2021届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试理科数学试卷
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8．已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足： ，则 的形状是．
9．设 均为正实数，且 ，则 的最小值为．
10．在矩形 中，对角线 与相邻两边所成的角分别为 、 ，则有 ，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体 中，对角线 与相邻三个面所成的角分别为 、 、 ，则 __________.
11．已知点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 的内切圆的半[径为 ，则此椭圆的离心率为．
24．（本小题满分为10分）设数列 的前 项和为 ，已知 （ ， 为常数）， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求所有满足等式 成立的正整数 ， ．
参考答案
1．4；
【解析】试题分析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝（－∞，a），由于A⊆B，则a>4，即c＝4.
考点：集合包含关系
，解得
故答案为
【点睛】
结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量即可
5． ；
【解析】
试题分析： ， ，
得 ， ，△ABC面积的最大值为 考点：余弦定理
6． ；
【解析】试题分析： ，直线与三角
函数图象的交点，在 上，当 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令 或 ，即 或
16．（本小题满分为14分）已知函数 ，点 分别是函数
图象上的最高点和最低点．
（1）求点 的坐标以及 的值；
（2）设点 分别在角 的终边上，求 的值．
17．如图1所示，在 中， ， ， ， 为 的平分线，点 在线段 上， ．如图2所示，将 沿 折起，使得平面 平面 ，连结 ，设点 是 的中点．
图1 图2
（1）求证： 平面 ；
（2）在图2中，若 平面 ，其中 为直线 与平面 的交点，求三棱锥 的体积．
18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：
21．设矩阵 ，矩阵A属于特征值 的一个特征向量 ，属于特征值 的一个特征向量 ，求 的值
22．（选修4-4：坐标系与参数方程）
平面直角坐标系中，直线1的参数方程是 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于 两点，求 .
2021年江苏省启东中学高三下学期期初调研测试理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝．
2．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是______．
3．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2.
4．圆 截直线 所得弦的长度为4，则实数 的值是________.
5．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为.
6．设常数 使方程 在闭区间 上恰有三个解 ，则 ．
7．已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
， 此时 ， ．
考点：三角函数图像与性质
7．0<k<1.
【解析】
试题分析： 若f（x）＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f（x）的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为（0,1）.
考点：分段函数图像
8．等腰三角形；
【详解】
试题分析： ， ，
由 ，即 ，由四边形垂直平分可得 的是等腰三角形．
试题分析：由条件得斜高为 (m）．从而全面积 (m2）．
考点：正三棱锥的全面积
4．-4
【分析】
将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径 ，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线 的距离，再根据截得弦的长度为 ，得到关于 的方程，解出即可
【详解】
由圆 可得
圆心为 ，半径
直线方程为
圆心到直线的距离
截得弦的长度为
视频
2．1
【分析】
存在 ，使 是假命题，其否命题为真命题，即是说 ，都有 ”，根据一元二次不等式解的讨论，可知 ，所以 ，则 ．
【详解】
存在 ，使 0是假命题，
∴其否定为真命题，即是说 ，都有 ”，，
∴ ， 的取值范围为
则 .
【点睛】
考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于基础题．
3． ；
【解析】
12．若函数 不存在零点，则实数 的取值范围是．
13．函数 在区间 上存在极值点，则实数 的取值范围为．
二、解答题
14．设定义域为 的单调函数 ，对任意 ，都有 ，若 是方程 的一个解，且 ，则实数 =．
15．已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）已知 在定义域上为减函数，若对任意的 ，不等式 为常数）恒成立,求 的取值范围.
23．（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边 ，连接A1B，A1C，A1D．
（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；
（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C 平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 为直线 上不同于点 的任意一点，若直线 与椭圆相交于异于 的点 ，证明：△ 为钝角三角形．
20．（本小题满分为16分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若 ，求函数 在 上的最值；
（3）若 ，求证：在区间 上，函数 的图象在 的图象下方．
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19．（本小题满分为16分）设A，B分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆的长轴长为 ，且点 在该椭圆上．
9．设 均为正实数，且 ，则 的最小值为．
10．在矩形 中，对角线 与相邻两边所成的角分别为 、 ，则有 ，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体 中，对角线 与相邻三个面所成的角分别为 、 、 ，则 __________.
11．已知点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 的内切圆的半[径为 ，则此椭圆的离心率为．
24．（本小题满分为10分）设数列 的前 项和为 ，已知 （ ， 为常数）， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求所有满足等式 成立的正整数 ， ．
参考答案
1．4；
【解析】试题分析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝（－∞，a），由于A⊆B，则a>4，即c＝4.
考点：集合包含关系
，解得
故答案为
【点睛】
结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量即可
5． ；
【解析】
试题分析： ， ，
得 ， ，△ABC面积的最大值为 考点：余弦定理
6． ；
【解析】试题分析： ，直线与三角
函数图象的交点，在 上，当 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令 或 ，即 或
16．（本小题满分为14分）已知函数 ，点 分别是函数
图象上的最高点和最低点．
（1）求点 的坐标以及 的值；
（2）设点 分别在角 的终边上，求 的值．
17．如图1所示，在 中， ， ， ， 为 的平分线，点 在线段 上， ．如图2所示，将 沿 折起，使得平面 平面 ，连结 ，设点 是 的中点．
图1 图2
（1）求证： 平面 ；
（2）在图2中，若 平面 ，其中 为直线 与平面 的交点，求三棱锥 的体积．
18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：
21．设矩阵 ，矩阵A属于特征值 的一个特征向量 ，属于特征值 的一个特征向量 ，求 的值
22．（选修4-4：坐标系与参数方程）
平面直角坐标系中，直线1的参数方程是 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于 两点，求 .
2021年江苏省启东中学高三下学期期初调研测试理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝．
2．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是______．
3．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2.
4．圆 截直线 所得弦的长度为4，则实数 的值是________.
5．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为.
6．设常数 使方程 在闭区间 上恰有三个解 ，则 ．
7．已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
， 此时 ， ．
考点：三角函数图像与性质
7．0<k<1.
【解析】
试题分析： 若f（x）＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f（x）的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为（0,1）.
考点：分段函数图像
8．等腰三角形；
【详解】
试题分析： ， ，
由 ，即 ，由四边形垂直平分可得 的是等腰三角形．
试题分析：由条件得斜高为 (m）．从而全面积 (m2）．
考点：正三棱锥的全面积
4．-4
【分析】
将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径 ，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线 的距离，再根据截得弦的长度为 ，得到关于 的方程，解出即可
【详解】
由圆 可得
圆心为 ，半径
直线方程为
圆心到直线的距离
截得弦的长度为
视频
2．1
【分析】
存在 ，使 是假命题，其否命题为真命题，即是说 ，都有 ”，根据一元二次不等式解的讨论，可知 ，所以 ，则 ．
【详解】
存在 ，使 0是假命题，
∴其否定为真命题，即是说 ，都有 ”，，
∴ ， 的取值范围为
则 .
【点睛】
考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于基础题．
3． ；
【解析】
12．若函数 不存在零点，则实数 的取值范围是．
13．函数 在区间 上存在极值点，则实数 的取值范围为．
二、解答题
14．设定义域为 的单调函数 ，对任意 ，都有 ，若 是方程 的一个解，且 ，则实数 =．
15．已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）已知 在定义域上为减函数，若对任意的 ，不等式 为常数）恒成立,求 的取值范围.
23．（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边 ，连接A1B，A1C，A1D．
（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；
（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C 平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 为直线 上不同于点 的任意一点，若直线 与椭圆相交于异于 的点 ，证明：△ 为钝角三角形．
20．（本小题满分为16分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若 ，求函数 在 上的最值；
（3）若 ，求证：在区间 上，函数 的图象在 的图象下方．
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19．（本小题满分为16分）设A，B分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆的长轴长为 ，且点 在该椭圆上．