三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD BC即可。
因为CF AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得 (2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形垂心性质
三角形垂心性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1中考数学重点：三角形垂心性质三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。
、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/APtanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松（Simson）定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
中考数学重点：三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形四心及其性质总结
三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。
这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。
下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。
一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。
重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。
重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。
2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。
3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。
4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。
二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。
垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。
2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。
3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。
三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。
2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。
3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。
4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。
内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
垂心的性质
垂心在三角形中的 特殊性质
垂心在三角形中的 证明方法ຫໍສະໝຸດ 垂心在几何证明中 的实际应用
垂心的扩展知识
三角形的其他心
内心：角平分 线的交点，也 是垂足三角形 的高线所在直 线与边的交点
外心：三条垂 直平分线的交 点，也是三角 形外接圆的圆
心
重心：三条中 线的交点，也 是三角形三条
高的交点
九点圆：三角 形三边的中点、 三高的垂足和 垂心本身都在
垂心定理：三角形垂心的性质在几何证明中有着广泛的应用，它可以证明许多与三角形相关的定理 和性质。
三角形面积：通过垂心性质，可以证明三角形面积的公式，以及三角形面积与其他几何量之间的关 系。
三角形不等式：垂心的性质还可以用于证明三角形不等式，例如三角形两边之和大于第三边的性质。
三角形内角和：利用垂心的性质，可以证明三角形内角和等于180度的定理。
垂心与三角形的其他心之间的关系
垂心与内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。 垂心与外心：外心是三角形三条垂直平分线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。
垂心与重心：重心是三角形三条中线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。
垂心的性质在几何证明中的应用
垂心在三角形解法中的应用
垂心定理：三 角形垂心的性 质定理，用于 解决三角形问
题
垂心性质：三 角形垂心的性 质，包括面积、
高线等
垂心定理的应 用：利用垂心 定理解决三角 形问题的实例
垂心在三角形解 法中的重要性： 垂心在三角形解 法中的重要地位
和作用
垂心在几何证明中的应用
垂心与三角形面积 的关系
垂心的判定方法
三角形三边的中线交于一点，该点 即为三角形的垂心。
三垂线定理知识点总结
三垂线定理知识点总结一、三垂线定理的定义三垂线定理是指在一个三角形中，三条垂线经过一个顶点交于同一点。
具体来说，如果在一个三角形中，我们分别从三个顶点做垂线，那么这三条垂线会相交于同一个点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心是三角形内心的一种特殊情况，也是三角形的一个重要点。
二、三垂线定理的性质1. 三角形的垂心是三角形内心的一种特殊情况。
2. 三角形的垂心到三条边的距离相等。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂径，垂心到垂径的距离相等。
4. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂线，垂心到垂线的距离最小。
5. 三角形的三个垂线相交于同一个点。
三、三垂线定理的证明三垂线定理的证明需要借助一些平面几何的知识和方法。
一般来说，我们可以采用反证法来证明三垂线定理，具体步骤如下：1. 假设垂心不是三个垂线的交点，即存在一个点不受三个垂线的影响。
2. 利用垂线的定义和性质，通过绘制辅助线和辅助角等方法，得出矛盾结论。
3. 由矛盾推出假设错误，即证明垂心是三个垂线的交点。
三垂线定理的证明比较复杂，需要结合具体的题目和图形进行推敲，但掌握了相关的证明方法后，就可以轻松应对各种类型的证明题目。
四、三垂线定理的应用三垂线定理在解题中有着广泛的应用，特别是在证明题和计算题中。
下面通过几个例题的分析，来展示三垂线定理的应用。
例1：如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，CF ⊥ AB，垂足分别为D，E，F，连接AD，BE，CF相交于H。
证明：H是△ABC的垂心。
解：根据题意可知，H是由AD，BE，CF三个垂线相交而成的交点，而AD，BE，CF分别是△ABC三条边的垂线，所以H是△ABC的垂心。
例2：如图，点P是△ABC内部一点，PA，PB，PC分别交△ABC的边BC，CA，AB于D，E，F。
证明：若P为△ABC的垂心，则△DEF的三条边和面积与△ABC的相似。
解：首先我们可以利用三垂线定理来证明P是△ABC的垂心，然后我们可以利用相似三角形的性质来证明△DEF与△ABC的相似性。
三角形垂心性质总结
三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形的垂心与外心的性质比较
三角形的垂心与外心的性质比较三角形是几何学中最常见且重要的形状之一，而三角形的垂心和外心是与三角形内部和外部关联紧密的重要点。
本文将比较三角形的垂心和外心的性质，探讨它们在几何学中的应用。
一、垂心垂心是指三角形内部三条高的交点，也是垂直于三边的高线交于一点的位置。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，垂心到三个顶点的距离都相等，即AH = BH = CH。
2. 垂心到三角形三边的距离之和最小。
也就是说，垂心到三边的距离之和比其他任何一个点到三边的距离之和都要小。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线上，每条连线的中垂线都会经过垂心。
也就是说，三角形的垂心是三条边上中垂线的交点。
垂心在几何学中具有重要的作用。
例如，垂心是三角形三条高的交点，可以用来确定三角形的高线长度与位置，寻找三角形的垂直平分线等。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，也是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心的性质如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，外心到三个顶点的距离都相等，即OA = OB = OC。
2. 外心在三角形的外部。
也就是说，三角形的三个顶点、外心和外接圆上的一点是共圆的。
3. 外心是三角形内部角的中垂线的交点。
也就是说，三角形的外心是三个内角平分线的交点。
外心在几何学中也具有重要的作用。
例如，外心可以用来确定三角形的外接圆的位置、半径和性质，计算三角形的外心角等。
三、垂心与外心的比较垂心和外心都是与三角形内部和外部关联紧密的重要点，它们具有一些相似的性质，比如到三角形的顶点的距离相等等。
但垂心和外心也存在一些区别。
首先，垂心与三角形内部的关系更加密切，是三个高线的交点，而外心则是与三角形外接圆关联紧密的点。
其次，垂心在三角形内部，而外心则在三角形外部。
垂心到三角形三边的距离之和最小，而外心到三角形三点的距离相等。
最后，垂心和外心在几何学中的应用也有所不同。
垂心常用于确定三角形的高线、中垂线等属性，而外心常用于确定三角形的外接圆的性质以及计算外心角等。
三角形顶角和垂心角的关系
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
三角形垂心性质定理3：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
三角形垂心性质定理4：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
垂直；三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心,所以顶点与垂心的连线其实就是过顶点的高,与顶点对边肯定是垂直的。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]
![内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]](https://img.taocdn.com/s3/m/78232147eef9aef8941ea76e58fafab069dc4404.png)
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]内心、外心、重心、垂心是几何学中与三角形相关的四个重要概念。
以下是它们的定义及性质总结：1.内心（Incenter）定义：内心是三角形内切圆的圆心。
性质：o内心到三角形三个顶点的距离相等。
o内心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与内切圆半径之差的一半。
o在内心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。
2.外心（Excenter）定义：外心是三角形外接圆的圆心。
性质：o外心到三角形三个顶点的距离相等。
o外心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。
o在外心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。
3.重心（Centroid）定义：重心是三角形三条中线的交点。
性质：o重心到三角形三个顶点的距离与到三条中线的距离相等。
o重心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与外接圆半径之差的一半。
o在重心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。
4.垂心（Hypotenuse）定义：垂心是三角形各边上的高线的交点。
性质：o垂心到三角形三个顶点的距离与到三条高的距离相等。
o垂心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。
o在垂心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。
总结：内心、外心、重心和垂心在几何学中具有特殊的性质和重要性。
这些概念之间的关系可以用于证明定理和解决问题。
对于内心和外心，它们分别与三角形的内切圆和外接圆相关，而重心和垂心则分别与三角形的中线和高的交点相关。
这些概念及其性质在几何学中具有广泛的应用，例如在解决几何问题、绘制图形和证明定理等方面都有重要的应用价值。
三角形垂心的所有结论
三角形垂心的所有结论
三角形垂心是三角形三条高线的交点，它具有以下性质:
1. 三角形垂心到三角形各顶点的距离相等。
2. 三角形垂心到三角形各边的距离相等。
3. 三角形垂心到对边的中点距离是垂心到对边的垂足距离的 2 倍。
4. 三角形垂心平分每条高线的一半。
5. 三角形垂心是三角形重心、外心和内心线的交点。
6. 三角形垂心到三角形内心的距离是到三角形重心的距离的 2 倍。
7. 三角形垂心到三角形顶点的垂足距离是到对边的中点距离的2 倍。
8. 三角形垂心到三角形各边的距离是到对边的垂足距离的 2 倍。
9. 三角形垂心到三角形各顶点的垂足距离相等。
10. 三角形垂心是三角形各顶点的垂心。
这些结论有助于我们在解题时快速找到三角形垂心的位置和性质，从而更好地理解和掌握三角形垂心的概念和应用。
三角形垂心的3个结论
三角形垂心的3个结论三角形垂心是三角形中一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将探讨关于三角形垂心的三个结论。
首先，让我们来明确一下什么是三角形的垂心。
三角形的垂心是指三角形三条高所在直线的交点。
结论一：锐角三角形的垂心在三角形内部。
对于锐角三角形来说，由于其三个内角都小于 90 度，所以三条高都在三角形内部，它们的交点，也就是垂心，自然也在三角形内部。
我们可以通过简单的作图来直观地理解这一点。
想象一个锐角三角形ABC，从顶点 A 向对边 BC 作垂线，垂足为 D；从顶点 B 向对边 AC作垂线，垂足为 E；从顶点 C 向对边 AB 作垂线，垂足为 F。
这三条垂线 AD、BE、CF 必然会相交于三角形内部的一点 H，这个点 H 就是锐角三角形 ABC 的垂心。
结论二：直角三角形的垂心在直角顶点上。
在直角三角形中，其中一个角是 90 度。
比如，在直角三角形 ABC 中，如果角 C 是直角，那么边 AB 就是直角所对的斜边。
从顶点 A 向BC 作垂线，垂足就是 B 点；从顶点 B 向 AC 作垂线，垂足就是 A 点。
这两条高的交点正好就是直角顶点 C，所以直角三角形的垂心就在直角顶点上。
这是因为直角三角形的两条直角边本身就是两条高，它们相交的点就是直角顶点。
结论三：钝角三角形的垂心在三角形外部。
对于钝角三角形，其有一个角大于 90 度。
假设在钝角三角形 ABC 中，角 A 是钝角。
从顶点 B 向 AC 作垂线，垂足为 D；从顶点 C 向AB 作垂线，垂足为 E。
这两条高会在三角形内部相交。
而从顶点 A 向BC 延长线作垂线，垂足为 F，此时三条高所在直线的交点 H 就在三角形的外部。
这是因为钝角的对边的高在三角形的外部，所以垂心也就位于三角形外部。
三角形垂心的这三个结论，对于我们深入理解三角形的性质和解决相关的几何问题都具有重要的意义。
我们还可以进一步探讨垂心的一些其他性质。
比如，三角形的垂心与顶点的连线垂直于对边。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结内心、外心、重心、垂心定义及性质总结1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3重心：
（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4垂心：三条高所在直线的交点。
5重心:三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．6垂心:三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，仔细分析可找清.7内心:三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；8外心
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”XXX定义理固然．
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。
(整理)三角形垂心的质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
三角形中的垂心
三角形中的垂心三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成。
在三角形中，有一个特殊的点，被称为垂心。
垂心是指三角形的三条高线的交点，即从三个顶点到对边的垂线的交点。
垂心在三角形中具有重要的几何和物理意义。
首先，我们来介绍一下垂心的性质。
垂心的最显著特点是它到三个顶点的距离相等，这意味着它到三个顶点的距离分别是垂线的最短距离。
此外，垂心到三个顶点的连线的中点也是垂心到对边的垂线的交点，这个性质被称为垂心的中点性质。
垂心还有一个重要性质是它是三角形内心和重心的中垂线的交点。
垂心还和三角形的欧拉线有关，它是三角形的外接圆、内心、重心和垂心连线的中点。
垂心不仅在几何学中有重要的地位，也在物理学中有着广泛的应用。
在物理学中，垂心可以用来求解平衡问题。
例如，在静力学中，当一个物体受到多个力的作用时，我们可以利用垂心的性质来确定物体的平衡位置。
此外，在机械工程中，垂心也被应用在求解压力和力的分析问题上。
例如，在建筑工程中，我们可以利用垂心的性质来确定建筑物受到的力的作用方向和大小，从而保证建筑物的结构安全。
在数学研究中，垂心也是一个重要的研究对象。
不同类型的三角形具有不同的垂心性质。
例如，钝角三角形的垂心在三角形的外部，而锐角三角形的垂心在三角形的内部。
此外，垂心还可以推广到多边形中的概念。
在多边形中，与垂心相对的点称为对偶点，对偶线是连接垂心与对偶点的线段。
垂心在日常生活中也有很多实际应用。
例如，在地质勘探中，通过测量地面上的三个点的高度，可以利用垂心的性质来确定地下岩石的形状和分布。
此外，在导航和地图制作中，垂心也被用来确定位置和方向。
通过观测地面上的三个点和垂心点的位置，可以推断出导航点和地图上的方向。
总之，垂心是三角形中的一个重要概念，它在几何学、物理学、数学和日常生活中都有广泛的应用。
垂心的性质和应用使我们能够更好地理解和利用三角形的特点。
掌握垂心的概念和相关知识，不仅有助于我们解决数学和物理问题，也能帮助我们在日常生活中更好地应用几何知识。
三角形的垂直平分线与垂心性质解析
三角形的垂直平分线与垂心性质解析在三角形的几何学中，垂心是一个非常重要的概念。
垂心是指三条垂直平分线交于一个点的点，它与三角形的垂直平分线和其他特性相关联。
本文将对三角形的垂直平分线和垂心的性质进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、垂心的定义及性质垂心是指三角形三条垂直平分线的交点，记为H。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等：设三角形的顶点为A、B、C，垂心为H，那么HA=HB=HC。
2. 垂心到三角形边界的距离最短：垂心到三角形三边的距离之和最小。
3. 垂心到三条垂直平分线的距离相等：设AD、BE、CF分别为三角形ABC的垂直平分线，垂心为H，那么HA=HD=HB=HE=HC=HF。
二、垂直平分线的定义及性质垂直平分线是指将一条线段分成两个相等部分的垂直线。
对于三角形ABC的边AB、BC、CA，我们可以分别找到它们的垂直平分线DE、EF、FD。
垂直平分线的性质如下：1. 垂直平分线上的点到两个顶点的距离相等：对于垂直平分线DE，DE上的点到顶点A、B的距离相等。
2. 垂直平分线上的点到三个顶点的距离相等：对于垂直平分线DE，DE上的点到顶点A、B、C的距离相等。
3. 垂直平分线上的任意一点都在边界的垂直平分线上：对于垂直平分线DE上的点点P，P到边AB的垂直距离等于P到边AC的垂直距离。
三、垂直平分线与垂心的关系垂直平分线与垂心之间存在以下关系：1. 垂直平分线与垂心共线：垂直平分线DE、EF、FD与垂心H共线，且它们在垂心处交于一点。
2. 三角形的垂直平分线与垂心的连线垂直：以垂直平分线DE为例，连接DE与垂心H，可得到一条垂直线。
3. 垂心到三边的垂直距离最短：垂心到三边的垂直距离之和最小。
四、实际应用三角形的垂直平分线与垂心在实际生活中具有广泛应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，垂心可用于确定建筑物的重心和平衡点，以确保结构的稳定性。
2. 地理测量：在地理测量中，垂心可用于确定地球上的某个点与其他点之间的最短距离，从而实现路径规划等功能。
三角形的外心与垂心的性质比较
三角形的外心与垂心的性质比较在数学几何学中，三角形是一种基本的图形。
而三角形的外心与垂心是关于三角形最重要的几何点之一。
本文将对三角形的外心与垂心的性质进行比较。
一、三角形的外心性质三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它具有以下性质：1. 外心到三角形各顶点的距离相等：三角形的外心到每个顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
2. 外接圆半径最小：三角形的外心是外接圆的圆心，外接圆的半径是三角形各边距离外心的最远距离。
因此，外接圆的半径最小。
3. 外心到三边的距离相等：外心到三角形的三边的距离（OD、OE、OF）相等。
4. 三角形外心角度的关系：三角形的外心角等于各顶点的两倍，即∠BOC = 2∠BAC，∠COA = 2∠CBA，∠AOB = 2∠ACB。
二、三角形的垂心性质三角形的垂心是三条高线的交点，它具有以下性质：1. 垂心到顶点连线的垂直性：垂心到三角形各顶点连线上的投影垂直分别于三条边，即AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB。
2. 垂心到三角形边的距离之和最小：三角形的垂心到三条边的距离（HD、HE、HF）之和最小。
3. 与三条高线的关系：三角形的垂心到三条高线（AD、BE、CF）的距离相等。
4. 垂心角度的关系：垂心到三角形各顶点的连线与三边的夹角后紧紧贴着垂心角一起的顶角，即∠HBC = ∠BAC，∠HAC = ∠CBA，∠HAB = ∠ACB。
三、外心与垂心的比较外心和垂心是与三角形相关的两个重要点，它们具有以下比较：1. 位置关系：外心位于三角形的外部，而垂心位于三角形内部。
外心是三边垂直平分线的交点，垂心是三条高线的交点。
2. 直线关系：外心与三角形各顶点连线确定了三条边，而垂心与三角形各顶点连线形成的角构成了三条高线。
3. 距离关系：外心到三角形的三边距离相等，垂心到三角形的三边距离不等。
4. 圆心关系：外心是外接圆的圆心，垂心没有与之对应的圆。
通过比较可以看出，外心和垂心在位置、直线、距离和圆心等方面有所不同。
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三角形垂心的性质总结
山西省原平市第一中学任所怀
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE
所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE
所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：
若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得
因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，
因为，所以
所以
所以 (1)
同理：由得(2)
联立（1）（2）两式，就可解出
显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
（2005年全国一卷理科）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m =
分析：H显然为的垂心，我们可取特殊情况来猜想m的值。
于是我取为直角三角形，角A为直角，此时H点与A点重合，且O为BC的中点（如图所示）。
此时
，于是猜想m=1.
而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3：
的外心为O，垂心为H，则。
证明：作出的外接圆和外接圆直径AD，连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角，所以有，
因为H为的垂心，所以
所以HC//BD，BH//DC,所以四边形BDCH为平行四边形，所以。
因为，且
所以。
点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。
以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。
三角形垂心性质定理3：
三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
即：的外心为O，垂心为H，D为BC中点，则AH=2OD。
证明：因为D为BC中点
所以
由性质2知：得
所以AH=2OD。
点评：性质定理3，也可看做是性质定理2的推论。
三角形垂心性质定理4：
锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为
锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。
即：如图在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点。
设外接圆半径为R，内切圆半径为r,则OD+OE+OF=R+r.
证明：在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点，则OF，，
所以有
=
设中角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.
在圆O中，弧AB所对的圆心角=2C
又因OA=OB，OF，所以
OF=OA*cosC=RcosC。
同理OD=R*cosB, OE=R*cosA
所以
而由三角形内切圆的性质知：
所以
这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。
而要证OD+OE+OF=R+r，
需证：RcosA+RcosB+RcosC=R+
即需证
需证(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c
而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边，
即需证：
sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC 需证：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC
而因为A+B+C=所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC显然成立所以命题得证。
点评：此题的证明充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑然一体”（孙维刚老师语）。
通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。
三角形垂心性质定理5：
H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。
在此提出这个性质，主要是看到这里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。
这个结论进一步提醒我们要经常换个角度相问题。
三角形垂心性质定理6：
H为△ABC的垂心，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。
而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。
的直径为，的直径为，
因为HD，
所以四边形BEHD是圆内接四边形
所以
所以sinB=sin
所以=
所以，的外接圆为等圆。
同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
证明略。
点评：该题的证明过程中，应用到了性质1中的圆内接四边形性质和正弦定理。
这也正是在提示我们要注意八方联系。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我还没有发现。
我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才会有新的发现和创新。