高中数学导数知识点归纳总结教学提纲
数学导数知识点高中总结
数学导数知识点高中总结一、导数的定义及几何意义1. 导数的定义导数的定义是陈述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点的切线的斜率。
对于函数f(x)，它在 x 点处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 几何意义导数的几何意义即为函数在某一点处的切线斜率。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数曲线在该点的切线的斜率。
二、导数的求法1. 导数的基本求导公式常见的导数的求法包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本求导公式。
例如：- (常数函数)' = 0- (x^n)' = nx^(n-1)- (e^x)' = e^x- (lnx)' = 1/x- (sinx)' = cosx- (cosx)' = -sinx- (tanx)' = sec^2x2. 导数的高阶导数高阶导数即为对函数进行多次求导得到的结果，表示函数的多次变化率。
例如二阶导数表示函数的二阶变化率，表示函数斜率的变化率。
3. 隐函数求导隐函数求导即为对含有变量的方程进行求导，通过对方程两边求导，可以求得所求的变量的导数。
4. 参数方程求导参数方程求导即为对由参数方程表示的函数进行求导，通过对参数方程中的各个方程分别求导，可以得到参数方程对应的函数的导数。
三、导数的应用1. 函数的极值导数可以用来判断函数的极值，即通过求导得到函数的导数，再令导数等于零求得函数的极值点。
2. 函数的凹凸性与拐点通过对函数的二阶导数求解，可以判断函数的凹凸性和拐点，即确定函数的临界点和拐点的位置。
3. 切线与法线通过函数的导数可以求得函数在某一点处的切线斜率，再通过函数的导数的倒数求得法线的斜率。
4. 最优化问题导数可以用来解决最优化问题，即通过求导得到函数的导数，再通过求导等于零的条件求得函数的最大值或最小值。
四、常见的导数公式1. 常数函数的导数常数函数 f(x) = C 的导数为 f'(x) = 0。
高二导数第一章知识点总结
高二导数第一章知识点总结导数是高二数学中的重要概念，它是微积分的基础，并在许多实际应用中起到关键作用。
在高二导数的第一章中，我们学习了许多与导数相关的知识点，包括导数的定义、求导法则、常见函数的导数等等。
本文将对这些知识点进行总结和归纳。
一、导数的定义导数可以简单理解为函数在某一点处的变化率或斜率。
对于函数y=f(x)，在x点处的导数可以用极限表达式来定义，即f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。
二、求导法则在求导的过程中，我们需要掌握一些基本的求导法则，以便应用于各种函数的求导计算。
以下是常用的求导法则：1.常数法则：若常数c的导数为0，则对于常数函数y=c，导数为dy/dx=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则导数为dy/dx=nx^(n-1)。
3.和差法则：对于函数y=f(x)+g(x)（或y=f(x)-g(x)），导数为dy/dx=f'(x)+g'(x)。
4.乘积法则：对于函数y=f(x)g(x)，导数为dy/dx=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)。
5.商规则：对于函数y=f(x)/g(x)，导数为dy/dx=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2。
6.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，导数为dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
三、常见函数的导数在高二导数的第一章中，我们学习了一些常见函数的导数。
下面是一些常见函数的导数表达式：1.常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx=0。
2.一次函数导数：对于一次函数y=kx+b，导数为dy/dx=k。
3.幂函数导数：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则导数为dy/dx=nx^(n-1)。
4.指数函数导数：对于指数函数y=a^x，其中a为常数且不等于1，则导数为dy/dx=a^x*ln(a)。
高二导数第一章知识点归纳
高二导数第一章知识点归纳在高二数学学习中，导数是一个非常重要的概念，它是微积分学中的基础知识之一。
导数不仅在数学上有广泛的应用，还在其他学科如物理学、经济学等领域中发挥着重要作用。
本文将对高二导数第一章的知识点进行归纳总结，以便学生更好地掌握这一重要内容。
一、导数的概念1. 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，表示函数图像在该点处切线的斜率。
数学上用极限来定义导数：若函数f(x)在点x处导数存在，则导数值为f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h。
2. 导数的几何意义导数代表函数图像在某一点的切线斜率，也即切线在该点上的瞬时速度。
3. 导数的物理意义导数在物理学中表示物体位置的瞬时速度，也可解释为函数表达的变化率。
二、导数的基本性质1. 常数的导数常数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n 的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。
3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x 的导数为f'(x) = ln(a)·a^x，其中a>0，a≠1。
4. 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)（a为底）的导数为f'(x) = 1/(x·ln(a))，其中a>0，a≠1。
5. 和差函数的导数法则若函数f(x)和g(x)在某一点导数存在，则有[(f(x)+g(x))]' = f'(x) + g'(x)。
6. 积函数的导数法则若函数f(x)和g(x)在某一点导数存在，则有[(f(x)·g(x))]' =f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。
7. 商函数的导数法则若函数f(x)和g(x)在某一点导数存在，并且g(x)≠0，则有[(f(x)/g(x))]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)] / [g(x)]^2。
高三导数第一节知识点框架
高三导数第一节知识点框架导数是高中数学中的重要概念之一，它是微积分的基础内容。
在高考中，导数的运用占据了相当大的比重，因此高三学生要牢固掌握导数的相关知识，才能在数学考试中取得好成绩。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的运用三方面进行论述，帮助高三学生理解和掌握导数知识。
1. 导数的定义导数的定义是理解导数概念的第一步。
根据数学定义，对于函数f(x)，在点x处的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数通常用f'(x)或者dy/dx表示。
通过导数，我们可以了解函数在不同点处的变化趋势和速率。
在高中数学中，我们主要研究一元函数的导数，即函数只有一个自变量x。
2. 导数的计算方法导数的计算方法可以分为几种常见的形式。
最常见的计算导数的方法是基于导数的定义，即使用极限的概念来计算导数。
对于一元函数f(x)，我们可以通过以下公式计算导数：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个公式表示了函数在x点处的瞬时变化率。
我们可以通过逐步缩小变化量h的取值来逼近导数的值。
此外，还有一些常见函数的导数计算公式，如常数函数、幂函数、指数函数和对数函数等。
3. 导数的运用导数的运用是高考数学中的重点，也是区别于初中和高中数学的一大特点。
导数的运用主要表现在函数的极值、函数图像的分析和曲线的切线方程等方面。
首先，通过导数的计算，我们可以找到函数的极值点。
对于一元函数f(x)，当导数f'(x)存在为0的点或不存在的点时，这些点就是函数的极值点。
极大值和极小值的判断可以通过导数的符号来确定。
其次，导数可以帮助我们分析函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以了解函数在不同区间上的增减性、凹凸性和拐点等信息。
这些信息可以帮助我们画出函数的大致图像并进行进一步的分析。
最后，利用导数，我们可以计算曲线的切线方程。
对于曲线上的某一点P(x, f(x))，设该点的切线斜率为k。
高中数学函数与导数部分复习大纲
第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222ba b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ；⑶)(x f 是偶函数1)()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ；⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性⑴单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2121<>--⇔x x x f x f ；⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2 （2））；④图像法。
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。
f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。
导数问题总结提纲
导数问题总结提纲
导数是高考的重点内容，也是难点之一，请同学们认真总结导数中的基本问题及其处理方法。
以下是给出的总结提纲，供同学们参考。
重点应是在四、五、六三个问题的总结。
一定要配合典型例题，从我们平时做过的导数题目中进行选择即可。
请同学们参考下面提纲，将总结写在A4之纸上五一放假过后上交。
一． 导数的概念
相关概念：函数的平均变化率，瞬时变化率，导数，平均速度，瞬时速度 典型例题：
二．曲线的切线问题
两类问题的方法；典型例题
三．求函数的单调区间、极值、最值（包括含参数的问题）
1.单调性问题的方法；
2.极值问题的方法；
3.最值问题的方法
典型例题
四．需要通过图像分析解决的其他函数性质的问题（零点的个数，极值点的个数。
）
基本问题及处理方法：
典型例题
五．同一自变量的恒成立问题（通常需要构造新的函数，讨论函数的最大和最小值） 基本问题和转化方法（参变量分离或讨论含参数的函数）
如：,()(,,)()x D f x g x ∀∈>≥<≤都有恒成立
典型例题
六．有关两个函数自变量独立变化的问题
基本问题和转化方法（转化为两个函数的最值问题）
如：112212,,()(,,)()x D x D f x g x ∀∈∈>≥<≤都有恒成立；
112212,,()(,,)()x D x D f x g x ∀∈∃∈>≥<≤使得成立。
典型例题。
高中导数知识点总结
高中导数知识点总结导数是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在高中数学中，导数的概念和计算是高考数学中的一个重要考点。
以下是高中阶段需要掌握的导数知识点的总结：1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数\( f(x) \)在点\( x=a \)的导数存在，那么它可以用极限的形式定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]2. 导数的几何意义：导数的几何意义是曲线在某点的切线斜率。
对于函数\( y = f(x) \)，其在点\( (a, f(a)) \)的导数\( f'(a) \)就是曲线在该点的切线斜率。
3. 基本初等函数的导数：熟练掌握基本函数的导数公式是解决导数问题的基础。
例如：- \( (x^n)' = nx^{n-1} \)（\( n \)为实数）- \( (\sin x)' = \cos x \)- \( (\cos x)' = -\sin x \)- \( (\tan x)' = \sec^2 x \)- \( (e^x)' = e^x \)- \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)（\( x > 0 \)）4. 导数的运算法则：包括和、差、积、商的导数法则，以及复合函数的链式法则。
- \( (f \pm g)' = f' \pm g' \)- \( (fg)' = f'g + fg' \)- \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \)- \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)5. 高阶导数：对于函数的一阶导数再次求导，得到的是函数的二阶导数，依此类推。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。
也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。
如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。
这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。
二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。
不过反之不成立。
2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。
高二导数第一章知识点框架
高二导数第一章知识点框架一、导数的概念和定义导数的定义：若函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处的导数为f'(x0)或者dy/dx|x=x0。
导数的几何意义：导数表示了函数在某一点处的斜率，可以看作函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的物理意义：导数也可以表示物理量的变化率，如速度、加速度等。
二、导数的计算方法1. 常用基本函数的导数公式- 常数函数：(c)' = 0- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))- 三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)- 反三角函数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)2. 基本运算法则- 乘法法则：(u * v)' = u' * v + u * v'- 除法法则：(u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2- 复合函数法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则y=f(g(x))可导，且(y)' = (f'(u) * g'(x))3. 链式法则- 若y=f(u)和u=g(x)分别在其定义域上可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且(y)' = (f'(u) * g'(x))三、导数的性质1. 可导函数的性质- 可导函数具有局部线性近似性质，即任意一点处的切线可以很好地近似函数曲线。
- 可导函数在一点处的导数存在，则在该点连续；反之，连续不一定可导。
导数知识点总结高中数学
导数知识点总结高中数学一、导数的基本概念1. 函数的导数在高中数学中，我们通常将导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的斜率。
设函数y=f(x)，若极限f'(x) = lim (f(x+Δx) - f(x)) / ΔxΔx→0存在，则称其为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
导数也可以解释为函数在该点处的瞬时速度。
2. 导数的几何意义导数的几何意义即为函数图像在某一点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，其导数f'(x)就代表了函数图像在点(x, f(x))处的切线斜率。
因此，导数可以帮助我们研究函数在不同点处的变化情况，进而揭示函数的一些规律和特性。
3. 导数的符号表示通常情况下，我们使用f'(x)来表示函数f(x)在点x处的导数。
如果导数存在，那么函数在该点处是可导的；如果导数不存在，那么函数在该点处是不可导的。
导数的存在与否将决定函数在该点的一些性质和特性。
二、求导法则1. 导数的基本概念在求导法则中，有一些基本的导数公式需要掌握。
这些基本公式包括：（1）常数函数的导数：若y=c，则y'=0；（2）幂函数的导数：若y=x^n，则y'=nx^(n-1)；（3）指数函数的导数：若y=a^x，则y'=a^x * ln(a)；（4）三角函数的导数：sin'x=cosx，cos'x=-sinx，tan'x=sec^2x；（5）对数函数的导数：(lnx)'=1/x。
2. 导数的四则运算法则对于任意可导函数u(x)和v(x)，其和、差、积、商的导数分别为：（1）(u(x)±v(x))'=u'(x)±v'(x)（2）(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)（3）(u(x)/v(x))'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2以上是常用的导数的基本概念和求导法则，掌握这些知识对于解题和理解导数的应用是非常重要的。
导数教学大纲
导数教学大纲导数是高中数学中的重要概念，也是微积分的基础。
在数学教学中，导数的教学大纲应该包括以下几个方面的内容。
首先，导数的定义和基本概念是导数教学的起点。
教师可以通过引导学生观察函数图像的变化趋势，引入导数的概念。
导数的定义可以通过极限的概念来解释，即函数在某一点的导数是该点处函数值的变化率的极限。
教师可以通过具体的例子和图像来说明导数的定义和含义，帮助学生理解导数的概念。
其次，导数的计算方法是导数教学的重点。
在导数的计算中，常用的方法包括基本导数公式、导数的四则运算法则和链式法则等。
教师可以通过讲解这些方法，并结合具体的例子进行演练，帮助学生掌握导数的计算技巧。
同时，教师还可以引导学生思考导数的几何意义，例如导数等于函数图像上某点的切线的斜率，从而加深学生对导数的理解。
第三，导数的应用是导数教学的延伸。
导数在实际问题中有广泛的应用，例如在物理学中描述物体的运动，经济学中描述市场的供求关系等。
教师可以通过生活中的实际问题，引导学生将导数的概念和方法应用到实际情境中。
例如，通过求解最优化问题，让学生体会导数在优化中的应用。
这样可以增强学生对导数的兴趣和学习动力。
最后，导数的拓展应用是导数教学的拓展。
导数的拓展应用包括泰勒展开、微分方程和曲线的凹凸性等。
教师可以在学生掌握了导数的基本概念和计算方法后，引导学生进一步学习导数的拓展应用。
这样可以培养学生的数学思维和解决问题的能力。
总之，导数教学大纲应该包括导数的定义和基本概念、导数的计算方法、导数的应用和导数的拓展应用等内容。
通过系统地教授这些内容，可以帮助学生全面理解导数的概念和方法，提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。
同时，导数教学也应该注重培养学生的数学思维和创新意识，激发学生对数学的兴趣和热爱。
只有这样，才能真正实现导数教学的目标，使学生在数学学习中取得更好的成绩。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的基础1. 导数的定义- 导数表示函数在某一点的切线斜率。
- 符号表示：$f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。
2. 极限表达- 导数可以用极限表达：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。
3. 几何意义- 导数的几何意义是曲线在某一点的切线斜率。
二、导数的计算1. 基本导数公式- 常数函数：$(C)' = 0$。
- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$（其中n为实数）。
- 指数函数：$(a^x)' = a^x \ln(a)$（其中a > 0且a ≠ 1）。
- 对数函数：$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$。
- 三角函数：- $(\sin(x))' = \cos(x)$- $(\cos(x))' = -\sin(x)$- $(\tan(x))' = \sec^2(x)$2. 导数的运算法则- 和/差的导数：$(u \pm v)' = u' + v'$。
- 乘积的导数：$(uv)' = u'v + uv'$。
- 商的导数：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。
3. 链式法则- 如果有一个复合函数$g(f(x))$，则其导数为：$(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$。
三、高阶导数1. 高阶导数的定义- 第二导数：函数的导数的导数，表示为$f''(x)$。
- 更高阶导数：同理，可以计算第三导数、第四导数等。
2. 高阶导数的计算- 通过重复应用导数的基本运算法则来计算。
四、导数的应用1. 切线问题- 利用导数求曲线在某一点的切线方程。
高三数学 3.1导数的概念(第三课时)大纲人教版选修
高三数学 3.1导数的概念(第三课时)大纲人教版选修 课 题教学目标一、教学知识点1.函数y =f (x )的平均变化率，函数的导数的概念.2.函数y =f (x )在点x 0处的导数的求法.3.函数y =f (x )在开区间(a,b)内的导函数的定义.4.函数y =f (x )在某一点x =x 0处可导，函数y =f (x )在这点x =x 0处连续.二、能力训练要求1.理解并掌握导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数.3.深刻理解“函数在一点处可导，则函数在这点连续”的内在含义和实际意义.4.能灵活运用导数的定义及导函数的定义求解导数.三、德育渗透目标1.培养学生的辩证唯物主义的观点，如量变与质变、分类与整合、运动与静止等等，都是进行唯物主义教育的素材.2.根据函数的可导性与连续性的关系，培养学生的逻辑推理能力和思辩能力.3.由切线的斜率与瞬时速度的关系，加深学生对特殊与一般、运动与静止的理解，培养学生的直觉思维中的类比能力.4.培养学生的总结、归纳、抽象与概括的能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生实际动手操作的能力.教学重点导数的定义、导函数的概念是本节课的教学重点内容，它是研究函数的基本性质的基础，求导数的方法也是重点内容.教学难点导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法.关于函数y =f (x )在点x 0处可导，与y =f (x )在x =x 0处连续的辨析是难点. 教学方法建构主义理论指导下的课堂教学——在教师的正确引导下，由学生已学过的有关知识，如函数的极限、瞬时速度、曲线的切线斜率等概念，让学生积极主动地建构出函数y =f (x )在x 0处的导数的概念，由函数y =f (x )在x =x 0处的导数建构出函数y =f (x )在开区间(a,b)上的导函数的定义.教具准备实物投影仪(或幻灯片、幻灯机).教学过程Ⅰ.课题导入1.概念的引入［师］同学们，前面我们已经学习了曲线在点P 0(x 0,y 0)处的切线斜率及切线方程的求法.请同学们回忆一下，切线的斜率是怎样定义的?［生1］在P 0(x 0,y 0)附近，设Q 点是曲线上的点，其坐标为Q (x 0+Δx ,y 0+Δy )，当Δx →0时，割线P 0Q 的斜率xy x x x y y y k Q P ∆∆=-∆+-∆+=0000)()(0的极限，就是曲线在点P 0处的切线的斜率，即 x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 0000. ［师］运用函数的极限研究了物体运动规律如瞬时速度、瞬时加速度等等.那么瞬时速度是如何定义的呢？［生2］如果物体的运动规律是s=s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t +Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即tt s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 00. ［生3］(突然站起)请问老师，物体的瞬时加速度是否可以用瞬时速度在Δt →0时的平均加速度的极限来定义呢？［师］生3提问得好.我们广大同学就应该有这种精神，敢于质疑，勇于探索和创新.他问的问题仍然是研究物体运动规律的变化性.物体的运动规律(瞬时速度)v =v (t ),那么物体在时刻t 的瞬时加速度a(t )，就是物体在t 到t +Δt 这段时间内，当Δt →0时平均加速度的极限，即 tt v t t v t v t a t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )(00. (学生提出问题质疑老师，这一点在以往的常规教学中还是不常见到的，在新的形势下，教师应有为学生学习服务的意识，不单纯是讲授知识，而还应该传道解惑也.教师的工作方法、学识的渊博、热情的态度、人格的力量都能深深地影响学生的一辈子，可以让更多的学生有更好的发展，让所有的学生都有较好的发展，所以，我们课堂教学应鼓励学生大胆提问，找出问题)［师］刚才两位同学所述都是正确的.切线的斜率和瞬时速度都是极限问题，这是共性问题，今天我们共同来学习新的内容(教师板书课题)：导数的概念(三).Ⅱ.讲授新课［师］我们知道，Δt 是时间增量，Δs 是位移增量，对于一般的函数y =f (x ),Δx 称为自变量在x 0处的增量，Δy 称为函数的增量.切线的斜率与瞬时速度都是以极限来定义的，而且在形式上也是类似的.［板书］切线的斜率x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim0000, 瞬时速度t t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim00. s=s(t )y =f (x ) Δt 时间增量Δx 自变量x 在x 0处的增量 Δs 位移增量 Δy 函数在x 0处的增量(函数的增量)t s ∆∆平均速度 xy ∆∆函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率 t s t ∆∆→∆0lim 瞬时速度 xy x ∆∆→∆0lim ，即为f (x )在x 0处的切线斜率 我们把函数y =f (x )在x =x 0处的函数的平均变化率的极限，即xy x ∆∆→∆0lim叫做f (x )在x 0处的导数.现请同学们概括并叙述导数的定义.［生4］函数y =f (x )，如果当Δx →0时，x y ∆∆有极限，就说函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0.［师］如何用数学符号来表示呢？［生5］f ′(x 0)=y ′|x =x 0=xx f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 0000. ［师］大家认为这个定义中应注意到什么问题？请同学们先讨论一下，然后再总结. (教室内的气氛开始活跃了，同学们争先恐后地发言，发表自己的见解.只有在宽松和谐的氛围中学习，才能实现有意义的建构)［生6］如果Δx →0时，xy ∆∆要先有极限，才有f (x )在点x 0处可导，进而才能得到f (x )在点x 0处的导数.［师］回答得很好！同学们能否从导数的定义，概括出求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法和步骤？［生7］求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=x y x ∆∆→∆0lim. ［师］同学们，刚才同学7总结得是否全面呢？［生］(众生)总结得很全面.［师］我们根据导数的定义和求导数的步骤，来研究上节课中求自由落体在t =3时的瞬时速度，其中221gt s =.求它在t =3时的瞬时速度实质就是求221gt s =在时刻t =3处的导数.请同学们来说说看. ［生8］第一步：先写出位移函数的增量Δs=21g(3+Δt )2-21g·32=21g ［(Δt )2+6·Δt ］. 第二步：求出t 由3到3+Δt内的位移的平均变化率g t g t t t g t s 321]6)[(212+∆⋅=∆∆⋅+∆=∆∆. 第三步：对ts ∆∆取极限，即 g g g t g g t g t s s v t t t t t 30213lim lim 21)321(lim lim|00003+⋅=+∆⋅=+⋅=∆∆='=→∆→∆→∆→∆= =3g=3×9.8=29.4(m/s).故自由落体在t =3时的瞬时速度就是v =29.4m/s.［师］从这个题目中我们可以得出什么样的结论呢？［生］瞬时速度就是位移函数s(t )对时间t 的导数，即v =s′|t =t 0.［师］我们可以根据开区间上连续函数的定义，类似地定义函数在开区间上可导. ［生］如果函数f (x )在开区间(a ,b )内任一点x 0处可导，即f ′(x 0)=y ′|x =x 0xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 0000在x 0处是存在的，由于x 0是开区间(a,b)上的任意一点，当x 0取遍(a,b)内的所有值时，这个极限都是存在的，就称函数f (x )在开区间(a,b)内可导.［师］你的理解和解释是很好的.一般地，如果函数f (x )在开区间(a,b)内可导，那么对于(a,b)内每一个确定的点x 0，对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在(a,b)内构成一个新的函数，把这一新函数叫做f (x )在开区间(a,b)内的导函数，前提是f (x )在(a,b)内可导.它的数学符号如何表示呢？［生9］f ′(x )=y ′=xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，从这个定义中我们学到了由特殊到一般的科学思维方法，体现了动与静的辩证关系.［师］当x 0∈(a,b)时，函数y =f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)等于函数f (x )在开区间(a,b)内的导函数f ′(x )在点x 0处的函数值.f ′(x 0)可以直接根据f (x )在点x 0处的导数得到，也可以先求f (x )在开区间(a,b)内的导数f ′(x )，然后再将x =x 0代入f ′(x )中得到.(稍停顿一会，让学生体会、反思)［师］你们能举一个例子吗？［生10］刚才研究的自由落体运动在t =3时的瞬时速度就可以用导函数的方法来解. ∵221gt s =,∴任意时刻t 的瞬时速度为 tgt t t g t t s t t s t v t t ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆220021)(21lim )()(lim )( gt t g t t g t t g tt t t g t t t =⋅=∆+⋅=∆+⋅=∆∆+∆=→∆→∆→∆221)lim 2(21)2(lim 21])(2[21lim 0020 ∴当t =3时，v (3)=s′(3)=s′|t =3=g·3=9.8×3=29.4(m/s).v (t )=g·t 叫做221)(gt t s =的导函数. ［师］举的例子很恰当.我们从f (x )在x 0处可导的定义可以知道，f (x )在x 0处有定义，那么我们来看一下f (x )在x 0处是否有极限？是否连续呢？［生11］如果函数y =f (x )在x 0处可导，那么f (x )在x 0处一定有极限，且连续.［众生］这是需要证明的.如果能证明出来才能说明你的猜想是正确的.［生11］用定义法证明：已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000，我们要证的目标是)()(lim 00x f x f x x =→， 即)()(lim 00x f x f x =→∆. 令x =x 0+Δx ,当Δx →0时，x →x 0.∴)(lim )(lim 000x x f x f x x ∆+=→∆→∆ )(lim lim )()(lim )(lim ])()([lim )]()()([lim )]()()([lim 0000000000000000000x f x x x f x x f x f x xx f x x f x f x x x f x x f x f x f x x f x x x x x x x →∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆+∆⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=+-∆+= =f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0).∴)()(lim 00x f x f x =→∆. ∴f (x )在x 0处一定有极限，且连续.［师］妙,妙极了！他不仅给出了猜想，而且证明了自己的猜想.这种先猜后证是众多科学家、发明家常用的方法.生11在证明过程中灵活运用代数式的变形，由f (x 0+Δx )经过添项去项配凑出导数定义的基本结构形式.［师］刚才的命题逆命题是否成立呢？［生12］如果函数f (x )在x =x 0处连续，那么函数y =f (x )在x 0处可导.例如函数y =x 2,y =x 3等等.［师］你的举例能代表证明吗？［生13］他的结论是错误的.例如，函数y =f (x )=|x |在x 0处连续，但在x =0处不可导. 因为⎩⎨⎧<-≥==0,0||)(x x x xx x f 在x 0处有 0lim lim ,0)(lim lim 0000===-=+→+→-→-→x y x y x x x x ， ∴)0(0lim 0f y x ==→. ∴y =|x |在x =0处连续. 但.||lim 0||lim |0||0|lim lim0000x x x x x x x y x x x x ∆∆=∆-∆=∆-∆+=∆∆→→→→当Δx ＞0时，1lim ||lim lim 000=∆∆=∆∆=∆∆+→+→→xx x x x y x x x ; 当Δx ＜0时，1lim ||lim lim 000-=∆∆-=∆∆=∆∆-→-→-→xx x x x y x x x . ∴x y x y x x ∆∆≠∆∆-→+→00lim lim ，即函数y =f (x )=|x |在x =0处不可导，也就是其导数不存在.这就说明：f (x )在x 0处连续，但未必可导.［师］回答得完全正确，我们要学会辩证地看问题.你们能得到什么样的结论呢？ ［生14］如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之未必成立.也就是说：函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.2.课本例题［例1］求函数y =x 2在点x =1处的导数［师］求函数在某一点处的导数的方法和步骤是什么呢？［生15］①求函数增量Δy ;②求函数的变化率xy ∆∆;③求极限x y x ∆∆→0lim . ［生16］解：Δy =(1+Δx )2-12=2·Δx +(Δx )2, ∴x xx x x y ∆+=∆∆+∆=∆∆2)(22. ∴x x x y x x x ∆+=∆+=∆∆→→→000lim 2)2(lim lim =2+0=2. ∴y ′|x =1=2.(学生在黑板上板演，教师在下面巡视指导，与学生共同研究，发现问题及时解决) ［师］刚才我在下面发现有的同学求xy ∆∆时漏掉了(Δx )2,但他的结果仍然是2.若把题目变为求y =x 2的导数y ′，又如何求呢？［生17］Δy =(x +Δx )2-x 2=2x ·Δx +(Δx )2, ∴.2)(22x x xx x x x y ∆+=∆∆+∆⋅=∆∆ ∴x x x x x y x x x x 2)(lim )2(lim )2(lim lim 0000=∆+=∆+=∆∆→→→→ ［例2］已知x y =，求y ′.［师］求一个函数在区间上的导数的方法是什么？［生18］与求函数在一点处的导数的方法和步骤是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x 即可.(然后该生走向黑板，边写边讲)解：x x x y -∆+=,∴,1)(x x x x x x x x x x x x x x x y +∆+=+∆+⋅∆-∆+=∆-∆+=∆∆∴x x x x x x x x y x x x 21)(lim 11lim lim 000=+∆+=+∆+=∆∆→∆→∆→∆. ［师］回答得很好，求解也是完全正确的.从这道题可以看出求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法和思想要熟记于心.同时本题运用了分子有理化的变化技巧.若将本题变为求函数3x y =的导数y ′,又如何求解呢？［生19］(自然而大方地走向讲台)求解3x y =的导数的思想方法和步骤与前面生18的完全相同，具体的是： 解：33x x x y -∆+=∆33232333232333232333232333)()()()()()()())[((x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅∆+++∆+∆=⋅∆+++∆+-∆+=⋅∆+++∆+⋅∆+++∆+-∆+=∴332323)()(1xx x x x x x y ⋅∆+++∆+=∆∆. ∴323323233323230031)()(1)()(1lim lim x x x x x x x x x x x x x x y x x =⋅∆+++∆+⋅∆+++∆+=∆∆→∆→∆ ∴3231-⋅='x y . ［师］生19板演得非常正确，下面的同学在运算中存在不少的问题，例如对33x x x -∆+不知道如何处理，而生19给出分子有理化的方法，这一点我们在学习函数的极限时也讲过.所以我们应该积累一点代数的变形技巧才行.3.精选例题［例1］已知y =x 3-2x +1，求y ′,y ′|x =2.(投影放出)［生20］解：Δy =(x +Δx )3-2(x +Δx )+1-(x 3-2x +1)=x 3+3x 2·Δx +3x ·(Δx )2+(Δx )3-2x -2Δx +1-x 3+2x -1=(Δx )3+3x ·(Δx )2+(3x 2-2)Δx . ∴xy ∆∆=(Δx )2+3x ·Δx +3x 2-2.00→∆→∆∆x x x 又Δy =(2+Δx )3-2(2+Δx )+1-(23-2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δx ,∴xy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10. ∴y ′|x =2=00lim lim →∆→∆=∆∆x x x y ［(Δx )2+6Δx +10］=10. 所以y ′=3x 2-2，y ′|x =2=10.［生21］求y ′|x =2时，可以直接运用y ′=3x 2-2，将x =2代入即可.y ′|x =2=3×22-2=12-2=10. ［师］很好!生20着重强调了定义在解题中的作用，而生21则灵活运用题目之间的内在联系，两个同学的做法都值得我们学习.如果题目中求y ′和y ′|x =x 0时，运用定义求y ′，然后利用y ′的表达式求y ′|x =x 0就很简单了；如果只要求y ′|x =x 0，运用定义解就很简便了.［例2］已知f (x )=a x 3+3x 2+2,若f ′(-1)=4，求a 的值.(投影放出)［师］这道题函数f (x )中含有字母a ,已知f ′(-1)=4,那么先要把f ′(-1)用a 表示出来，这样才能求出a 的值. ［生22］Δy =a (-1+Δx )3+3(-1+Δx )2+2-［a (-1)3+3(-1)2+2］=a ·(Δx )3+(3-3a )(Δx )2+(3a -6)Δx . ∴xx a x a x a x y ∆⋅-+∆⋅-+∆⋅=∆∆)2(3)()1(3)(23 =a ·(Δx )2+(3-3a )·Δx +3a -6.∴00lim lim→∆→∆=∆∆x x x y ［a (Δx )2+(3-3a )Δx +3a -6］=3a -6. ∴f ′(-1)= x y x ∆∆→∆0lim =3a -6. 又∵f ′(-1)=4,∴3a -6=4.∴310=a . 故所求a 的值为310. ［例3］已知使函数a ax x y 34_23-=式a 的导数为0的x 值使y 值也为0，求常数a 的值.(投影放出)［师］本题是已知y ′=0，从中求出x ，此x 对应的函数值是0，从而求出实常数a .问题是先求出导数y ′,利用定义求解.［生23］解：Δy =(x +Δx )3+a (x +Δx )2-a 34-(x 3+ax 2-a 34) =x 3+3x 2·Δx +3x ·(Δx )2+(Δx )3+a ·x 2+2ax ·Δx +(Δx )2-a 34-x 3-ax 2+a 34 =(Δx )3+(3x +1)·(Δx )2+(3x 2+2ax )·Δx .∴xx ax x x x x x y ∆∆⋅++∆⋅++∆=∆∆)22()()13()(223 =(Δx )2+(3x +1)·(Δx )+(3x 2+2ax ).00→∆→∆∆x x x =0+(3x +1)×0+3x 2+2ax =3x 2+2ax .∵y ′=0，∴3x 2+2ax =0.∴x =0或32a x -=. 由题设,知当x =0时，y =0，即 a a 3400023-⋅+=， ∴a =0;当32a x -=，y =0，即 034)32()32(023=--⋅+-=a a a a , ∴0349427833=-+-a a a . ∴0342743=-a a . ∴a 3-9a =0.∴a =0,a =±3.∴所求的实数a 的值为0,±3.［师］生23求解非常正确，解题思路也十分严密，请同学们注意，刚才我看到同学们解的大部分是不全面的，有的同学仅仅求出a =±3.原因是在y ′=0时，仅解出32a x -=，遗漏了x =0，而在将32a x -=代入y 的式子，解a 3-9a =0时，又漏掉了a =0.也有的同学漏掉32a x -=，仅求出x =0，再代入函数式，求出a =0.而生23的解题思维的严谨性值得广大同学学习.［例4］(打出投影片)已知函数f (x )=x 2(x -1)，当x =x 0时，有f ′(x 0)=f (x 0)，求x 0的值. ［师生共析］该题也要先求f ′(x 0)，再根据f ′(x 0)=f (x 0)，列出关于x 0的一个方程，求出方程的解就是x 0的值.［生24］解：Δy =(x 0+Δx )2·(x 0+Δx -1)-x 02·(x 0-1)=(Δx )3+(3x 0-1)·(Δx )2+(3x 02-2x 0)·Δx .∴xy ∆∆=(Δx )2+(3x 0-1)·Δx +3x 02-2x 0. ∴00lim lim →∆→∆=∆∆x x x y ［(Δx )2+(3x 0-1)·Δx +3x 02-2x 0］=3x 02-2x 0. ∴f ′(x 0)=3x 02-2x 0.又∵f ′(x 0)=f (x 0)，∴3x 02-2x 0=x 02(x 0-1),即x 0(x 02-4x 0+2)=0.∴x 0=0,x 02-4x 0+2=0.∴x 0=0,220±=x .∴x 0的值为0或22+或22-. Ⅲ.课堂练习 (学生板演，形式多样，如一生一题，两生一题即一道题由两位同学解，进行解题比赛等)1.求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.［生25］解：Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )-(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx .∴xx x x y ∆∆+∆=∆∆16)(22 =2·Δx +16.∴00lim lim→∆→∆=∆∆x x x y (2·Δx +16)=16,即 y ′|x =3=16.2.已知4+=x y ，求y ′.［生26］解：44+-+∆+=∆x x x y . ∴xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44 441)44()44(44+++∆+=+++∆+⋅∆∆=+++∆+∆--+∆+=x x x x x x x x x x x x x x x ∴.42144lim 1)44(lim lim0100+=+++∆+=+++∆+=∆∆→∆-→∆→∆x x x x x x x x y x x x ∴421+='x y .3.设f (x )在x 0处可导,则kk x f k x f k 2)()(lim 000--+→等于( ) A.2f ′(x 0) B.)(210x f C .f ′(x 0) D.0［生27］解：由导数定义知:xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000,所以k k x f k x f k 2)()(lim 000--+→ )()(21)(212)()(lim 2)()(lim 2)()()()(lim00000000000000x f x f x f kk x f x f k x f k x f kk x f x f x f k x f k k k '='+'=--+-+=--+-+=→→→ 故选C.4.xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()2(lim 000=A,则f ′(x 0)等于( ) A.A B.3A C.3A D.可能不存在［生28］解：选D.例如，函数⎩⎨⎧∉∈,1,0)(Q x Q x x f ,其中Q 为有理数集，易见f (x )处处不连续，故处处不可导，但对固定的x 0∈Q ，有0)()2(00=∆∆--∆+x x x f x x f ,这是由于无论Δx 是有理数还是无理数，均有f (x 0+2Δx )-f (x 0-Δx )=0.5.物体运动方程为3414-=t s ，则t =5时的瞬时速度为( ) A. 5 B.25C .125 D.625 ［生29］解：Δs=41 (t +Δt )4-3-(41t 4-3) =41［t 4+4t 3·Δt +6t 2·(Δt )2+4·t (Δt )3+(Δt )4］-3-41t 4+3 =41［(Δt )4+4t ·(Δt )3+6t 2·(Δt )2+4t 3·Δt ］. ∴tt t t t t t t t s ∆⋅∆+∆+∆⋅+∆=∆∆44)(6)(4)(32234 =41［(Δt )3+4t ·(Δt )2+6t 2·Δt +4t 3］. ∴00lim 41lim →∆→∆=∆∆='t t t s s ［(Δt )3+4t ·(Δt )2+6t 2·Δt +4t 3］ =41(0+0+0+4t 3)=t 3. ∴s′| t =5=53=125.∴t =5时的瞬时速度为125.故选C.6.设f (x )为可导函数,且满足12)1()1(lim 0-=--=→xx f f x ,则过曲线y =f (x )上点(1,f (1))处的切线斜率为( ) A.2 B.-1C .1 D.-2 ［生30］解:∵12)1()1(lim 0-=--=→xx f f x , ∴2)1(1)1()1(lim 0-=----=→x x f f x , 即f ′(1)=-2.故选D .7.函数f (x )=x (x -1)…(x -100)在点x =0处的导数为_____________.［生31］解:当x =0时,f (0)=0·(0-1)·…·(0-100)=0.当x =0+Δx 时,f (0+Δx )=Δx ·(Δx -1)·…·(Δx -100),∴Δy =f (0+Δx )-f (0)=Δx (Δx -1)…(Δx -100).∵xy ∆∆=(Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100), ∴x y x ∆∆→∆0lim =(-1)100·1·2·…·100=100!. ∴应填100!.Ⅳ.课时小结［师］这节课我们共同研究了什么内容？请同学们进行小结.［生32］我们学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤..)()(lim lim|)(000000x x f x x f x y x x y x f x x ∆-∆+=∆∆=='='→∆→∆. xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆='='→∆→∆)()(lim lim |)(00. 三个步骤：①求函数的增量Δy ；②求平均变化率x y ∆∆；③取极限x y x f x ∆∆='→∆00lim )(,以及函数的连续性是函数可导的必要而非充分条件.［师］生30总结得很全面、很精辟，同学们应该学会概括和总结.Ⅴ.课后作业(一)课本P 114习题3.1 4、5.(二)1.预习内容：课本P 112~114导数的几何意义.2.预习提纲(打出投影片)：(1)用导数表示切线的方程.(2)预习例3、例4，学会通过求函数的导数来求函数在一点处的切线方程. 板书设计§ 3.1.3 导数的概念(三)(一)有关概念1.导数的定义.2.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法.①求Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);②求x y ∆∆;③求极限x y x ∆∆→∆0lim.3.瞬时速度是位移函数s(t )对时间t 的导数.4.如果函数f (x )在开区间(a ,b )内每一点都可导，则f (x )在(a ,b )内可导.5.导函数f ′(x )或y ′的定义.6.函数可导连续，反之不成立.(二)例题 A.课本例题1.求y =x 2在x =1处的导数.2.求函数x y =的导数y ′. 变题:求3x y =的导数y ′.B.精选例题例1.已知y =x 3-2x +1,求y ′,y ′|x =2.例2.已知f (x )=a x 3+3x 2+2，若f ′(-1)=4,求a 的值.例3.已知使函数a ax x y 3423-+=的导数为0的x 值使y 值也为0，求a 的值. 例4.已知函数f (x )=x 2(x -1)，当x =x 0时有f ′(x 0)=f (x 0)，求x 0的值.(三)课堂练习1.求函数y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.2.求函数4+=x y 的导数y ′.3.设f (x )在x 0处可导,则kk x f k x f k 2)()(lim 000--+→等于( ) A.2f ′(x 0)B.)(210x f 'C.f ′(x 0)D.0 4.xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()2(lim 000=A,则f ′(x 0)等于( ) A.AB.3AC.3AD.可能不存在 5. 3414-=t s 则t =5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25C.125D.625 6.设f (x )为可导函数,且满足12)1()1(lim 0-=--=→xx f f x ,则过曲线y =f (x )上点(1,f (1))处的切线斜率为( )A.2B.-1C.1D.-27.函数f (x )=x (x -1)…(x -100)在点x =0处的导数为.(四)课时小结(五)课后作业。
2024年高中导数知识点总结
2024年高中导数知识点总结____年高中导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在____年高中数学课程中，学生将学习更深入的导数知识点。
本文将详细总结____年高中导数的基本概念、性质和运算法则，以及常见的导数应用。
一、导数的定义与基本概念：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数可以理解为函数f(x)在该点的瞬时变化率或切线的斜率。
导数用f'(x)或dy/dx表示。
2. 导数的几何意义：导数表示函数在某一点上的切线的斜率，切线是曲线与该点附近近似的直线。
二、导数的基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某一点处存在导数，则称该函数在该点处可导。
2. 函数的连续性与可导性的关系：可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。
3. 求导法则：- 常数函数的导数为零。
- 幂函数的导数为幂次减一乘以原函数的导数。
- 指数函数和对数函数的导数可以通过换底公式相互转化。
- 三角函数和反三角函数的导数可以通过基本公式直接得到。
- 复合函数的导数可以通过链式法则求得。
- 参数方程的导数可以通过求导法则相应变量的导数求得。
三、导数的运算法则：1. 基本四则运算法则：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (c * f(x))' = c * f'(x) （c为常数）- (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) /g(x)^2 （g(x) ≠ 0）2. 复合函数的求导：- (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)四、常见的导数应用：1. 切线与法线：导数表示函数在某一点上的切线的斜率，通过求导可以求出函数在某点的切线方程。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结一、导数的概念导数就是函数某一点处的斜率，通俗地说，就是函数曲线在某一点处的切线斜率。
设函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$二、导数的求法1.一元函数的导数：（1）基本求导公式（2）函数的四则运算法则（3）复合函数的求导法则（4）反函数的求导法则（5）参数方程的求导法则2.向量值函数的导数：向量值函数$\textbf{r}(t)=[x(t),y(t),z(t)]$在$t=t_0$处的导数为$\textbf{r}'(t_0)=[x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)]$，即每个分量的导数。
三、导数的应用1. 切线及法线2. 极值及最值（1）函数极值的判定（2）函数最值的判定3. 曲线的凹凸性（1）函数凹凸性的判定（2）拐点的判定4. 应用问题（1）速度与加速度（2）辅助平面问题（3）优化问题四、函数的增减性、单调性和导数符号的变化•增减性是指函数单调性的基本概念，一个区间内的函数增加或减少的程度。
•单调性是指函数在定义域内的变化趋势，可以是单调递增或单调递减（函数单调递增就是指函数在定义域内每个数的y值都大于前一个数对应的y值。
）•导数符号的变化，则是判断函数增减和单调性的重要依据。
五、高阶导数•高阶导数就是导数的导数，也称高阶导数或导函数的导函数，计算时可以使用Leibniz符号表示：$f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n}$•高阶导数可以帮助我们更好地理解函数的性质，例如：可判断函数的极值、拐点和极限等。
六、导数的图像•通过函数图像可以研究导数的性质，例如导数的单调性、最值问题、调和函数和高斯函数等。
高二数学导数模块知识点总结(3篇)
高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数知识点归纳总结高三
导数知识点归纳总结高三高三导数知识点归纳总结导数是微积分的重要概念之一，对于高三学生来说，掌握导数的相关知识点对于解题和理解数学的深层意义十分重要。
本文将对高三阶段需要掌握的导数知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地掌握这一知识。
一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义在数学中，函数在某一点处的导数可以表示该点切线的斜率。
导数的定义可以表示为：函数f(x)在点x处的导数为该点处函数的增量与自变量增量的比值的极限（即：f'(x) = lim[f(x+△x) - f(x)]/△x，其中△x 表示自变量的增量）。
2. 导数的基本求导法则- 常数函数的导数恒为0：(k)' = 0；- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)；- 指数函数的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x；- 对数函数的导数：(logₐx)' = 1/(x ln a)；- 三角函数的导数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec²x。
二、导数的运算法则1. 导数和常数的乘法法则若f(x)可导，k为常数，则有(kf(x))' = kf'(x)。
2. 导数和加减法的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
3. 导数和乘法的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 导数和除法的法则若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则有(f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/[g^2(x)]。
5. 导数和复合函数的法则若f(x)和g(x)都可导，则有(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。
完整版)高中数学导数知识点归纳总结
完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。
函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。
但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。
导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。
因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。
导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。
函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。
函数的最值可以通过求导数来确定。
注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。
对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。
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§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析 考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
点评：本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数()x f 的极值步骤： ①求导数()x f '；②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知a 为实数，()()()a x x x f --=42。
求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。
（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。