导数及其应用.知识框架

要求层次重难点

导数及其应用导数概念及其

几何意义

导数的概念 A 了解导数概念的实际背景；

理解导数的几何意义．

导数的几何意义 C

导数的运算

根据导数定义求函数y c

=，

y x

=，2

y x

=，3

y x

=，

1

y

x

=，

y x

=的导数

C

能根据导数定义，求函数

23

y c y x y x y x

====

，，，，

1

y y x

x

==

，（c为常数）的导数．

能利用给出的基本初等函数的导数公式

和导数的四则运算法则求简单函数的导

数，能求简单的复合函数（仅限于形如

()

f ax b

+的复合函数）的导数．导数的四则运算 C

简单的复合函数（仅限于形如

()

f ax b

+）的导数） B

导数公式表 C

导数在研究函

数中的应用

利用导数研究函数的单调性（其

中多项式函数不超过三次）

C

了解函数单调性和导数的关系；能利用导

数研究函数的单调性，会求函数的单调区

间（其中多项式函数一般不超过三次）．

了解函数在某点取得极值的必要条件和

充分条件；会用导数求函数的极大值、极

小值（其中多项式函数一般不超过三次）；

会求闭区间上函数的最大值、最小值（其

中多项式函数一般不超过三次）．

会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式

函数不超过三次）

C

利用导数解决某些实际问题 B

定积分与微积

分基本定理

定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基

本思想，了解定积分的概念．

微积分基本定理 A

高考要求

模块框架

导数及其应用

了解微积分基本定理的含义．

一、导数的概念与几何意义

1．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，

则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x y

x x

+∆-∆=

∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．

注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．

如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．

“当x ∆趋近于零时，00()()

f x x f x x

+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：

“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()

lim x f x x f x l x

∆→+∆-=∆”，符号“→”读作

“趋近于”．

函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作

“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()

lim ()x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆”．

3．可导与导函数：

如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．

导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

4.导数的几何意义：

设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与

00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即

000()()lim x f x x f x x

∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．

知识内容

x 0x

y x

O

D C

B A