【方明亮、郭正光】【高等数学第一学期】第04章 不定积分习题详解

第四章 不定积分

习 题 4-1

1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x

x x x x

+-=-=-⎰⎰

-

2

5232

122d )5(d )51(

（2）解：⎰+x x x

d )32(2

C x

x x ++⋅+=

3

ln 296ln 622ln 24 （3）略. (4) 解：⎰

⎰⎰

-+-=+-x x x x x x x d )1(csc d 1

1d )cot 1

1(

2222

=C x x x +--cot arcsin

(5) 解：⎰x x

x

d 2103 C x x x

x

x

x

+=

==⎰⎰80

ln 80d 80d 810 (6) 解：x x d 2sin

2

⎰

=C x x x x ++=-=⎰sin 2

1

21d )cos 1(21 (7)⎰+x x x x

d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-=+-=⎰⎰

cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 22 (8) 解：⎰x x

x x

d sin cos 2cos 2

2⎰⎰-=-=x x x x x x x x d )cos 1sin 1(d sin cos sin cos 222222 C x x +--=tan cot

(9) 解： ⎰⎰

⎰-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2=C x x +-sec tan

(10) 解：},,1max{)(x x f =设⎪⎩⎪

⎨⎧>≤≤--<-=1,11,11

,)(x x x x x x f 则.

上连续在),()(+∞-∞x f ，

)(x F 则必存在原函数，⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>+≤≤-+-<+-=1,21

11,1,21)(32212

x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F

)21(lim )(lim 12121C x C x x x +-=+-+-→-→ ，,2

1

112C C +-=+-即

)(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→ ，,12

1

23C C +=+即 ,1C C =联立并令.1,2

1

32C C C C +==＋可得

.1,12111,211,21},1max{2

2

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧>++≤≤-++-<+-=⎰x C x x C x x C x dx x 故

2. 解：设所求曲线方程为)(x f y =，其上任一点),(y x 处切线的斜率为

3d d x x

y

=，从而 ⎰+=

=C x x x y 4

34

1d 由0)0(=y ，得0=C ，因此所求曲线方程为 44

1x y =. 3.解：因为 x x x cos sin sin 212='⎪⎭⎫ ⎝⎛，x x x sin cos cos 212

='

⎪⎭⎫ ⎝⎛-

x x x x cos sin 2sin 212cos 41=='

⎪⎭

⎫

⎝⎛-

所以

x 2sin 21、 x 2cos 21-、 x 2cos 4

1

-都是x x cos sin 的原函数.

习 题 4-2

1.填空. (1)

2

1x

x d = d (x 1

- + C) (2)x x d 1 = d (x ln + C) (3)x e x

d = d (x

e + C) (4) x x d sec 2

= d (x tan + C) (5)x x d sin = d (x cos -+ C) (6) x x d cos = d (x sin + C) (7)

x x d 112

- = d (x arcsin + C) (8)

x x x d 12

- = d (21x -+ C)

(9)x x x d sec tan = d (x sec + C) (10)

x x d 1

1

2

+ = d (x arctan + C)

(11)x x

x d )1(1

+ = d (2x arctan + C) (12) x x d = d (22

x + C)

2.求下列不定积分： (1) 解：

⎰

+x x x d 4

2

)4d()4(21)24d(4

1

221

2

22++=++=⎰⎰

-x x x x

=C x C x ++=

++4)4(22

1

2

(2) 解：x x x d ln 4⎰C x x x +==⎰5ln )d(ln ln 54

(3) 解：⎰x x

e

x

d 21

C e x e x x +-=-=⎰1

1

)1d(

(4) 解：⎰++x e e e x x x d )22(32C e e e e e e

x x x x x x

+++=++=⎰

22

1

31)d()22(4332

(5) 解：

⎰

-2

94d x x C x x x x x +=-=

-=⎰

⎰

23arcsin 3

1)

23(1)

23d(

31

)2

3(

12d 22

(6) 解：

x x x x d )ln (ln 12

⎰+C x

x x x x x +-==⎰ln 1

)ln d()ln (12 (7) 解：x x x x d ln ln ln 1⎰11

d(ln )d(ln ln )ln |ln ln |ln ln ln ln ln x x x C x x x ===+⎰⎰

(8) 解：⎰-+x e e x x d 1C e e e x x x +=+=⎰arctan )d(1

1

2 （9

）解：22

11()(12)24x x x C =-

-=--= （10）解：3222

222

133d d 3323x x x x x x dx x x x +-==+++⎰⎰⎰

22222131131(3)ln(3)22322

dx d x x x C x =-+=-+++⎰⎰ （11

）解：3x x x =+

2234)38x x =+-

2arcsin

3x C =