泰州初级中学2015年一模数学试题
2015年江苏省泰州市初中毕业、升学统一考试(附答案)
泰州市二〇一五年初中毕业、升学统一考试物理试题请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．2．答题卡正面为化学学科的答题范围，反面为物理学科的答题范围．所有试题的答案均填写在答题卡上，写在试卷上无效．3．作图必须用2B 铅笔，并加黑加粗．第一部分 选择题（共24分）一、选择题（每题4个选项中只有1个符合题意．每题2分，共24分）21．下列有关物理量的估算，符合实际的是A ．人正常心跳一次的时间约2sB ．挂壁式空调的额定功率约1.2kWC ．泰州地区冬季最低气温可达－25℃D ．人的拇指宽度约为10cm22．开发和利用清洁能源是我国社会发展面临的重要课题，以下属于清洁能源的是A ．天然气B ．煤C ．石油D ．太阳能23．冬天戴眼镜的人进入温暖的室内时，镜片会变得“模糊”，产生该现象的原因是室内的水蒸气发生了A ．液化B ．凝华C ．汽化D ．凝固24．如图所示的四种现象，属于光的直线传播的是A ．在二胡琴弓的弓毛上涂上松香B ．自行车刹车时用力捏刹把C ．古人利用滚木移动巨石D ．“玉兔号”月球车车轮上刻有花纹26．如图，小球从斜面上A 处由静止滚下，经过B 处，最终停在粗糙水平面上的C 处．下列说法错误．．的是 A ．小球由A 处运动到B 处，重力势能主要转化为动能 B ．小球由B 处运动到C 处，阻力改变了小球的运动状态C ．小球由A 处运动到C 处的整个过程中，做减速运动D ．小球停在C 处时，所受的重力和支持力是一对平衡力27．下列物体的运动可近似看作匀速直线运动的是A ．正在进站的火车B ．离开脚后在草地上滚动的足球C ．站在商场自动扶梯上顾客的运动D ．绕地球匀速转动的“北斗”卫星28．如图所示的几种器件，工作时应用了电磁感应现象的是B ．电风扇C ．电铃D ．门吸 A ．风力发电机 第28题图 A B C 第26题图第32题图乙第32题图甲 第32题图丙29．某学校地下车库有南北两个进出口，每个进出口处装有感应开关．当有车辆从任何一个进出口经过时，开关自动闭合一段时间，值班室内的指示灯会亮，提醒门卫有车辆通过，以便监视进出口安全．下列电路图中，符合要求的是30．如图所示，A 、B 、C 是三个圆柱形容器，分别装有水或酒精（ρ酒精＜ρ水），A 、C 两容器中液体深度相同，B 、C 两容器的底面积相同．三个容器底部所受的液体压强分别为p A 、p B 、p C ，下列判断正确的是A ．p A ＞pB ＞pC B ．p C ＜p A =p B C ．p A ＞p B =p CD ． p C ＜p A ＜p B31．如图所示的电路，电源电压不变．闭合开关，滑动变阻器的滑片向右移动的过程中，电流表与电压表示数变化的情况分别是A ．变小 不变B ．变大 变小C ．变大 变大D ．变大 不变32．如图甲是灯泡L 和电阻R 的I -U 关系图像，灯丝电阻受温度的影响，温度越高电阻越大．将L 和R 以两种不同的方式接在同一电源上，如图乙和丙．若乙图中U 1︰U 2= m ，丙图中I 1A ．m =nB ．m =n 1C ．m ＜n 1D ． m ＞n1 第二部分 非选择题 （共76分）二、填空题（本题有9小题，每空1分，共24分）33．把正在发声的音叉插入水中，水面激起了水花，说明发声的物体在 ▲ ；中考考场附近禁止机动车鸣笛，这是从 ▲ 控制噪声．34．2015年，我国无人驾驶汽车红旗HQ3将再次进行长途测试．之前的测试中，该车的平均车速约90km/h ，合 ▲ m/s ；车载高精度GPS系统可对车实时定位，该系统定位时利用A B D C第29题图 A B C 水 水 酒精第30题图 第31题图 R了 ▲ （选填“电磁波”或“超声波”）；自动行驶过程中，路边树木相对该车是 ▲ 的．35．将塑料绳的一端扎紧，尽可能将其撕成更多的细丝，用干燥的手从上向下捋几下，观察到如图所示的现象．这是因为塑料丝带了 ▲ 电荷（选填“同种”或“异种”），这种使塑料丝带电的方法称为 ▲ ，塑料丝带电的实质是 ▲ 在物体间转移．36．如图，在易拉罐中注入少量的水，对易拉罐加热，待罐口出现白雾时，用橡皮泥堵住罐口，撤去酒精灯．一段时间后，会观察到易拉罐变瘪了，这说明了 ▲ 的存在，同时也说明了力可以改变物体的 ▲ ． 37．如图，水平桌面上有一块圆形玻璃转盘，距转盘2m 高处有一盏灯成像在其中．灯的像距离该灯 ▲ m ；若用手水平拨动转盘，则会观察到灯的像的位置 ▲（选填“改变”或 “不改变”），停止拨动转盘后，转盘还会继续转动，这是由于转盘具有 ▲ ．38．如图，一重为0.5N 的鸡蛋沉在水底，向水中加入食盐并搅拌，鸡蛋仍沉在水底，此过程中鸡蛋受到的浮力 ▲ （选填“变大”、“变小”或“不变”）；继续加入食盐并搅拌，鸡蛋上浮，最终静止时排开盐水的重力 ▲ 0.5N （选填“＞”、“＜”或“＝”）．39．如图所示，在空气压缩引火仪的玻璃筒底部放一小团干燥的棉花，快速压下活塞，可观察到棉花着火燃烧．此过程中活塞对筒内气体做功，气体的内能 ▲ ，这与四冲程汽油机的 ▲ 冲程的能量转化相同．某台汽油机飞轮的转速为2400r/min ，在1min 内，汽油机完成 ▲ 个工作循环．40．有一杠杆经过调节，处于水平平衡状态．如图所示，在A 点悬挂三个钩码（每个钩码重均为0.5N ），要使杠杆水平平衡，需在B 点悬挂 ▲ 个钩码；取走悬挂在B 点的钩码，改用弹簧测力计在C 点竖直向上拉，使杠杆水平平衡，测力计的拉力为▲N；如改变测力计拉力的方向，使之斜向右上方，杠杆仍然水平平衡，测力计的读数将 ▲ ． 41．如图甲是一种新型插座，它能即时显示接在该插座上的用电器的工作电压和所耗电费等（插座本身消耗电能由内部电池提供）．小明将装有质量为2.4kg 、初温为10℃水的电水壶插在该插座上，这时插座屏幕上显示如图乙所示，当水烧开至100℃时，屏幕显示如图丙所示．这段时间内电水壶消耗的电能为 ▲ J ，实际功率为▲ W ，电水壶烧水的效率为 ▲ ．[电费单价：0.5元/ kW·h ；c 水=4.2×103J/(kg·℃)]第39题图 灯的像 第37题图 第38题图 第40题图第36题图 第35题图 电压 时钟 电费 元 第41题图乙 电压 时钟 电费 元 第41题图丙第41题图甲第44题图 三、解答题（本题有8小题，共52分．解答43、44题时应写出解题过程）42．（6分）根据要求作图．（1）如图甲，在图中画出与入射光线对应的折射光线．（2）如图乙，物体A 静止在斜面上，画出物体A 对斜面压力的示意图．（3）如图丙，在虚线框内分别画出开关和灯泡的符号，使之符合安全用电要求．43．（7分）质量为20kg 、底面积100cm 2的物体静止在水平地面上．用如图所示的滑轮组在5s 内将物体匀速竖直提升3m ，已知动滑轮重50N，不计绳重和摩擦．（g =10N/kg ）求：（1）提升前，物体静止在水平地面上时对地面的压强；（2）拉力F 的功率；（3）滑轮组的机械效率．44．（6分）某型号的电饭锅有两挡，其原理如图所示，电阻R 1=44Ω．当开关S 闭合时，电饭锅处于高温挡，当开关S 断开时，电饭锅处于焖饭、保温挡，焖饭、保温时电饭锅的功率为高温挡功率的0.02倍．求： （1）高温挡的功率； （2）焖饭、保温时电路中的电流；（3）电阻R 2的阻值．45．（5分）（1）如图甲所示的温度计的分度值是 ▲ ℃，读数时视线应与液柱上表面 ▲ ；（2）如图乙，秒表的读数为 ▲ s ；（3）弹簧测力计在使用前应检查指针 ▲ ；如图丙是使用弹簧测力计测力时的情景，请指出图中存在的操作错误： ▲ ．A 第42题图乙 第42题图丙第42题图甲第43题图 第45题图甲 第45题图乙 第45题图丙46．（5分）在“探究凸透镜成像规律”的实验中，凸透镜的焦距为10cm ．（1）调整实验器材，使烛焰和光屏的中心位于凸透镜的主光轴上，如图所示，这样调整的目的是为了 ▲ ．（2）把点燃的蜡烛由图示位置移至光具座的14cm刻度处时，需将光屏向 ▲ （选填“左”或“右”）移动才能在光屏上成清晰、倒立、 ▲ 的实像； ▲ 就是利用这一成像规律工作的．（3）完成实验后，继续模拟远视眼的缺陷：给透镜戴上远视眼镜，调节光屏的位置，使烛焰在光屏上成一个清晰的像；取下远视眼镜，保持蜡烛和凸透镜的位置不变，为使光屏上再次得到清晰的像，应将光屏 ▲ （选填“远离”或“靠近”）透镜．47．（7分）有一种巧妙测量人体血液密度的方法，测量前需先用天平和量筒测定几种硫酸铜溶液的密度备用．（1）测量前，应把天平放在 ▲ 上，当移动游码至零刻度处时，指针偏向分度盘的右侧，则应将平衡螺母向 ▲ 调，使指针指在分度盘的中央． （2）接下来的测量步骤如下：①往空烧杯中倒入适量的硫酸铜溶液，测出烧杯和溶液的质量为49.2g ；②将烧杯中的一部分溶液倒入量筒，读出量筒中溶液的体积为20mL ；③测出烧杯和剩余溶液的质量，砝码及游码的位置如图所示．将下面的实验记录表填写完整．（3）测定血液密度时，具体操作如下：在几支试管中分别装入密度已知且不等的硫酸铜溶液；然后向每支试管中滴入一滴待测血液，只要看到哪一支试管中的血滴处于悬浮状态，就知道被测血液的密度了．这是为什么？请利用所学知识，简要分析，写出推理过程．分析推理过程： ▲．（2分） 48．（5分） （1）按图甲组装实验器材，给直导线通电，直导线向左运动，这说明 ▲ 对通电直导线有力的作用；只对调电源正负极接线，通电直导线会向 ▲ 运动，这说明通电导体的受力方向与 ▲ 有关．（2）如图乙是某兴趣小组制作的神奇转框，框的上部中央与电池正极相连，下部紧贴在与电池负极相连的柱形物两侧，金属框就可以绕电池持续转动．据此，你认为构成柱形物的材料应具有较好的： ▲ 、 ▲ ．（填物理属性）第47题图 +_N 直导线S 第48题图甲第48题图乙 第46题图49．（11分）（1）如图甲是小明“探究并联电路电流特点”的电路图．实验中，他将一只电流表分别接在A 、B 、C 三处，测得的数据如图甲中所示．完成此实验至少需要 ▲ 根导线；小明由此得出：并联电路中干路电流等于 ▲ ；请指出小明就此得出结论的不科学之处： ▲ ，你认为可做出的改进措施是 ▲ ．（2）小华用如图乙所示电路测量小灯泡的额定功率，小灯泡上标有“3.8V ”的字样，额定功率约1W ，滑动变阻器的规格是“20Ω 1A ”，电源电压恒为6V ．①帮小华在图乙上补画导线，使其成为完整的实验电路．要求：滑动变阻器的滑片向右滑动时，灯泡变亮．②在实验中，小华不慎将电流表和电压表的位置接反了，则合上开关后看到的现象可能是 ▲A ．只有电流表有示数，灯不亮B ．两电表均有示数，灯亮C ．只有电压表有示数，灯不亮D ．只有电流表有示数，灯亮③排除故障后，小华闭合开关并调节滑动变阻器的滑片，当灯正常发光时，电流表的示数如图丙所示，该电流值为 ▲ A ，测出的额定功率为 ▲ W ．④小华刚准备拆除电路结束实验时，同组的小红提出，在调节滑片使灯正常发光时，电压表的示数很难准确达到3.8V ，可能因此造成一定的测量误差．她认为可以在小华第③步实验的基础上，对电路稍作改动，能提高测量数据的精确度．请帮小红补全测量步骤（补全步骤时必须准确阐述接法和操作要点）：a ．断开开关， ▲ ；（2分）b ．闭合开关， ▲ ，并读出此时电流表的示数；c ．计算出灯的额定功率．第49题图丙第49题图乙。
江苏省泰州市泰兴市济川中学中考数学一模试卷(3月份)解析
2015年江苏省泰州市泰兴市济川中学中考数学一模试卷（3月份）一、选择题（每小题3分，共18分）1．﹣相反数的是（）A．B．﹣C．﹣D．2．下列运算中正确的是（）A．a+a=a2 B．a•a2=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a2）3=a53．已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B=20°，∠D=40°，那么∠BOD 为（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．某校篮球班21名同学的身高如下表身高cm 180 186 188 192 208人数（个）4 6 5 4 2则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（）A．186，186 B．186，187 C．186，188 D．208，1885．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“设”字对面是（）A．和B．谐C．泰D．州6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共30分）7．函数中，自变量x的取值范围是．8．“文明城市”泰州市的总面积约为5790km2，把数5790用科学记数法表示为km2．9．分解因式：2x2﹣4xy+2y2=．10．在一个口袋中，装有质地、大小均相同、颜色不同的红球3个，蓝球4个，黄球5个，现在随机抽取一个球是红球的概率是．11．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积是．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．13．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为．14．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b﹣1≤0的解集是．15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．16．如图，线段AB是半径为6.5的⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点M、N在线段AB上，MN=6，若∠MCN=45°，线段AM的长度为．三、解答题（共102分）17．（12分）（2015•泰兴市校级一模）（1）计算：（）﹣1﹣4sin60°++（3﹣π）0．（2）求不等式组的整数解．18．先化简÷（x﹣），其中x满足x2﹣5x﹣6=0．19．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此市教育局对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近50000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？20．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同、正面分别写有1，2，3，4的四张卡片背面向上冼匀后，小伟和小欣各自随机抽取一张（不放回）．将小伟的数字作为十位数字，小欣的数字作为个位数字，组成一个两位数．如果所组成的两位数为偶数，则小伟胜；否则小欣胜．（1）当小伟抽取的卡片数字为2时，问两人谁获胜的可能性大？（2）通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平．21．（10分）（2014•通州区一模）列方程或方程组解应用题：现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均每天多安装2台空调．求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．22．（10分）（2015•泰兴市校级一模）如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．23．（10分）（2015•泰兴市校级一模）如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡AB的坡度为；（2）若山坡AB的长为20米，求大楼的窗口P处距离地面的高度．24．（10分）（2015•泰兴市校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2）B （﹣2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的函数关系式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△OB1C1，当α为多少度时OC1⊥AB，并求此时线段AB1的长．25．（12分）（2015•泰兴市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A和B，点M（a，0）在x轴正半轴上，以M为圆心，MO长为半径画⊙M．（1）当点M在线段OA上时①若BM平分∠OBA（如图1），求证：直线AB与⊙M相切；②若⊙M于直线AB相交于点C、D（如图2），试用含a的代数式表示CD2；（2）若⊙M于直线AB相交于点C、D，且∠CMD=120°，求a的值．26．（14分）（2015•泰兴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上，点B坐标为（3，3），抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C，交x轴负半轴于点D，与BC边的另一个交点为E，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点P在直线MN上，求当PE+PA的值最小时点P的坐标；（3）如图2，探索在x轴是否存在一点F，使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO？若存在，求点F的坐标；不存在，说明理由；（4）将抛物线沿y轴方向平移m个单位后，顶点为Q，若QO平分∠CQN，求点Q的坐标．2015年江苏省泰州市泰兴市济川中学中考数学一模试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共18分）1．﹣相反数的是（）A．B．﹣C．﹣D．考点：相反数．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：相反数的是．故选D．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易与倒数混淆．2．下列运算中正确的是（）A．a+a=a2 B．a•a2=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a2）3=a5考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确选项．解答：解：A、a+a=2a，原式计算错误，故本选项错误；B、a•a2=a3，原式计算错误，故本选项错误；C、（ab）2=a2b2，原式计算正确，故本选项正确；D、（a2）3=a6，原式计算错误，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．3．已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B=20°，∠D=40°，那么∠BOD 为（）A．40° B．50° C．60° D．70°考点：平行线的性质．分析：由AB∥CD，∠B=20°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠BOD的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，∴∠C=∠B=20°，∵∠D=40°，∴∠BOD=∠C+∠D=60°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．4．某校篮球班21名同学的身高如下表身高cm 180 186 188 192 208人数（个）4 6 5 4 2则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（）A．186，186 B．186，187 C．186，188 D．208，188考点：众数；中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．解答：解：众数是：186cm；中位数是：188cm．故选C．点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“设”字对面是（）A．和B．谐C．泰D．州考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“建”与面“州”相对，面“和”与面“泰”相对，“谐”与面“设”相对．故选：B．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由四边形ABCD是正方形，证得△ADE≌△BAF，进而证得BF=AE，利用两角对应相等易得△AOE∽△ABF，那么问题得解．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，∵DE⊥AF，∴∠ADE+∠DAO=∠DAO+∠OAF=90°∴∠ADE=∠OAE，在△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF，∴BF=AE，∵AE=AB，∴BF=AB，设BF=1，则AB=2，∴AF=，∵∠AOE=∠B=90°．∠OAE=∠FAB，∴△AOE∽△ABF，∴．故选C．点评：本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和相似三角形的判定与应用；把所求的线段的比进行相应的转移是解决本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）7．函数中，自变量x的取值范围是x≤2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．故答案是：x≤2．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．“文明城市”泰州市的总面积约为5790km2，把数5790用科学记数法表示为 5.8×103km2．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将5790km2用科学记数法表示为5.8×103．故答案为：5.8×103．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．分解因式：2x2﹣4xy+2y2=2（x﹣y）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式（常数2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：2x2﹣4xy+2y2，=2（x2﹣2xy+y2），=2（x﹣y）2．故答案为：2（x﹣y）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．10．在一个口袋中，装有质地、大小均相同、颜色不同的红球3个，蓝球4个，黄球5个，现在随机抽取一个球是红球的概率是．考点：概率公式．分析：用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．解答：解：∵共有3+4+5=12个球，其中红球有3个，∴P（摸到红球）==，故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积是12π．考点：圆锥的计算．分析：先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积=12π，然后得到圆锥的侧面积．解答：解：∵扇形的面积==12π，∴圆锥的侧面积为12π．故答案为：12π．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80°．考点：三角形的内切圆与内心．分析：连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．解答：解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．点评：此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF=150°是解题关键．13．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为3．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2与x1x2的值，然后再把它们的值整体代入所求代数式求值即可．解答：解：根据题意可得x1+x2=﹣=5，x1x2==2，∴x1+x2﹣x1•x2=5﹣2=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=是解题关键．14．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．考点：一次函数与一元一次不等式．分析：根据一次函数y=kx+b的图象过点（0，1），得出y的值小于1的点都符合条件，从而得出x的解集．解答：解：∵kx+b﹣1≤0，∴kx+b≤1，∵y=kx+b的图象过点（0，1），∴由图象可知y≤1，∴kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．故答案为：x≥0．点评：本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，在解题时要注意与函数的图象移动相结合是解题的关键．15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．考点：勾股定理．专题：新定义．分析：“有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为1．但是不符合较短的一条直角边边长为1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．解答：解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为AB边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边BC上的中线，如图所示，AB=1，设AD=2x，则BD=x，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD2=AB2+BD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则这个三角形“有趣中线”长等于．故答案为：．点评：此题考查了勾股定理，以及新定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16．如图，线段AB是半径为6.5的⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点M、N在线段AB上，MN=6，若∠MCN=45°，线段AM的长度为或．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：分类讨论．分析：作DA⊥AB，使DA=BN，连接DC，DM，根据旋转的性质求得∠ACD=∠BCN，DC=NC，然后证得△DMC≌△NMC，求得DM=MN=6，设AM=x；则AD=BN=AB﹣AM ﹣MN=7﹣x，根据勾股定理得出x2+（7﹣x）2=36，进而就可求得线段AM的长度．解答：解：作DA⊥AB，使DA=BN，连接DC，DM，∵线段AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，∴=，∠ACB=90°，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠DAC=∠NBC=45°，在△ADC和△NCB中，∴△ADC≌△NCB（SAS），∴∠ACD=∠BCN，DC=NC，∵∠MCN=45°∴∠ACM+∠BCN=45°∴∠ACM+∠ACD=45°即∠MCD=45°=∠MCN，在△DMC和△NMC中，∴△DMC≌△NMC（SAS），∴DM=MN=6，设AM=x；则AD=BN=AB﹣AM﹣MN=7﹣x根据勾股定理AM2+AD2=DM2x2+（7﹣x）2=362x2﹣14x+13=0，解得x=，∴AM的长度为或．故答案为或．点评：本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．三、解答题（共102分）17．（12分）（2015•泰兴市校级一模）（1）计算：（）﹣1﹣4sin60°++（3﹣π）0．（2）求不等式组的整数解．考点：实数的运算；零指数幂；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）原式=2﹣2+3+1=+3；（2），由①得：x≥﹣2，由②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简÷（x﹣），其中x满足x2﹣5x﹣6=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=•=，∵x满足x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，∴x1=6，x2=﹣1，∴当x=6时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此市教育局对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近50000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据A级的人数是50人，所占的百分比是25%，根据百分比的意义即可求得总人数；（2）利用总人数减去其它组的人数，即可求得C级的人数，进而补全直方图；（3）C级所占的圆心角的度数用360度乘以对应的百分比即可求得；（4）利用总数50000乘以对应的比例即可求解．解答：解：（1）抽查的总人数是：50÷25%=200（人）；（2）C级的人数是：200﹣50﹣120=30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）=54°；（4）学习态度达标的人数是：50000×=42500（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同、正面分别写有1，2，3，4的四张卡片背面向上冼匀后，小伟和小欣各自随机抽取一张（不放回）．将小伟的数字作为十位数字，小欣的数字作为个位数字，组成一个两位数．如果所组成的两位数为偶数，则小伟胜；否则小欣胜．（1）当小伟抽取的卡片数字为2时，问两人谁获胜的可能性大？（2）通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）找出十位数字为2的所有等可能的情况数，进而求出两人获胜的概率，比较即可得到结果；（2）这个游戏对小伟和小欣是公平的．根据题意，由（1）的图表，分别计算两人谁获胜的可能性，比较可得答案．解答：解：（1）列表得：数字 1 2 3 41 ﹣﹣﹣12 13 142 21 ﹣﹣﹣23 243 31 32 ﹣﹣﹣344 41 42 43 ﹣﹣﹣共有3种等可能的情况数，其中P（小伟胜）=，P（小欣胜）=，∴小欣获胜的可能性大．（2）这个游戏对小伟和小欣是公平的．理由如下：由（1）可知共有12种等可能结果，其中偶数占6个，奇数占6个，∴P（小伟胜）=，P（小欣胜）=，∴这个游戏对小伟和小欣是公平的．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（10分）（2014•通州区一模）列方程或方程组解应用题：现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均每天多安装2台空调．求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．考点：一元一次方程的应用．分析：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装（x+2）台空调，根据两个安装队同时开工恰好同时安装完成，即所用的时间相等，即可列方程求解．解答：解：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装（x+2）台空调，根据题意得：=，解方程得：x=20，经检验x=20是方程的解，并且符合实际．∴x+2=22．答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调．点评：本题考查了列方程解应用题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．22．（10分）（2015•泰兴市校级一模）如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：（1）首先根据全等三角形的判定定理ASA证得：△DEG≌△BFH，根据对应边相等证得DG=BH，从而得出AG=CH，判断出四边形AGCH是平行四边形，继而得出结论；（2）根据等高三角形面积的比等于底的比，相似三角形面积的比等于对应边比的平方即可求出结果．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC，∴∠E=∠F，∠EDG=∠FBH，在△DEG与△BFH中，，∴△DEG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∴AD﹣DG=BC﹣BH，即CH=AG，又∵AG∥CH，∴四边形AGCH为平行四边形；（2）∵DE=CD，∴DE=CE，=，∵DG∥BC，∴===，∴=．点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，知道三角形面积的比分为相似三角形面积的比和非相似三角形面积的比是解题的关键．23．（10分）（2015•泰兴市校级一模）如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡AB的坡度为1：；（2）若山坡AB的长为20米，求大楼的窗口P处距离地面的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）坡角的正切函数值即为坡度，依此即可求解；（2）先利用平行线的性质得出∠PBH=∠DPB=60°，由平角的定义求出∠ABP=180°﹣∠ABC ﹣∠PBH=90°．再证明△ABP是等腰直角三角形，那么BP=AB=20米，然后在直角△PBH 中利用三角函数即可求解．解答：解：（1）∵山坡的坡角∠ABC=30°，∴山坡AB的坡度为tan30°==1：；（2）由题意得PD∥HC，AB⊥BP，PH⊥HC，∠DPA=15°，∠DPB=60°，AB=20米．∵PD∥HC，∴∠PBH=∠DPB=60°，∴∠ABP=180°﹣∠ABC﹣∠PBH=180°﹣30°﹣60°=90°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=60°﹣15°=45°，∴BP=AB=20米，在Rt△PBA中，∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，∴PH=PB•sin∠PBH=20×=10（米）．答：大楼的窗口P处距离地面的高度为10米．故答案为1：．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，以及坡度坡角问题，其中涉及到平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确利用三角函数是解题的关键．24．（10分）（2015•泰兴市校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2）B （﹣2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的函数关系式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△OB1C1，当α为多少度时OC1⊥AB，并求此时线段AB1的长．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度数．（3）过点B1作B1G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC1=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB1=α=60°，解直角三角形求得B1的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB1的长．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（0，2），B（﹣2，0）代入得：，解得：，故直线AB解析式为y=x+2，将D（1，a）代入直线AB解析式得：a=3，则D（1，3），将D坐标代入y=中，得：m=3，则反比例解析式为y=；（2）联立两函数解析式得：，解得：或，则C坐标为（﹣3，﹣），过点C作CH⊥x轴于点H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，tan∠COH==，∠COH=30°，在Rt△AOB中，tan∠ABO===，∠ABO=60°，∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°；（3）过点B1作B1G⊥x轴于点G，∵∠ABO=60°，∠COH=30°，∴∠OCB=30°，∵OC1⊥AB，∴∠COC1=60°，∴α=60°．∴∠BOB1=60°，∵OB1=OB=2，∴OG=1，B1G=，∴B1（﹣1，），∴AB1==2．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．（12分）（2015•泰兴市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A和B，点M（a，0）在x轴正半轴上，以M为圆心，MO长为半径画⊙M．（1）当点M在线段OA上时①若BM平分∠OBA（如图1），求证：直线AB与⊙M相切；②若⊙M于直线AB相交于点C、D（如图2），试用含a的代数式表示CD2；（2）若⊙M于直线AB相交于点C、D，且∠CMD=120°，求a的值．考点：圆的综合题．分析：（1）①首先过点M作ME⊥AB于点E，由BM平分∠OBA，根据角平分线的性质，可证得ME=MO，即可证得直线AB与⊙M相切；②首先过点M作ME⊥AB于点E，连接MC，由一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A 和B，即可求得点A与B的坐标，则可得△AEM是等腰直角三角形，继而表示出ME的长，然后由垂径定理与勾股定理求得表示CD2；。
江苏省泰州中学附属初级中学七年级数学上学期第一次月
江苏省泰州中学附属初级中学2014-2015学年七年级数学上学期第一次月考试题一、选择题（每题2分，共16分）1、3-的相反数是 （ ） A ．－3 B ．＋3 C ．0.3 D ．132、我校的校园面积约是23000平方米，用科学记数法表示为 （ ）A. 23×103B.2.3×103C. 0.23×105D. 2.3×1043、两个数的和为正数，那么这两个数是 （ ）A.正数B.负数C.一正一负D.至少有一个为正数 4、一潜水艇所在的海拔高度是-80米，一条海豚在潜水艇上方30米，则海豚所在的高度是海拔 （ ） A.110米 B. -50米 C. -110米 D.50米 5、某月的月历上连续三天的日期之和不可能是( )A ．87B ．52C ．18D ．96、一个数的绝对值是最小的正整数，则该数是A 、0B 、1-C 、1D 、1± 7、把一根粗细均匀的木棒锯成2段需6分钟，那么把它锯成6段需( )A 、18分钟B 、24分钟C 、30分钟D 、36分钟8、下列说法中：①有理数的绝对值一定是正数；②互为相反数的两个数,必然一个是正数, 一个是负数；③若b a =，则a 与b 互为相反数；④绝对值等于本身的数是0；⑤任何一 个数都有它的相反数.其中正确的个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题2分，共20分）9、如果电梯上升5米，记作5+米，那么米8-表示____________ 10、请你写出一个小于-2的无理数___________ 11、比较大小： 3-________1.3- ，43-32- 12、绝对值不大于2的整数有_______个 ；13、在数轴上与－2距离3个单位长度的点表示的数是14、点A 表示数轴上的一个点,将点A 向右移动6个单位,再向左移动4个单位,终点恰好是原点,则点A 表示的数是 .15、小明有5张写着不同数字的卡片：-5，+1，0，-2，+6，他从中任取三张卡片，计算卡片上数字的乘积，其中最小的乘积是16、若()0332=++-y x ，则y x= 。
江苏省泰州中学附属初级中学2015届九年级上学期第一次单元检测(月考)数学试题
18．（本题 8 分）化简求值： （ a+2）（ a-2）+2 （ a+1） 2-（ a+1）（ a-3） 其中实数 a 是方程 2x2+6x-1=0 的一个根 .
19．（本题 8 分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点 个单位长度）
A、 B、 C．（每个小正方形的边长均为 1
y
（ 1）请写出该圆弧所在圆的圆心 O 的坐标
D.x=2
（
）
A. 2 B.-2
C.1 D.-1
6. 下列说法正确的是
（
）
A. 三点确定一个圆
B.
正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形
C. 等弧所对的圆周角相等
D.
垂直于半径的直线是圆的切线
二、填空题 （本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
7. 如图 4，A、 B、 C是⊙ O上的三点，∠ AOB=100°，则∠ ACB=
P（个）与
每个书包销售价 x（元）满足一次函数关系式．当定价为 35 元时，每天销售 30 个；定价为 40 元时，
每天销售 20 个．
(1)求 P 关于 x 的函数关系式； (2)如果要保证商场每天销售这种书包获利
200 元，求书包的销售单价应定为多少元？
23．（本题 10 分）一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB 长 16 米，拱高 CD 长 4 米， ⑴求桥拱的半径； ⑵若大雨过后，桥下河面宽度 EF 为 12 米，求水面涨高了多少？
2.如图 2，CD 是⊙ O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点 E，连接 BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是
（
）
AAE=BE ．
B． =
C． OE=DE
江苏省泰州市2015届高三数学一模试卷(解析版)
2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．4．函数y=的定义域为．5．执行如图所示的流程图，则输出的n为．6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．8．等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为．9．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC 的面积的最大值为．14．在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．19．数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）三、选做题共4小题，满分20分【几何证明选讲】21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【矩阵与变换】22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l 的方程．【坐标系与参数方程选讲】23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【不等式选讲】24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．四、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD 上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．26．记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=4﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案为：4﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．执行如图所示的流程图，则输出的n为4．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件S＞63，S=255，n=2满足条件S＞63，S=127，n=3满足条件S＞63，S=63，n=4不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．若数据2，x，2，2的方差为0，则x=2．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．【解答】解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；故答案为：2．【点评】本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8．等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为﹣．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+32a6=0，∴q5==﹣，即公比q=﹣；又∵a3a4a5=1，∴a4=1，∴a1===﹣8；∴该数列的前6项和为S6===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．10．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b=（a+c），即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，即3c2﹣5a2﹣2ac=0，由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，解得，e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．12．已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC 的面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．14．在梯形ABCD 中，=2，=6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q 为边AD 上的一个动点，则的最小值为 ．【考点】向量的加法及其几何意义． 【专题】平面向量及应用．【分析】画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据•=•，求出cos θ，继而求出sin θ，再根据射影定理得到的最小值【解答】解：取AB 的中点，连接PE ，∵=2，∴=2，∴=，∴四边形DEBC 为平行四边形，∴=，∵+=﹣2，++4=，∴=2，∵=6，∴=2，||=4，设∠ADP=θ，∵•=•，∴•=||||cos θ=•，∴cosθ=，∴sinθ=，当PQ⊥AD时，最小，∴=|DP|sinθ|=2×=故答案为：【点评】本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…∴．…（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，∴Q（3，﹣4）．…∴，∴．…【点评】本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．17．如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．【考点】三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到AB的长；（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．【解答】（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴．（2）设∠BOM=θ，，在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，∴，∴，，当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．【点评】本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．【解答】解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的定义只要证明b n+1﹣b n=一个常数即可；=a n+2a n+1﹣2，b n=a n﹣2a n+1，可得，，只要证（2）当n≥2时，c n﹣1明a n+1﹣a n等于一个常数即可；（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，由b n=a n﹣2a n+1，利用“错位相减”可得，设，可得，进而得到，令n=2，得，利用b1+a3=0，可得a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，即可证明．解法2 由b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，可得b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），由于数列{b n}是等差数列，可得2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，可得2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），即可证明．【解答】证明：（1）设数列{a n}的公差为d，∵b n=a n﹣2a n+1，∴b n+1﹣b n=（a n+1﹣2a n+2）﹣（a n﹣2a n+1）=（a n+1﹣a n）﹣2（a n+2﹣a n+1）=d﹣2d=﹣d，∴数列{b n}是公差为﹣d的等差数列．=a n+2a n+1﹣2，（2）当n≥2时，c n﹣1∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，∴，∵数列{b n}，{c n}都是等差数列，∴为常数，∴数列{a n}从第二项起为等差数列．（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴，令n=2，得，∵b1+a3=0，∴，∴2a1+2b1﹣4d′=0，∴a n+1=﹣（b n﹣d′），∴a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d′）+（b n﹣d′）=﹣d′，∴数列{a n}（n≥2）是公差为﹣d'的等差数列，∵b n=a n﹣2a n+1，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴数列{a n}是公差为﹣d'的等差数列．解法2∵b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵数列{b n}是等差数列，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵a1﹣2a2+a3=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=0，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．三、选做题（共4小题，满分20分ont-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'"><STRONG>四小题中任选两题作答</STRONG></SPAN>）【几何证明选讲】21．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．【解答】证明：∵EA与⊙O相切于点A．∴由切割线定理：DA2=DB•DC．∵D是EA的中点，∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．…∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…【点评】本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【矩阵与变换】22．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l 的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．【解答】解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】本题考查了矩阵的变换，属基础题．【坐标系与参数方程选讲】23．己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O（0，0）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=．【解答】解：由圆O的参数方程（α为参数），利用sin2α+cos2α=1可得圆O：x2+y2=4，又直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1可得直线l：x﹣y+1=0，圆心O（0，0）到直线l的距离，弦长．【点评】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】24．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．四、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD 上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【解答】解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），∴，．设异面直线O'P与BC'所成角为θ，则，化简得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（2）∵，∴，，，，，设平面DC'B的一个法向量为，∴，∴，即，取y1=﹣1，，设平面PA'C'的一个法向量为，∴，∴，即，取y2=1，，设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，∴，∴．…【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26．记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】由已知得当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，，由此能求出Eξ．【解答】解：∵，当i≥2时，，，，，∴当2≤i≤5，i∈N*时，的解为r=0，1，…，i．…当6≤i≤10，i∈N*，，由⇔i=3，4，5可知：当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，（等号不同时成立），即．…∴ξ的分布列为：…∴．…【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．。
江苏省泰州市兴化市顾庄三校2015届中考数学一模试卷(解析版)
2015年江苏省泰州市兴化市顾庄三校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1．与﹣3互为相反数的是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．刻画一组数据波动大小的统计量是（）A．平均数B．方差 C．众数 D．中位数3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（﹣a3）2÷（﹣a2）3=1 C．2﹣1=D．6．设P是函数在第一象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点为P′，过P作PA平行于y 轴，过P′作P′A平行于x轴，PA与P′A交于A点，则△PAP′的面积（）A．随P点的变化而变化B．等于1C．等于2 D．等于4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7．9的算术平方根是．8．H7N9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是米．9．分解因式：4a2﹣16=．10．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．11．把一块矩形直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为．12．五位女生的体重（单位：kg）分别为38、42、35、45、40，则这五位女生体重的方差为kg2．13．阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为m．14．已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为60°．则该圆锥的母线长为cm．15．按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙O的半径为5，点B的坐标为（3，0），点A为⊙O 上一动点，当∠OAB取最大值时，点A的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：++（﹣1）0﹣2sin45°；（2）解方程：x2﹣2x﹣2=0．18．先化简，然后在0＜2m﹣1＜6的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．19．在一个不透明的袋中装有3 个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数．（1）求组成的两位数是奇数的概率；（2）小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．20．某校全体学生积极参加校团委组织的“献爱心捐款”活动，为了解捐款情况，随机抽取了部分学生并对他们的捐款情况作了统计，绘制了两幅不完整的统计图（统计图中每组含最小值，不含最大值）．请依据图中信息解答下列问题：（1）求随机抽取的学生人数．（2）填空：（直接填答案）①“20元～25元”部分对应的圆心角度数为．②捐款的中位数落在（填金额范围）．（3）若该校共有学生3500人，请估算全校捐款不少于20元的人数．21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．22．如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．23．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=50，AD=36，CD=27．点E从C出发以每秒5个单位长度的速度向B运动，点F从A出发，以每秒4个单位长度的速度向D运动．两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点F作FG⊥BC，垂足为G，连结AC交FG 于P，连结EP．（1）点E、F中，哪个点最先到达终点？（2）求△PEC的面积S与运动时间t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．当t为何值时，S的值最大；（3）当△CEP为锐角三角形时，求运动时间t的取值范围．26．如图，抛物线与y轴相交于点A（0，2），与x轴相交于B（4，0）、C（，0）两点．直线l 经过A、B两点．（1）分别求出直线l和抛物线相应的函数表达式；（2）平行于y轴的直线x=2交抛物线于点P，交直线l于点D．①直线x=t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F．若EF：DP=3：4，求t的值；②将抛物线沿y轴上下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x=2交于点P′．当P′O平分∠A′P′P 时，求平移后的抛物线相应的函数表达式．2015年江苏省泰州市兴化市顾庄三校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1．与﹣3互为相反数的是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】相反数．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选B．【点评】此题主要考查相反数的意义，较简单．2．刻画一组数据波动大小的统计量是（）A．平均数B．方差 C．众数 D．中位数【考点】统计量的选择．【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，衡量一组数据波动大小的统计量是方差．故选B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念即可，属于基础题．4．如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图是从图形的正面看所得到的图形可得答案．【解答】解：此几何体的主视图有两个长方形组成，两个长方形的左边对齐，故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．5．下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（﹣a3）2÷（﹣a2）3=1 C．2﹣1=D．【考点】负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【分析】根据负整数指数幂、数的0次幂、合并同类项、同底数幂的乘法与除法分析各个选项．【解答】解：A、x2•x3=x5，故错误；B、（﹣a3）2÷（﹣a2）3=﹣1，故错误；C、正确；D、2+3=2+3，不是同类项不能合并，故错误．故选C．【点评】涉及知识：数的负指数幂为数的正指数幂的倒数；任何非0数的0次幂等于1；合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方．6．设P是函数在第一象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点为P′，过P作PA平行于y 轴，过P′作P′A平行于x轴，PA与P′A交于A点，则△PAP′的面积（）A．随P点的变化而变化B．等于1C．等于2 D．等于4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】由于∠A=90°，那么△PP′A的面积=×PA×P′A．如果设P（x，y），那么根据点P关于原点的对称点为P′，知P′（﹣x，﹣y）．则△PP′A的面积可用含x、y的代数式表示，再把k=xy=2代入，即可得出结果．【解答】解：设P（x，y），则P′（﹣x，﹣y），那么△PP′A的面积=×PA×P′A=×2y×2x=2xy，∵xy=2，∴△PP′A的面积为4．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、关于原点对称的点的坐标，同时该题结合反比例函数的性质考查了关于原点对称的点的坐标变化规律和关于x、y轴对称的点的性质，要注意二者的区别．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7．9的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2=9，∴9的算术平方根是|±3|=3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．8．H7N9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是 1.3×10﹣7米．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000013=1.3×10﹣7．故答案为：1.3×10﹣7．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．分解因式：4a2﹣16=4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．10．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7．【考点】多边形内角与外角．【专题】方程思想．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）×180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．11．把一块矩形直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为130°．【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据直角三角形两锐角互余求出∠4，然后根据邻补角的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵矩形两对边互相平行，∴∠3=∠1=40°，在直角三角形中，∠4=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°，∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．12．五位女生的体重（单位：kg）分别为38、42、35、45、40，则这五位女生体重的方差为11.6kg2．【考点】方差．【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（38+42+35+45+40）÷5=40，则这五位女生体重的方差为[（38﹣40）2+（42﹣40）2+（35﹣40）2+（45﹣40）2+（40﹣40）2]=11.6（kg2）．故答案为：11.6．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为 4.8m．【考点】相似三角形的应用；平行投影．【分析】设这棵树的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．【解答】解：设这棵树的高度约为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴=，解得h=4.8（米）．故答案为：4.8．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为60°．则该圆锥的母线长为4cm．【考点】圆锥的计算．=，把相应数值代入即可【分析】S扇形【解答】解：设母线长为R，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S==8π，∴R=4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大．15．按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】首先根据题意，可得每个数的分子都是1；然后根据第一个数的分母3=1×3=（2×1﹣1）×（2×1+1），第二个数的分母15=3×5=（2×2﹣1）×（2×2+1），第三个数的分母35=5×7=（2×3﹣1）×（2×3+1），第四个数的分母63=7×9=（2×4﹣1）×（2×4+1），…，可得第n个数的分母是2n﹣1与2n+1的乘积，据此求出这列数中的第7个数的分母是多少，进而求出它的值是多少即可．【解答】解：每个分数的分子都是1，因为3=1×3=（2×1﹣1）×（2×1+1），15=3×5=（2×2﹣1）×（2×2+1），35=5×7=（2×3﹣1）×（2×3+1），63=7×9=（2×4﹣1）×（2×4+1），…，所以第n个数的分母是2n﹣1与2n+1的乘积，所以这列数中的第7个数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每个数的分子都是1，第n个数的分母是2n﹣1与2n+1的乘积．16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙O的半径为5，点B的坐标为（3，0），点A为⊙O 上一动点，当∠OAB取最大值时，点A的坐标为（3，4）或（3，﹣4）．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】作OH⊥AB于H，如图，在Rt△OAH中，利用正弦的定义可判断当OH最大时，∠OAH最大，当OH=OB时，∠OAH最大，即A′B⊥OB时，∠OA′B最大，再根据勾股定理计算出A′B=4，则A′（3，4），点A′关于x轴的对称点也满足条件，于是得到当∠OAB取最大值时，点A的坐标为（3，4）或（3，﹣4）．【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，在Rt△OAH中，∵sin∠OAH==，∴当OH最大时，∠OAH最大，当OH=OB时，∠OAH最大，即A′B⊥OB时，∠OA′B最大，∴A′B==4，∴A′（3，4），点A′关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣4），∴当∠OAB取最大值时，点A的坐标为（3，4）或（3，﹣4）．故答案为（3，4）或（3，﹣4）．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：++（﹣1）0﹣2sin45°；（2）解方程：x2﹣2x﹣2=0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）原式=2+4+1﹣=+5；（2）∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，∴△=4+8=12，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简，然后在0＜2m﹣1＜6的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出m的取值范围，选取合适的m的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=2m+6，解不等式得0.5＜m＜3.5，∴当m=1时，原式=8．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．在一个不透明的袋中装有3 个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数．（1）求组成的两位数是奇数的概率；（2）小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）首先画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是奇数的情况，再根据概率公式即可求得组成的两位数是奇数的概率；（2）分别求得小明得3分与小华得3分的概率，再比较概率的大小，即可得出结论．【解答】解：（1）画树状图如下：一共有6种等可能的结果，组成的两位数是奇数的有13，23，21，31共4种情况，两位数是奇数的概率为；（2）∵组成的两位数是4的倍数的有2种情况，∴P（小明得3分）=，P（小华得3分）=，∴该游戏不公平．可改游戏规则为：组成的两位数是4的倍数，小明得2分，否则小华得1分．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．20．某校全体学生积极参加校团委组织的“献爱心捐款”活动，为了解捐款情况，随机抽取了部分学生并对他们的捐款情况作了统计，绘制了两幅不完整的统计图（统计图中每组含最小值，不含最大值）．请依据图中信息解答下列问题：（1）求随机抽取的学生人数．（2）填空：（直接填答案）①“20元～25元”部分对应的圆心角度数为72°．②捐款的中位数落在15元～20元（填金额范围）．（3）若该校共有学生3500人，请估算全校捐款不少于20元的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．【分析】（1）用25元～30元的人数除以所占的百分比求出总人数即可；（2）用20元～25元”所占的百分比乘以360°即可求出圆心角度数，再根据中位数的定义即可得出捐款的中位数落在15元～20元；（3）用该校共有学生数乘以捐款不少于20元的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）随机抽取的学生人数是：=60（人）；（2）10元﹣15元的人数是60×40%=24（人），20元﹣25元的人数是60﹣24﹣18﹣6=12（人），①“20元～25元”部分对应的圆心角度数为×360°=72°；②∵共有60人，∴捐款的中位数落在15元～20元；故答案为：72°，15元～20元；（3）根据题意得：3500×=1050（人）．答：全校捐款不少于20元的人数是1050人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．【考点】反比例函数的应用．【分析】（1）根据面积为18m2，可得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过18m，DC 的长＜18，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．【解答】解：（1）根据题意得xy=18，即y=；（2）由y=，且x、y都是正整数，所以x可取1、2、3、6、9、18，但x≤8，x+2y≤18，所以符合条件的有：x=3时，y=6；x=6时，y=3．答：满足条件的所有围建方案：AD=6cm，CD=3cm或AD=3cm，CD=6cm．【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，第二问注意结合实际解答．23．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点C作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是矩形，再由CD=12m，∠ECB=45°可知BE=CE=12m，由AE=CE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论．【解答】解：过点C作AB 的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四边形CDBE是矩形，∵CD=12m，∠ECB=45°，∴BE=CE=12m，∴AE=CE•tan30°=12×=4（m），∴AB=4+12≈19（m）．答：建筑物AB的高为19米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】（1）连接OD ，根据平行线判定推出OD ∥AC ，推出OD ⊥BC ，根据切线的判定推出即可； （2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r ，AB=2AC=3r ，从而求得半径r 的值；②根据S 阴影=S △BOD ﹣S 扇形DOE 求得即可．【解答】解：（1）直线BC 与⊙O 相切；连结OD ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求图形面积为．【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=50，AD=36，CD=27．点E从C出发以每秒5个单位长度的速度向B运动，点F从A出发，以每秒4个单位长度的速度向D运动．两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点F作FG⊥BC，垂足为G，连结AC交FG 于P，连结EP．（1）点E、F中，哪个点最先到达终点？（2）求△PEC的面积S与运动时间t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．当t为何值时，S的值最大；（3）当△CEP为锐角三角形时，求运动时间t的取值范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）分别求得点E和点F到达终点的时间，进行比较即可；（2）根据△APF∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等，利用t表示出PF和PG的长，然后利用三角形的面积公式得到函数解析式；（3）求得当∠CEP=90°时t的值，当∠CPE=90°时，由△GEP∽△GPS求得t的值，即可确定t的范围．【解答】解：（1）点E到达终点需要的时间是：=10（秒），点F到终点需=9（秒），则F最先到达终点；（2）由题意得：AF=4t，CE=5t，由△APF∽△ACD，则=，得=，∴PF=3t，PG=27﹣3t，S=CE•PG=×5t•（27﹣3t）=﹣t2+t，自变量t的取值范围是：0≤t≤9，当t=4.5时，S的值最大；（3）当∠CEP=90°时，5t+4t=36，解得：t=4，当∠CPE=90°时，EG=9t﹣36，CG=36﹣4t，由△GEP∽△GPS，得=，得方程（36t﹣4t）（9t﹣36）=（27﹣3t）2，解得：t=5或9（舍去）．则运动时间t的取值范围是4＜t＜5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，用t正确表示出PF和PG的值是本题的关键．26．如图，抛物线与y轴相交于点A（0，2），与x轴相交于B（4，0）、C（，0）两点．直线l经过A、B两点．（1）分别求出直线l和抛物线相应的函数表达式；（2）平行于y轴的直线x=2交抛物线于点P，交直线l于点D．①直线x=t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F．若EF：DP=3：4，求t的值；②将抛物线沿y轴上下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x=2交于点P′．当P′O平分∠A′P′P 时，求平移后的抛物线相应的函数表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设直线l的函数表达式是y=kx+b，根据题意求出k、b即可得出直线l的函数表达式，再设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把各点的坐标代入，求出a，b，c的值，即可得出答案；（2）①根据点E、F的坐标，求出EF的解析式，再根据平行于y轴的直线x=2交抛物线于点P，交直线l于点D，求出DP，然后根据EF：DP=3：4，即可求出t的值；②先根据抛物线沿y轴向上平移时，过点A作AM⊥PD，求出AP，再根据P′O平分∠A′P′P时，得出AO=A′P′，再根据四边形A′APP′是平行四边形，得出A′O=AP，求出AA′，从而得出平移后的抛物线相应的函数表达式；再将抛物线沿y轴向下平移，过点A作AN⊥PD，得出A′N=2，根据四边形APP′A′是平行四边形，得出A′P′=AP的值，再根据P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O=∠PP′O，得出A′O=A′P′，求出AA′的值，从而得出抛物线相应的函数表达式．【解答】解：（1）设直线l的函数表达式是y=kx+b，根据题意得；，解得：，。
泰州中学附属初级中学2015届中考第三次模拟考试数学试题
省泰中附中九年级第三次模拟考试数学试卷2015.6.5（满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．）1．下列各式结果是负数的是（▲）A ．-(-3)B ．3C ．23D ．2(3)2．下列运算正确的是（▲）A. 336ab abB.32aa a C.632aaaD.326aa3．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（▲）AB C D4．下列命题中，假．命题是（▲）A ．方差是衡量一组数据波动大小的统计量B ．影响鞋店进货时决策的主要统计量是众数C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC=40°，则∠BOD=（▲）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°6. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了右边的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（▲）A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）7. 若代数式2x有意义，则x 的取值范围是▲．8.分解因式2mx 2－4mx ＋2m=▲ 9．在百度中，搜索“数学改革”关键词，约有40600条结果，把数字40600用科学计数法表示为▲10．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是▲．11. 已知G 点为△ABC 的重心，S △ABG =1，求S △ABC = ▲ .DCBA O频率次数50040030020010000.250.200.150.100.05。
泰州市二〇一五年初中毕数学试卷业
泰州市二〇一五年初中毕业、升学统一考试数学试卷第一部分 选择题（共18分）一、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1.−13的绝对值是A .-3B . 13C . −13 D .3 2.下列4个数：√9，227，π，（√3）0，其中无理数是A . √9B . 227 C .π D . （√3）0 3.描述一组数据离散程度的统计量是A .平均数B .众数C .中位数D .方差 4.一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是A .四棱锥B .四棱柱C .三棱锥D .三棱柱(第4题) (第5题图) (第6题图)5.如图，在平面直角坐标系xoy 中，△A ’B ’C ’由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为 A .（0，1） B .（1，-1） C .（0，-1） D .（1，0）6.如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等的三角形的对数是A .1对B .2对C .3对D .4对A第二部分 非选择题（共132分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7.2-1=___________.8.我市2014年固定资产投资约为220 000 000 000元，将220 000 000 000用科学记数法表示为____________.9.计算：√18−2√12等于__________.10.如图，直线l 1∥l 2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_____________°. 11..圆心角为120°，半径为6cm 的扇形面积为__________cm 2.12.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，则∠BOD 等于__________°.13.事件A 发生的概率为120，大量重复做这种试验，事件A 平均每100次发生的次数是____________.14.如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =∠C ,AB =6，BD =4，则CD 的长为_____________. 15.点（a -1，y 1）、（a +1，y 2）在反比例函数y=kx （k ＞0）的图像上，若y 1＜y 2，则a 的范围是____________.16.如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.（第12题图） （第14题图） （第15题图） （第16题图） 三、解答题（本大题共有10小题，共102分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）12PB（1）解不等式组：{x −1>2x12x +3<−1（2）计算：3−a2a−4÷(a +2−5a−2) 18.（本题满分8分）已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2-1=0. （1）不解方程：判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m 的值. 19.（本题满分8分）为了解学生参加社团的情况，从2010年起，某市教育部门每年都从全市所有学生中随机抽取2000名学生进行调查.图①、图②是部分调查数据的统计图（参加社团的学生每人只能报一项），根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）求图②中“科技类”所在扇形的圆心角α的度数；（2）该市2012年抽取的学生中，参加体育类与理财类社团的学生共有多少人？ （3）该市2014年共有50000名学生，请你估计该市2014年参加社团的学生人数.（第19题图） 20.（本题满分8分）一只不透明袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外都相同.小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率.每年抽取的学生中参加社团的男、女生人数折线统计图2012年抽取的学生中参加各类社团学生情况扇形统计图人数10%图①图②某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件.商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 22.（本题满分10分）已知二次函数y=x 2+mx+n 的图像经过点P （-3,1），对称轴是经过（-1,0）且平行于y 轴的直线.（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数y=kx+b 的图像经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图像相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，P A ∶PB =1∶5，求一次函数的表达式.（第22题图） 23.（本题满分10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i =1∶2，顶部A 处的高AC 为4m ,B 、C 在同一水平地面上.（1）求斜坡AB 的水平宽度 BC ；（2）矩形DEFG 为长方形货柜的侧面图，其中DE =2.5m ，EF =2m .将该货柜沿斜坡向上运送，当BF =3.5m 时，求点D 离地面的高（√5≈2.236，结果精确到0.1m ）（第23题图）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F . （1）试说明DF 是⊙O 的切线； （2）若AC =3AE ，求tan C .（第24题图）25.（本题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE =BF =CG =DH .（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由； （3）求四边形EFGH 面积的最小值.（第25题图）GE已知一次函数y=2x -4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数图像上，P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1、d 2.（1）当P 为线段AB 的中点时，求d 1+d 2的值；（2）直接写出d 1+d 2的范围，并求当d 1+d 2=3时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使d 1+ad 2=4（a 为常数），求a 的值.（第26题图）（备用图）。
2015年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷
2015年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷一、选择题：（每题3分，共18分）1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列三视图所对应的直观图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算结果正确的是（）A．（﹣x）6÷（﹣x）2＝﹣x4B．＝x+y（x＞0，y＞0）C．x÷y•＝x D．0﹣（﹣1）＝14．（3分）如图，已知D为△ABC边AB上一点，AD＝2BD，DE∥BC交AC于E，AE＝6，则EC＝（）A．1B．2C．3D．45．（3分）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6B．8，5C．52，53D．52，52 6．（3分）如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2015次跳后所停的顶点对应的数字为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：（每题3分，共30分）7．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．8．（3分）某市去年约有65700人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为．9．（3分）跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得，他们的平均成绩相同，甲的方差为0.3m2，乙方差为0.4m2，那么成绩较为稳定的是（填“甲”或“乙”）．10．（3分）已知∠1与∠2互余，若∠1＝37°18′，则∠2＝．11．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是．12．（3分）已知圆锥的母线为10，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是．13．（3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是．14．（3分）若O为△ABC的重心，△BOC的面积为4，则△ABC的面积为．15．（3分）如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y＝（x＞0）、y＝（x＞0）上，边BC交双曲线y＝（x＞0）于点E，连接AE，则△ABE的面积为．16．（3分）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE＝3，CE＝1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF＝AE，则DG＝．三、解答题：（共102分）17．（10分）计算或解方程：（1）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2+（2）﹣＝1．18．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中x满足x2+x﹣2＝0．19．（8分）某校九年级所有学生参加2015年初中毕业生升学体育测试，为了解情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）计算一共抽取了多少名学生的测试成绩并将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，等级C对应的圆心角的度数为多少度？（3）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有多少人？20．（10分）甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表：（1）计算出现向上点数为6的频率．（2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由．（3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率．21．（10分）甲、乙、丙三人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，甲、乙两人购买的数量及总价分别如表：（1）求笔记本和钢笔的单价；（2）丙购买24本笔记本和若干支钢笔共花去526元，甲发现丙的总价算错了，请通过计算加以说明．22．（10分）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的长度是12.5米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C 点的仰角∠CAQ为45°，坡角∠BAQ为37°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（10分）如图1，四边形ABCD为矩形，E为边BC上一点，G为边AD上一点，四边形AEGF为菱形．（1）如图2，当G与D重合时，求证：E为BC的中点；（2）若AB＝3，菱形AEGF为正方形，且EC＜EG，求AD的取值范围．24．（10分）甲乙两地相距400km，一辆轿车从甲地出发，以一定的速度匀速驶往乙地．0.5h后，一辆货车从乙地出发匀速驶往甲地（轿车的速度大于货车的速度），与轿车在途中相遇．此后，两车继续行驶，并各自到达目的地．两车之间的距离y（km）与轿车行驶的时间x（h）的函数图象如图．（1）解释D点的实际意义并求两车的速度；（2）求m、n的值；（3）若两车相距不超过180千米时能够保持联系，请问货车在行驶过程中与轿车保持联系的时间有多长？25．（12分）如图，已知△ABD为⊙O的内接正三角形，AB＝2，E、F分别为边AD、AB上的动点，且AE＝BF，DF与BE相交于G点，过B点作BC ∥DF交于点C，连接CD．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：四边形BCDG为平行四边形；（3）连接CG，当CG与△BCD的一边垂直时，求CG的长度．26．（14分）二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a＝1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a＝m﹣；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．2015年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共18分）1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选：D．2．（3分）下列三视图所对应的直观图是（）A．B．C．D．【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．只有C满足这两点，故选C．3．（3分）下列计算结果正确的是（）A．（﹣x）6÷（﹣x）2＝﹣x4B．＝x+y（x＞0，y＞0）C．x÷y•＝x D．0﹣（﹣1）＝1【解答】解：A、原式＝（﹣x）4＝x4，错误；B、原式不能化简，错误；C、原式＝，错误；D、原式＝0+1＝1，正确，故选：D．4．（3分）如图，已知D为△ABC边AB上一点，AD＝2BD，DE∥BC交AC于E，AE＝6，则EC＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴EC＝3．故选：C．5．（3分）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6B．8，5C．52，53D．52，52【解答】解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55，中间的为52，即中位数为52千米/时，则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．故选：D．6．（3分）如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2015次跳后所停的顶点对应的数字为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇偶数，沿顺时针跳两个点，落在5上．2﹣1﹣3﹣5﹣2，周期为4；又由2015＝4×503+3，∴经过2015次跳后它停在的点所对应的数为3．故选：B．二、填空题：（每题3分，共30分）7．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．8．（3分）某市去年约有65700人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为6.75×104．【解答】解：将65700用科学记数法表示为：6.75×104．故答案为：6.75×104．9．（3分）跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得，他们的平均成绩相同，甲的方差为0.3m2，乙方差为0.4m2，那么成绩较为稳定的是甲（填“甲”或“乙”）．【解答】解：∵甲的方差为0.3m2，乙方差为0.4m2，∴s甲2＜s乙2，∴两人跳远成绩较为稳定的是甲．故答案为甲．10．（3分）已知∠1与∠2互余，若∠1＝37°18′，则∠2＝52°42′．【解答】解：∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣37°18′＝52°42′．故答案为：52°42′．11．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2．【解答】解：∵y＝kx+b的图象过点（﹣2，0），∴由图象可知，当x＜﹣2时，y＞0，∴kx+b＜0的解集是x＜﹣2．故答案是：x＜﹣2．12．（3分）已知圆锥的母线为10，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是60π．【解答】解：底面圆的半径为6，则底面周长＝12π，圆锥的侧面积＝×12π×10＝60π． 故答案为：60π．13．（3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h ＝﹣5（t ﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 6米 ．【解答】解：∵h ＝﹣5（t ﹣1）2+6， ∴a ＝﹣5＜0，∴抛物线的开口向下，函数由最大值， ∴t ＝1时，h 最大＝6． 故答案为：6米．14．（3分）若O 为△ABC 的重心，△BOC 的面积为4，则△ABC 的面积为 12 ． 【解答】解：如图，分别延长AO 、BO 、CO ，交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ， ∵O 是△ABC 的重心，∴AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线， ∴S △ABD ＝S △ABE ＝S △ABC ，S △BOD ＝S △AOE ， 又∵S △AOE ＝S △COE ，S △BOD ＝S △COD ， ∴S △AOC ＝S △BOC ， 同理可得S △BOC ＝S △AOB ， ∴S △AOB ＝S △BOC ＝S △AOC ， ∴△ABC 的面积为：4×3＝12． 故答案为：12．15．（3分）如图，矩形ABCD 的一边CD 在x 轴上，顶点A 、B 分别落在双曲线y ＝（x ＞0）、y ＝（x ＞0）上，边BC 交双曲线y ＝（x ＞0）于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积为．【解答】解：∵点B在y＝上，∴设点B的坐标为（a，），∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a，∵点A在y＝上，∴点A的横坐标为，∵A，B分别落在双曲线y＝、y＝上，∴矩形AFOD的面积为1，矩形BFDC的面积为3，∴矩形BADC的面积为2，∴S△ABE ＝S矩形BADC﹣S梯形AECD＝2﹣（a﹣）×（+）＝故答案为：．16．（3分）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE＝3，CE＝1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF＝AE，则DG＝或．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠DCF＝90°，AD＝DC＝3+1＝4，AD∥BC，∴AE＝＝＝5，在Rt△ADE和Rt△DCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴∠AED＝∠DFC，∵∠DFC+∠CDF＝90°，∴∠AED+∠CDF＝90°，∴∠DGE＝90°，∵△ADE的面积＝AE×DG＝AD×DE，∴DG＝＝；②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，∴CF＝DE＝3，DF＝AE＝5，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；则GM∥DC，GN∥AD，∴△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，∴＝，＝，设GM＝4x，则FM＝3x，∴GF＝5x，GN＝MC＝3+3x，EN＝4x+1，∴，解得：x＝，∴GF＝，∴DG＝DF+GF＝5+＝；综上所述：DG的长为或；故答案为：或．三、解答题：（共102分）17．（10分）计算或解方程：（1）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2+（2）﹣＝1．【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1+4﹣＝5；（2）去分母得：2+x2+2x＝x2﹣4，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解．18．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中x满足x2+x﹣2＝0．【解答】解：原式＝[﹣]•x（x﹣1）＝•x（x﹣1）＝x，由x2+x﹣2＝0，可得x＝﹣2或x＝1（舍去），则x＝﹣2时，原式＝﹣2．19．（8分）某校九年级所有学生参加2015年初中毕业生升学体育测试，为了解情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）计算一共抽取了多少名学生的测试成绩并将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，等级C对应的圆心角的度数为多少度？（3）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有多少人？【解答】解：（1）根据题意得：﹣15﹣20﹣10＝5（人），补图如下：（2）等级C对应的圆心角的度数是：×360°＝72°；（3）根据题意得：×850＝595（人）．答：该校九年级学生共有850人参加体育测试，达到A级和B级的学生给共有595人．20．（10分）甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表：（1）计算出现向上点数为6的频率．（2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由．（3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率．【解答】解：（1）出现向上点数为6的频率＝；（2）丙的说法不正确，理由：（1）因为实验次数较多时，向上点数为6的频率接近于概率，但不说明概率就一定等于频率；（2）从概率角度来说，向上点数为6的概率是的意义是指平均每6次出现1次；（3）用表格列出所有等可能性结果：共有36种等可能性结果，其中点数之和为3的倍数可能性结果有12个∴P（点数之和为3的倍数）＝＝．21．（10分）甲、乙、丙三人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，甲、乙两人购买的数量及总价分别如表：（1）求笔记本和钢笔的单价；（2）丙购买24本笔记本和若干支钢笔共花去526元，甲发现丙的总价算错了，请通过计算加以说明．【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，依题意可知：，解得．答：笔记本的单价为12元，钢笔的单价为6元．（2）526﹣24×12＝238（元），所以买钢笔的总钱数为238元，所以钢笔的支数＝238÷6＝39，这与钢笔支数为整数不符合，故总价算错了．22．（10分）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的长度是12.5米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C 点的仰角∠CAQ为45°，坡角∠BAQ为37°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：延长CB交PQ于点D，∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵坡角∠BAQ为37°，∴＝tan37°≈0.75＝，设BD＝3x米，AD＝4x米，则AB＝5x米．∵AB＝12.5米，∴x＝2.5，∴BD＝7.5米，AD＝10米．在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAQ＝45°，∴CD＝AD＝10米，∴BC＝CD﹣BD＝10﹣7.5＝2.5（米）．答：二楼的层高BC约为2.5米．23．（10分）如图1，四边形ABCD为矩形，E为边BC上一点，G为边AD上一点，四边形AEGF为菱形．（1）如图2，当G与D重合时，求证：E为BC的中点；（2）若AB＝3，菱形AEGF为正方形，且EC＜EG，求AD的取值范围．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵四边形AEGF为菱形，∴AE＝DE，在Rt△ABE和Rt△DCE中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴BE＝CE，即E为BC的中点；（2）作GH⊥BC于H，如图所示：则GH＝AB＝3，∵四边形AEGF为正方形，∴∠EAF＝∠EDF＝90°，AB＝CD＝3，∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠BAE＝∠EDH＝45°，∴△ABE和△DHE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝3，EH＝DH＝CD＝3，∴EG＝EH＝3，∵EC＜EG，∴EC＜3，∴AD＝BC＝BE+EC＜3+3，∴AD得取值范围是6＜AD＜3+3．24．（10分）甲乙两地相距400km，一辆轿车从甲地出发，以一定的速度匀速驶往乙地．0.5h后，一辆货车从乙地出发匀速驶往甲地（轿车的速度大于货车的速度），与轿车在途中相遇．此后，两车继续行驶，并各自到达目的地．两车之间的距离y（km）与轿车行驶的时间x（h）的函数图象如图．（1）解释D点的实际意义并求两车的速度；（2）求m、n的值；（3）若两车相距不超过180千米时能够保持联系，请问货车在行驶过程中与轿车保持联系的时间有多长？【解答】解：（1）D点的实际意义是：轿车行驶的5小时到达乙地（或轿车行驶的5小时两车相距288千米）；轿车的速度：400÷5＝80（km/h）；货车的速度：288÷4.5＝64（km/h）；（2）根据题意得：80m+64（m﹣0.5）＝400，∴m＝3，由图象可得：64（n﹣5）＝400﹣288，∴n＝．（3）设BE的解析式为y＝k1x+b1，400﹣0.5×80＝360（千米），∴B（0.5，360），E（3，0），代入B、E坐标得，解得：，∴y＝﹣144x+432．当y＝180，即180＝﹣144x+432，则x＝．设DB的解析式为y＝k2x+b2，代入B、D坐标得，解得：，∴y＝144x﹣432，当y＝180时，即180＝144x﹣432，则x＝，（小时）答：两车能保持联系的时间为小时．25．（12分）如图，已知△ABD为⊙O的内接正三角形，AB＝2，E、F分别为边AD、AB上的动点，且AE＝BF，DF与BE相交于G点，过B点作BC ∥DF交于点C，连接CD．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：四边形BCDG为平行四边形；（3）连接CG，当CG与△BCD的一边垂直时，求CG的长度．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°；（2）证明：∵△ABD为正三角形，∴∠BAD＝∠ABD＝60°，AB＝BD，在△ABE与△BDF中，，∴△ABE≌△BDF，∴∠ABE＝∠BDF，∴∠EGD＝∠BDF+∠GBD＝∠ABE+∠GBD＝∠ABD＝60°，∵BC∥DF，∴∠GBC＝∠EGD＝60°，∴∠GBC+∠BCD＝60°+120°＝180°，∴DC∥BE，∵BC∥DF，∴四边形BCDG为平行四边形；（3）解：连接GC交BD于Q，设CG＝x∵四边形BCDG为平行四边形，∴CQ＝QG＝CG＝x，BQ＝QD＝BD＝，①若CG⊥BD，则四边形BCDG为菱形，∴CD＝GD，∵∠GBC＝60°，∴△CDG为正三角形，∴CD＝CG＝x，在Rt△CDQ中，（x）2+（）2＝x2，解得x＝（负值舍去），CG＝；②若CG⊥CD，∵四边形BCDG为平行四边形，∴∠GDC＝∠GBC＝60°，在Rt△GCD中，tan∠GDC＝，∴CD＝x；在Rt△CDQ中，（）2+（）2＝（）2，解得x＝2（负值舍去），∴CG＝2，③若CG⊥BC，在Rt△GCB中，tan∠GBC＝，∴CB＝x，在Rt△BCQ中，（x）2+（）2＝（）2，解得x＝2（负值舍去），∴CG＝2，综上所述：CG长度为或2．26．（14分）二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a＝1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a＝m﹣；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【解答】解：（1）①∵a＝1，∴A（1，0），代入y＝x2﹣2mx+3得1﹣2m+3＝0，解得m＝2，∴y＝x2﹣4x+3；②在y＝x2﹣4x+3中，当y＝0时，有x2﹣4x+3＝0可得x＝1或x＝3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB＝2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC＝3，△ABC的面积＝×2×3＝3；（2）∵y＝x2﹣2mx+3＝（x﹣m）2﹣m2+3，∴对称轴为直线x＝m，∵二次函数y＝x2﹣2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x＝m对称，∴a+n﹣m＝m﹣a，∴a＝m﹣；（3）y＝x2﹣2mx+3（m＞）化为顶点式为y＝（x﹣m）2﹣m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n＝2，∴a＝m﹣1，∴A（m﹣1，0）代入y＝（x﹣m）2﹣m2+3得（x﹣m）2﹣m2+3＝0，∴m2﹣4＝0，∴m＝2，m＝﹣2（舍去），∴a＝2﹣1＝1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n＝3，∴a＝m﹣，∴A（m﹣，0）代入y＝（x﹣m）2﹣m2+3得0＝（m﹣﹣m）2﹣m2+3，∴m2＝，∴m＝，m＝﹣（舍去），∴a＝，综上所述：a＝1或a＝．。
2015年江苏省泰州市兴化市顾庄三校中考数学一模试卷
2015年江苏省泰州市兴化市顾庄三校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）与﹣3互为相反数的是（）A．﹣3B．3C．﹣D．2．（3分）刻画一组数据波动大小的统计量是（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．x2•x3＝x6B．（﹣a3）2÷（﹣a2）3＝1C．2﹣1＝D．6．（3分）设P是函数在第一象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点为P′，过P作P A平行于y轴，过P′作P′A平行于x轴，P A与P′A交于A点，则△P AP′的面积（）A．随P点的变化而变化B．等于1C．等于2D．等于4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7．（3分）9的算术平方根是．8．（3分）H7N9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是米．9．（3分）分解因式：4a2﹣16＝．10．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．11．（3分）把一块矩形直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为．12．（3分）五位女生的体重（单位：kg）分别为38、42、35、45、40，则这五位女生体重的方差为kg2．13．（3分）阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为m．14．（3分）已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为60°．则该圆锥的母线长为cm．15．（3分）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙O的半径为5，点B的坐标为（3，0），点A为⊙O上一动点，当∠OAB取最大值时，点A的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）计算：++（﹣1）0﹣2sin45°；（2）解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．（8分）先化简，然后在0＜2m﹣1＜6的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．19．（8分）在一个不透明的袋中装有3 个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数．（1）求组成的两位数是奇数的概率；（2）小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．20．（8分）某校全体学生积极参加校团委组织的“献爱心捐款”活动，为了解捐款情况，随机抽取了部分学生并对他们的捐款情况作了统计，绘制了两幅不完整的统计图（统计图中每组含最小值，不含最大值）．请依据图中信息解答下列问题：（1）求随机抽取的学生人数．（2）填空：（直接填答案）①“20元～25元”部分对应的圆心角度数为．②捐款的中位数落在（填金额范围）．（3）若该校共有学生3500人，请估算全校捐款不少于20元的人数．21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．22．（10分）如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．23．（10分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC 边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，BC＝50，AD＝36，CD＝27．点E从C出发以每秒5个单位长度的速度向B运动，点F从A 出发，以每秒4个单位长度的速度向D运动．两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点F作FG⊥BC，垂足为G，连结AC交FG于P，连结EP．（1）点E、F中，哪个点最先到达终点？（2）求△PEC的面积S与运动时间t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．当t为何值时，S的值最大；（3）当△CEP为锐角三角形时，求运动时间t的取值范围．26．（14分）如图，抛物线与y轴相交于点A（0，2），与x轴相交于B（4，0）、C（，0）两点．直线l经过A、B两点．（1）分别求出直线l和抛物线相应的函数表达式；（2）平行于y轴的直线x＝2交抛物线于点P，交直线l于点D．①直线x＝t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F．若EF：DP＝3：4，求t的值；②将抛物线沿y轴上下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x＝2交于点P′．当P′O平分∠A′P′P时，求平移后的抛物线相应的函数表达式．2015年江苏省泰州市兴化市顾庄三校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）与﹣3互为相反数的是（）A．﹣3B．3C．﹣D．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：B．【点评】此题主要考查相反数的意义，较简单．2．（3分）刻画一组数据波动大小的统计量是（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，衡量一组数据波动大小的统计量是方差．故选：B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念即可，属于基础题．4．（3分）如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从图形的正面看所得到的图形可得答案．【解答】解：此几何体的主视图有两个长方形组成，两个长方形的左边对齐，故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．5．（3分）下列运算正确的是（）A．x2•x3＝x6B．（﹣a3）2÷（﹣a2）3＝1C．2﹣1＝D．【分析】根据负整数指数幂、数的0次幂、合并同类项、同底数幂的乘法与除法分析各个选项．【解答】解：A、x2•x3＝x5，故错误；B、（﹣a3）2÷（﹣a2）3＝﹣1，故错误；C、正确；D、2+3＝2+3，不是同类项不能合并，故错误．故选：C．【点评】涉及知识：数的负指数幂为数的正指数幂的倒数；任何非0数的0次幂等于1；合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方．6．（3分）设P是函数在第一象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点为P′，过P作P A平行于y轴，过P′作P′A平行于x轴，P A与P′A交于A点，则△P AP′的面积（）A．随P点的变化而变化B．等于1C．等于2D．等于4【分析】由于∠A＝90°，那么△PP′A的面积＝×P A×P′A．如果设P（x，y），那么根据点P关于原点的对称点为P′，知P′（﹣x，﹣y）．则△PP′A的面积可用含x、y的代数式表示，再把k＝xy＝2代入，即可得出结果．【解答】解：设P（x，y），则P′（﹣x，﹣y），那么△PP′A的面积＝×P A×P′A＝×2y×2x＝2xy，∵xy＝2，∴△PP′A的面积为4．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、关于原点对称的点的坐标，同时该题结合反比例函数的性质考查了关于原点对称的点的坐标变化规律和关于x、y轴对称的点的性质，要注意二者的区别．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7．（3分）9的算术平方根是3．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是|±3|＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．8．（3分）H7N9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是 1.3×10﹣7米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000013＝1.3×10﹣7．故答案为：1.3×10﹣7．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（3分）分解因式：4a2﹣16＝4（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．10．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）×180°＝900°，解得：n＝7，∴这个多边形的边数为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．11．（3分）把一块矩形直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为130°．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据直角三角形两锐角互余求出∠4，然后根据邻补角的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵矩形两对边互相平行，∴∠3＝∠1＝40°，在直角三角形中，∠4＝90°﹣∠3＝90°﹣40°＝50°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．12．（3分）五位女生的体重（单位：kg）分别为38、42、35、45、40，则这五位女生体重的方差为11.6kg2．【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（38+42+35+45+40）÷5＝40，则这五位女生体重的方差为[（38﹣40）2+（42﹣40）2+（35﹣40）2+（45﹣40）2+（40﹣40）2]＝11.6（kg2）．故答案为：11.6．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．（3分）阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为 4.8m．【分析】设这棵树的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．【解答】解：设这棵树的高度约为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，解得h＝4.8（米）．故答案为：4.8．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3分）已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为60°．则该圆锥的母线长为4cm．＝，把相应数值代入即可【分析】S扇形【解答】解：设母线长为R，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S＝＝8π，∴R＝4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大．15．（3分）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．【分析】首先根据题意，可得每个数的分子都是1；然后根据第一个数的分母3＝1×3＝（2×1﹣1）×（2×1+1），第二个数的分母15＝3×5＝（2×2﹣1）×（2×2+1），第三个数的分母35＝5×7＝（2×3﹣1）×（2×3+1），第四个数的分母63＝7×9＝（2×4﹣1）×（2×4+1），…，可得第n个数的分母是2n﹣1与2n+1的乘积，据此求出这列数中的第7个数的分母是多少，进而求出它的值是多少即可．【解答】解：每个分数的分子都是1，因为3＝1×3＝（2×1﹣1）×（2×1+1），15＝3×5＝（2×2﹣1）×（2×2+1），35＝5×7＝（2×3﹣1）×（2×3+1），63＝7×9＝（2×4﹣1）×（2×4+1），…，所以第n个数的分母是2n﹣1与2n+1的乘积，所以这列数中的第7个数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每个数的分子都是1，第n个数的分母是2n﹣1与2n+1的乘积．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙O的半径为5，点B 的坐标为（3，0），点A为⊙O上一动点，当∠OAB取最大值时，点A的坐标为（3，4）或（3，﹣4）．【分析】作OH⊥AB于H，如图，在Rt△OAH中，利用正弦的定义可判断当OH最大时，∠OAH最大，当OH＝OB时，∠OAH最大，即A′B⊥OB时，∠OA′B最大，再根据勾股定理计算出A′B＝4，则A′（3，4），点A′关于x轴的对称点也满足条件，于是得到当∠OAB取最大值时，点A的坐标为（3，4）或（3，﹣4）．【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，在Rt△OAH中，∵sin∠OAH＝＝，∴当OH最大时，∠OAH最大，当OH＝OB时，∠OAH最大，即A′B⊥OB时，∠OA′B最大，∴A′B＝＝4，∴A′（3，4），点A′关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣4），∴当∠OAB取最大值时，点A的坐标为（3，4）或（3，﹣4）．故答案为（3，4）或（3，﹣4）．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）计算：++（﹣1）0﹣2sin45°；（2）解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）原式＝2+4+1﹣＝+5；（2）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴△＝4+8＝12，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）先化简，然后在0＜2m﹣1＜6的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出m的取值范围，选取合适的m的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝2m+6，解不等式得0.5＜m＜3.5，∴当m＝1时，原式＝8．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（8分）在一个不透明的袋中装有3 个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数．（1）求组成的两位数是奇数的概率；（2）小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．【分析】（1）首先画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是奇数的情况，再根据概率公式即可求得组成的两位数是奇数的概率；（2）分别求得小明得3分与小华得3分的概率，再比较概率的大小，即可得出结论．【解答】解：（1）画树状图如下：一共有6种等可能的结果，组成的两位数是奇数的有13，23，21，31共4种情况，两位数是奇数的概率为；（2）∵组成的两位数是4的倍数的有2种情况，∴P（小明得3分）＝，P（小华得3分）＝，∴该游戏不公平．可改游戏规则为：组成的两位数是4的倍数，小明得2分，否则小华得1分．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．20．（8分）某校全体学生积极参加校团委组织的“献爱心捐款”活动，为了解捐款情况，随机抽取了部分学生并对他们的捐款情况作了统计，绘制了两幅不完整的统计图（统计图中每组含最小值，不含最大值）．请依据图中信息解答下列问题：（1）求随机抽取的学生人数．（2）填空：（直接填答案）①“20元～25元”部分对应的圆心角度数为72°．②捐款的中位数落在15元～20元（填金额范围）．（3）若该校共有学生3500人，请估算全校捐款不少于20元的人数．【分析】（1）用25元～30元的人数除以所占的百分比求出总人数即可；（2）用20元～25元”所占的百分比乘以360°即可求出圆心角度数，再根据中位数的定义即可得出捐款的中位数落在15元～20元；（3）用该校共有学生数乘以捐款不少于20元的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）随机抽取的学生人数是：＝60（人）；（2）10元﹣15元的人数是60×40%＝24（人），20元﹣25元的人数是60﹣24﹣18﹣6＝12（人），①“20元～25元”部分对应的圆心角度数为×360°＝72°；②∵共有60人，∴捐款的中位数落在15元～20元；故答案为：72°，15元～20元；（3）根据题意得：3500×＝1050（人）．答：全校捐款不少于20元的人数是1050人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ACE全等．（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠CAE＝100°，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°．∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，∴∠BAE＝∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．（10分）如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，CD的长为x米．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．【分析】（1）根据面积为18m2，可得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过18m，DC的长＜18，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．【解答】解：（1）根据题意得xy＝18，即y＝；（2）由y＝，且x、y都是正整数，所以x可取1、2、3、6、9、18，但x≤8，x+2y≤18，所以符合条件的有：x＝3时，y＝6；x＝6时，y＝3．答：满足条件的所有围建方案：AD＝6m，CD＝3m或AD＝3m，CD＝6m．【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，第二问注意结合实际解答．23．（10分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．【分析】过点C作AB的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是矩形，再由CD＝12m，∠ECB＝45°可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论．【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四边形CDBE是矩形，∵CD＝12m，∠ECB＝45°，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE•tan30°＝12×＝4（m），∴AB＝4+12≈19（m）．答：建筑物AB的高为19米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC 边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB＝2OD＝2r，AB＝2AC＝3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影＝S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2．（3）在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°．∴．∵∠B＝30°，OD⊥BC，∴OB＝2OD，∴AB＝3OD，∵AB＝2AC＝6，∴OD＝2，BD＝2S△BOD＝×OD•BD＝2，∴所求图形面积为．【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，BC＝50，AD＝36，CD＝27．点E从C出发以每秒5个单位长度的速度向B运动，点F从A出发，以每秒4个单位长度的速度向D运动．两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点F作FG⊥BC，垂足为G，连结AC交FG于P，连结EP．（1）点E、F中，哪个点最先到达终点？（2）求△PEC的面积S与运动时间t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．当t为何值时，S的值最大；（3）当△CEP为锐角三角形时，求运动时间t的取值范围．【分析】（1）分别求得点E和点F到达终点的时间，进行比较即可；（2）根据△APF∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等，利用t表示出PF和PG的长，然后利用三角形的面积公式得到函数解析式；（3）求得当∠CEP＝90°时t的值，当∠CPE＝90°时，由△GEP∽△GPS求得t的值，即可确定t的范围．【解答】解：（1）点E到达终点需要的时间是：＝10（秒），点F到终点需＝9（秒），则F最先到达终点；（2）由题意得：AF＝4t，CE＝5t，由△APF∽△ACD，则＝，得＝，∴PF＝3t，PG＝27﹣3t，S＝CE•PG＝×5t•（27﹣3t）＝﹣t2+t，自变量t的取值范围是：0≤t ≤9，当t＝4.5时，S的值最大；（3）当∠CEP＝90°时，5t+4t＝36，解得：t＝4，当∠CPE＝90°时，EG＝9t﹣36，CG＝36﹣4t，由△GEP∽△GPS，得＝，得方程（36t﹣4t）（9t﹣36）＝（27﹣3t）2，解得：t＝5或9（舍去）．则运动时间t的取值范围是4＜t＜5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，用t正确表示出PF和PG的值是本题的关键．26．（14分）如图，抛物线与y轴相交于点A（0，2），与x轴相交于B（4，0）、C（，0）两点．直线l经过A、B两点．（1）分别求出直线l和抛物线相应的函数表达式；（2）平行于y轴的直线x＝2交抛物线于点P，交直线l于点D．①直线x＝t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F．若EF：DP＝3：4，求t的值；②将抛物线沿y轴上下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x＝2交于点P′．当P′O平分∠A′P′P时，求平移后的抛物线相应的函数表达式．【分析】（1）设直线l的函数表达式是y＝kx+b，根据题意求出k、b即可得出直线l的函数表达式，再设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把各点的坐标代入，求出a，b，c的值，即可得出答案；（2）①根据点E、F的坐标，求出EF的解析式，再根据平行于y轴的直线x＝2交抛物线于点P，交直线l于点D，求出DP，然后根据EF：DP＝3：4，即可求出t的值；②先根据抛物线沿y轴向上平移时，过点A作AM⊥PD，求出AP，再根据P′O平分∠A′P′P时，得出AO＝A′P′，再根据四边形A′APP′是平行四边形，得出A′O＝AP，求出AA′，从而得出平移后的抛物线相应的函数表达式；再将抛物线沿y轴向下平移，过点A作AN⊥PD，得出A′N＝2，根据四边形APP′A′是平行四边形，得出A′P′＝AP的值，再根据P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O＝∠PP′O，得出A′O＝A′P′，求出AA′的值，从而得出抛物线相应的函数表达式．【解答】解：（1）设直线l的函数表达式是y＝kx+b，根据题意得；，解得：，直线l的函数表达式是y＝﹣x+2，设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意得：，解得：，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2，（2）①∵直线x＝t（0≤t≤4）与直线l相交于点E，与抛物线相交于点F，∴点E的坐标是（t，﹣t+2），F的坐标是（t，﹣t2+t+2），∴EF＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+4t，∵平行于y轴的直线x＝2交抛物线于点P，交直线l于点D，∴点P的坐标是（2，5），D的坐标是（2，1），∴DP＝4，若EF：DP＝3：4，则（﹣t2+4t）：4＝3：4，解得t＝1或t＝3；②如图1：将抛物线沿y轴向上平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x＝2交于点P′，过点A作AM⊥PD，则AM＝2，PM＝3，AP＝＝，当P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O＝∠PP′O，∵AO∥P′P，∴∠A′OP′＝∠PP′O，∴∠A′P′O＝∠A′OP′，∴AO＝A′P′，∵A′A＝PP′，∴四边形A′APP′是平行四边形，∴A′O＝AP＝，∴AA′＝﹣2，∴平移后的抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2+﹣2＝﹣x2+x+；如图2：将抛物线沿y轴向下平移，所得的抛物线与y轴交于点A′，与直线x ＝2交于点P′，过点A作AN⊥PD，则A′N＝2，∵AA′∥P′P，A′A＝PP′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∠A′OP′＝∠PP′O，∴A′P′＝AP＝，∵当P′O平分∠A′P′P时，∠A′P′O＝∠PP′O，∴∠A′OP′O＝∠A′P′O，∴A′O＝A′P′＝，∴AA′＝+2，∴平移后的抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2﹣（+2）＝﹣x2+x﹣．。
江苏省泰州市2015届高三一模数学试题(含答案)
江苏省泰州市2015届高三一模数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）（2015•泰州一模）已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4}．【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：由A与B，求出两集合的交集即可．【解析】：解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•泰州一模）函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】：三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题．【分析】：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解析】：解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．（5分）（2015•泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=4﹣3i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵iz=3+4i，∴﹣i•iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案为：4﹣3i．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．（5分）（2015•泰州一模）函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解析】：解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．（5分）（2015•泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的n为4．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=63时，不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件S＞63，S=255，n=2满足条件S＞63，S=127，n=3满足条件S＞63，S=63，n=4不满足条件S＞63，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）（2015•泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x=2．【考点】：极差、方差与标准差．【专题】：概率与统计．【分析】：由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．【解析】：解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；故答案为：2．【点评】：本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7．（5分）（2015•泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：排列组合．【分析】：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解析】：解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】：本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8．（5分）（2015•泰州一模）等比数列a n中，a1+32a6=0，a3a4a5=1，则数列前6项和为﹣．【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据a1+32a6=0，求出公比q的值，再根据a3a4a5=1，求出a4与a1，即可计算数列的前6项和S6．【解析】：解：∵等比数列{a n}中，a1+32a6=0，∴q5==﹣，即公比q=﹣；又∵a3a4a5=1，∴a4=1，∴a1===﹣8；∴该数列的前6项和为S6===﹣．故答案为：﹣．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题，是基础题目．9．（5分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=﹣1．【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】：由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．【解析】：解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），∴cos（x+α）=sinx恒成立，∴α=﹣+2kπ，k∈Z，∴sinα=﹣1，故答案为：﹣1【点评】：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档．10．（5分）（2015•泰州一模）双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．【解析】：解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b=（a+c），即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，即3c2﹣5a2﹣2ac=0，由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，解得，e=．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11．（5分）（2015•泰州一模）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解析】：解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故答案为：②④．【点评】：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．12．（5分）（2015•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解析】：解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x﹣2），则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】：本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2015•泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解析】：解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC的面积的最大值为，故答案为：．【点评】：本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．14．（5分）（2015•泰州一模）在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=•，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为．【考点】：向量的加法及其几何意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据•=•，求出c osθ，继而求出sinθ，再根据射影定理得到的最小值【解析】：解：取AB的中点，连接PE，∵=2，∴=2，∴=，∴四边形DEBC为平行四边形，∴=，∵+=﹣2，++4=，∴=2，∵=6，∴=2，||=4，设∠ADP=θ，∵•=•，∴•=||||cosθ=•，∴cosθ=，∴sinθ=，当⊥时，最小，∴=|DP|sinθ|=2×=故答案为：【点评】：本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2015•泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】：平面向量及应用．【分析】：（1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．【解析】：解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…（4分）∴．…（7分）（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，∴Q（3，﹣4）．…（9分）∴，∴．…（14分）【点评】：本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．16．（14分）（2015•泰州一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD 相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解析】：证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）【点评】：本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．17．（14分）（2015•泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD 的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．【考点】：三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【专题】：计算题；应用题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】：（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理计算即可得到AB的长；（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+），再由≤（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．【解析】：（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴．（2）设∠BOM=θ，，在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ，∴，∴，，当sinθ+cosθ=，即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．【点评】：本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．18．（16分）（2015•泰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．【解析】：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．【点评】：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（16分）（2015•泰州一模）数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n﹣2a n+1，c n=a n+1+2a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{b n}，{c n}都是等差数列，求证：数列{a n}从第二项起为等差数列；（3）若数列{b n}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{a n}是否成等差数列？证明你的结论．【考点】：数列递推式；等比关系的确定．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用等差数列的定义只要证明b n+1﹣b n=一个常数即可；（2）当n≥2时，c n﹣1=a n+2a n+1﹣2，b n=a n﹣2a n+1，可得，，只要证明a n+1﹣a n等于一个常数即可；（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，由b n=a n﹣2a n+1，利用“错位相减”可得，设，可得，进而得到，令n=2，得，利用b1+a3=0，可得a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，即可证明．解法2 由b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，可得b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），由于数列{b n}是等差数列，可得2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，可得2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），即可证明．【解析】：证明：（1）设数列{a n}的公差为d，∵b n=a n﹣2a n+1，∴b n+1﹣b n=（a n+1﹣2a n+2）﹣（a n﹣2a n+1）=（a n+1﹣a n）﹣2（a n+2﹣a n+1）=d﹣2d=﹣d，∴数列{b n}是公差为﹣d的等差数列．（2）当n≥2时，c n﹣1=a n+2a n+1﹣2，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，∴，∵数列{b n}，{c n}都是等差数列，∴为常数，∴数列{a n}从第二项起为等差数列．（3）解：数列{a n}成等差数列．解法1设数列{b n}的公差为d'，∵b n=a n﹣2a n+1，∴，∴，…，，∴，设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴，令n=2，得，∵b1+a3=0，∴，∴2a1+2b1﹣4d'=0，∴a n+1=﹣（b n﹣d'），∴a n+2﹣a n+1=﹣（b n+1﹣d'）+（b n﹣d'）=﹣d'，∴数列{a n}（n≥2）是公差为﹣d'的等差数列，∵b n=a n﹣2a n+1，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴数列{a n}是公差为﹣d'的等差数列．解法2∵b n=a n﹣2a n+1，b1+a3=0，令n=1，a1﹣2a2=﹣a3，即a1﹣2a2+a3=0，∴b n+1=a n+1﹣2a n+2，b n+2=a n+2﹣2a n+3，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=（2a n+1﹣a n﹣a n+2）﹣2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵数列{b n}是等差数列，∴2b n+1﹣b n﹣b n+2=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=2（2a n+2﹣a n+1﹣a n+3），∵a1﹣2a2+a3=0，∴2a n+1﹣a n﹣a n+2=0，∴数列{a n}是等差数列．【点评】：本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2015•泰州一模）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解析】：（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．三、选做题（共4小题，满分20分，<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt;mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA;mso-bidi-font-size: 16.0pt; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman';mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'"><STRONG>四小题中任选两题作答</STRONG></SPAN>）【几何证明选讲】21．（10分）（2015•泰州一模）如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：立体几何．【分析】：由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．【解析】：证明：∵EA与⊙O相切于点A．∴由切割线定理：DA2=DB•DC．∵D是EA的中点，∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．…（5分）∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…（10分）【点评】：本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【矩阵与变换】22．（10分）（2015•泰州一模）已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．【考点】：几种特殊的矩阵变换．【专题】：矩阵和变换．【分析】：计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．【解析】：解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】：本题考查了矩阵的变换，属基础题．【坐标系与参数方程选讲】23．（2015•泰州一模）己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O（0，0）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=．【解析】：解：由圆O的参数方程（α为参数），利用sin2α+cos2α=1可得圆O：x2+y2=4，又直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=1可得直线l：x﹣y+1=0，圆心O（0，0）到直线l的距离，弦长．【点评】：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】24．（2015•泰州一模）已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．【考点】：不等式的基本性质．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：利用基本不等式的性质即可得出．【解析】：证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．四、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）（2015•泰州一模）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD上（点P与点B不重合）．（1）若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；（2）若DP=，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）以为一组正交基底，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由此利用向量法能求出DP的长度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．【解析】：解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．设P（t，t，0），∴，．设异面直线O'P与BC'所成角为θ，则，化简得：21t2﹣20t+4=0，解得：或，或．…（5分）（2）∵，∴，，，，，设平面DC'B的一个法向量为，∴，∴，即，取y1=﹣1，，设平面PA'C'的一个法向量为，∴，∴，即，取y2=1，，设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ，∴，∴．…（10分）【点评】：本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26．（10分）（2015•泰州一模）记C i r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C i r≤i2的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C i r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：由已知得当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，，由此能求出Eξ．【解析】：解：∵，当i≥2时，，，，，∴当2≤i≤5，i∈N*时，的解为r=0，1，…，i．…（3分）当6≤i≤10，i∈N*，，由⇔i=3，4，5可知：当r=0，1，2，i﹣2，i﹣1，i时，成立，当r=3，…，i﹣3时，（等号不同时成立），即．…（6分）∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P（ξ）…（8分）∴．…（10分）【点评】：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．。
江苏省泰州市中考数学一模试卷(含解析)
2015年江苏省泰州市九龙实验学校中考数学一模试卷一．选择题1．﹣6的倒数是（）A．﹣6 B．6 C．D．2．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．a6÷a3=a2C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2x2y）3=﹣8x6y33．如图的立体图形的左视图可能是（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．85．下列说法正确的是（）A．要了解人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式B．一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5C．随机事件的概率为50%，必然事件的概率为100%D．若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定6．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A ．y=xB ．y=xC ．y=xD ．y=x二、填空题7．在函数y=中，自变量x 的取值范围是 ．8．分解因式：2x 2﹣x= ．9．我市去年约有54 000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为 人． 10．写出一个大于1且小于2的无理数 ． 11．正六边形的每一个内角都等于 度．12．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ，若∠D=70°，则∠CEB 的度数为 °．13．如图，是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为 ．14．一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 ．15．已知点A 、B 分别在反比例函数y=（x ＞0），y=（x ＞0）的图象上，且OA ⊥OB ，tanB=，则k= ．16．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，∠BAC=120°，∠BAC的平分线交BC于点D，则AD= ．三、解答题17．（1）计算：；（2）解不等式组：并写出不等式组的整数解．18．先化简，再求代数式的值，其中a是方程a2﹣3a+2=0的根．19．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？20．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．21．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据： =1.73， =1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．22．某校学生参加课外读书活动．随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）被调查的学生人数为人；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？23．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．24．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）当t=时，AD= ，QD= ；（2）当t为何值时，线段PQ最短？（3）设△QCD的面积为S，求S的最大值．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m（m＞0）的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y 轴．（1）若m=2，则点A的坐标为，点B的坐标为；（2）随着m的变化，DE的长是否发生变化？如果不变，请求出DE的长；如果变化，请说明理由；（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）题第①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，四边形ABDP是平行四边形？2015年江苏省泰州市九龙实验学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题1．﹣6的倒数是（）A．﹣6 B．6 C．D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．【解答】解：﹣6的倒数是：﹣．故选C．【点评】本题考查了倒数的定义，理解定义是关键．2．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．a6÷a3=a2C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2x2y）3=﹣8x6y3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．分别计算即可．【解答】解：A、a2+a3=a5不是同类项，不能合并，故A选项错误；B、a6÷a3=a3，故B选项错误；C、4x2﹣3x2=x2，故C选项错误；D、（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，故D选项正确．故选D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．3．如图的立体图形的左视图可能是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．【解答】解：此立体图形的左视图是直角三角形，故选：A．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．8【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．【解答】解：连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得：BC=10，则圆A的半径为5．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．5．下列说法正确的是（）A．要了解人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式B．一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5C．随机事件的概率为50%，必然事件的概率为100%D．若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定【考点】方差；全面调查与抽样调查；中位数；众数；概率的意义．【分析】根据全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差的定义分别对每一项是否正确进行分析即可．【解答】解：A、要了解人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用抽查的方式，故本选项错误；B、一组数据3、4、5、5、6、7的众数和中位数都是5，故本选项正确；C、随机事件的概率大于0小于1，必然事件的概率为100%，故本选项错误；D、若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误；故选B．【点评】此题考查了全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差，关键是灵活应用有关定义对每一选项进行判断．6．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB=5，∴AB=，∴OC=，由此可知直线l经过（，3），设直线方程为y=kx，则3=k，k=，∴直线l解析式为y=x，故选C．【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．二、填空题7．在函数y=中，自变量x的取值范围是x＞﹣1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1＞0，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．分解因式：2x2﹣x= x（2x﹣1）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：2x2﹣x=2x•x﹣x•1=x（2x﹣1）．故答案为：x（2x﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．9．我市去年约有54 000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为 5.4×104人．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：54 000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为 5.4×104人，故答案为：5.4×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．写出一个大于1且小于2的无理数．【考点】估算无理数的大小．【专题】开放型．【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．故答案为：．【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．11．正六边形的每一个内角都等于120 度．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可解决问题．【解答】解：∵六边形的外角和为360度，∴每个外角的度数为360°÷6=60°，又知：六边形的每个外角与内角互补，∴每个内角为180°﹣60°=120°．【点评】本题需利用多边形的外角和解决问题．12．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB，若∠D=70°，则∠CEB的度数为110 °．【考点】平行线的性质．【分析】由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．【解答】解：∵DF∥AB，∴∠BED=∠D=70°，∵∠BED+∠BEC=180°，∴∠CEB=180°﹣70°=110°．故答案为：110．【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等，注意数形结合思想的应用．13．如图，是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为．【考点】概率公式．【专题】探究型．【分析】抽出的牌的点数小于9有1，2，3，4，5，6，7，8共8个，总的样本数目为13，由此可以容易知道事件抽出的牌的点数小于9的概率．【解答】解：∵抽出的牌的点数小于9有1，2，3，4，5，6，7，8共8个，总的样本数目为13，∴从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于9的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为4，则它的侧面积为8π．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π，故答案为：8π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是了解圆锥的侧面积的计算方法，难度不大．15．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，tanB=，则k= ﹣8 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，根据角与角之间的关系即可得出△AOC∽△OBD，由此即可得出=，再根据反比例函数系数k的几何意义以及tanB=即可得出关于k的分式方程，解之即可得出结论．【解答】解：过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，如图所示．∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，OA⊥OB，∴∠ACD=∠ODB=90°，∠AOB=90°．∵∠OAC+∠AOC=90°，∠BOD+∠OBD=90°，∠AOC+∠BOD=180°﹣90°=90°，∴∠AOC=∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴=．∵反比例函数y=在第二象限有图象，∵tanB=，S△AOC=×2=1，S△OBD=|k|=﹣k，∴=，解得：k=﹣8，经检验：k=﹣8是方程=的解．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据反比例函数系数k的几何意义结合相似三角形的性质找出关于k的分式方程是解题的关键．16．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，∠BAC=120°，∠BAC的平分线交BC于点D，则AD= ．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】如图，作DH∥AC交AB于H．首先证明△ADH是等边三角形，设AD=DH=AH=x，由DH∥AC，得=，可得=，解方程即可．【解答】解：如图，作DH∥AC交AB于H．∵∠BAC=120°，DA平分∠ABC，∴∠HDA=∠DAC=∠D AH=60°，∴△ADH是等边三角形，设AD=DH=AH=x，∴=，∴=，∴x=，∴AD=，故答案为．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题17．（1）计算：；（2）解不等式组：并写出不等式组的整数解．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算；（2）分别解两不等式得到x＞﹣和x≤2，则可得到不等式组的解集为﹣＜x≤2，然后写出此范围内的整数即可．【解答】解：（1）原式=1﹣1+﹣=0；（2）解①得x＞﹣，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣＜x≤2，所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了解一元一次不等式组．18．（2015•海陵区校级一模）先化简，再求代数式的值，其中a是方程a2﹣3a+2=0的根．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，由已知方程求出a的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣=，由方程a2﹣3a+2=0，变形得：（a﹣1）（a﹣2）=0，解得：a=1（舍去）或a=2，当a=2时，原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2013•徐州）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【考点】分式方程的应用．【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【解答】解：设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，由题意，得，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解．答：原计划每天种树40棵．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，工作总量÷工作效率=工作时间在实际问题中的运用，解答时根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程是关键．20．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）由（1）得：两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据： =1.73， =1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【解答】解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD==≈36.33（米），…2分在Rt△BDC中，BD=≈12.11（米），…4分则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2（米）…6分（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．22．（2015•海陵区校级一模）某校学生参加课外读书活动．随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）被调查的学生人数为60 人；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人），故答案为：60；（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），如图所示：；（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×=480（人）．【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．23．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质．【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠ABD=∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，故菱形BFDE的面积为：×2=．【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．24．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x， x+）由△PCA和△PDB面积相等得××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．25．（2015•海陵区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P 与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）当t=时，AD= 4 ，QD= ；（2）当t为何值时，线段PQ最短？（3）设△QCD的面积为S，求S的最大值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，作PE⊥OA于E．由PE∥OB，推出==，得==，推出PE=t，AE=t，由PE⊥AD，推出DE=AE=t，推出AD=t，OQ=t，由此把t=代入即可解决问题．（2）求出P、Q两点的坐标，根据两点间距离公式，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题．（3）分两种情形分类讨论①当0＜t≤时．②当＜t≤5时．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PE⊥OA于E．∵A（8，0）、B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB==10，∵PE∥OB，∴==，∴==，∴PE=t，AE=t，∵PE⊥AD，∴DE=AE=t，∴AD=t，∵t=，∴AD=4，OQ=，∴QD=8﹣﹣4=，故答案为4，．（2）由（1）可知Q（t，0），P（8﹣t， t），∴PQ===，∵＞0，∴t=4时，PQ的值最小，最小值为．（3）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×=t．①当0＜t≤时，DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣t=8﹣t．∴S=DQ•CD=（8﹣t）•t=﹣t2+t．∵﹣=，0＜＜，∴当t=时，S有最大值为；②当＜t≤5时，DQ=OQ+AD﹣OA=t+t﹣8=t﹣8．∴S=DQ•CD=（t﹣8）•t=t2﹣t．∵﹣=，＜，所以S随t的增大而增大，∴当t=5时，S有最大值为15＞，综上所述，S的最大值为15．【点评】本题考查了圆的综合题，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识，综合性较强，但难度不大，关键在于要考虑点Q、D 两点重合前后两种情况，这也是本题容易出错的地方．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m（m＞0）的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y 轴．（1）若m=2，则点A的坐标为（2，﹣2），点B的坐标为（0，2）；（2）随着m的变化，DE的长是否发生变化？如果不变，请求出DE的长；如果变化，请说明理由；（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）题第①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，四边形ABDP是平行四边形？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把m=2代入到抛物线的解析式中，计算A和B的坐标即可；（2）先证明△AFC≌△AED（AAS），得AF=AE，并根据解析式求出AF=AE=|m|=m，OB=m，再证明△FAB ∽△EDA，列比例式为，求DE=1；（3）①表示点D的坐标为（2m，﹣m2+m+1），列方程组可求y关于x的函数关系式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分两种情况：表示点P的坐标，代入y=﹣x2+x+1解答．【解答】解：（1）当m=2时，y=（x﹣m）2﹣m2+m=（x﹣2）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2=x2﹣4x+2，∴点A的坐标为（2，﹣2），点B的坐标为（0，2），故答案为：（2，﹣2），（0，2）；（2）随着m的变化，DE的长不发生变化，理由是：y=（x﹣m）2﹣m2+m=x2﹣2mx+m，A（m，﹣m2+m），B（0，m），如图1，延长AE交BC于F，∴∠AFC=∠AED=90°，在△AFC和△AED中，∵，∴△AFC≌△AED（AAS），∴AF=AE，∠ACB=∠ADE，当x=m时，y=﹣m2+m，当x=0时，y=m，∴AF=AE=|m|=m，∵∠ABF=90°﹣∠ACB=90°﹣∠ADE=∠DAE，∵∠AFB=∠AED=90°，∴△FAB∽△EDA，∴，∵BF=OF+OB=m+m2﹣m=m2，∴，∴DE=1，∴随着m的变化，DE的长不发生变化；（3）①由（2）得：A（m，﹣m2+m），AF=AE=|m|=m，DE=1，∴D（2m，﹣m2+m+1），∵设点D的坐标为（x，y），∴，m=x，。
江苏省泰州中学附属初级中学七年级数学下学期第一次月
江苏省泰州中学附属初级中学2014-2015学年七年级数学下学期第一次月度检测试题（考试时间：120分 总分：150分 ）一、选择题（每题3分，共18分） 1．计算2x 3• x 2的正确结果是（ ）A. 2xB. 2x 5C. 2x 6D. x 52．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A.n m +2B. 12+-m mC. 122+-m mD.n m -23．如图，给出了正方形ABCD 的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）A ．（x+a ）（x+a ）B ．x 2+a 2+2ax C ．（x+a ）a+（x+a ）x D ．（x-a ）（x-a ） 4．若0a >且2xa =，3ya =，则x ya-的值为（ ）A ．1-B ．1C ．23 D ．325．在下列条件中①∠A ＋∠B ＝∠C ②∠A ﹕∠B ﹕∠C ＝1﹕2﹕3③∠A ＝21∠B ＝13∠C ④∠A ＝∠B ＝2∠C⑤∠A ＝∠B ＝12∠C 中能确定△ABC 为直角三角形的条件有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个6．若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是 ( )． A.5 B.-11 C.11 D.-5 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．某细胞的直径约为0.0000102米，用科学记数法表示为 米. 8．因式分解：2x 2－8＝ ． 9．若m ·23=26，则m= .10．计算：20072006522125⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= .11．整式A 与m 2－2mn ＋n 2的和是（m ＋n ）2，则A= . 12．已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 . ． 13．若()011a -=成立，则a 的取值范围为 . 14．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为 .15．如果()02014,a =- ()20140.1b -=-,235-⎪⎭⎫⎝⎛-=c ,那么用“<”将a 、b 、c 的大小关系连接起来为16．如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是三、解答题（本大题共有10小题，共102分．）17.计算（本题共16分，每小题4分）（1）ab ab ab 313432•⎪⎭⎫ ⎝⎛-； （2）()()-1201-1+-2+7--3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（3） ()22n m +-． ； （4）（4x+3y ）（3y －4x ）－（4x+3y ）218．因式分解（本题共16分，每小题4分）： （1）4x 2—9 ； （2） 3m 2﹣6mn+3n 2；（3） 2（x ﹣y ）（x+y ）﹣（x+y ）2 ； （4）9（a —b ）2—4（a +b ）219．利用因式分解简便计算（本题共8分，每小题4分）：(1) 502－49×51 (2)482＋48×24＋122．20．（本题6分） 据统计，某年我国水资源总量为3121064.2m ⨯，按全国91032.1⨯人计算，该年人均水资源量为多少3m ？m +3m3第14题图21．（本题共8分）已知：a+b=-1，ab=-6，求下列各式的值：（1）a 2b+ab 2（2）a 2+b222．（本题共8分）已知31x 2=-，求代数式(x+3)2-(x -3)2-(2x+1)(2x- 1)+ (2x)2的值．23．（本题共8分）（1）已知58,24m==n，①求: 2m 32n+ 的值XX ②求: 4m 62n -的值24．（本题共8分）小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若1)32(3=-+x x ，求x 的值，他解出来的结果为1=x ，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？小明解答过程如下：解：因为1的任何次幂为1，所以2,132==-x x .且532=+故11)322()32(5323==-⨯=-++x x ，所以2=x 。
江苏省泰州中学附属初中初三一模数学考试试题
第4题图（第8题图）江苏省泰州中学附属初中2015年春学期九年级数学第一次月度检测试题（考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：陆祥雪 审核人：孙晓祥一、选择题（每小题3分，共18分） 1．-12的值是 （ ▲ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．22．分式11-x有意义的条件是（▲ ）A ．x ≠1B ．x>0C ．x ≠-1D ．x<0 3．下列计算正确的是 （▲ ）A ．235a b ab +=B ．248a a a ⋅= C ．33(2)2a a =D ．23222()()a a a÷-=4．如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是（ ▲ ）5．数据-1、0、3、2.5、2的中位数是（ ▲ ）A ．0B ．2.5C ．3D ．26．由下列条件不能．．判定△ABC 为直角三角形的是( ▲ ) A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2C ．(b ＋c )(b －c )＝a 2D ．3a k =+，4b k =+，5c k =+()0k > 二、填空题（每小题3分，共30分） 7．近似数3.06精确到____▲__位．8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ∥BC ，∠BAC =130°，则∠DAC 等于▲ °． 9．在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n 个．这些球除颜色不同外，其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13， 则放入口袋中的黄球总数n ＝ ▲ ．10．在平面直角坐标系中，将点A (4，1)向左平移 ▲ 单位得到点B (-1，1) ． 11．圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为 ▲ cm 2．ACDB(第13题图)12. 某班20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组是 ▲ ．13、已知，△ABC ，按如下步骤作图：（1）以A 为圆心，AC （2）以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与前一条弧相交于点D ， （3）连接CD .若AC =6，CD =8，则sin ∠CAB = ▲ ．14、如图，一次函数y =k 1x +b 1的图像l 1与y =k 2x +b 2的图像l 2相交于点P ，则关于x 的不等式1122k x b k x b +>+的解集是 ▲ ．15．一次函数y =-x +3的图像与反比例函数y=2x 的图像一个交点为（a ，b ），则a+b-ab = ▲ ．16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点，A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（5，0）、（5，4），点E 、F 的坐标分别为（4，0）、（2，4），过EF 的中点作直线，若此直线被正方形的两边所截得的线段的长与线段EF 的长相等，则这条线段靠近点A 的端点的坐标为 ▲ ．三、解答题（共102分） 17．(本题满分12分) （10.146tan 30--︒(3π)－；（2）计算：22221244a b a b a b a ab b ---÷--+ ．18. (本题满分8分)是否存在实数x ，使得代数式221624x x x --+-与代数式412x +-的值相等．19. (本题满分8分) 第一次模拟考试后，数学科陈老师把一班的数学成绩制成如图的统计图（图中每组数据包含横轴上左边的数据不含右边的数据），并给了几个信息：①前两组的频率和是0.14；②第一组的频率是0.02；③自左到右第二、三、四组的频数比为3：9：8． 请结合统计图完成下列问题： （1）这个班学生是多少人？（2）成绩不少于90分为优秀，那么这个班成绩的优秀率是多少？(第19题图)第14题图(第23题图)20．(本题满分8分)在三只乒乓球上，分别写有三个不同的正整数（用a 、b 、c 表示）.三只乒乓球除上面的数字不同外，其余均相同.将三只乒乓球放在一个盒子中，无放回的从中依次摸2只乒乓球，将球上面的数字相加求和.当和为偶数时，记为事件A ；当和为奇数时，记为事件B ．（1）设计一组a 、b 、c 的值，使得事件A 为必然发生的事件；（2）设计一组a 、b 、c 的值，使得事件B 发生的概率为23；并用列表法或树状图说明你的正确性．21. (本题满分10分) 如图，一堤坝的坡角∠ABC =62°，坡面长度AB =30米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到1米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）22. (本题满分10分)已知，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、OA 、BC 、OC 的中点.（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）当BC 时，判断四边形EFGH 为何种特殊四边形，并证明．23. (本题满分10分)已知某市2014年企业用水量x （吨）与该月应交的水费y （元）之间的函数关系如图．（1）当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；（2）若某企业2014年10月份的水费为620元，求该企业2014年10月份的用水量； （3）为鼓励企业节约用水，该市自2015年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2014年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收x20元的污水处理费，若某企业2015年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．(第22题图) (第21题图)24. (本题满分10分)已知点A （m 、n ）是反比例函数y=4x(x >0)的图像上一点，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，P 是y 轴上一点， （1）求△P AB 的面积；（2）当△P AB 为等腰直角三角形时，求点A 的坐标；（3）若∠APB =90°，求m 的取值范围．25.(本题满分12分) 如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，D 是AC 边上一点，连接BD ，⊙O 为△ABD 的外接圆，过点A 作AE ∥BC 交⊙O 于点E ，连接DE 、BE . （1）求证：△BDE 是等边三角形；（2）求△ADE 周长的最小值； （3）当AD =2时，设⊙O 与BC 边的交点为F ，过F 作⊙O 的切线交AC 于G ，求CG 的长．26. (本题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点M 为抛物线y=-x 2+2nx-n 2+2n(n>2)的顶点，直线y=-12x 与抛物线交于点P 、Q ，过点P 作P A ∥x 轴，交抛物线于另一点A ，交y 轴于点B ．（1）求出M 的坐标（用n 的代数式表示）； （2）求证：OM ⊥OP ；（3）当OM =OQ 时，求n 的值；(4)当△MP A 的面积是△POM 面积的2倍时，求tan ∠OPM 的值．注意：所有答案必须写在答题纸上Ox(第24题图) (第25题图)参考答案一、选择1．A 2．A 3．D 4．A 5．C 6．D 二、填空7．百分 8．25 9．4 10．5 11．15π12．203252.x y x y +=⎧⎨+=⎩， 13．2314．x ＜-2 15．1 16．(1,1)、(1,3)、(2,0)17．(1) -3 (2) 3ba b+ 18．不存在．19、（1）50； （2）50%．20．（1）a 、b 、c 全为偶数或全为奇数均可（如2、4、6或1、3、5）（2）a 、b 、c 中有1个奇数2个偶数或2个奇数1个偶数均可（如1、2、4或1、2、3） 21．8米． 22．略． 23．（1）y=6x-100；（2）120（吨）；（3）100吨．24．（1）2；（2）(2,2）、；（3）0m <≤25．（1）略；（2）△ADE 周长的最小值为6+3， （3）34（证明△ABD ∽△CFG ） 26．（1）（n ，2n ）;(2)略；（3）3；（4）2+5。
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第4题图
（第8题图）
(第13题图)
泰州初级中学2015年一模数学试题2015.3
一、选择题（每小题3分，共18分） 1．-12的值是 （ ▲ ）
A ．-1
B ．1
C ．-2
D ．2
2．分式1
1-x
有意义的条件是（▲ ）
A ．x ≠1
B ．x>0
C ．x ≠-1
D ．x<0 3．下列计算正确的是 （▲ ）
A ．235a b ab +=
B ．2
4
8
a a a ⋅= C ．33(2)2a a =
D ．23222
()()a a a ÷-=
4．如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是（ ▲ ）
5．数据-1、0、3、2.5、2的中位数是（ ▲ ）
A ．0
B ．2.5
C ．3
D ．2
6．由下列条件不能．．
判定△ABC 为直角三角形的是( ▲ ) A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2
C ．(b ＋c )(b －c )＝a 2
D ．3a k =+，4b k =+，5c k =+()0k > 二、填空题（每小题3分，共30分） 7．近似数3.06精确到____▲__位．
8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ∥BC ，∠BAC =130°，则∠DAC 等于▲ °．
9．在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n 个．这些球除颜色不同外，其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为1
3
， 则放入口袋中的黄球总数n ＝ ▲ ．
10．在平面直角坐标系中，将点A (4，1)向左平移 ▲ 单位得到点B (-1，1) ． 11．圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为 ▲ cm 2． 12. 某班20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设
男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组是 ▲ ．
13、已知，△ABC ，按如下步骤作图：（1）以A 为圆心，AC （2）以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与前一条弧相交于点D ， （3）连接CD .若AC =6，CD =8，则sin ∠CAB = ▲ ．
14、如图，一次函数y =k 1x +b 1的图像l 1与y =k 2x +b 2的图像l 2
相交于点
P ，
A
C D
B
则关于x 的不等式1122k x b k x b +>+的解集是 ▲ ．
15．一次函数y =-x +3的图像与反比例函数y=2
x 的图像一个交点为（a ，b ），则a+b-ab = ▲ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点，A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（5，0）、（5，4），点E 、F 的坐标分别为（4，0）、（2，4），过EF 的中点作直线，若此直线被正方形的两边所截得的线段的长与线段EF 的长相等，则这条线段靠近点A 的端点的坐标为 ▲ ．
三、解答题（共102分） 17．(本题满分12分) （1
0.146tan 30--︒(3π)－；
（2）计算：22
22
1244a b a b a b a ab b ---÷--+ ．
18. (本题满分8分)是否存在实数x ，使得代数式
221624x x x --+-与代数式4
12
x +-的值相等．
19. (本题满分8分) 第一次模拟考试后，数学科陈老师把一班的数学成绩制成如图的统计图（图中每组数据包含横轴上左边的数据不含右边的数据），并给了几个信息：①前两组的频率和是0.14；②第一组的频率是0.02；③自左到右第二、三、四组的频数比为3：9：8． 请结合统计图完成下列问题： （1）这个班学生是多少人？
（2）成绩不少于90分为优秀，那么这个班成绩的优秀率是多少？
20．(本题满分8分)在三只乒乓球上，分别写有三个不同的正整数（用
a 、
b 、
c 表示）.三只乒乓球除上面的数字不同外，其余均相同.将三只乒乓球放在一个盒子中，无放回的从中依次摸2只乒乓球，将球上面的数字相加求和.当和为偶数时，记为事件A ；当和为奇数时，记为事件B ．
（1）设计一组a 、b 、c 的值，使得事件A 为必然发生的事件；
(第19题图
)
第14题图
(第23题图)
（2）设计一组a 、b 、c 的值，使得事件B 发生的概率为2
3；并用列表法或树状图说明你的
正确性．
21. (本题满分10分) 如图，一堤坝的坡角∠ABC =62°，坡面长度AB =30米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到1米）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
22. (本题满分10分)已知，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、OA 、BC 、OC 的中点.（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）
当BC 时，判断四边形EFGH 为何种特殊四边形，并证明．
23. (本题满分10分)已知某市2014年企业用水量x （吨）与该月应交的水费y （元）之间的函数关系如图．
（1）当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；
（2）若某企业2014年10月份的水费为620元，求该企业2014年10月份的用水量； （3）为鼓励企业节约用水，该市自2015年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2014年收费标准收取水费外，超过
80吨的部分每吨另加收x
20元的污水处理费，若某企业2015年3月份的水费和污水处理费共
600元，求这个企业3月份的用水量．
24. (本题满分10分)已知点A （m 、n ）是反比例函数y=4
x (x >0)的图
像上一点，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，P 是y 轴上一点， （1）求△P AB 的面积；
（2）当△P AB 为等腰直角三角形时，求点A 的坐标； （3）若∠APB =90°，求m 的取值范围．
(第22
题图) (第21题图)
(第24题图)
25.(本题满分12分) 如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，D 是AC 边上一点，连接BD ，⊙O 为△ABD 的外接圆，过点A 作AE ∥BC 交⊙O 于点E ，连接DE 、BE . （1）求证：△BDE 是等边三角形；
（2）求△ADE 周长的最小值； （3）当AD =2时，设⊙O 与BC 边的交点为F ，
过F 作⊙O 的切线交AC 于G ，求CG 的长．
26. (本题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点M 为抛物线y=-x 2+2nx-n 2+2n(n>2)的顶点，直线y=-1
2x 与抛物线交于点P 、Q ，过点P 作P A ∥x 轴，交抛物线于另一点A ，交y 轴于点B ．
（1）求出M 的坐标（用n 的代数式表示）； （2）求证：OM ⊥OP ；
（3）当OM =OQ 时，求n 的值；
(4)当△MP A 的面积是△POM 面积的2倍时，求tan ∠OPM 的值．
注意：所有答案必须写在答题纸上
O
x
(第25题图)
参考答案
一、选择
1．A 2．A 3．D 4．A 5．C 6．D 二、填空
7．百分 8．25 9．4 10．5 11．15π
12．203252.
x y x y +=⎧⎨+=⎩， 13．23
14．x ＜-2 15．1 16．(1,1)、(1,3)、(2,0)
17．(1) -3 (2) 3b
a b
+ 18．不存在．
19、（1）50； （2）50%．
20．（1）a 、b 、c 全为偶数或全为奇数均可（如2、4、6或1、3、5）
（2）a 、b 、c 中有1个奇数2个偶数或2个奇数1个偶数均可（如1、2、4或1、2、3） 21．8米． 22．略． 23．（1）y=6x-100；（2）120（吨）；（3）100吨． 24．（1）2；（2）(2,2）
、；（3
）0m <≤ 25．（1）略；（2）△ADE 周长的最小值为6+3， （3）
3
4
（证明△ABD ∽△CFG ） 26．（1）（n ，2n ）;(2)略；（3）3；（4）2+5。