算 15 + 60 =（75）
79 + 4= 83 66 + 8= 74
两位数加整十数 ,可 两位数加一位数时， 以先把十位上的数相 可以先把个位上的数 加，再加个位上的数。 相加，再加整十数。
机械优化设计自学考试教学要求省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
本章重点: 搜索区间确实定与区间消元法原理，用黄金 分
割法和牛顿法求一元函数极小点。 本章难点: 牛顿法，二次插值法。
第12页
第四章 无约束优化方法
一、考评知识点与考评要求
1. 最速下降法（梯度法） 识记: 最速下降法定义；最速下降法特点，最速下降法 搜索方向。 领会: 最速下降法搜索路径和步骤。 应用: 用最速下降法求函数极值。
识记: 离散变量组合型法原理；初始复合型顶点形成。 领会: 离散一维新点产生方法；约束条件处理及几何
意义；离散变量组合型法搜索步骤；离散变量组 合型法收敛准则。 应用: 离散处罚函数法求解一维优化问题几何意义。
作用约束。 应用: 二维约束优化问题极值点所处不一样位置几何描
述。
第5页
第一章 优化设计概述
3.优化设计问题基本解法 识记: 优化准则法；数值迭代法；搜索方向；最正确 步长；几个迭代收敛准则: 模准则、值准 则和梯度准则。 领会: 优化准则法和数值迭代法极值点搜索过程 及特点。 应用: 优化准则法和数值迭代法迭代公式；收敛准 则及收敛精度选取。
散处罚因子。 领会: 离散处罚函数构建和几何意义；离散处罚函数法计
算步骤。 应用: 离散处罚函数法求解一维优化问题几何意义。
第25页
第七章 多目标和离散变量优化方法
9. 离散变量搜索型方法——离散复合型法 识记: 离散复合型法原理；离散复合型顶点构建。 领会: 离散复合型法搜索迭代过程。 10.离散变量型网格法 识记: 离散变量型普通网格法和正交网格法原理。 领会: 正交网格表生成方法；正交网格法计算步骤。 11.离散变量组合型法
行条件，下降条件。 领会: 可行方向产生方法；步长确实定: 最优步长、试
验步长计算、试验点调整到约束面方法；可行 方向法计算步骤。 应用: 用可行方向法求约束优化问题最优解。
割法和牛顿法求一元函数极小点。 本章难点: 牛顿法，二次插值法。
第12页
第四章 无约束优化方法
一、考评知识点与考评要求
1. 最速下降法（梯度法） 识记: 最速下降法定义；最速下降法特点，最速下降法 搜索方向。 领会: 最速下降法搜索路径和步骤。 应用: 用最速下降法求函数极值。
识记: 离散变量组合型法原理；初始复合型顶点形成。 领会: 离散一维新点产生方法；约束条件处理及几何
意义；离散变量组合型法搜索步骤；离散变量组 合型法收敛准则。 应用: 离散处罚函数法求解一维优化问题几何意义。
作用约束。 应用: 二维约束优化问题极值点所处不一样位置几何描
述。
第5页
第一章 优化设计概述
3.优化设计问题基本解法 识记: 优化准则法；数值迭代法；搜索方向；最正确 步长；几个迭代收敛准则: 模准则、值准 则和梯度准则。 领会: 优化准则法和数值迭代法极值点搜索过程 及特点。 应用: 优化准则法和数值迭代法迭代公式；收敛准 则及收敛精度选取。
散处罚因子。 领会: 离散处罚函数构建和几何意义；离散处罚函数法计
算步骤。 应用: 离散处罚函数法求解一维优化问题几何意义。
第25页
第七章 多目标和离散变量优化方法
9. 离散变量搜索型方法——离散复合型法 识记: 离散复合型法原理；离散复合型顶点构建。 领会: 离散复合型法搜索迭代过程。 10.离散变量型网格法 识记: 离散变量型普通网格法和正交网格法原理。 领会: 正交网格表生成方法；正交网格法计算步骤。 11.离散变量组合型法
行条件，下降条件。 领会: 可行方向产生方法；步长确实定: 最优步长、试
验步长计算、试验点调整到约束面方法；可行 方向法计算步骤。 应用: 用可行方向法求约束优化问题最优解。
人教版七年级上数学教学课件第二章整式全章
n 声扑通跳下水.
注意：在含有字母的式子中若出现乘号，通常将乘 号写作“•”或省略不写.如：100×a可以写成100•a或 100a.
用含有字母的式子填空： 1.边长为a的正方体的表面积为__6_a_2,体积为__a_3__. 2.铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍， 圆珠笔的单价是_2__.5_x__元. 3.全校学生总数是m,其中女生占总数的48％，则男生人 数是 _5_2_%__m____. 4. 一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的 路程为____v_t_____千米. 5.数n的相反数是 __-_n___.
像3ab2与-4ab2 这样，所含字母相同，并且相同字母的指 数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
1.判断下列各组中的两项是否是同类项： (1) -5ab3与3a3b ( 否 ) (2)3xy与3x( 否 ) (3) -5m2n3与2n3m2( 是 ) (4)53与35 （ 是 ） (5) x3与53 ( 否 )
5 (3) 4a2 3b2 2ab 4a2 4b2.
解：1 xy2 1 xy2
5
(1 1)xy2 5
4 xy2. 5
请你自己做做第（2）、（3）小 题
(1) 运用有理数的运算律计算: 100×2+252×2=____7_0_4___, 100×(-2)+252×(-2)=___-_7_0_4___;
(2) 根据(1)中的方法完成下面的运算， 100t+252t=___3_5__2_t__.
填空: (1) 100t-252t=( -152 )t； (2) 3x2+2x2=( 5 )x2； (3) 3ab2-4ab2=( -1 )ab2． 上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 100t和-252t 都含有相同的字母 t，并且t 的指数都是 1，我们就把100t与-252t 叫做同类项.
注意：在含有字母的式子中若出现乘号，通常将乘 号写作“•”或省略不写.如：100×a可以写成100•a或 100a.
用含有字母的式子填空： 1.边长为a的正方体的表面积为__6_a_2,体积为__a_3__. 2.铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍， 圆珠笔的单价是_2__.5_x__元. 3.全校学生总数是m,其中女生占总数的48％，则男生人 数是 _5_2_%__m____. 4. 一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的 路程为____v_t_____千米. 5.数n的相反数是 __-_n___.
像3ab2与-4ab2 这样，所含字母相同，并且相同字母的指 数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
1.判断下列各组中的两项是否是同类项： (1) -5ab3与3a3b ( 否 ) (2)3xy与3x( 否 ) (3) -5m2n3与2n3m2( 是 ) (4)53与35 （ 是 ） (5) x3与53 ( 否 )
5 (3) 4a2 3b2 2ab 4a2 4b2.
解：1 xy2 1 xy2
5
(1 1)xy2 5
4 xy2. 5
请你自己做做第（2）、（3）小 题
(1) 运用有理数的运算律计算: 100×2+252×2=____7_0_4___, 100×(-2)+252×(-2)=___-_7_0_4___;
(2) 根据(1)中的方法完成下面的运算， 100t+252t=___3_5__2_t__.
填空: (1) 100t-252t=( -152 )t； (2) 3x2+2x2=( 5 )x2； (3) 3ab2-4ab2=( -1 )ab2． 上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 100t和-252t 都含有相同的字母 t，并且t 的指数都是 1，我们就把100t与-252t 叫做同类项.
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.3第二课时两条直线垂直的条件课件 新人教B版必修2
点评】 【点评】
对称， 设P与P′关于直线 对称，则几何条 与 ′关于直线l对称
件为PP′ ， 件为 ′ ⊥ l， 且 PP′ 的中点在直线 上 ， 转化 ′ 的中点在直线l上 为代数式后即可解得所求点的坐标． 为代数式后即可解得所求点的坐标．
跟踪训练3 跟踪训练
已知直线l： ＋ － ＝ ，试求： 已知直线 ：x＋2y－2＝0，试求：
(2)线关于点的对称直线 线关于点的对称直线 直线l： ＋ ＋ ＝ 关于 关于P(x0 ， y0)的对称直线为 直线 ： Ax＋ By＋ C＝ 0关于 的对称直线为 A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0 ＋ ＋ ＝ ___________________________. (3)线关于线的对称性 线关于线的对称性 设直线l：Ax＋By＋C＝0， 设直线 ： ＋ ＋ ＝ ， ＋ － ＋ ＝ 关于x轴对称的直线是 ①l关于 轴对称的直线是：___________________； 关于 轴对称的直线是： Ax＋B(－y)＋C＝0 ； － ＋ ＋ ＝ 关于y轴对称的直线是 ②l关于 轴对称的直线是：__________________； 关于 轴对称的直线是： A(－x)＋By＋C＝0 ； 关于原点对称的直线是： ③ l关于原点对称的直线是 ： ____________________； 关于原点对称的直线是 ； A(－x)＋B(－y)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝ 关于y＝ 对称的直线是 对称的直线是： ④l关于 ＝x对称的直线是：______________； 关于 ； ＋ 的 直 ⑤ l 关 于 直 线 y ＝ － xBx＋称 ＋C＝0 线 是 ： 对 Ay＋ ＝ __________________________. A(－y)＋B(－x)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝
2024新人编版七年级数学上册《第二章2.1.2有理数的减法第2课时》教学课件
= 853.5+237.2–325+138.5–280–520+103 = 853.5+237.2+138.5+103–(325+280+520) = 1332.2–1125 =207.2（元）. 答：这一星期内该超市盈利207.2元.
探究新知
例3 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时， 最重要的一项工作就是称体重. 已知某动物园对6只成 年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超过或 者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如 下表所示，求这6只企鹅的总体重.
当堂训练
基础巩固题
1.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ D ）
A. 1–4+5–4=1–4+4–5
B. 1 3 1 1 1 3 1 1 3464 4436
C. 1–2+3–4=2–1+4–3
D. 4.5–1.7–2.5+1=4.5–2.5+1–1.7
当堂训练
2. 若a= –2，b=3，c= –4 ，则a–(b–c)的值为 ___–_9____.
课后作业
完成课后练习题.
例2 2017年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞机做特技表演， 起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
记作
+4.5千米 –3.2千米 +1.1千米 –1.4千米
此时飞机比起飞点高了多少千米?
探究新知
解： 4.5＋(–3.2)＋1.1＋(–1.4) = (4.5＋1.1)＋[(–3.2)＋(–1.4)] = 5.6＋(–4.6)=1 (千米)
33
3
探究新知
例3 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时， 最重要的一项工作就是称体重. 已知某动物园对6只成 年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超过或 者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如 下表所示，求这6只企鹅的总体重.
当堂训练
基础巩固题
1.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ D ）
A. 1–4+5–4=1–4+4–5
B. 1 3 1 1 1 3 1 1 3464 4436
C. 1–2+3–4=2–1+4–3
D. 4.5–1.7–2.5+1=4.5–2.5+1–1.7
当堂训练
2. 若a= –2，b=3，c= –4 ，则a–(b–c)的值为 ___–_9____.
课后作业
完成课后练习题.
例2 2017年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞机做特技表演， 起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
记作
+4.5千米 –3.2千米 +1.1千米 –1.4千米
此时飞机比起飞点高了多少千米?
探究新知
解： 4.5＋(–3.2)＋1.1＋(–1.4) = (4.5＋1.1)＋[(–3.2)＋(–1.4)] = 5.6＋(–4.6)=1 (千米)
33
3
优化设计基础PPT讲稿
其中，x1 x1 x10，x2 x2 x20
二元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f
x
f
x0
f x1
f x2
x0
x1
x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x2x1
f
x0
f
T
1T
x0 x x G
x0
x …
2
2 f
x1x2 2 f x22
x0
例：设目标函数f (x)
f (x1, x2 ) 4
x12 x2 , 求点x0
[1
1]T 处沿
d1和d2两个方向的方向导数。
向量d1的方向为：1
2
，
4
向量d2的方向为：1
3
，2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
优化设计基础课件
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。
二元函数的偏导数：
一个二元函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的偏导数是
f lim f x10 x1, x20 f x10 , x20
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
T
f
,
x2
x0
方向导数与梯度的关系： f f (x0 )T d f (x0 ) cos(f , d) d x0
二元函数f
(
x1,
x2
第二章 章末整合-高中同步学案优化设计数学A版必修第一册配人教版教学课件
1)x-1=0有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知x1+x2=
由题意知x1+x2=0,∴k=1.
−1
,
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(3)解 当 k>0 时,x1=1,x2=- <0,不符合题意;
1
- > 2,
1
1
当-1≤k<0 时,x1=- ,x2=1,2< <3,得 1
解得-2<k<-3;当 k<-1
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;
(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.
解 (1)由不等式 y>0 的解集为{x|-3<x<1},可知方程 ax2+(b-2)x+3=0 的两
3
(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-2成立?若存在,求出 k 的值;若不存
优化设计第02课-2数学基础PPT课件
②当u1=0,a1≠0 时，g1(x)=a-x＜0，约束不起作用，即为x>a 的情况。
上述分析可表示为：u1
0 0
, g1( x) 0 为起作用约束，即x=a , g1( x) 0 为不起作用约束，即x>a
上式表明， u1与g1(x)至少必有一个为0，因此，可将u1a1=0的
条件写成：
u1g1(x)=0。
若将这些关系式代入到目标函数中，从而得到只含xl+1, xl+2,…,xn共n-l个变量的函数，这样就可以利用无约束优化问题 的极值求解。
二、拉格朗日乘子法
通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。
对于具有l个等式约束的N维优化问题：
min f(x)
s.t. hk(x)=0 (k=1, 2, … , l) 为了求出f(x)的可能极值点x*=[x1* x２*… xn*]T，引入拉格朗日 乘子k (k=1, 2, … , l) ，并构成一个新的目标函数：
2F
x12
2F
2
F
(
x*
)
x2x1
2F
xnx1
2F x1x2 2F
x22
2F xnx2
2F
x1xn
2F
x2xn
正定或负定
2F
xn2 x*
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 正定，即各阶主 子式均大于零，则x*为极小点。
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 负定，即各阶主 子式负、正相间，则x *为极大点。
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
上述分析可表示为：u1
0 0
, g1( x) 0 为起作用约束，即x=a , g1( x) 0 为不起作用约束，即x>a
上式表明， u1与g1(x)至少必有一个为0，因此，可将u1a1=0的
条件写成：
u1g1(x)=0。
若将这些关系式代入到目标函数中，从而得到只含xl+1, xl+2,…,xn共n-l个变量的函数，这样就可以利用无约束优化问题 的极值求解。
二、拉格朗日乘子法
通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。
对于具有l个等式约束的N维优化问题：
min f(x)
s.t. hk(x)=0 (k=1, 2, … , l) 为了求出f(x)的可能极值点x*=[x1* x２*… xn*]T，引入拉格朗日 乘子k (k=1, 2, … , l) ，并构成一个新的目标函数：
2F
x12
2F
2
F
(
x*
)
x2x1
2F
xnx1
2F x1x2 2F
x22
2F xnx2
2F
x1xn
2F
x2xn
正定或负定
2F
xn2 x*
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 正定，即各阶主 子式均大于零，则x*为极小点。
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 负定，即各阶主 子式负、正相间，则x *为极大点。
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
【最新】第二章高中数学课程标准简介一ppt模版课件
9～11年级的教材已经注意渗透微积分思想。
英国在高级水平(A-level)、次高级水平(AS-level) 的《纯数学》教材中，已经全面介绍了微积分的思 想方法。 在数学Ⅱ、数学Ⅲ分别系统地介绍了微积分的概 念与方法
俄罗斯的数学学校开设了系统的《数学分析初步》 课程．
3．算法在必修课中得到初步介绍
数学教育所允许的下界．
2．课程内容的选择 高等学校不同的学科专业需要不同的数学基础，
因而要求考生在中学学习不同的相关学科．
英国高中数学
《纯数学》 反映了数学的共同基础，是高中数学
A水平和AS水平的必修课．
《统计》
《离散数学》 可由学生根据自己不同的发展方向
《力学》
选学部分内容．
高中数学的可选择模块
科目 数学基础 数学I 数学Ⅱ 数学Ⅲ 数学A 数学B 数学C
学分数 2
34
3
2
2
2
高中生至少在一学年里，每周学习2学时数学，成 绩合格，就能够达到高中毕业的最基本的数学要求。 必修课可选择“数学基础”或“数学I”中的—门． 如果高中毕业生要继续升学 人学考试 分两次进行
第一次是全国统考 数学考试的内容 数学I，数学A；数学Ⅱ，数学B．
在参加全国统一考试的10天之后 申请参加第二次考试 还需要选修数学Ⅲ或数学C
三、开阔数学视野。渗透现代数学思想 当前，高中数学教材内容的现代化表现在以下几个方面．
1．概率统计已经成为高中数学的主干内容 、英国、法国、俄罗斯、德国、 的高中数学都有
概率统计的必修内容
2．微积分的基础已经进入高中数学课程
质的发展 各国数学教材都精心设计了多种实验，引导学生在数学学习的过程中，通过适当的调查和实验，作出发现或猜想．
英国在高级水平(A-level)、次高级水平(AS-level) 的《纯数学》教材中，已经全面介绍了微积分的思 想方法。 在数学Ⅱ、数学Ⅲ分别系统地介绍了微积分的概 念与方法
俄罗斯的数学学校开设了系统的《数学分析初步》 课程．
3．算法在必修课中得到初步介绍
数学教育所允许的下界．
2．课程内容的选择 高等学校不同的学科专业需要不同的数学基础，
因而要求考生在中学学习不同的相关学科．
英国高中数学
《纯数学》 反映了数学的共同基础，是高中数学
A水平和AS水平的必修课．
《统计》
《离散数学》 可由学生根据自己不同的发展方向
《力学》
选学部分内容．
高中数学的可选择模块
科目 数学基础 数学I 数学Ⅱ 数学Ⅲ 数学A 数学B 数学C
学分数 2
34
3
2
2
2
高中生至少在一学年里，每周学习2学时数学，成 绩合格，就能够达到高中毕业的最基本的数学要求。 必修课可选择“数学基础”或“数学I”中的—门． 如果高中毕业生要继续升学 人学考试 分两次进行
第一次是全国统考 数学考试的内容 数学I，数学A；数学Ⅱ，数学B．
在参加全国统一考试的10天之后 申请参加第二次考试 还需要选修数学Ⅲ或数学C
三、开阔数学视野。渗透现代数学思想 当前，高中数学教材内容的现代化表现在以下几个方面．
1．概率统计已经成为高中数学的主干内容 、英国、法国、俄罗斯、德国、 的高中数学都有
概率统计的必修内容
2．微积分的基础已经进入高中数学课程
质的发展 各国数学教材都精心设计了多种实验，引导学生在数学学习的过程中，通过适当的调查和实验，作出发现或猜想．
《机械优化设计》课件
成本最低、 利润最大、 效率最高、 能耗最低、 综合性能最好
f(x*)
0
x*
x
在规定的范围内（或条件下），
寻找给定函数取得的最大值（或最
小值）的条件。
………
绪论
1.2 优化设计 优化设计是使某项设计在规定的各种设计限制条件下，
优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。
1.3 传统设计与优化设计 传统设计：求得 可行解，人工计算。 优化设计：解得 最优解，计算机计算。
优化问题的数学模型是实际优化问题的数学抽象。在
明确设计变量、约束条件和目标函数之后，优化设计问
题可以表示成一般的数学形式。
求设计变量向量
使
且满足约束条件
或可写成miຫໍສະໝຸດ f ( X ) f (x1, x2, , xn )
s.t.
gu ( X ) gu (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, m) hk ( X ) hk (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, k)
361240181
第二章 优化设计的数学基础
等值线的分布规律： 等值线越内层其函数值越小（对于求目标函数的极小化来说） 沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变
没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为 极值点在无穷远处。
多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极 （小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别） 的值，才能确定极（小）值点。
•欢迎加入湖工 大考试资料群：
361240181
•欢迎加入湖工 大考试资料群：
优化设计概述
一 优化设计内涵 二 优化设计基本过程——人字架的 优化设计 三 优化设计问题的描述——数学模型
2024新人编版七年级数学上册《第二章2.1.1有理数的加法第2课时》教学课件
答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是905.4千克.
巩固练习
某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运， 向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次 序记录如下：
＋9, –3, –5, ＋4, –8, ＋6, –3, –6, –4, ＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在 出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
1. 使 用 交 换 律 交 换 加 数时，一定要连同它 的符号一起移动; 2. 加 法 交 换 律 适 应 于 两个及两个以上数的 相加； 3. 计 算 有 理 数 加 法 时 ，如果遇到一个加数 前有负号且不是该式 的的第一个加数时， 应加上括号.
巩固练习
11 (2) 4.1+(+ 2)+(– 4 )+(–10.1)+7
例1 计算：16 +（–25）+ 24 +（–35）
解： 16 +（–25）+ 24 +（–35）
＝16 + 24 +[（–25）+ （–35）］ ＝40 +（–60）＝ –20
把正数与负数分别相 加，从而据是什么?
这样做既运用了加法 交换律，又运用了加 法结合律.
探究新知
归纳总结
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加. 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整. 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加. 4. 有小数相加时，把整数部分、纯小数部分分别结合相加.
探究新知
归纳总结
5. 含有带分数的加法运算方法如下， 化简：将带分数化简成整数和分数两个部分； 相加：先将整数部分和分数部分分别相加，并保留原带 分数的符号，再把两部分的结果相加.
巩固练习
某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运， 向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次 序记录如下：
＋9, –3, –5, ＋4, –8, ＋6, –3, –6, –4, ＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在 出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
1. 使 用 交 换 律 交 换 加 数时，一定要连同它 的符号一起移动; 2. 加 法 交 换 律 适 应 于 两个及两个以上数的 相加； 3. 计 算 有 理 数 加 法 时 ，如果遇到一个加数 前有负号且不是该式 的的第一个加数时， 应加上括号.
巩固练习
11 (2) 4.1+(+ 2)+(– 4 )+(–10.1)+7
例1 计算：16 +（–25）+ 24 +（–35）
解： 16 +（–25）+ 24 +（–35）
＝16 + 24 +[（–25）+ （–35）］ ＝40 +（–60）＝ –20
把正数与负数分别相 加，从而据是什么?
这样做既运用了加法 交换律，又运用了加 法结合律.
探究新知
归纳总结
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加. 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整. 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加. 4. 有小数相加时，把整数部分、纯小数部分分别结合相加.
探究新知
归纳总结
5. 含有带分数的加法运算方法如下， 化简：将带分数化简成整数和分数两个部分； 相加：先将整数部分和分数部分分别相加，并保留原带 分数的符号，再把两部分的结果相加.