全等三角形有关的几何探究题试题

专题复习(十一) 几何探究题

类型1 与全等三角形有关的几何探究题

1．(2016·丹东模拟)已知，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，连接CE.

(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CE，②CE ＝BC －CD ；

(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE ，BC ，CD 三条线段之间的关系；

(3)如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，E 分别在直线BC 的两侧，点F 是DE 的中点，连接AF ，CF ，其他条件不变，请判断△ACF 的形状，并说明理由．

解：(1)证明：∵∠BAC＝∠D AE ＝90°，

∴∠BAD ＝∠CAE，

在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，

∴△ABD ≌△ACE(SAS )．

∴∠ABD ＝∠ACE＝45°，

BD ＝CE.

∴∠ACB ＋∠ACE＝90°.∴∠ECB ＝90°.

∴BD ⊥CE ，CE ＝BC －CD.

(2)CE ＝BC ＋CD.

(3)△ACF 是等腰三角形．理由：

∵∠B AC ＝∠DAE＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE.

在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，

∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴∠ABD＝∠ACE.

∵∠ABC ＝∠ACB＝45°，

∴∠ACE ＝∠ABD＝135°.∴∠DCE ＝90°.

又∵点F 是DE 中点，∴AF ＝CF ＝12

DE. ∴△ACF 是等腰三角形．

2．(2016·贵阳)(1)阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断

中线AD 的取值范围是2

(2)问题解决：如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE ＋CF>EF ；

(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，CB ＝CD ，∠BCD ＝140°，以点C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．

解：(2)证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM ，EM.由(1)得△BMD≌△CFD(SAS )，

∴BM ＝CF.∵DE⊥DF，DM ＝DF ，∴EM ＝EF.

在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE ＋BM>EM ，∴BE ＋CF>EF.

(3)BE ＋DF ＝EF ，理由：

延长AB 至点N ，使BN ＝DF ，连接CN.

∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠NBC ＋∠ABC＝180°，

∴∠NBC ＝∠D.

在△NBC 和△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝DF ，∠NBC ＝∠D，BC ＝DC ，

∴△NBC ≌FDC(SAS )．

∴CN ＝CF ，∠NCB ＝∠FCD.

∵∠BCD ＝140°，∠ECF ＝70°，

∴∠BCE ＋∠FCD＝70°.∴∠ECN ＝70°＝∠ECF.

在△NCE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CN ＝CF ，∠ECN ＝∠ECF，CE ＝CE ，

∴△NCE ≌△FCE(SAS )．∴EN＝EF.

∵BE ＋BN ＝EN ，∴BE ＋DF ＝EF.

3．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图，正方形ABCD ，点O 为两条对角线的交点．

(1)如图1，点M ，N 分别在AD ，CD 边上，∠MON ＝90°，求证：OM ＝ON ；

(2)如图2，若AE 交CD 于点E ，DF ⊥AE 于点F ，在AE 上截取AG ＝DF ，连接OF ，OG ，则△OFG 是哪种特殊三角形，证明你的结论；

(3)如图3，若AE 交BC 于点E ，DF ⊥AE 于点F ，连接OF ，求∠DFO 的度数．

解：(1)证明：连接OA ，OD ，则OA ＝O D.

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠AOD ＝90°，∠OAM ＝∠ODN＝45°.

∵∠MON ＝90°，

∴∠AOD －∠MOD ＝∠MON－∠MOD.

∴∠AOM ＝∠DON.∴△AOM≌△DON(ASA )．

∴OM ＝ON.

(2)△OFG 为等腰直角三角形．

证明：连接OA ，OD ，则OA ＝OD.

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠AOD＝90°，∠OAD ＝∠ODC＝45°.

∵DF ⊥AE ，

∴∠DAE ＋∠ADF＝∠ADF＋FDE ＝90°.

∴∠DAE ＝∠FDE.∴∠OAG＝∠ODF. 又∵A G ＝DF ，∴△OAG ≌△ODF(SAS )．

∴OG ＝OF ，∠AOG ＝∠DOF.

∴∠GOF ＝∠GOD＋∠DOF＝∠GOD＋∠AOG＝90°.

故△OFG 为等腰直角三角形．

(3)在AE 上截取AG ＝DF ，连接OA ，OD ，OG ，其中OA 与DF 交于点H ，则AO ＝DO.

∵∠AFD ＝∠AOD＝90°，∠AHF ＝∠DHO，

∴∠GAO ＝∠FDO.

∴△OAG ≌△ODF(SAS )．

∴OG ＝OF ，∠AOG ＝∠DOF.

∴∠GOF ＝∠GOA－∠FOA＝∠DOF－∠FOA＝90°.

∴∠GFO ＝45°.

∵DF ⊥AE.

∴∠DFO ＝45°.

4．(2015·蚌埠六校联考)正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上(不含点B)，∠BPE ＝12∠ACB，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF⊥PE，垂足为F ，交AC 于点G.

(1)当点P 与点C 重合时(如图1)．求证：△BOG≌△POE；

(2)通过观察、测量、猜想：BF PE ＝12

，并结合图2证明你的猜想； (3)把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图3)，若∠ACB＝α，求BF PE

的值．(用含α的式子表示)

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，点P 与点C 重合，

∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG＝90°.

∵PF ⊥BG ，∴∠PFB ＝90°.

∴∠GBO ＝90°－∠BGO，∠EPO ＝90°－∠BGO.

∴∠GBO ＝∠EPO.∴△BOG≌△POE(ASA )．

(2)证明：过P 作PM∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，

∴∠PNE ＝∠BOC＝90°，∠BPN ＝∠OCB.

∵∠OBC ＝∠OCB＝45°，∴∠NBP ＝∠NPB.

∴NB ＝NP.

∵∠MBN ＝90°－∠BMN，∠NPE ＝90°－∠BMN，∴∠MBN ＝∠NPE.

∴△BMN ≌△PEN(ASA )．∴BM＝PE.

∵∠BPE ＝12

∠ACB，∠BPN ＝∠ACB. ∴∠BPF ＝∠MPF.

∵PF ⊥BM ，∴∠BFP ＝∠MFP＝90°.

又∵PF＝PF ，∴△BPF ≌△MPF(ASA )．

∴BF ＝MF ，即BF ＝12

BM.