用导数求切线方程的四种类型.doc

题型一：利用导数去切线斜率

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f ( x) ，并代入点斜式方程即可．

例 1 曲线 y x3 3x2 1 在点 (1， 1) 处的切线方程为

解：由 f (x) 3x2 6 x 则在点 (1， 1) 处斜率 k f (1) 3 ，故所求的切线方程为 y ( 1) 3( x 1) ，即 y 3x 2 ，．类型二：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例 2求过曲线y x32x 上的点 (1， 1) 的切线方程．

类型三：已知过曲线外一点，求切线方程练习：、

y 1 在1，处的切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

1 x 1 (

2 1)

1 、 3

2 在，处的切线方程

例 3 求过点 (2，0) 且与曲线 y 2 y x 3x 1 (1 1)

相切的直线方程．

x

3、曲线 y xe x 1在 (0， 1)处的切线方程

5、曲线 y sin x e x 2在 x 0处的切线方程

题型二：利用导数判断函数单调性

总结求解函数f(x) 单调区间的步骤:练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。（1）确定函数 f(x) 的定义域；

（2）求 f(x) 的导数 f'(x) ；

（ 3）解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；

（ 4）解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．

例 1. ：已知导函数的下列信息：

注意：

（1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。

（2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。练习 . ：如果函数的图像如下图 ,

那么导函数的图像可能是（）

1、求函数的单调区间。

2、求函数f(x)=2sinx ﹣ x 的单调区间。

3. f (x) 4 x2 2x2 8

3

4. f (x) 3x2 2ln x

题型三 . 利用函数单调性，求有关参数的取值范围。

（1）

（2）

例 1. 已知 f(x)=2ax- 1 ,x 在（ 0,1 】上是增函数，求 a 的范围。

2

x

例 2. f（x）x3 - ax - 1

（1）若 f （ x）在 R 上为增函数，求 a 的范围

（2）是否存在 a，在 f （ x）在（ -1,1 ）上位减函数

题型四：利用导数研究函数极值与最值

1.判别 f ( x0)是极大、极小值的方法:

若 x0满足 f ( x0 ) 0 ，且在 x0的两侧 f ( x) 的导数异号，则 x0是 f (x) 的极值点， f (x0 ) 是极值，并且如果 f ( x) 在 x0两侧满足“左正右负”，则 x0是 f ( x) 的极大值点， f ( x0 ) 是极大值；如果 f ( x) 在 x0两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f (x) 的极小值点， f (x0 ) 是极小值

2.求可导函数 f ( x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数 f ′( x)

(2)求方程 f ′( x)=0的根

(3) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f′ ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f ( x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f ( x)在这个根处取得极小值；如果

左右不改变符号，那么 f ( x)在这个根处无极值

3、例子：

例 1 求y= 1

x3－ 4x+4 的极值3

解： y′=(1

x3－4x+4)′=x2－4=( x+2)( x－2) 3

令 y′=0，解得 x1=－2， x2=2

当 x 变化时， y′， y 的变化情况如下表

x,2-2 y+0 y↗极大值

(-2,2)22,

－0+ 28 4

↘极小值↗3 3

∴当 x=－2时， y 有极大值且y 极大值= 28 3

当 x=2时， y 有极小值且y 极小值=－

4

3 练习 1. 求 f(x)=x3 -12x 的极值

2. 设 a 为实数 , 函数

f (

x

)

x

3

x

2 .

x a

( Ⅰ) 求f ( x)的极值 .

13

2

3.设函数 f ( x)x2ax3ax1，其中0a 1 .

（ 1）求函数 f (x) 的极值；

4.. 已知 a 为实数，

f (

x

) (

x

2 4)( )

x a

（ 1）若f ( 1) 0 ，求 f ( x) 在[ －2，2] 上的最大值和最小值；

5．在区间上的最大值是

6．已知函数处有极大值，则常数c＝；