2018考研数学常见泰勒公式展开式

常见的泰勒公式考研

常见的泰勒公式考研
泰勒公式是数学中的一个重要公式，用于表示一个函数在某一点的局部近似。

在考研数学中，泰勒公式也是一个常见的知识点，下面介绍几种常见的泰勒公式：
1. 麦克劳林公式：当x趋近于0时，可以把函数f(x)展开成一个无穷级数，即麦克劳林级数，用于计算函数在0处的近似值。

2. 带余项的泰勒公式：该公式在计算函数在某一点处的近似值时，会加上一个余项，用于表示误差大小。

3. 拉格朗日余项公式：该公式是带余项的泰勒公式的一种特殊情况，余项用拉格朗日中值定理求得。

4. 佩亚诺余项公式：该公式也是带余项的泰勒公式的一种特殊情况，余项用佩亚诺余项公式求得。

以上是几种常见的泰勒公式，考生在备考中需要熟练掌握。

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考研数学必背公式总结

考研数学必背公式总结考研数学是很多考生们的重点科目之一。

为了更好地备考数学，考生们需要掌握并熟记数学中的各种公式。

下面是一些考研数学必背公式的总结：一、高等数学1.极限公式：(1)对数函数极限：lim(log(1+x)/x)=1，当x趋于0时(2)三角函数极限：lim(sin(x)/x)=1，当x趋于0时lim((1-cos(x))/x)=0，当x趋于0时2.牛顿-莱布尼茨公式：∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数3.泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+ Rn(x)其中，Rn(x)是余项，有Lagrange余项和Cauchy余项两种形式。

二、线性代数1.向量公式：(1)向量的模：|a|=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)(2)向量的点积：a·b=x1y1+x2y2+...+xnyn(3)向量的叉积：a×b=(y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k2.矩阵公式：(1)矩阵的乘积：C=AB，其中Cij=∑(k=1到n)AikBkj(2)矩阵的逆：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-1A=E(3)矩阵的秩：矩阵的秩是指它的行与列的最大线性无关组数，也就是矩阵中含有的一个最大的非零子式的阶数。

三、概率论与数理统计1.概率公式：(1)全概率公式：P(B)=P(AB)+P(AcBc)，其中A和B是两个事件，Ac和Bc是它们的补事件(2)条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中A和B是两个事件2.数理统计公式：(1)样本平均数：x=(x1+x2+...+xn)/n(2)样本方差：S^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)^2]/(n-1)(3)样本标准差：S=√[S^2]以上公式是考研数学中一些必背的公式总结。

常用泰勒公式大全图片

常用泰勒公式大全图片
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n 次多项式来逼近函数的方法。

在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

扩展资料：
泰勒公式表示形式：
（1）形式1:带Peano余项的Taylor公式：若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)
(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值
（2）形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：若函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数。

任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：
f(x)=f(x。

)+f'(x。

)(x-x。

)+f''(x。

)/2!*(x-x。

)^2,+f'''(x。

)/3!*(x-x。

)^3+……+f(n)(x。

)/n!*(x-x。

)^n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。

)^(n+1), ξ在x。

和x之间，是依赖于x的量。

泰勒展开的公式(一)

泰勒展开的公式(一)泰勒展开的公式泰勒展开（Taylor series）是一种将一个函数表示为无穷级数（无穷多个项相加）的方法。

这种展开可以将复杂的函数近似为一系列简单的多项式函数，从而方便进行计算和研究。

泰勒展开公式泰勒展开公式可以表示为以下形式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f''' (a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)为要展开的函数，a为展开点（也称为中心点、展开时计算的起点），f’(x)、f’’(x)等为函数f(x)的一阶、二阶等导数。

一阶泰勒展开一阶泰勒展开是使用函数的一阶导数来进行展开的情况，公式如下：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以在展开点a=0处进行一阶泰勒展开。

根据公式，展开式为：sin(x) ≈ sin(0) + cos(0)x = x这样，我们可以将sin(x)近似表示为x。

二阶泰勒展开二阶泰勒展开是使用函数的二阶导数来进行展开的情况，公式如下：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!例如，对于函数f(x) = ln(x)，我们可以在展开点a=1处进行二阶泰勒展开。

根据公式，展开式为：ln(x) ≈ ln(1) + (x-1) - (x-1)^2/2 = x - (x-1)^2/2这样，我们可以将ln(x)近似表示为x - (x-1)^2/2。

应用和实例泰勒展开在数学和工程领域中有着广泛的应用。

它可以用于函数逼近、函数的数值计算、优化算法等方面。

举个简单的例子，我们可以使用一阶泰勒展开来估算函数f(x) = e^x在x=处的值。

首先，我们选择展开点a=0：f(x) ≈ f(0) + f'(0)(x-0) = 1 + 1() =因此，我们可以估算出e^的值为。

8个泰勒公式常用公式

8个泰勒公式常用公式泰勒公式是一种在微积分中非常重要的工具，它可以利用函数在其中一点的导数来近似地表示函数在该点附近的取值。

在数学和物理等领域，泰勒公式广泛应用于函数的近似计算和数值求解等问题。

下面我们介绍一些常用的泰勒公式及其应用。

1.一阶泰勒公式一阶泰勒公式也称为泰勒展开式，用于近似地表示函数在其中一点附近的取值。

设函数$f(x)$在$x=a$处可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。

一阶泰勒公式常用于近似计算和数值求解等问题中。

2.二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒展开式的推广，用于更精确地近似表示函数在其中一点附近的取值。

设函数$f(x)$在$x=a$处二阶可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的二阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$$其中$f''(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的二阶导数。

二阶泰勒公式在高精度数值求解和近似计算等问题中广泛应用。

3.泰勒级数泰勒级数是将一个函数在其中一点处展开成无穷级数的形式，用于表示函数在该点附近的取值。

设函数$f(x)$在$x=a$处具有无限阶导数，则函数$f(x)$在$x=a$处的泰勒级数为$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$$泰勒级数是一种非常重要的数学工具，能够用无穷阶导数展开的形式表示函数，具有广泛的应用价值。

4.泰勒多项式泰勒多项式是将函数在其中一点处展开成有限项多项式的形式，用于近似地表示函数在该点附近的取值。

泰勒展开常用公式

泰勒展开常用公式【原创实用版】目录1.泰勒公式的定义与意义2.泰勒公式的常用展开形式3.泰勒公式的应用领域正文泰勒公式是微积分学中的一种重要公式，它可以用来描述一个可微函数在某一点附近的近似值。

泰勒公式在数学、物理等学科中有着广泛的应用。

一、泰勒公式的定义与意义泰勒公式是指，如果一个函数 f(x) 在 x=a 处可微，那么在 a 附近的某个点 x=a+h，函数 f(x) 可以展开成以下形式：f(x) = f(a) + f"(a)h + f""(a)h^2/2! + f"""(a)h^3/3! +...+ f^n(a)h^n/n! + Rn(h)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数 f(x) 在点 a 处的各阶导数，n! 表示 n 的阶乘，Rn(h) 表示泰勒公式的余项。

二、泰勒公式的常用展开形式泰勒公式的展开形式取决于函数的阶数 n，一般情况下，我们使用前n+1 项来近似表示函数。

根据展开的项数，泰勒公式的常用形式有以下几种：1.泰勒展开一级形式（展开到一次项）f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a)2.泰勒展开二级形式（展开到二次项）f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2!3.泰勒展开三级形式（展开到三次项）f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! +f"""(a)(x-a)^3/3!以此类推，可以得到泰勒展开的 n 级形式。

三、泰勒公式的应用领域泰勒公式在数学和自然科学等领域有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1.近似计算：泰勒公式可以用来近似计算函数在某一点附近的值，这对于求解实际问题具有重要意义。

泰勒公式的所有形式

泰勒公式的所有形式泰勒公式是数学分析中一个非常重要的概念，它可以将一个复杂的函数用一系列简单的多项式函数来近似表示。

下面咱就来好好唠唠泰勒公式的各种形式。

咱先从最常见的泰勒公式形式说起。

对于一个在某点具有足够阶导数的函数 f(x) ，它在点 x = a 处的泰勒公式可以写成：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + [f'''(a)/3!](x - a)^3 +... + [f^(n)(a)/n!](x - a)^n + R_n(x)这里的 f^(n)(a) 表示 f(x) 在点 a 的 n 阶导数，n! 表示 n 的阶乘，R_n(x) 是余项。

给您举个小例子，比如说咱要研究函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开。

那先算导数，f'(x) = e^x ，f''(x) = e^x ，一直算下去会发现f^(n)(x) 还是 e^x 。

所以在 x = 0 处，f(0) = 1 ，f'(0) = 1 ，f''(0) = 1 ，依次类推，f^(n)(0) = 1 。

那它的泰勒展开就是：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +... + x^n/n! +...您看，这就把复杂的指数函数用简单的多项式给近似表示出来啦。

还有一种带佩亚诺余项的泰勒公式。

这种形式常用于求函数在某点的极限。

比如说，函数 f(x) 在点 x = a 处的泰勒公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + [f'''(a)/3!](x - a)^3 +... + [f^(n)(a)/n!](x - a)^n + o((x - a)^n)这里的 o((x - a)^n) 就是佩亚诺余项。

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式1. e^x的泰勒展开公式：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + + x^n/n! +其中，n!表示n的阶乘。

2. sinx的泰勒展开公式：sinx = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1)! +其中，n为正整数。

3. cosx的泰勒展开公式：cosx = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! + + (1)^n x^(2n)/(2n)! +其中，n为正整数。

4. ln(1+x)的泰勒展开公式：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + + (1)^(n1) x^n/n +其中，n为正整数。

5. (1+x)^a的泰勒展开公式：(1+x)^a = 1 + ax + a(a1)x^2/2! + a(a1)(a2)x^3/3! + +a(a1)(a2)(an+1)x^n/n! +其中，n为正整数，a为实数。

6. 1/(1x)的泰勒展开公式：1/(1x) = 1 + x + x^2 + x^3 + + x^n +其中，n为正整数。

7. sqrt(1+x)的泰勒展开公式：sqrt(1+x) = 1 + 1/2x 1/8x^2 + 1/16x^3 + (1)^(n1) (2n3)!! x^n/(2n)!! +其中，n为正整数，!!表示双阶乘。

8. arctanx的泰勒展开公式：arctanx = x x^3/3 + x^5/5 x^7/7 + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1) +其中，n为正整数。

9. 1/sqrt(1x^2)的泰勒展开公式：1/sqrt(1x^2) = 1 + 1/2x^2 + 3/8x^4 + 5/16x^6 + +(2n1)/2^n x^(2n) +其中，n为正整数。

10. 1/(1+x^2)的泰勒展开公式：1/(1+x^2) = 1 x^2 + x^4 x^6 + + (1)^n x^(2n) +其中，n为正整数。

泰勒展开常用公式

泰勒展开常用公式【最新版】目录1.泰勒公式的定义与意义2.泰勒公式的常用展开形式3.泰勒公式的应用实例正文1.泰勒公式的定义与意义泰勒公式，以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的名字命名，是一种用于描述一个可微函数在某一点附近的近似值的数学公式。

泰勒公式可以将函数在某一点展开成无穷级数，该级数的每一项都与该点的各阶导数有关。

泰勒公式在数学、物理等科学领域具有重要的应用价值。

2.泰勒公式的常用展开形式泰勒公式的常用展开形式如下：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + (f""(a)(x-a)^2)/2! +...+(f^n(a)(x-a)^n)/n! + Rn(x)其中，f(x) 是要展开的函数，a 是函数的某一点，f"(a)、f""(a) 等分别表示函数在点 a 处的一阶导数、二阶导数等，n! 表示 n 的阶乘，Rn(x) 是泰勒公式的余项。

3.泰勒公式的应用实例泰勒公式在许多科学领域都有广泛应用，例如在数值分析、近似计算、泛函分析等方面都有重要作用。

下面我们通过一个具体的应用实例来说明泰勒公式的使用。

假设我们要计算函数 f(x) = e^x 在点 a = 0 处的近似值，我们可以利用泰勒公式进行展开：f(x) ≈ f(0) + f"(0)(x-0) + (f""(0)(x-0)^2)/2! +...由于 f(0) = 1，f"(0) = 1，f""(0) = 1，我们可以将这些值代入公式中，得到：e^x ≈ 1 + x + (x^2)/2! +...通过泰勒公式，我们可以将复杂的指数函数 e^x 展开成多项式，从而简化计算。

当然，实际应用中，我们通常只需要取展开式的前几项，就可以获得较好的近似结果。

总之，泰勒公式是一种重要的数学工具，它为我们提供了一种在特定点附近近似计算函数值的方法。

考研数学泰勒展开备考技巧

考研数学泰勒展开备考技巧考研数学泰勒展开作为高等数学中一个重要的概念，在考研数学中也经常被考到。

掌握好泰勒展开的备考技巧，对于考生来说是至关重要的。

本文将从泰勒展开的基本原理、常用公式和解题技巧等方面进行探讨，旨在帮助考生更好地备考和应对考试。

一、泰勒展开的基本原理泰勒展开是指将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数的方法。

它的基本原理是使用函数的导数来逼近函数的值。

泰勒展开可以将一个复杂的函数在某一点处用一个无穷级数来代替，从而简化计算和分析。

二、常用泰勒展开公式1. f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...上述公式为函数在a点展开的一阶泰勒展开式，其中f’(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。

考生在备考中可以通过求函数的导数来确定泰勒展开的各项系数。

2. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是常用的一个三角函数sin(x)的泰勒展开式，通过将x代入展开式中的各项，可以得到sin(x)的近似值。

3. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...指数函数e^x也有其对应的泰勒展开式，通过将x代入展开式中的各项，可以得到e^x的近似值。

除了上述几个常见的泰勒展开公式外，考生还可以通过求函数的高阶导数和使用麦克劳林展开等方法来得到更为复杂的泰勒展开式。

三、泰勒展开的解题技巧1. 适当选择泰勒展开点在实际应用中，选择合适的展开点是非常重要的。

一般来说，选择一个离解题点较近的展开点可以获得更准确的结果。

此外，可以通过观察函数的性质和特点来判断哪些点适合作为展开点。

2. 快速计算近似值由于泰勒展开能够将复杂的函数用级数表示，考生可以通过截断级数计算得到函数的近似值。

常见的级数展开公式

常见的级数展开公式
函数的泰勒公式展开式：一个函数n阶可导，则这个函数就可以用泰勒公式n阶展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0x。

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的n阶导数0x表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小。

用拉格朗日型余项则表示则0x=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!，而麦克劳林公式
就是泰勒公式在0点进行的特例。

泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数，也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题，比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时
的极限
f(x)=e＾x在x=0处为二次进行=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2。

那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2答案补充用导数定义去理解，
f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x-\uex0。

那么就存有当x-\uex0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)，lim f(x)其于f(x)的误差
拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!就是(x-x0)的高阶无穷小。

常用泰勒公式展开式

常用泰勒公式展开式泰勒公式是微积分中非常重要的工具，它可以将一个函数在某一点展开成一个无限次可导的函数。

泰勒公式为数学家泰勒所发现，由于其应用广泛，因此被世人所熟知。

在微积分中，我们经常需要求某一点处的函数值，但是有时候我们无法直接求出函数的值，这时候，泰勒公式就可以派上用场了。

泰勒公式提供了一种近似计算的方法，我们可以根据泰勒公式得到一个函数在某一点的展开式，然后对展开式进行计算，得到函数在这个点的值。

泰勒公式可以分为几种不同的形式，最常见的是泰勒级数展开式。

泰勒级数展开式可以将一个函数在某一点展开成一个无限次可导的函数，我们可以通过这个式子来近似计算这个函数在这个点的值。

泰勒级数展开式的形式为：$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$其中，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘，$(x-a)^n$表示$x$与$a$之间的差值。

泰勒级数展开式非常有用，可以用来计算一些特殊的函数值，比如三角函数、指数函数、对数函数等等。

这些函数在常见的实数范围内有时难以直接计算，但是通过泰勒级数展开式，我们可以非常方便地计算它们的值。

除了泰勒级数展开式，还有一些其他的泰勒公式形式，比如拉格朗日余项形式和佩亚诺余项形式。

这些形式用于不同的计算场景，但是基本思想都是一致的：将一个复杂的函数在某一点展开成一个无限次可导的函数，然后通过这个展开式进行近似计算。

总之，泰勒公式是微积分中非常重要的工具，它可以将一个函数在某一点展开成一个无限次可导的函数，通过这个展开式进行近似计算。

泰勒级数展开式是最常见的泰勒公式形式，用于计算一些特殊的函数值。

除了泰勒级数展开式，还有一些其他的泰勒公式形式，用于不同的计算场景。

掌握泰勒公式可以帮助我们更好地理解微积分中的一些重要概念，同时也可以帮助我们更好地解决实际问题。

泰勒公式展开式大全

泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中的一个重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，从而可以用多项式来逼近原函数。

泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等各个领域。

在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念和展开式的计算方法，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能对读者有所帮助。

首先，我们来看泰勒公式的基本形式。

对于一个充分光滑的函数f(x)，在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... 。

其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。

展开式中的每一项都可以由原函数在点x=a处的导数来确定，这就是泰勒展开式的基本思想。

接下来，我们将列举一些常见函数的泰勒展开式。

首先是指数函数e^x，在点x=0处的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式实际上就是指数函数的麦克劳林展开式，它在数学分析和物理计算中有着广泛的应用。

另一个常见的函数是三角函数sin(x)，在点x=0处的泰勒展开式为：sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...这个展开式可以用来近似计算sin(x)的值，尤其是在计算机程序中经常会用到。

除了指数函数和三角函数，对数函数ln(1+x)的泰勒展开式也是非常重要的。

在点x=0处的展开式为：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + ...这个展开式在微积分和数学分析中有着重要的应用，可以用来近似计算对数函数的值。

除了这些常见的函数，泰勒展开式还可以用于其他各种函数的近似计算。

通过计算函数在某一点处的导数，我们可以得到它的泰勒展开式，从而可以用多项式来逼近原函数。

考研数学-专题7 泰勒公式及其应用

专题7 泰勒公式及其应用(一) 泰勒公式定理1（皮亚诺型余项泰勒公式）如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L常称))(()(0nn x x o x R −=为皮亚诺型余项. 若00=x ，则得麦克劳林公式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=L定理2（拉格朗日型余项泰勒公式）设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L其中10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 (拉格朗日型余项)12)!1(!!21)1(+++++++=n x nxx n e n x x x e θL121213)!12(cos )1()!12()1(!3sin )2(+−−+−+−−++−=n nn n x n x n x x x x θL 22122)!22(cos )1()!2()1(!21cos )3(+++−+−++−=n n n n x n x n x x x θL1112)1)(1()1()1(2)1ln()4(++−++−+−++−=+n n nnn x n x n x x x x θL n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1()5(2+−−++−++=+αααααααL L11)1()!1())(1()1(+−−++−+−−+n n x x n n n αθααααL(二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点1. 本质（相同点）1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系2. 不同点1）条件不同皮亚诺型余项： )(x f 在点0x 有直至n 阶的导数拉格朗日型余项：)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数2）余项不同皮亚诺型余项： ))(()(0nn x x o x R −=；定性；局部.拉格朗日型余项：10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ；定量；整体. 【注】通常称皮亚诺型余项泰勒公式为局部泰勒公式，主要用来研究函数的局部性态（如：极限，极值）；而称拉格朗日型余项泰勒公式为整体泰勒公式，主要用来研究函数的整体性态（如：最值，不等式）.(三) 泰勒公式的应用1.利用高阶导数研究函数性态【例1】若,0)()()(0)1(00===′′=′−x f x f x f n L )2(0)(0)(≥≠n x f n ，则当n 为偶数时)(x f 在0x 处有极值.其中0)(0)(>x fn 时极小，0)(0)(<x f n 时极大；当n 为奇数时)(x f 在0x 处无极值.【例2】设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且,1)(,0)0(,1)0(≤′′=′=x f f f 试证：)(x f 在]1,0[上的最大值不超过.232.计算函数近似值【例1】计算e 的近似值，使误差不超过.106−【解】 )(!!212x R n xx x e n nx+++++=L11)!1()!1()(+++<+=n xn n x n e x n e x R ξ取1=x ，得 !1!2111n e ++++≈L 其误差 )!1(3)!1(+<+=n n e R n当10=n 时，误差不超过.106−得.718282.2≈e3.求极限【例1】 ._________cos 11lim 0=−−−−+→xx xe x x ]3[−【解】【例2】设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶可导，且0)(3sin lim 230=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f xx x ,则 (A) 0)(3lim 220=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f x x (B)3)0(=f(C)3)0(=′f (C)9)0(=′′f (D)【例3】(2001年1)设)(x f y =在)1,1(−内具有二阶连续导数,且0)(≠′′x f ，试证：（1）对于)1,1(−内的任一0≠x ，存在唯一的)1,0()(∈x θ，使))(()0()(x x f x f x f θ′+=成立；（2）21)(lim 0=→x x θ. 【证】（1）任给非零)1,1(−∈x ，由拉格朗日中值定理得).1)(0())(()0()(<<′+=x x x f x f x f θθ因为)(x f ′′在)1,1(−内连续,且0)(≠′′x f ，所以)(x f ′′在)1,1(−内不变号，不妨设0)(>′′x f ，则)(x f ′在)1,1(−内严格单增，故)(x θ唯一.（2）由泰勒公式得2)(21)0()0()(x f x f f x f ξ′′+′+=， ξ在0与x 之间.所以 2)(21)0()0()())((x f x f f x f x x f x ξθ′′+′=−=′，从而 ).(21)()0())(()(ξθθθf x x f x x f x ′′=′−′由于)0()()0())((limf xx f x x f x ′′=′−′→θθ，)0()(lim 0f f x ′′=′′→ξ，故 21)(lim 0=→x x θ. 4.求高阶导数【例1】(2015年2) 函数xx x f 2)(2=在0=x 处的n 阶导数.________)0()(=n f])2)(ln 1([2−−n n n【解1】【解2】【例2】设),()()(x a x x f nϕ−=其中)(x ϕ在a x =处n 阶可导,若m 为不超过n 的正整数,则)()()(=+a fm n(A)!)()(n a m ϕ (B)!)()(m a n ϕ(C))(!)!()(a m m n m ϕ+ (D))()!(!)(a m n n n ϕ+ (C)【解1】【解2】【解3】5.证明不等式或等式【例1】设1)(lim,0)(30)4(=>→xx f x f x ，试证：)0()(3≠>x x x f .【例2】（1996年1,2）设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件a x f ≤|)(|,b x f ≤′′|)(|,其中b a ,都是非负常数,c 是(0,1)内任一点.（1）写出)(x f 在点c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（2）证明 .22|)(|ba c f +≤′ 【证】（1） 2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x 和1=x 则有21)0(!2)()0)(()()0(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （1） 22)1(!2)()1)(()()1(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （2）（2）式减（1）式得])()1)(([21)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ′′−−′′+′=−]|)(|)1(|)([|21)1()0(|)(|2122c f c f f f c f ξξ′′+−′′++≤′])1[(2222c c b a +−+≤又因为当)1,0(∈c 时，,1)1(22≤+−c c 故.22|)(|b a c f +≤′【例3】（1999年2）设函数)(x f 在闭区间]1,1[−上具有三阶连续导数，且0)1(=−f ，1)1(=f ，0)0(=′f ，证明：在开区间)1,1(−内至少存在一点ξ，使3)(=′′′ξf .【证法1】由麦克劳林公式得32)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η′′′+′′+′+=，其中η介于0与x 之间，]1,1[−∈x . 分别令1−=x 和1=x ，并结合已知条件，得01),(61)0(21)0()1(011<<−′′′−′′+=−=ηηf f f f .10),(61)0(21)0()1(122<<′′′+′′+==ηηf f f f两式相减，可得.6)()(21=′′′+′′′ηηf f因)(x f ′′′连续，)(x f ′′′在闭区间],[21ηη上有最大值和最小值，设其分别为M 和m ，则有.)]()([2121M f f m ≤′′′+′′′≤ηη再由连续函数的介值定理知，至少存在一点)1,1(],[21−⊂∈ηηξ，使.3)]()([21)(21=′′′+′′′=′′′ηηξf f f【证法2】【例4】设)(x f 在[0,1]上二阶可导,2)(max ,0)1()0(10===≤≤x f f f x .试证存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法1】设2)(max )(10==≤≤x f c f x ，则10<<c ，且0)(=′c f ，由泰勒公式知2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ 在上式中分别令0=x ，和1=x 得214)(cf −=′′ξ ),0(1c ∈ξ 22)1(4)(c f −−=′′ξ )1,(2c ∈ξ若21≤c ，则16)21(44)(221−=−≤−=′′c f ξ若21>c ，则16)21(4)1(4)(222−=−≤−−=′′c f ξ 故存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法2】【例5】设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，且,0)()(==b f a f ,)(max ],[x f M b a x ′′=∈证明：.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证1】由泰勒公式得21)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f −′′+−′+=ξ (1) 22)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f −′′+−′+=ξ (2)(1)式加(2)式得2221)(!2)()(!2)()2)(()(20x b f x a f x b a x f x f −′′+−′′+−+′+=ξξ 两端从a 到b 积分得 +−++=∫∫baba x df xb a dx x f )()2()(20dx x b f x a f ba])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′∫ξξ 又∫∫∫=+−+=−+bababa badx x f dx x f x f x b a x df x b a )(2)(2)()2()()2( 则 =∫ba dx x f )(4dx x b f x a f ba ])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′−∫ξξ dx x b M dx x a M dx x f b a b a b a ∫∫∫−+−≤22)(2)(2)(4 333)(3)(6)(6a b Ma b M a b M −=−+−=故.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证2】∫bax x f d )(∫−=baa x x f )d()(∫−′−−=baba x a x x f x f a x d ))(()()(∫−−′−=bab x a x x f )d())((∫∫−′+−−′′+′−−−=bababa dxb x x f x b x a x x f x f b x a x ))((d ))()(()())(( ∫∫−+−−′′=ba bax df b x x b x a x x f )()(d ))()((∫∫−−−′′=babadx x f x b x a x x f )(d ))()((则 ∫ba x x f d )(∫−−′′=bax b x a x x f d ))()((21∫−−′′=ba xb x a x f d ))((2)(ξ （积分中值定理）∫−−′′=b a a x b x f 2)d()(4)(ξ3)(12)(a b f −′′−=ξ 故 .12)()(3M a b dx x f ba−≤∫思考题： 1.试证 ).0(1812112>+<−+x x x x2.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，试证存在),(b a ∈ξ，使)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ′′−=++−. 3.设)(x f 三阶可导,且0)(lim,1)1(,0)1(0===−→xx f f f x ,试证存在)1,1(−∈η,使3)(≥′′′ηf .4. 若)(x f 在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(,1)1(,0)0(=′=′==f f f f ,试证: ]1,0[∈ξ,使2)(≥′′ξf .5. 设)(x f 在0x x =的某邻域内1+n 阶可导，且,0)(0)1(≠+x fn).)((!)(!21)()()(0)(20000h h x f n h h x f h x f x f h x f n n θ+++′′+′+=+L 求极限).(lim 0h h θ→答案提示：1.【证】)(!2)121(21211)1(12221x R x x x x +−++=+=+ )(8121122x R x x +−+=其中).10(,)1(!3)221)(121(21)(33212<<+−−=−θθx x x R 由于当0>x 时，,0)(2>x R 则).0(1812112>+<−+x x x x2.【证1】2)2(!2)()2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +−′′++−+′++=ξ 在上式中分别令b x a x ==,得4)(!2)()2)(2()2()(21a b f b a b a f b a f a f −′′+−+′++=ξ4)(!2)()2)(2()2()(22a b f a b b a f b a f b f −′′+−+′++=ξ上式两端相加得8)()]()([)2(2)()(221a b f f b a f b f a f −′′+′′++=+ξξ由)(x f 二阶可导及导函数的介值性知，存在ξ使得).(2)()(21ξξξf f f ′′=′′+′′则)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ′′−++=+【证2】令)()2()(x f ab x f x −−+=ϕ 2)]()2([2)()()2(a b c f a b c f a b c a b a −′−−+′=−′=−+ϕϕϕ 4)()(2a b f −′′=ξ即 4)()()2(2)()(2a b f b a f a f b f −′′=+−+ξ 3.提示：由0)(lim=→xx f x 知，.0)0(,0)0(=′=f f 写出)(x f 在0=x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，再将1,1=−=x x 代入便可证明.4. 提示：分别写出)(x f 在1,0==x x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，然后两式相减便可证明.5. 提示：参见：3.求极限中的例3，.11)(lim 0+=→n h h θ。