初中数学几何模型系列之(四)全等三角形模型

初中几何模型系列之（四）
全等三角形模型
全面完整版+例题解析
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1、公共边模型
第一部分 基本模型
△ABD≌△ABC
△EFD≌△ABC
△ABD≌△ABC
△ABD≌△ACD
△ABE≌△FDC
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在△MPQ和△NHQ中，
∠1＝∠2 MQ=NQ ∠MQP＝∠NQH
∴△MPQ≌△NHQ（ASA） ∴PM＝HN
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基本模型
例题3、已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分 别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E 时（如图1），易证 ；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂 直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予 证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.
助线都是在射线ON上取点B，使OB＝ OA，从而使△OAC≌△OBC .
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第三部分 三垂直模型（弦图模型）
由△ABE≌△BCD 导出ED=AE-CD
由△ABE≌△BCD 导出EC=AB-CD
由△ABE≌△BCD导出 BC=BE+ED=AB+CD
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， AD＝BC
∴在Rt△ADE与Rt△CBF中
DE＝BF
∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL） ∴AE＝CF，DE＝BF ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE 在Rt△CDE与Rt△ABF中，
DE＝BF
∠DEC＝∠BFA
EC＝FA
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF ∴AB∥DC.
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基本模型
例题5、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线， 过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D. （1）求证：AE＝CD； （2）若AC＝12 ，求BD的长.
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经典例题——基本模型
例题1、已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.
证明：连接DC，在△ACD与△BDC中
AD=BC
AC=BD
CD=DC
∴△ACD≌△BDC（SSS） ∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）
△ ABC
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基本模型
例题4、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF. 求证：AB∥DC.
点评:从已知条件只能先证出 Rt△ADE≌Rt△CBF，从结 论又需Rt△CDE≌Rt△ABF. 我们可以从已知和结论向中 间推进，证出题目.
∠EMD＝∠FDN= 90°
DM＝DN
∠MDE＝∠NDF
∴△DME≌△DNF（ASA）
∴S △ = DME S △ DNF
∴ S = S =S + S 四边形 DMCN
四边形 DECF
△ DEF
△ CEF
可知∴ S四边形 DMCN=1/2 S △ ABC
∴ S + S 1/2 S △ DEF △ CEF=
点评：公共边模型 一定要注意隐含条 件，即：公共边
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基本模型
例题2、 已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ． 求证：HN＝PM.
点评：此题为双垂直 模型，通常利用等角 的余角相等来进行等 角的证明
证明：∵MQ和NR是△MPN的高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90° 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2
第二部分 角平分线模型——构造全等三角形
1.角平分线的性质模型
2.角平分线垂线模型
辅助线：过角平分线上的一点向 角两边做垂线，构造全等三角形
如图：AD是角平分线，GE⊥AC， GF⊥AB,则△AGE≌△AGF, GE=GF
辅助线：过角平分线上一点作角平分线
的垂线，分别交角两边于两点，构造等 腰三角形和全等三角形 如图：OD是角平分线，EF⊥OC, 则，△OEF是等腰三角，△ODE≌△ODF
手拉手模型
拓展1：△ABC和△CDE均为等 边三角形 结论：（1）AD＝BE；
（2）∠ACB＝∠AOB； （3）△PCQ为等边三角形； （4）PQ∥AE； （5）AP＝BQ； （6）CO平分∠AOE；（四 点共圆证） （7）OA＝OB＋OC； （8）OE＝OC＋OD . （（7），（8）需构造等边三 角形证明）
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第四部分 手拉手模型
△ABE和△ACF均为等边三角形 结论：（1）△ABF≌△AEC .
（2）∠BOE＝∠BAE＝60° . （3）OA平分∠EOF .（四点共圆 证） 证明并不难，请同学们自己完成。
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角平分线模型——构造全等三角形
3.角平分线+平行线模型
4. 截取构全等模型
辅助线：过边上的一点作另一边
的平行线交角平分线于一点，构 造等腰三角形
如图：OD是角平分线，EF∥OB,
交OC于点F, 则△OEF是等腰三角形，OE=EF
辅助线：在一侧的长边上截取短边，构 造全等 如图：OD是角平分线，两个图形的辅
证明：图2成立； 证明图2：过点 作 DM⊥AC, BN⊥BC则 ∴∠DME＝∠DNF ＝∠MDN ＝90°, 在△AMD和△DNB中，
∠AMD＝∠DNB= 90°
∠A＝∠B
AD=BD
∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN
∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°， 在△DME与△DNF中，
基本模型
2、公共角模型
A
D
E
3、平行X型
A
B
O
4、非平行X型
A
D
O
C
B
△ABE≌△ABD
D
C
△ABO≌△OCD
B C
△ABE≌△ABD
5、母子等腰三角形
A
△ABD≌△AEC △ABE≌△ACD
BD
EC
6、旋转模型
B
A
A
C'
B
C C'
B'
B'
△ABC≌△AB`C’
C
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