一元二次函数的顶点式
二次函数一般式化为顶点式的公式
二次函数一般式化为顶点式的公式二次函数是数学中经常遇到的函数类型之一，其一般式表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是常系数，且a不等于0。
我们希望将这个一般式化为顶点式的公式，顶点式的公式为：y=a(x-h)^2+k其中，(h,k)是顶点的坐标。
要将一般式化为顶点式的公式，步骤如下：1.找到顶点的横坐标h：由于顶点的横坐标就是二次函数的轴对称线的纵坐标，可以通过公式h=-b/2a找到。
这是因为二次函数的轴对称线的横坐标等于顶点的横坐标，而轴对称线的表达式为x=-b/2a。
2.将顶点的横坐标代入一般式，求得顶点的纵坐标k：将顶点的横坐标h代入一般式，即可求得顶点的纵坐标k，即 k = ah^2 + bh + c。
3.将h和k代入顶点式：将顶点的横坐标h和纵坐标k代入顶点式y=a(x-h)^2+k，即可得到二次函数的顶点式。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示如何将一般式化为顶点式的公式。
假设有二次函数y=2x^2+4x+1，我们要将其化为顶点式的公式。
首先，根据步骤1h=-b/2a=-4/(2*2)=-1然后，我们将顶点的横坐标h代入一般式，求得顶点的纵坐标k：k = ah^2 + bh + c = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1最后，将h和k代入顶点式y=a(x-h)^2+k：y=2(x-(-1))^2+(-1)=2(x+1)^2-1因此，二次函数y=2x^2+4x+1可以化为顶点式的公式y=2(x+1)^2-1综上所述，要将二次函数的一般式化为顶点式的公式，需要先找到顶点的横坐标h，然后将其代入一般式求得顶点的纵坐标k，最后将h和k 代入顶点式即可。
这种化简的方法可以使我们更方便地研究二次函数的性质和特点，也有助于解题和问题求解。
一元二次函数的图像性质
一元二次函数的图像性质一、新授内容1．函数)0(2≠++=a c bx axy 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx axy 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max-=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。
【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质 【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x xy由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ；01> ∴当3-=x 时， 7min-=y函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。
103)5(232=-⨯-=-a b ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b acy7 6 5 4 3∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=mazy函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。
一元二次函数的图像与性质
课堂练习基础练习一、选择题:1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,ca)在( ).A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤04.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.三、解答题1.(2003·安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2004·济南)已知抛物线y=- 12x2+(6- 2m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.四、课后作业1.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。
一元二次方程的顶点坐标
一元二次方程顶点坐标公式是什么?
一元二次方程顶点坐标:[-b/2a,(4ac-b²)/4a]。
顶点坐标是用来表示二次函数抛物线顶点的位置的参考指标,顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0,k为常数)。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0，与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a。
当a>0，与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0，所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。
当h>0时，y=a(x-h) 的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax 向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k 的图象。
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k 的图象。
因此，研究抛物线y=ax+bx+c (a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a (x-h)+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便。
高中一元二次函数总结
1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴ab x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(ab --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，abx 2-=时，a b ac x f 44)(2min -=；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(ab--∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，abx 2-=时，a b ac x f 44)(2max -=。
3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ;(2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,αβ-∞+∞（二）考点分析考点1．求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
二次函数 顶点式
二次函数顶点式
二次函数顶点式是一种表示二次函数的方式。
它的一般形式如下：y = a(x - h)^2 + k
其中，a表示二次函数的开口方向和大小，h和k表示顶点的横坐标和纵坐标，也就是二次函数的最低点或最高点。
在二次函数顶点式中，如果a>0，则二次函数开口向上；如果
a<0，则二次函数开口向下。
同时，顶点的横坐标h可以表示二次函数的轴对称线，即x = h。
二次函数顶点式还可以转换成标准式和一般式，其中标准式为：y = ax^2 + bx + c
一般式为：
ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0
二次函数顶点式的优点是可直接读出顶点坐标和开口方向，适用于绝大多数的解题场合。
中考数学知识讲解：二次函数顶点坐标公式
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中考数学知识讲解：⼆次函数顶点坐标公式 ⼀、基本简介 ⼀般地，我们把形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做⼆次函数，其中a称为⼆次项系数，b为⼀次项系数，c为常数项。
x为⾃变量，y为因变量。
等号右边⾃变量的最⾼次数是2。
主要特点 “变量”不同于“未知数”，不能说“⼆次函数是指未知数的最⾼次数为⼆次的多项式函数”。
“未知数”只是⼀个数(具体值未知，但是只取⼀个值)，“变量”可在⼀定范围内任意取值。
在⽅程中适⽤“未知数”的概念(函数⽅程、微分⽅程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，⼀般都表⽰⼀个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表⽰的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出⼆者的差别.如同函数不等于函数关系。
⼆次函数图像与X轴交点的情况 当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。
当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有⼀个交点。
当△=b2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
⼆、⼆次函数图像 在平⾯直⾓坐标系中作出⼆次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，⼆次函数的图像是⼀条永⽆⽌境的抛物线。
如果所画图形准确⽆误，那么⼆次函数图像将是由⼀般式平移得到的。
轴对称 ⼆次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a 对称轴与⼆次函数图像唯⼀的交点为⼆次函数图像的顶点P。
特别地，当b=0时，⼆次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号，对称轴在y轴左侧. a,b异号，对称轴在y轴右侧. 顶点 ⼆次函数图像有⼀个顶点P，坐标为P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a). 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
即可表⽰为顶点式y=a(x-h)2+k。
二次函数顶点坐标公式的推导过程
二次函数顶点坐标公式的推导过程二次函数顶点坐标公式的推导过程二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax2+bx+cy=a(x2+bx/a+c/a)y=a(x2+bx/a+b2/4a2+c/a-b2/4a2)y=a(x+b/2a)2+c-b2/4ay=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)拓展阅读：二次函数的顶点表达式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像一样，当x=h时，y最大(小)值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y 的解析式。
解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h》0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
详细可分为下面几种情况：当h》0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行挪动h个单位得到;当h》0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行挪动h个单位得到;当h》0,k》0时，将抛物线y=ax²向右平行挪动h个单位，再向上挪动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像;当h》0,k》0时，将抛物线y=ax²向左平行挪动h个单位，再向下挪动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像;。
一元二次函数
其中，a是二次项系数，b是一次项系数， c是常数项。
知识学习 观察一元二次函数的图像性质
写出二次函数
的图象.
x
…
y
…
y x2 2x 3的顶点坐标,对称轴,并画出它
-2 -1 0 1 2 3 4 … 7 0 -3 -4 -3 0 7 …
x2 2x 3 0
N
当x为何时,y=0?
M
x=-1, x=3
一元二次函数
一元二次函数
一元二次函数
检：5分钟
导入：5分钟
一元二次函数
初中接触过的一元二次函数
例如：y=2x2-3x+1
例如：y=-x2-x+2
例如：y=x2的图像
知识学习
一元二次函数
一元二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， a≠0),那么y叫做x 的一元二次函数。
二次函数的值域和最值问题
已知函数f(x)=x2+2ax+1，在区间[-1，2]上的最大值 为4，求a的值
x2ba时y， max4a4acb2
△＜０时抛物线于x轴没有交点
第二章 函数——函数的在性质对称轴左侧，y随x的增大而减小
y
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
y
在例对如称 ：轴y=-左x2侧-x+，2y随x的增在大对而减称小轴右侧，y随x的增大而增大
b求＝函０数时的对单称调轴区是间y轴和最在值。对称轴左侧，y随x的增大而增大
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有m 两i个n交点
a、b异号时对称轴在y轴右侧
x2ba时y， min4a4acb2
职高高三数学复习一元二次函数的图像与性质
一元二次函数的图像与性质检测卷知识回顾2.二次函数解析式形式（1）一般式： ；（2）顶点式： ，其中(m,n)为顶点；（3）两根式： ，其中21,x x 为方程02=++c bx ax 的两根。
3．若二次函数满足)()(x a f x a f -=+，则此函数对称轴为 。
检测练习： 一． 选择题1.已知二次函数222++=x ax y 的最大值是3，则a 的值为：（ ） A ．1 B ．1- C ．21 D ．21- 2.抛物线1212--=x y 的开口方向的顶点坐标分别为：（ ） A ．开口向上，顶点（0，-1） B ．开口向上，顶点（0，1） C ．开口向下，顶点（0，-1） D ．开口向下，顶点（0，1）3.如果函数b x b a x y +-+=)2(22，当0>y 时，有2>x 或1<x ，则b a ,的值为（ ）A ．4,1=-=b a B.2,21==b a C.4,1-=-=b a D.4,1-==b a4.如果函数c bx x x f ++=2)(满足)3()3(x f x f -=+,则 A.)4()1()3(f f f << B.)4()3()1(f f f << C.)1()4()3(f f f << D.)1()3()4(f f f <<5.关于函数x x y 22+-=的说法正确的是( ) A.在]2,(-∞上是减函数 B.在),2[+∞-上是增函数 C.在]1,(-∞上是增函数 D.在),1[+∞上是增函数 二.填空题6.函数322+-=x x y 有最 (大或小)值为7.函数542-+-=x x y ,]3,0[∈x 的值域是8.已知32)(2+-=ax x x f ,若6)1(=-f ,则a = 三.解答题9.二次函数图象与x 轴交与)0,1(-A ,)0,5(B ,且最小值为-9,求二次函数的解析式10.已知函数42)(2--=ax x x f ，如果函数图象恒在x 轴上方，求a 的取值范围。
二次函数一般式化顶点式
二次函数一般式化为顶点式，有两种方法，配方法或公式法二次函数一般式化为顶点式方法解析配方法y=ax +bx+c=a（x +bx / a ）+c=a（x +bx/a+b /4a -b /4a ）+c=a（x+b/2a）-b /4a+c=a（x+b/2a）+（4ac-b）/4a顶点式y=a（x-h）+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标：（h，k）。
另一种形式：y=a（x+h）+k（a≠0），则此时顶点坐标为（-h，k）。
二次函数一般式二次函数一般式的公式为：y=ax +bx+c已知三点求二次函数解析式，可设二次函数解析式为：y=ax +bx+c二次公式为：求解方法：知道3点了，分别代入这个解析式，就可以得出3个方程，3个方程，3个未知数，就可以求出a，b，c了。
一般式的图像关系a、b、c值与图像关系a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。
c＞0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c＜0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数的基本定义“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
二次函数的性质二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)
专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54． 【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。
二次函数顶点式坐标公式
二次函数顶点式坐标公式
二次函数的标准式为$y=ax^2+bx+c$，顶点坐标公式为：
顶点坐标$(x_1,y_1)=(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
其中，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
从二次函数的标准式$y=ax^2+bx+c$可以推出$b^2-4ac$的式子，通常称为判别式。
当判别式的值大于0时，表明二次函数有两个不同的实根，即有两个不同的顶点；如果判别式的值等于0时，表明二次函数有一个相同的实根，即只有一个顶点；如果判别式的值小于0时，表明二次函数没有实根，即没有顶点。
知道了二次函数的标准式和判别式，就可以用顶点坐标公式来计算求出顶点坐标：
顶点坐标$(x_1,y_1)=(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
公式中，$x_1$表示横坐标，$y_1$表示纵坐标，$a$、$b$、$c$分别为二次项系数、一次项系数和常数项，当然也可以扩展到$n$次多项式的顶点坐标。
一元二次函数知识点(详细)
一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
二次函数顶点坐标公式的推导过程
⼆次函数顶点坐标公式的推导过程 ⼆次函数顶点坐标公式的推导过程是什么呢?感兴趣的⼩伙伴快来和⼩编⼀起看看吧。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“⼆次函数顶点坐标公式的推导过程”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
⼆次函数顶点坐标公式的推导过程 ⼆次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) 推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a) y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2) y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 拓展阅读：⼆次函数的顶点表达式 y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k.有时题⺫会指出让你⽤配⽅法把⼀般式化成顶点式。
例：已知⼆次函数y的顶点(1,2)和另⼀任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代⼊上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：与点在平⾯直⾓坐标系中的平移不同，⼆次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越⼤，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正⽅向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下⾯⼏种情况： 当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动h个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像。