用导数求切线方程的四种类型.doc
用导数求切线方程(课堂PPT)
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
例2 与直线 2xy40平行的抛物线 y x 2
的切线方程是（ ）
4
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
例3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1， 1) 的切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应
先设切点，再求切点，即用待定切点法．
5
设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y|xx0 3x02 2
即 xy20 或 5x4y10
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类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
例4 求过点 ( 2 ，0 ) 且与曲线 y 1
x
相切的直线方程
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设 P(x0，y0 )为切点，则切线的斜率为
y |x x0
1 x02
切线方程为
1 y y0 x02 (xx0)
y 1 x0
x102(xx0)源自又知切线过点 ( 2 ，0 ) ，把它代入上述方程，得
1 x0
1 x02
(2 x0)
9
解得
x0
1，y0
1 x0
1
故所求切线方程为 xy20
10
Thank You
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用导数求切线方程
主讲人：甄玉星
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四种常见的类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
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类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例1 曲线 yx3 3x2 1 在点 (1， 1) 处的 切线方程为
切线方程为 yy0(3x022)(xx0)
y (x 0 3 2 x 0 ) (3 x 0 2 2 )(x x 0 )
利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。
对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1． 曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，有)(0x f k '=；2．切点在曲线y f x =()上，有)(00x f y = 3． 切点在切线上，有切线方程)(00x x k y y -=-最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。
例一：曲线221y x =+在x=1的切线方程为 ； 解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又∵x y 4='，∴切线的斜率为4，∴切线的方程为y －5 = 4(x －1)，即y=4x ＋1。
利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。
另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。
例二：曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切线方程。
解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（200,x x ）∵x y 2='，∴切线的斜率为02x ，∴02x = －4，∴20-=x ∴切点的坐标为（－2，4）∴切线的方程为y =－4x －4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。
再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。
例三：曲线2x y -=的切线过点（0，4）求切线的方程。
解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为()00y x P ，，∵x y 2-='则在点P 处的切线方程为：()0002x x x y y --=-∵过点()4,0P ，且200x y -=()002002)(4x x x --=--∴ 20=∴x 或20-=x当20=x 时，切点为)4,2(-，此时切线方程为y=－4x ＋4，当20-=x 时，切点为()4,2--P ，此时切线方程为y=4x ＋4，∴过点（0，4）的切线方程为： y=－4x ＋4， y=4x ＋4。
用导数求切线方程及应用
知识回顾：导数的几何意义：函数/■（%）在X =兀0处的导数/'（观）就是：曲线y = / （兀）在点F（兀。
J （兀。
））处的切线PT的斜率。
即£二/ （兀0），在点尸处的切线方程为y —北=广（兀0）（兀一兀0）四种常见的类型及解法.•类型一：已知切点，求曲线的切线方程•此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可.例1・已经曲线C：歹=兀3—兀+ 2和点A(152)O求曲线C在点A处的切线方程?类型二已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例2与直线2—y + 4 = 0 的平行的抛物线y = x2的切线方程是 --------------- 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用A法加以练习：若曲线C上一点P处的切线恰好平行于直线y=11x—1,则P点坐标为(2,8)或(一 2, -伞)切线方程为1 ix— y—14 = +18 = 0类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.•例3求过曲线yr3-2兀上的点(1, -1)的切线方程.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法 来求解.练习已知函数y"—3/过点4(0,16)作曲线 『 = /(励切线，求此切线方程.例6.已知曲线C:F 二4y,直线/:兀-y-4 = 0,在曲线C 上 求一点P,使P 到直线/的距离最短，并求出最小值。
例4・求过点(2,0)且与曲线 直线方程. 1y = — 相切的Xr2 1h —罕—41 i(x-2)2 + 34 _ 4(1)解析一：设P(x,务)；〃二72 近当兀=2时，即点P坐标为⑵1)时，〃斷=攀(2)解析二：设与直线/平行的直线r与曲线c相切于尸(兀°,= ^ = l,x0=2.-. P(2,l)血=12~^4'=芈巩固练习：l.y = 3x2— 4x + 2在点JT = 1 处的切线方程是:2x-y-1 = °2 •在曲— x3 + 3x2 + 6x +10的切线斜率最小的切线方程是3x-y + 9 = 03.曲线y = lnjv上的点到直线兀―y + 3 = 0 的最短距离是空迈。
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线一.求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y），则y0=2﹣3x，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；等价于，解得x，故解集为（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，故a的取值范围为：[1，+∞）（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x，），∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：即，①设g（x）=，则∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．【作业1】．（2017•莆田一模）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ． （1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；三.切线与切线之间的关系 【例4】．（2018•绵阳模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是 .23a b c ++=则23b c +，∵b 2+c 2=1，∴sin ,cos b a ββ==设，∴235sin()b c βϕ+=+，故a+c ∈[﹣，]，【例5】.已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1），g （x ）=e x ，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）设，求函数t （x ）在[m ，m+1]（m ＞0）上的最小值；（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f （x ）与y=g （x ）的切线l 1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，求证：a=0或．【解答】（Ⅰ）解：，令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，∴t（x）min=t（1）=e．（Ⅱ）设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，∴x2=1，y2=e∴k2=e．由题意知，切线l1的斜率，∴切线l1的方程为，设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），∴，∴，，又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，令，则，∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，若x1∈（0，1），∵，，∴，而，在单调递减，∴．若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，∴x1=e，∴综上，a=0或．【作业2】．（2017•黄山二模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a ＜﹣．四．求公切线的方程【例6】．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x ）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x）=3e，f′（x）=g'（x）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．【作业3】．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程．五.与公切线有关的参数取值范围问题【例7】．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（Ⅱ）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（Ⅲ）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g'（x）=2ax﹣1．∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得a=b=1．（Ⅱ）设P（x0，y），则由题设有lnx=ax2﹣x…①，又在点P有共同的切线，∴f′（x0）=g′（x），∴，∴a=，代入①得lnx0=x，设h（x）=lnx ﹣+x，则h′（x）=+（x＞0），则h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．（Ⅲ）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′（x）=，f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y﹣lnt=（x﹣t），即y=x+lnx﹣1．与y=ax2﹣x，联立得ax2﹣（1+）x﹣lnt+1=0．∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程△=+4a（lnt﹣1）=0，即=4a（1﹣lnt）（*）总有解．若t＞e，则1﹣lnt＜0，而＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，从而，方程（*）可化为4a=．令H（t）=（0＜t＜e），则H′（t）=．∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，∴要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1．∴正实数a的最小值为1．【例8】．（2017•韶关模拟）.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②：=2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，当b=时，G（b）最大=G（）=e+﹣＜0，∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b ＜，综上所述，b 的取值范围（，）．【作业4】．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．六．公切线的条数问题【例9】．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x．（1）确定方程f（x）=实数根的个数；（2）我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f （x），y=g（x）公切线的条数，并证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得lnx==1+，即lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx﹣1和y=的函数图象有两个交点，∴方程f（x）=有两个实根；（2）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵f′（x）=，g′（x）=e x，∴，化简得（m﹣1）lnm=m+1，当m=1时，（m﹣1）lnm=m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm=m+1化为lnm=，由（1）可知，方程lnm=有两个实根，∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．【作业5】．已知函数f（x）=x2+2（1﹣a）x﹣4a，g（x）=﹣（a+1）2，则f （x）和g（x）图象的公切线条数的可能值是．【作业1解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H （a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H （）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．【作业2解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x，f'（0）=0，所以f （x）=（ax2+x﹣1）e x．（1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x．①若a＞0，当或x＞0时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．②若a=0，f（x）=（x﹣1）e x，f'（x）=xe x，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．③若，当或x＜0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．④若，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．⑤若，当或x＞0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．，当时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当时，f（x）单调递增区间为；单调递减区间为，（0，+∞）；（2）证明：g（x）=e﹣x f（x）+lnx=﹣e﹣x（ax2+x﹣1）e x+lnx=ax2+x﹣1+lnx，设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，所以x2=1，y2=e，k2=e．由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1），则．又，即，令，在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故．【作业3解答】解：（1）证明：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=﹣，由F'（x）=0，得x=3，当0＜x＜3时，F'（x）＜0，当x＞3时F'（x）＞0，可得F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，所以F（x）取得最小值为F（3）=ln3﹣1＞0，∴F（x）＞0，即f（x）＞g（x）；（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线，切点分别为P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）．因为f′（x）=，g′（x）=，所以分别以P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）为切线的切线方程为y=+lnx﹣1，y=+2﹣．令，即2lnx1+﹣（3+ln3）=0．令h（x）=2lnx1+﹣（3+ln3）．所以由h′（x）=﹣=0，得x1=3．显然，当0＜x1＜3时，h'（x）＜0，当x1＞3时，h'（x）＞0，所以h（x）min=ln3﹣1＞0，所以方程2lnx1+﹣（3+ln3）=0无解，故二者没有公切线．所以曲线y=f（x）和y=g（x）不存在公切线；（3）（1+1×2）（1+2×3）•…•（1+2012×2013）＞e4021．理由：由（1）可得lnx＞2﹣（x＞0），可令x=1+n（n+1），可得ln（1+n（n+1））＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣），则ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+2012×2013）＞2×2012﹣3（1﹣+﹣+…+﹣）=4024﹣3+＞4021．即有（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）＞e4021．【作业4解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣﹣blnx，∴f′（x）=1+﹣，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1﹣b=0，∴b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y）处存在公切线，由f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，得f′（x）=，g′（x）=2x，由f′（x0）=g′（x），得=2x，即2x3﹣ax2+2x﹣a=0，即（x02+1）（2x﹣a）=0，则x=，又函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，x0=≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x，y）处不存在公切线；当a＞0时，令f（）=g（），﹣2ln﹣2=，即=ln，令h（x）=﹣ln（x＞0），h′（x）=x﹣=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=﹣＜0，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，∴方程=ln在（0，+∞）解的个数为2．综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。
导数法求切线方程的三种题型
题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。
用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率就是函数y=f(x)在切点处的导数。
下面举出长建的题型及解法：题型一：已知切点，求曲线的切线方程。
例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。
解：先求y’=f’(x)=6x2f’(1)=6×1=6=k当x=1时y=2∴切点为(1,2)y-2=6(x-1)y=6x-4题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。
例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。
解：带入可知点A不在曲线上。
设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，满足y0=x03-3x0①f’(x)=3x2-3f’(x0)=3x02-3=k ②又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③①带入③，且②=③，得到3x02-3=(x03-3x0)/x0解得x0=-2 ∴y0=-2∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9∴y+2=9(x+2)Y=9x+16题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线”例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。
(2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。
解：(1)做法仿照例1可得切线方程为x-y-2=0(2)设切点为(x0,y0),则有y0=x03-3x0f’(x0)=3x02-23x02-2=k=(y0+1)/(X0-1)3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1)解得x0=1或x0=-1/2当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1)此时切线方程为x-y-2=0当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点就是切点，而“过点A”包括了A点是切点和A点不是切点两种情况。
以上就是主要的三种题型，我们发现求切线方程最关键的就是求出切点，利用切线的斜率等于切点处函数的导数，但若函数在(x0,y0)处的导数不存在时，该切线方程为y= y0。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程是导数的重要应用之一。
求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。
设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。
若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。
下面例析四种常见的类型及解法。
类型一：已知切点，求曲线的切线方程这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。
例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。
例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。
例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。
设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.类型四：已知两曲线的交点，求切线方程这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。
例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。
两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。
例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。
解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。
已知切点 如何用导数求函数的切线方程
已知切点如何用导数求函数的切线方程
1、函数的切线方程的概念
切线是指某个函数f(x)在x0处的切点处，通过这个点的切线方程。
它是与该点的切线，即一般式为 ax+by+c=0的直线方程，它的斜率可通过x0的的某一处的切点来确定。
切线的斜率，即该直线的斜率，可用导数的定义来确定。
2、使用导数求函数切线方程的方法
(1)在给定的函数f(x)中，确定f(x)在x0处有切点；
(2)计算f'(xo),即在x0处函数的导数，则获得切线斜率k=f'(x0)；
(3)由已知点(x0,f(x0))，通过斜率k求出函数的切线方程：y-
f(x0)=f'(x0)(x-x0)，或y=f'(x0)x-f'(x0)x0+f(x0)。
3、函数的切线方程求解步骤
(1)确定切点处的函数坐标x0和f(x0);
(2)计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；
(3)用求得的斜率求出函数的切线方程，即y-f(x0)=f'(x0)*(x-x0)；
(4)可以将此切线方程展开求出其系数，即y=kx+c，其中k=f'(x0)，c=-f'(x0)x0+f(x0)。
4、导数确定切线斜率的原理
如果某一函数f(x)在某点x0处的切点，那么从这个点向外延伸的切
线的斜率即为f'(x0)，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
因为函数的导数代表了函数f(x)在某点处的斜率。
当给定某一点的函数坐标时，可以利用函数的导数求出该点外延伸的切线的斜率。
用导数求切线方程的四种类型
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导数大于0表示函数在对应区间内 单调递增
导数小于0表示函数在对应区间内 单调递减
导数在几何上表导数等于0时，函数可能存在拐点或极值点 导数小于0时，函数在对应区间内单调递减
导数等于切线斜率 导数可以求出切线的斜率
导数在求切线方程中起到关 键作用
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切线与该点处的切线垂直
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切线方程的求解需要用到切点处的 坐标和斜率
确定函数表达式 确定导数表达式 计算导数值 代入切点坐标
代入切点坐标求斜率要细心 切线斜率与函数值大小无关 切线方程的形式要正确 切线方程与函数解析式不同
切线方程的书写格式要正确 切线斜率的计算要准确 切点坐标的选取要合理 切线方程的求解方法要规范
切线斜率：通 过将切点坐标 代入导函数中，
求得斜率为 f'(x0)
切线方程：利 用点斜式方程 y-y0=f'(x0)(xx0)，得到切线
方程
确定函数在某点的导数 利用导数求出该点的切线斜率 根据切线斜率和已知点写出切线方程 验证切线方程是否符合题意
切点是曲线上某一点，在该点处函 数的导数存在
切点处函数值必须为零
汇报人：XX
导数与切线斜率的关系是密 切相关的
切点是曲线上某 一点，在该点处 曲线的切线存在
切点处的导数值 即为切线的斜率
切点坐标由曲线 方程和切线斜率 共同确定
切点是唯一确定 的，但切线方程 可能有多种形式
确定函数表达 式
求导函数
代入切点坐标
计算切线斜率
切点坐标：已 知曲线上的一 个点，记为(x0,
y0)
定义：切线方 程是表示切点 与曲线在某一 点的切线关系
导数求切线方程的四种类型试题资料讲解
导数求切线方程的四种类型试题
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用导数求切线方程的四种类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+
Ｄ．45y x =-
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）
Ａ．230x y -+=
Ｂ．230x y --=
Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1
y x
=相切的直线方程．
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例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．。
如何利用导数求解曲线的切线方程-精品文档
如何利用导数求解曲线的切线方程求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，其关键在于求出切点及斜率。
下面例析三种常见的类型及其解法。
一、已知斜率，求曲线的切线方程例1.抛物线y=x2与直线2x-y+4=0平行的切线方程是（）A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0分析：此类题目只需利用斜率求出切点，再用点斜式即可求出方程。
解：设切点为P（x0，y0），则k=y′|x=x0=2x0=2，所以x0=1，由此可得切点为（１，１），故所求的切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，选D。
二、已知一点，求曲线在这一点的切线方程例2.曲线f（x）=x3-3x2+1在点（１，－１）处的切线方程是（）A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x-3D.y=4x-5分析：显然点（１，－１）就是切点，只需求出切线的斜率即可。
解：由f（x）=x3-3x2+1得f′（x）=3x2－６x，则在点（１，－１）处切线的斜率k=f′（１）＝３，故所求的切线方程为y-（－１）＝－３（x-1），即y=-3x+2，选Ｂ。
三、已知一点，求曲线过这一点的切线方程例3.已知函数f（x）=x3-3x，过点Ｐ（０，１６）作曲线的切线，求此切线方程。
分析：点Ｐ不在曲线上，一定不是切点，故应设出切点并求出切点，进而求出切线斜率，从而得到切线方程。
解：设切点为Ｍ（x0，y0），则y0=x03-3x0由f（x）=x3-3x得y′=3（x2-1）所以，所求切线的方程为y-y0=3（x02-1）（x-x0）即y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0）又点Ｐ（０，１６）在切线上，则有16-（x03-3x0）＝３（x02-1）（０-x0）化简得x03＝－８，∴x0=-2所以，切点为M（－２，－２），切线方程为9x-y+16=0 例4.求曲线y=x3-2x过点Ｐ（1，-1）的切线方程。
分析：点Ｐ（1，-1）在曲线上，必有一条以P为切点的切线，但同时也要考虑到点P不是切点的情况。
求导公式练习及导数与切线方程.docx
考点分析：以解答题的形式考查函数的单调性和极值；近几年高考对导数的考查每年都有, 选择题、填空题、解答题都出现过，且最近两年有加强的趋势。
知识点一：常见基本函数的导数公式（1 ）： f ： - ■-（ C 为常数-（2'I （n为有理数）/⑴=（3）/（A）=SE 兀，/ '⅛）=（4）了S）Fg，/ 'l⅛）==- sin K （5）了⑴ F, WZ（6） J-FIn&（7）丁（町=恤卞，了（可（8）「∙' √ ■，I- 工知识点二：函数四则运算求导法则设/（兀），宫G）均可导（1）和差的导数:UXQ±g（χ）]T0±N（χ）（2）积的导数：J ； Z . I Z I .■ ：■' 1Z 1丄I=J r gg〔补-fg 宣S（3）商的导数:一―「三二（"：「-）知识点三：复合函数的求导法则1•一般地，复合函数•- -H-对自变量K的导数」：，等于已知函数A对中间变量■- 「'儿的导数「丄，乘以中间变量仅对自变量T的导数'、，即■"--亠二或∕,J<P（⅛]=∕,⅛）-<P W题型一：函数求导练习例一：函数y=e x sinx的导数等于______________例二：函数y= （x2+ι）e x的导数为_______________例三：函数f (x) =CoS (2- 3x)的导数等于_____变式练习：1求函数y=—二的导数.2.求函数y= (1+cos2x) 2的导数.3 .求y=e2x cos3x 的导数.题型二：用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(χo, y o)及斜率，其求法为：设P(χo, y o)是曲线y f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y y o f (X O)(X X o).若曲线y f (x)在点P(xω f(x°))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为X X0.下面例析四种常见的类型及解法.类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f (X),并代入点斜式方程即可.例1曲线y X33X2 1在点(1, 1)处的切线方程为( )A.y 3x 4B. y 3x 2C. y4x 3D. y 4x 5解：由 f (x) 3x26x则在点(1, 1)处斜率k f (1) 3 ,故所求的切线方程为y ( 1)3(x 1),即y 3x 2 ,因而选B.2 8待定切点法.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程类型「二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决∙例2与直线2x y 4 0的平行的抛物线y χ2的切线方程是( )A. 2xy30 B∙ 2xy30C. 2x y 1 0D. 2x y 1 0解：设P(X o, y o)为切点，则切点的斜率为y ∣χ X。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
用导数求切线方程地四种类型
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
利用导数求曲线的切线和公切线以及切线条数专题总结.doc
导数中的切线问题专题总结一、求切线方程1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx－f x 0Δx .(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k .(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．例1.已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．例2.已知曲线y＝1 x .(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．3.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是二、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标例1.已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.．变式练习直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．三、求两个函数公切线公切线问题：切点相同。
()()00x g x f =()()00''x g x f =切点不同。
()()()()k x g x f mkx x g m kx x f ==+=+=212211'',例1、 已知直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线x e y =的切线，求k 和b 的值解析：例2.若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是y =ln(x +1)的切线，求b 的值例3．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=2﹣（x ＞0）（1）试判断当f （x ）与g （x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f （x ）和 y=g （x ）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；变式练习1.两曲线y =x 2−1和y =alnx −1存在公切线，则正实数a 的取值范围变式练习2.若曲线y =12e x 2与曲线y =alnx 在它们的公共点P （s,t ）处有公切线，则实数a =变式练习 3.已知函数()()1263,1163223++=--+=x x x g ax x ax x f 和直线m:9+=kx y ,又()01'=-f ，是否存在k,使直线m 既是曲线()x f y =的切线，又是曲线()x g y =的切线？如果存在，求出k 的值四、切线条数切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数例1.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例2.已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ．（1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；（2）若过点P （a ，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f （x ）相切，求a 的取值范围．变式练习.已知函数f （x ）=x 2+2（1﹣a ）x ﹣4a ，g （x ）=﹣（a+1）2，则f （x ）和g （x ）图象的公切线条数的可能值是 ．。
专题一用导数求切线方程四种类
用导数求切线方程的四种种类求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的要点在于求出切点P(x，y)及斜率，其求法为：设P(x，y)是曲线yf(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：yy0f(x)(x x)．若曲线f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为xx．下边例析四种常有的种类及解法．种类一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可．例1曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为（）Ａ．y3x 4Ｂ．y3x 2Ｃ．y4x3Ｄ．y4x51解：由f(x)3x26x则在点(1，1)处斜率k f(1)3，故所求的切线方程为y(1)3(x1)，即y3x2，因此选Ｂ．练习：1．设f′(x0)＝0，则曲线A．不存在C．与x轴垂直y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B．与x轴平行或重合D．与x轴斜交)答案B2.已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA )与f′(xB)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不可以确立答案B2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()A．－4B．0C．4D．不存在答案B10．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2B．42D．6C．6＋6·Δx＋2·(Δx)答案D4．函数y＝sin2x的图像在π1处的切线的斜率是() 6，4答案D剖析将函数y＝sin2x看作是由函数y＝u2，u＝sinx复合而成的．分析∵y′＝2sinxcosx，πππ3∴y′|x ＝6＝2sincos＝2661在点7)处切线的倾斜角为()2．曲线y＝x3－2(－1，－33A．30°B．45°C．135°D．60°答案B6．y＝x3的切线倾斜角的范围为________．π答案[0，2)分析k＝y′＝3x2≥0.8．设点P是曲线y＝x3－ 3x＋23上的随意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是()∪5π，π26∪π，π3π答案D分析由y′＝3x2－3，易知y′≥－3，即tanα≥－3.20≤α<2或3π≤α<π.14．已知曲线C：y＝x3，求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．分析将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．Δy x＋Δx3－x3∵y′＝lim＝limΔxΔxΔx→0Δx→0πlim3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3ΔxΔx→0lim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，Δx→0y′|x＝1＝3.∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.114．求曲线y＝sinx在点A(6，2)处的切线方程．分析∵y＝sinx，∴y′＝cosx.ππ331y′|x＝6＝cos6＝2，k＝2.3π∴切线方程为y－2＝2(x－6)．化简得6 3x－12y＋6－3π＝0.x6．曲线y＝x－2在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1答案D例3求曲线y＝1在点(4，1)处的切线方程．x2－3x2【思路剖析】将函数变形为y＝(x2－3x)－12，将其看做是由函数y＝u－12、u＝x2－3x复合而成．【分析】∵y＝1＝(x2－3x)－1，x2－3x2∴y′＝－1(x2－3x)－3·(x2－3x)′22＝－1(x2－3x)－3·(2x－3)．2211∴曲线y＝在点(4，)处的切线斜率为x2－3x21 (4235k＝y′|x＝4＝－－3×4)－·(2×4－3)＝－.22161∴曲线在点(4，2)处的切线方程为15y－2＝－16(x－4)，即5x＋16y－28＝0.研究3本题不要将函数y＝1看做是由y＝1，u＝v，vx2－3xu＝x2－3x三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思虑题3(1)曲线y＝3x2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．【答案】3x－2y＋1＝01的水平切线方程是________．(2)y＝1－x2【分析】令y′＝0，得x＝0，∴y＝1.12．求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积．答案x＋y＋2＝0；21x8．曲线y＝e2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()e2B．4e2C．2e2D．e2答案D11x分析∵y′＝·e2，2∴切线的斜率k＝y′|x＝4＝12e2.1∴切线方程为y－e2＝2e2(x－4)．∴横纵截距分别为2，－e2，∴S＝e2，应选D.111．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案3分析f′(1)＝1，f(1)＝1×1＋2＝5，∴f(1)＋f′(1)＝3.2225．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)＋f′(2)＝________.9 答案 28分析由题图知，切线方程为4x ＋错误!＝1，9f(2)＝·(1－4)＝4，f′(2)＝－错误!＝－错误!.9 9 9∴f(2)＋f′(2)＝4－8＝8.种类二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线2x y40的平行的抛物线y x 2的切线方程是（） Ａ．2xy30Ｂ．2xy30Ｃ．2xy10Ｄ．2xy1 02解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|xx 0 2x 0 2．∴x 0 1．由此获得切点(11)，．故切线方程为y12(x 1)，即2x y1 0，应选Ｄ． 评注：本题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2x b，代入y x2，得x22xb0，又因为0，得b1，应选Ｄ．练习：3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为() A．(－2，－8)B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8)11 D．(－，－)28答案B13．若曲线y＝2x3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．2x0＋Δx3－2x30分析∵y′|x＝x0＝lim＝6x 20，Δx→06x20＝6.∴x0＝±1故.(1,2)，(－1，－2)为所求．3．已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为1，则切点的横坐42标为()A．3B．2C．1答案A分析1x－31131 y′＝x，由x－＝.22x2得x＝3或x＝－2.因为x>0，因此x＝3.3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么() A．f′(x0)＝0B．f′(x0)<0C．f′(x0)>0D．f′(x0)不可以确立答案B5．假如曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案B7．在曲线y＝x2π上切线的倾斜角为的点是()4A．(0,0)B．(2,4)11)11)C．(，16D．(，424答案D2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0答案A分析∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，∴由切线l的斜率是4，得4x3＝4，∴x＝1.∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.应选A.11．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．答案4x－4y－1＝04－1分析k＝2－－1＝1，又y′＝2x，令2x＝1，得1x＝2，从而1y＝4，∴切线方程为y－14＝1·(x－12)，即4x－4y－1＝0.13．假如曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x－y－4＝013．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案3x－y－11＝0分析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1，时y＝－14.∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x －y－11＝0.19．设直线y＝2x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．答案ln2－14．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．11C．－2D．－1答案A14．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.答案2分析由题意得y′＝ae ax，y′|x ＝＝ae a×0＝2，a＝2.10．函数f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点P(2π，0)，而且在点P处的切线斜率为4，则f(x)的最小正周期为()A．2πB．π答案B分析22πa. f′(x)＝acosax，∴f′(2＝π)acos2又asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z.f′(2＝π)a2coskπ＝4，∴a＝±2.2π∴T＝|a|＝π.6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是() B．25C．3 5D．0答案A2分析y′＝2x－1＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d＝|2×1－0＋3|＝5.22＋1219．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．16答案272分析y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得1x1＝1或x2＝－3.114∴两个切点分别为(1,2)和(－3，－27)．切线方程为x－y＋1＝0和x－y－275＝0.5|1＋|2d＝2＝27.27种类三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说法正确的选项是()A．曲线的切线和曲线有交点，这点必定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点必定是切点C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不必定存在答案D例3求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．3解：假想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|x x03x022．∴切线方程为yy0(3x22)(x x)．y(x32x)(3x22)(xx0)．又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x032x)(3x22)(1x)．解得1．x1，或x02故所求切线方程为y (12)(32)(x1)，或y1132x1，842即xy20，或5x4y10．评注：能够发现直线 5x 4y 10其实不以(1，1)为切点，其实是经过了点(1，1)且以 1 7为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，， 2 8该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：种类四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点(2，0)且与曲线y1相切的直线方程． x4解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y|xx 0 1．x 20 ∴切线方程为yy 0 1(x x 0) ，即 y 1 1(xx 0) ．x 0 2 x 0 x0 2又已知切线过点(2，0)，把它代入上述方程，得 1 1x0 2(2x 0)．x0 解得x 01，y 0 1 1，即xy20．x 0评注：点(2，0)其实是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判 断它确实切地点，充足反应出待定切点法的高效性例5 已知函数yx 33x ，过点A(016)， 作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为yx 33x ，点A(016)，不在曲线上．设切点为M(x 0，y 0)，则点M 的坐标知足y 0x033x 0．因f(x 0)3(x2 1)，故切线的方程为yy 03(x21)(x x0)．点A(016)，在切线上，则有16(x 0 3 3x 0) 3(x0 2 1)(0x 0)．化简得x 038，解得x0 2．因此，切点为M(2，2)，切线方程为9x y 160．评注：此类题的解题思路是，先判断点A能否在曲线上，若点A在曲线上，化为种类一或种类三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y＝x2，求过A(3,5)点且与曲线相切的直线方程．分析解法一设过A(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.y＝kx＋5－3k由y＝x2，得x2－kx＋3k－5＝0.k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0.k＝2或k ＝10.所求的直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.y′|x＝x0＝2x0.5－y0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝由已知kPA＝2x0，即3－x05.18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0B．1 C．2D．3答案D分析明显P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．P(2,2)在切线上，2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1±3.∵有三个切点，∴由P向S作切线能够作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0B．－4C．－2D．2答案B分析f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.f′(0)＝2f′(1)＝－4.12．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()1A．4B．－41C．2D．－2答案A分析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y＝e x上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y＝15x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程．分析(1)∵y′＝e x，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e.1∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为k＝－e.1∴所求直线方程为y－e＝－e(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.(2)∵切线与y＝－x＋3垂直，∴切线斜率为 1.又y′＝x4，令x4＝1，∴x＝±1.∴切线方程为5x－5y－4＝0或5x－5y＋4＝0.4．y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝()D．1答案B分析由已知{y ＝ax 2＋1，y ＝x 有独一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有独一解，1∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝4.15．点P 在曲线y ＝f(x)＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．分析 设P(x 00 2 ＋1. 00，y)，则y ＝x0 x 0＋Δx 2＋1－ x 02＋1 ＝2x 0. f′(x)＝lim ΔxΔx→0因此过点P 的切线方程为y －y0＝2x0(x －x0)，即y ＝2xx ＋1－x 2.00而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，因此切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由{ y ＝2x 02 2 0 y ＝－2x －1， 得x ＋1－x ，2 22x ＋2x0x ＋2－x0＝0.2 2即＝4x 0－8(2－x)＝0.±23 7解得x 0＝ 3 ，y0＝.3因此点P 的坐标为(23，7 )或(－ 2 3 3，7 )．3 3 3 17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．分析 设切点坐标为(x 0 0 0 20 0，y)，y′|x＝x ＝3x －6x ＋2＝k.若x 0 0 0 0y0 .＝0，则k ＝2.若x ≠0，由y ＝kx ，得k ＝ x ∴3x 02－6x 0＋2＝y，x0即3x0203203x－3x＋2x000－6x＋2＝x0.解之，得x＝2.3231∴k＝3×(－6×＋2＝－4.2)2综上，k＝2或k＝－1.416．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．分析∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2,0)，a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.关于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2,0)，则4b＋c ＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.1．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．剖析(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出1直线方程；(2)求面积用S＝2a·h即可达成．分析(1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(x0,y0)，因为l1⊥l2。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
导数的几何意义之切线方程
导数的几何意义之求切线方程考点一：求切线方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y =f (x )在点x =x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y =f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)·(x -x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．考点二：求切线方程曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】1.曲线y =e xx +1在点1,e2 处的切线方程为( )A.y =e 4x B.y =e2xC.y =e 4x +e 4D.y =e 2x +3e4【答案】C【详解】设曲线y =e x x +1在点1,e2 处的切线方程为y -e2=k x -1 ，因为y =e xx +1，所以y=e x x +1 -e x x +1 2=xe x x +12，所以k =y x =1=e4所以y -e 2=e4x -1所以曲线y =e x x +1在点1,e 2 处的切线方程为y =e4x+e4.故选：C 2.若曲线y =x -12在点a ,a-12处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =( )A.64B.32C.16D.8【答案】A【详解】求导数可得y=-12x -32，所以在点a ,a -12 处的切线方程为：y =-12a -32x +32a -12，令x =0，得y =32a -12；令y =0，得x =3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×32a -12×3a =94a 12=18，解得a =64故选A ．3.已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3 B.2C.1D.12【答案】A【详解】设切点为x 0,y 0 ，x 0>0，由题知：y =12x -3x，所以12x 0-3x 0=12，解得：x 0=3或x 0=-2(舍去).故选：A4.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0，b )处的切线方程是x -y +1=0，则( )A.a =1，b =1 B.a =-1，b =1C.a =1，b =-1 D.a =-1，b =-1【答案】A【详解】由题意可知k =y |x =0=(2x +a )|x =0=a =1，又(0，b )在切线上，解得：b =1.故选：A .5.设曲线y =x +1x -1在点(3，2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a =A.2 B.12C.-12D.-2【答案】D【详解】y =x-1-(x+1)(x-1)2=-2(x-1)2,y |x=3=-2(3-1)2=-12,直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2,故选D6.若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为( )A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【答案】D【详解】设直线l在曲线y=x上的切点为x0,x0，则x0>0，函数y=x的导数为y =12x，则直线l的斜率k=12x0，设直线l的方程为y-x0=12x0x-x0，即x-2x0y+x0=0，由于直线l与圆x2+y2=15相切，则x01+4x0=15，两边平方并整理得5x20-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-1 5(舍)，则直线l的方程为x-2y+1=0，即y=12x+12.故选：D.7.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】-∞,-4∪0,+∞【详解】∵y=(x+a)e x，∴y =(x+1+a)e x，设切点为x0,y0,则y0=x0+ae x0,切线斜率k=x0+1+ae x0,切线方程为：y-x0+ae x0=x0+1+ae x0x-x0,∵切线过原点，∴-x0+ae x0=x0+1+ae x0-x0,整理得：x20+ax0-a=0,∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是-∞,-4∪0,+∞,故答案为：-∞,-4∪0,+∞8.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4.【详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.由y =1-4x2=-1，得x=2(-2舍)，y=32，即切点Q(2,32)，则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，故答案为4．9.设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点Ρ处的切线垂直，则Ρ的坐标为．【答案】(1，1)【详解】设P(x0,y0).对y=ex求导得y′=ex，令x=0，得曲线y=ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y=1x(x>0)上点P处的切线斜率为-1，由y x=x0=-1x02=-1，得x0=1，则y0=1，所以P的坐标为(1，1)．10.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】y=1e x，y=-1e x【解析】法一：当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y=1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；因为y=ln x 是偶函数，图象为：所以当x<0时的切线，只需找到y=1e x关于y轴的对称直线y=-1e x即可.法二：因为y=ln x ，当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y =1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x1，由y =1x，所以y |x=x1=1x1，所以切线方程为y-ln-x1=1x1x-x1，又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x1-x1，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=1-e x+e，即y=-1e x；故答案为：y=1e x；y=-1e x.【趁热打铁】一、单选题1.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+12.曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是( )A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-23.曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=04.曲线y=x2x-1在点(1，1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.曲线y=x3-2x+4在点1，3处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.135°7.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e8.曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( ).A.2eB.eC.2D.19.曲线y=e x在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e2B.2e2C.e2D.e2210.曲线y=13x3+x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.13C.29D.2311.曲线y=e-2x+1在点0,2处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D.112.曲线y=e12x在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e2B.4e2C.2e2D.e213.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A.-9B.-3C.9D.1514.已知曲线y=x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.415.已知曲线y=ae x+x ln x在点1,ae处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-116.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则α的值为( )A.1B.2C.-1D.-217.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=( )A.0B.1C.2D.318.已知曲线y=x4+ax2+1在点-1，a+2处切线的斜率为8，a=( )A.9B.6C.-9D.-619.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=020.设曲线y=ax2在点1,a处的切线与直线2x-y-6 =0平行，则a=( )A.-1B.1C.-12D.12二、填空题21.曲线y=cos x-x2在点0,1处的切线方程为.22.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为．23.曲线y=xe x+2x+1在点(0，1)处的切线方程为．24.曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为．25.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为26.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.27.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16，则a=. 28.经过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是．29.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a=．30.已知函数y=f x 的图像在点M1，f1处的切线方程是y=12x+2，则f1 +f 1 =．31.直线y=12x+b是曲线y=ln x,x>0的一条切线，则实数b=．32.已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y= ax2+a+2x+1相切,则a=．33.曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=．34.已知a∈R，设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为.35.过原点作曲线y=e x的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．36.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a=．【求导训练】1.求下列函数的导数：(1)y=x2+1x+x；(2)y=x sin x-x ln x；(3)y=sin x ln xx；(4)y=x x-11x+1；(5)y=e x tan x；(6)y=x2-1x+ln x；(7)y=x sin x+e x ln x-2；(8)y=x-x2x ln x；(9)y=3x+23；(10)y=sin2x；(11)y=4x-6；(12)y=ln4x+5．2.求下列函数的导数：(1)y=e-x+22x+15；(2)y=cos3x-1-ln-2x-1；(3)y=sin2x+cos2x；(4)y=2x-1x．3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=x+110；(2)y=e3x+1；(3)y=sin-2x+5；(4)y=ln3x-1；(5)y=32x-1；(6)y=tan-x+1．4.求下列函数的导数：(1)y=x2+3x+3e x+1(2)y=cos(2x+1)x(3)y=ln x1+2x(4)y=(x+1)(x+2)(x+3)(5)y=x ln x+x2-x+2(6)y=ln2+x3+e x-1e x5.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=12x-12；(2)y=sin-x+1；(3)y=e-2x+1；(4)y=cos x+3．6.求下列函数的导数：(1)y=2x+310；(2)y=e2x+1；(3)y=ln3x-2．7.求下列函数的导数：(1)y=13x-1；(2)y=cos(1-2x)．8.求下列函数的导数：(1)y=(2x-3)3；(2)y=ln(5x+1)．9.求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)3；(2)y=e-0.05x+1；(3)y=ln(2x-1)．10.计算下列函数y=f x 的导数，其中：(1)f x =π2+sin-x；(2)f x =3x-1x3；(3)f x =12x-53-4x；(4)f x =cos xx2．。
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题型一：利用导数去切线斜率
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f ( x) ，并代入点斜式方程即可．
例 1 曲线 y x3 3x2 1 在点 (1， 1) 处的切线方程为
解：由 f (x) 3x2 6 x 则在点 (1， 1) 处斜率 k f (1) 3 ，故所求的切线方程为 y ( 1) 3( x 1) ，即 y 3x 2 ，．类型二：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例 2求过曲线y x32x 上的点 (1， 1) 的切线方程．
类型三：已知过曲线外一点，求切线方程练习：、
y 1 在1，处的切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
1 x 1 (
2 1)
1 、 3
2 在，处的切线方程
例 3 求过点 (2，0) 且与曲线 y 2 y x 3x 1 (1 1)
相切的直线方程．
x
3、曲线 y xe x 1在 (0， 1)处的切线方程
5、曲线 y sin x e x 2在 x 0处的切线方程
题型二：利用导数判断函数单调性
总结求解函数f(x) 单调区间的步骤:练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
（1）确定函数 f(x) 的定义域；
（2）求 f(x) 的导数 f'(x) ；
（ 3）解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
（ 4）解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
例 1. ：已知导函数的下列信息：
注意：
（1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。
（2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。
练习 . ：如果函数的图像如下图 ,
那么导函数的图像可能是（）
1、求函数的单调区间。
2、求函数f(x)=2sinx ﹣ x 的单调区间。
3. f (x) 4 x2 2x2 8
3
4. f (x) 3x2 2ln x
题型三 . 利用函数单调性，求有关参数的取值范围。
（1）
（2）
例 1. 已知 f(x)=2ax- 1 ,x 在（ 0,1 】上是增函数，求 a 的范围。
2
x
例 2. f（x）x3 - ax - 1
（1）若 f （ x）在 R 上为增函数，求 a 的范围
（2）是否存在 a，在 f （ x）在（ -1,1 ）上位减函数
题型四：利用导数研究函数极值与最值
1.判别 f ( x0)是极大、极小值的方法:
若 x0满足 f ( x0 ) 0 ，且在 x0的两侧 f ( x) 的导数异号，则 x0是 f (x) 的极值点， f (x0 ) 是极值，并且如果 f ( x) 在 x0两侧满足“左正右负”，则 x0是 f ( x) 的极大值点， f ( x0 ) 是极大值；如果 f ( x) 在 x0两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f (x) 的极小值点， f (x0 ) 是极小值
2.求可导函数 f ( x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数 f ′( x)
(2)求方程 f ′( x)=0的根
(3) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f′ ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f ( x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f ( x)在这个根处取得极小值；如果
左右不改变符号，那么 f ( x)在这个根处无极值
3、例子：
例 1 求y= 1
x3－ 4x+4 的极值3
解： y′=(1
x3－4x+4)′=x2－4=( x+2)( x－2) 3
令 y′=0，解得 x1=－2， x2=2
当 x 变化时， y′， y 的变化情况如下表
x,2-2 y+0 y↗极大值
(-2,2)22,
－0+ 28 4
↘极小值↗3 3
∴当 x=－2时， y 有极大值且y 极大值= 28 3
当 x=2时， y 有极小值且y 极小值=－
4
3 练习 1. 求 f(x)=x3 -12x 的极值
2. 设 a 为实数 , 函数
f (
x
)
x
3
x
2 .
x a
( Ⅰ) 求f ( x)的极值 .
13
2
3.设函数 f ( x)x2ax3ax1，其中0a 1 .
（ 1）求函数 f (x) 的极值；
4.. 已知 a 为实数，
f (
x
) (
x
2 4)( )
x a
（ 1）若f ( 1) 0 ，求 f ( x) 在[ －2，2] 上的最大值和最小值；
5．在区间上的最大值是
6．已知函数处有极大值，则常数c＝；。