18、第五章晶体中电子能带理论-布洛赫波函数
第五章 晶体中电子能带理论
第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。
但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。
金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。
大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。
后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。
这就是经典的自由电子气模型。
自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。
这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。
这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。
但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
布洛赫函数
布洛赫函数布洛赫函数是量子力学中的一个重要概念，用于描述自由电子在晶体中的行为。
它是一种能量特征函数，可以用来表示晶体中电子的波函数。
在能带理论中，布洛赫函数起着至关重要的作用，可以用来解释晶体中电子的行为和性质。
布洛赫函数的概念最早由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）提出，他发现晶体中的电子有一种特殊的波动性质，能够通过布洛赫函数加以描述。
布洛赫函数的形式为一个周期函数乘上一个平面波，它的形式可以表示为：ψ(r) = u(r) * exp(ik*r)其中，ψ(r)是布洛赫函数，u(r)是周期函数，exp(ik*r)是平面波因子。
布洛赫函数描述了电子在晶格中的位置和动量的关系，可以用来计算电子的能量、速度和波函数等物理性质。
布洛赫函数的特点是具有周期性。
晶体中的原子排列形成了周期性的势场，电子在这个势场中运动时会受到势能的作用，从而形成布洛赫函数。
布洛赫函数描述了电子在晶体中的行为，可以用来解释晶体的导电性质、磁性行为和光学性质等重要现象。
在能带理论中，布洛赫函数被广泛应用于描述固体材料中的电子行为。
通过求解薛定谔方程，可以得到布洛赫函数的形式和能量特征。
根据布洛赫函数的能量特征，可以将固体材料的能带结构分为导带和价带，进而解释材料的导电性质和绝缘性质。
布洛赫函数的研究对于理解固体材料的电子结构和性质具有重要意义。
通过对布洛赫函数的分析和计算，可以预测材料的导电性、磁性和光学性质等，为材料的设计和应用提供理论指导。
同时，布洛赫函数也为研究其他物理现象提供了重要的数学工具和理论基础。
总结来说，布洛赫函数是量子力学中描述晶体中电子行为的重要概念。
它通过描述电子在晶体中的位置和动量的关系，可以解释晶体的导电性、磁性和光学性质等重要现象。
布洛赫函数在能带理论中起着关键作用，为研究固体材料的性质和应用提供了重要的理论基础。
通过对布洛赫函数的研究和分析，可以深入理解固体材料的电子结构和行为，为材料的设计和应用提供理论指导。
电子在晶体中的布洛赫波函数与能带
电子在晶体中的布洛赫波函数与能带引言：电子在固体中的行为一直是研究物理学家们关注的焦点之一。
布洛赫波函数理论和能带理论为我们理解电子在晶体中的运动和性质提供了深刻的洞见。
本文将从物理定律、实验准备与过程以及应用的角度，详细解读电子在晶体中的布洛赫波函数与能带的研究。
第一部分：物理定律1. 海森堡不确定性原理：描述了我们无法同时确定电子的位置和动量的精确值。
这个原理在研究电子在晶体中的运动和态密度分布时具有重要意义。
2. 斯特恩-格拉赫实验：通过研究电子的自旋行为，揭示了电子具有自旋角动量的性质。
这个实验对于进一步理解电子在晶体中的性质至关重要。
第二部分：实验准备与过程1. 实验准备：首先，我们需要准备一块晶体样品，例如硅或锗。
这种样品具有周期排列的晶格结构，使得电子在晶体中的运动更加有序。
2. 实验过程：a. 制备样品：将晶体样品切割成适当尺寸，并进行必要的表面处理，以确保样品的纯净度和表面平整度。
b. 实验装置：搭建一组光电效应的实验装置，包括光源、光栅和探测器等。
这些装置用于激发晶体中的电子，并测量其能量和动量。
c. 光电效应实验：通过照射样品表面的光源，激发样品中的电子，使其跃迁到能量更高的态。
然后使用探测器测量电子的能量和动量。
d. 数据处理：将测量到的能量和动量数据进行分析和处理，得到电子在晶体中的分布和能带结构等信息。
第三部分：应用与专业性角度讨论1. 应用：a. 半导体材料研究：布洛赫波函数和能带理论为我们理解和设计半导体材料的电子结构和导电性提供了重要的工具。
通过调控能带结构，我们可以实现半导体材料的导电性能优化，进而用于集成电路等应用。
b. 新材料的发现：通过研究电子在晶体中的布洛赫波函数和能带结构，可以预测材料的性质和行为。
这为新材料的发现和设计提供了理论指导。
2. 专业性角度：a. 理论物理学：布洛赫波函数和能带理论是理论物理学领域中的重要课题，涉及量子力学的数学表达和计算方法等方面。
第五章晶体中电子能带理论1小结
布洛赫电子(Bloch electron) 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子，相应的描述晶体电子行 为的这种波称为布洛赫波。
布洛赫定理的证明 对属于布拉维格子的所有格矢 Rn ,只要证得
(r Rn ) eik •Rn (r ) 即可。
证 明 思
格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:
H
(r
)
2
2m
2
V
r
(r是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k (r) eik
ruk (r )
且
u k
r
u k
r Rn
对 Rn 取布拉维格子的所有格矢成立。 Rn n1a1 n2a2 n3a3
(r Rn ) eik•Rn (r )
(1)引入平移对称算符 T Rn
(2)说明: [Tˆ , Hˆ ] 0
路 (3) Tˆ (Rn ) eikRn Rn n1a1 n2a2 n3a3
波矢k的取值与物理意义
k l1b1 l2b2 l3b3 N1 N2 N3
l1, l2 , l3 为整数 取分立值
(Rn ) eikRn
第五章 晶体中电子能带理论
模型的建立
绝热近似 单电子近似 周期场近似
将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动
§5.1 布洛赫波函数
一、 布洛赫定理及证明 （有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）
二、 波矢k的取值与物理意义
布洛赫定理(Bloch theorem)及证明
布洛赫定理：
对于周期性势场，即 V r V r Rn 其中 Rn 取布拉维
N Ω V 为晶体的体积
在第一布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞 数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波 矢点的分布是准连续的。
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n
由 H ˆk(x)kk(x)得
EkEk(0)Ek(1)Ek(2)
k(x)k(0)(x)k(1)(x)k2)(x)
零
H ˆ0 k(0)(x) k(0)(x)
级 近 似 解
k(0)(x)
1
eikx ；
L
(0) k
2k 2 2m
a
0 其他情况
k VkL1e-ik x 0L
i2πn x
'V nea
n
1eik xd x L
k 2 l,k 2 l
Na Na
二级微扰能量：
i2πnx
V 'Vne a
n
k' Vk 2
(0)
k
/
k
(0) (0)
k
k
H (r) 2m 2 2Vr (r)(r)
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k(r)eikruk(r)且 ukruk rRn
对 R n 取布拉维格子的所有格矢成立。 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
上述讨论没有涉及周期性势场V ( r ) 的具体形式，是普遍性
k 2π
把波函数 (r) k
1 eikr V
2
代回薛定谔方程 2(r)(r)
2m
得到电子的本征能量为：
2k 2 2m
2m 2 (kx2k2y kz2)
电子的动量:
电子处在
k
(r
)
1 eikr V
时，有确定的动量：
p k
电子的速度:
v p k mm
晶体中电子的能带理论图解
晶体中电子的能带理论1．价电子的共有化模型设想物体由大量相同原子组成。
这些原子在空间的排列与实际晶体排列相同，但原子间距很大，使每一原子可看成自由原子，这时孤立原子中的电子组态及相应能级都是相同的，成为简并能级。
一原子中电子特别是外层电子（价电子）除受本身原子的势场作用外，还受到相邻原子的势场作用。
其结果这些电子不再局限于某一原子而可以从一个原子转移到相邻的原子中去，可以在整个晶体中运动，这就是所谓价电子的共有化。
布洛赫（F.Bloch）定理：周期势场中运动的电子其势能函数应满足周期性条件：U(x)=U(x+nl)其中：l为晶格常数（相邻格点的间距）ｎ为任意整数电子满足定态薛定谔方程为：布洛赫证明：定态波函数一定具有下列特征：布洛赫定理说在周期场中运动的电子波函数Φ(x)为自由电子波函数与具有晶体结构周期的函数u(x)的乘积，具有这种形式的波函数称为布洛赫函数或称为布洛赫波。
克龙尼克—潘尼模型（Kronig-Penney Model）考虑一粒子处在一维周期性方势阱中的运动在0<x<l区域势函数为l=b1+b2在势阱内：其中则在势垒内：其中则由布洛赫定理：且有：再结合波函数的单值有限连续可得：由于-1<coskl<1对等式左侧的k1k2(或E)附加了限制。
令：超越方程为：f(E)=coskl K的变化使E变化，有的E可能使| f(E)|>1粒子不可能取这样的能量——禁带。
特例：对自由电子：k1=k2=k则：根据以上讨论，显然有在金属中要量子化。
2．固体能带在晶体中，原来的简并能级即自由原子中的能级分裂为许多和原来能级很接近的能级，形成能带。
理论计算表明，原先自由原子中电子的s能级分裂为和原来能级很接近N个能级，形成一个能带，称为s能带。
其中N为组成晶体的原子数。
例：N＝6 (晶体由6个原子组成)结论：①分裂的新能级在一定能量范围内，一般不超过102eV数量级，而晶体原子数目N极大。
第五章晶体中电子能带理论习题解答
晶体中电子能带理论思考题1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数)()(r r k.r k i k u e =ψ,对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得)(r k u =rKK .)(1m i mm e a N ∑Ω.对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略.当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答]人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数rK k'h K k r ).()'()(h i he a +∑+=ψ,其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,得到n k'.R i e =n k.R i e .其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.倒格空间中一个倒格点对应的体积为*321) (Ω=⨯⋅b b b ,波矢空间中一个波矢点对应的体积为N N b N b N b *332211)(Ω=⨯⋅,即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.4. 4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]当电子的波矢k 满足关系式)2(=+⋅n n Kk K时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K .5. 5. 一维周期势函数的付里叶级数nx ainn eV x V π2)(∑=中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?[解答]周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为xi nn n e V x V λ∑=)(上式必须满足势场的周期性, 即xi nn a i x i nn a x i nn n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.显然1=a i n e λ.要满足上式, n λ必为倒格矢n a n πλ2=.可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.6. 6. 对近自由电子, 当波矢k 落在三个布里渊区交界上时, 问波函数可近似由几个平面波来构成? 能量久期方程中的行列式是几阶的? [解答]设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为321K ,K ,K , 则321K ,K ,K 都满足321 ,0)2(K ,K ,K K K k K ==+⋅n nn , 且波函数展式rKk K r ).()(1)(m i mm k e a N +∑=Ωψ中, 除了含有)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的项外, 其它项都可忽略, 波函数可近似为])( ,)( ,)( ,)0([1)().(3).(2).(1.321r K k r K k r K k r k k K K K r +++=i i i i e a e a e a e a N Ωψ.由本教科书的(5.40)式, 可得0)()()()()()()0()(233221122=-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-K K K K K K k a V a V a V a E m k , 0)()()()()()(2)0()(3312211221=-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+K K K K K K K k K a V a V a E m k a V , 0)()()()(2)()()0()(3322221122=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+K K K K k K K K K a V a E m k a V a V , 0)()(2)()()()()0()(3222231133=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+K k K K K K K K K a E m k a V a V a V .由)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的系数行列式的值)(2)()()()()(2)()()()()(2)()()()()(222231333222122312122132122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-k K K K K K K K k K K K K K K K k K K K K k E m k V V V V E m k V V V V E m k V V V V E m k .可解出电子的能量. 可见能量久期方程中的行列式是四阶的.7. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g =,)(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.8. 8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为)(1l m F F a +=.但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有Fa *1m =.显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.9. 9. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点? [解答]由本教科书的(5.88)和(5.89)两式得m m m lF F F +=*.将上式分子变成能量的增量形式m tm t m t l d d d *ννν⋅+⋅=⋅F F F ， 从能量的转换角度看, 上式可表述为mE mE m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *+=.由于能带顶是能带的极大值，22k E∂∂<0，所以有效质量222*k E m ∂∂= <0.说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值，22k E∂∂>0，所以电子的有效质量222*k E m ∂∂= >0.但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m*<m 的例证, 不难由(5.36)式求得n nV T mm 211*+=<1.10. 电子的有效质量*m 变为∞的物理意义是什么? [解答]仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *+=[]电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1E E m -=.从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*m 变为∞. 此时电子的加速度1*==F a m ,即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么? [解答]由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为∑-=k R r k r ,R ),(1)(n n N W ααψ.紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体. 在这类晶体中的电子有两大特点: (1) 电子被束缚在原子附近的几率大, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近, 即当r →R n 时, 电子波函数) ,(n R r k -αψ与孤立原子波函数)(n at R r -αϕ相近. (2) 它远离原子的几率很小, 即r 偏离R n 较大时, 2) ,(n R r k -αψ很小. 考虑到r 偏离R n 较大时,2)(n atR r -αϕ也很小, 所以用)(n atR r -αϕ来描述) ,(n R r k -αψ是很合适的. 取 ) ,(n R r k -αψ=)(k μ)(n atR r -αϕ. 将上式代入万尼尔函数求和中, 再利用万尼尔函数的正交性, 可得=)(r ,R n W α)(n atR r -αϕ. 也就是说, 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的.12. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? [解答]紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s 态电子能量(5.60)表达式∑⋅--=ni s s at s s ne J C E E R k k )(即是例证. 其中孤立原子中电子的能量ats E 是主项, 是一负值, s s J C --和是小量, 也是负值.13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答]以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分r R r R r r r d )()]()([)(*n ats n at N at s s V V J ----=⎰ϕϕΩ的大小又取决于)(r at sϕ与相邻格点的)(n at sR r -ϕ的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交叠程度小, 外层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交迭程度大. 因此, 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答]将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度)(1k E k ∇=ν得到////k ∂ , ⊥⊥∂∂=k E 1ν.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥∂∂k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波. 15. 在磁场作用下, 电子的能态密度出现峰值, 电子系统的总能量会出现峰值吗? [解答]由（5.111）式可求出电子系统的总能量⎰∑⎰=-==FFE ln E n b E EaE E E EN U 0002/1][d d )(∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ln n F b a b E a 0n 2/32/3)(32-][32 {}∑=-=ln n F n b a b E ab 0n 2/3)(2-2其中m eB n b m V a c c n cc =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωωπω,21 ,282/322 . 对系统的总能量求微商B U ∂∂/, 其中有一项∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ln F n m eB n E m e n ab 02121 . 可见, 每当F E m eB n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 21时, 总能量的斜率B U ∂∂/将趋于∞, 也即出现峰值.16. 在磁场作用下, 电子能态密度的峰值的周期是什么? 简并度Q 变小, 峰值的周期变大还是变小? [解答]由（5.111）式可知, 在磁场作用下, 电子的能态密度cln c c n E m V E N ωπω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑=211)2(8)(02/322.从上式不难看出, 能量E 分别等于c c c c l ωωωω 212... ,25 ,23 ,21+时, 能态密度都出现峰值. 相邻峰值间的能量差, 即峰值的周期为c ω .由(5.109)式可知, 简并度yx π2.其中yx L L 和分别是晶体在x 方向和y 方向的尺寸. 因为峰值的周期正比于c ω, 所以简并度Q 变小, 峰值的周期也变小.17. 当有电场后, 满带中的电子能永远漂移下去吗? [解答]当有电场后, 满带中的电子在波矢空间内将永远循环漂移下去, 即当电子漂移到布里渊区边界时, 它会立即跳到相对的布里渊区边界, 始终保持整体能态分布不变. 具体理由可参见图5.18及其上边的说明.18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? [解答]设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子. 19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同? [解答]在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献. 20. 加电场后空穴向什么方向漂移? [解答]加电场ε后空穴的加速度h m e t εν=d d ,其中h m 是空穴的质量, 是正值. 也就是说, 空穴的加速度与电场ε同方向. 因此, 加电场ε后空穴将沿电场方向漂移下去.。
电子在晶体中的布洛赫波函数
电子在晶体中的布洛赫波函数引言：电子在晶体中的行为是固体物理研究的一个重要领域。
布洛赫定理是描述电子在周期性晶体中的行为的基本定律之一。
布洛赫波函数可以用于描述电子在晶体中的运动状态和能带结构，对于理解物质的导电性和光学性质等起着重要作用。
本文将从定律的理论基础出发，探讨布洛赫波函数实验的准备和具体实施过程，以及该实验在物理学领域的应用和专业角度的分析。
第一部分：布洛赫定理的理论基础布洛赫定理基于量子力学的基本原理，主要依据两个假设：晶格周期性和外势能的周期性。
晶体中的周期性势能可以用周期函数表示，而电子在此势场下运动的波函数应遵循晶体的周期性。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为一个平面波和一个周期函数的乘积，即布洛赫波函数。
第二部分：实验准备为了实现电子在晶体中的布洛赫波函数实验，需要准备以下实验设备和材料：1. 晶体样品：选择合适的固体材料作为晶体样品，如硅、锗等半导体材料，或者金属材料。
2. 光源：使用合适的光源，如激光器或白光光源，作为照射电子的光源。
3. 光波导系统：光波导系统用于将光源的光束引导到晶体样品上。
4. 电子束系统：用于产生和探测电子束的设备，如電子槍和電子探测器。
5. 数据采集系统：用于记录电子在晶体中的运动状态和能谱数据的采集设备和软件。
第三部分：实验过程1. 准备晶体样品：从晶体样品中切割出适当的薄片，并用适当的方法使其表面光滑和干净，以方便光的照射和电子的传输。
2. 设置光源和光波导系统：将选择的光源和光波导系统与晶体样品连接起来。
确保光能够准确地照射到晶体上，并通过光波导系统将反射的光传递到数据采集系统。
3. 设置电子束系统：将电子束系统与晶体样品连接起来，并校准电子束的能量和方向。
确保电子能够准确地穿过晶体，并在穿过晶体之后能被探测器捕获。
4. 实施测量：使用数据采集系统记录电子在晶体中的运动状态和能谱数据。
可以通过调节光源和电子束系统的参数，以及改变晶体样品的结构和温度等条件来获取更多的实验数据。
第五章 晶体中电子能带理论
e
e
e
上式只有当 和 Rn 成线性关系才成立，取 Rn k Rn 则 Rn eik R 可验证平面波 eik r 满足此式，所以 k 有波矢的含义，当 k 增加倒格矢 Kh h1b1 h2b2 h3b3 时，平面波 ei ( k Kh ) r 也满 足上式，因此电子波函数应是这些平面波的线性叠加。
H e e Ee e
H e Te Vee (ri , rj ) Ven (ri , Rn )
2. 单电子近似（平均场近似） （多电子问题单电子问题）
多电子问题中任何一个电子的运动不仅与自己 的位置有关，还与其他电子的位置有关，即所有电 子都是关联的，不能精确求解。 为此，用平均场代替价电子的相互作用，即 假定每个电子的库仑势相等，仅与该电子位置有 关，而与其他电子位置无关。
k ( x na ) ( i ) f ( x na ma)
m m
m mn
m
(i ) f [ x (m n)a] (i ) n (i )
m
l l
f [ x (m n)a]
n n ( x na ) ( i ) ( i ) f [ x la ] ( i ) k ( x) 令m-n=l， k
据布洛赫定理，eikna (i )n 即 e ika i
3 ka 2πn π 2
π π π 在简约布里渊区中，即 k ， 取 k 2a a a
4. 布里渊区 1）定义：在波矢空间中，从原点出发做各倒格矢的 垂直平分面（线），这些面围绕原点构成一层层 的多面体（多边形），把最内层的多面体叫第一 布里渊区（简约布里渊区，中心布里渊区），第 二层多面体为第二布里渊区，依次类推。 布里渊区的边界上的波矢满足：
18、第五章晶体中电子能带理论-布洛赫波函数
第4页
第五章 晶体电子能带理论
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本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。
能带理论的基本假定
能带理论是一个近似理论，首先说明能带理论作了哪些近似和假定：
实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电 子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用，一个严格的 固体电子理论，必须求解下述多粒子体系的薛定谔方程：
作为一种近似，可用一种平均场来代替
V ee
(r i
,r j
),
即假定每个电子所处
的势场都相同，使每个电子的电子间相互作用势能只与该电子的位置有关， 而与其它电子的位置无关。 这样
1 NZ
1 e2
NZ
Vee(ri , rj ) 2 i1
ji 4 0
ri rj
ve (ri )
i 1
(4)
v (r ) ei
Page 16
Tˆn Hˆ f
( x)
Tˆn
2 2m
d2 dx2
V ( x)
f
( x)
2 2m
d2
d x na2
V(x
na)
f
(x
na)
2 2m
d2 dx 2
V ( x)Tˆn
f
(x)
Tˆn Hˆ f ( x) Hˆ Tˆn f ( x) (9)
根据量子力学的基本原理，平移算符与哈哈密顿算符对易，它们就有共同
第五章 晶体电子能带理论
第3页
第五章 晶体电子能带理论
在能带论的基础上，从20世纪40年代到20世纪50年代，人们对半导体 和绝缘体的理解一下子深入了很多。
在此基础上，半导体工业开始发展，并最终导致了电子和信息时代的 到来。由此，从固体物理学逐渐发展出整个电子和信息硬件工业的理论基 础。
第五章晶体中电子能带理论4
子的平面波过渡到布洛赫波； k 的含义从电子的动量转变为
电子的晶体动量等。
下面讨论布洛赫电子的动力学行为，并引入有效质量、空 穴等概念；接着从能带论的角度讲述固体材料为什么可以分 为导体、半导体和绝缘体等
Fx Fy Fz
kz
kx
k z k y
kz2
上式与
a
1
F
形式类似，只是现在一个二阶张量代
m
替了
1 m
，称其为倒逆有效质量张量1/ m*
。
倒逆有效质量张量的逆张量 m*称为电子的有效质量张量
倒逆有效质量张量的分量为：
[
1 m*
]ij
1
2
2
kik j
2
k
2 x
1
2
2 kykx 2
将算符 k 作用到薛定谔方程 Hˆ k (r) E(k) k (r) 两端
左边: k Hˆk r Hˆkk r iHˆrk r Hˆeikrkuk (r) (3)
H中不显含k
右边: k E(k) k (r)
k (r)k E(k) irHˆ k (r) E(k)eikrkuk (r) (4)
t
x t
1
k
k
k t
1
k
k
1
( k ) t
1
2
k
k
( k t
)
a
1 2k
k F
F d ( k) dt
3.电子有效质量 电子加速度公式用矩阵表示为
a
1
2
k
k
F
第五章_晶体的能带理论
将零级哈密顿量分离出来
ˆ H ˆ H ˆ' H 0 0
2 2 2 2 d d ˆ 其中 H V0 0 2 2m dx 2m dx 2
ˆ V e H n
n
i
2 nx a
V
24
零级近似解
ˆ 0 ( x ) E 0 ( k ) 0 ( x ) H 0 k k
r xi yj zk
2 ˆ (r ) H 2 (r ) V (r ) 2m
r Rn ( x Rnx )i ( y Rny ) j ( z Rnz )k
2 2 2 2 (r ) 2 2 2 x y z
6
哈密顿算符
l
16
本征函数与本征值
同一个电子态对应同一能量
E( k ) E( k K n )
即
ˆ (r ) (r ) E(k ) (r ) H k k
ˆ (r ) H k Kn ( r ) k Kn ( r ) E( k )
同一个本征值E(k)，有无数个本征函数k+Kn(r) 。
（2）假定电子间相互作用可用某种平均作用来代替， 作用在每个电子上的势场只与该电子的位置有关，与 其它原子的位置和状态无关。V(r)
4
等效势场V(r)的性质
由于晶格周期性，晶体中等效势场V(r)具有晶格 的周期性：
V (r ) V (r Rn )
5
2.2 哈密顿算符具有平移对称性 在直角坐标系中
l1 l1 l1 将 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
bi bi k i 代入，得 2 2
Ni Ni li 2 2
i=1,2,3
第五章 晶体中电子能带理论讲解
化处理根本不可能求解。
I.
Born － Oppenheimer （波恩 - 奥本海默）近似（绝热近
似）：离子实质量比电子大，运动慢，而电子对离子的
运动响应非常迅速，以至于认为离子固定在瞬时位置上 。所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上， 电 子围绕着原子核在其固有势场中做高速运动。在这种近 似模型下原子核的动能等于零，而势能则是一个固定的
ˆ, H ˆ ] 0 证明平移算符与哈密顿算符对易：[T
ˆ 两者具有相同的本征函数：T
( Rn ) ei k R
n
利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值，给出电子波函数的形式式
1、平移对称算符 T ( Rn )
T ( Rn ) f ( r ) f ( r Rn )
能带论的三个基本（近似）假设：
假定在体积 V=L3 晶体中有N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应
地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为:
哈密顿量中有5部分组成，前两项为电子的动能和电子之间 的相互作用能，三、四项为离子实动能和相互作用能 ,第五 项为电子与离子实之间的相互作用能。
由于晶体中离子和电子数密度通常在1029/ 平方米
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
ik Rn ( r Rn ) e ( r ),
其中 k 为电子波矢， Rn n1 a1 n2 a2 n3 a3 是格矢。
布洛赫定理的证明
步骤
引入平移算符：T ( Rn )
到的原子实和其余电子的相互作用势具有平移对称性。
《固体物理学答案》第五章
第五章 晶体中电子能带理论 习题１．晶体常数为a 的一维晶体中，电子的波函数为（1）()x ai x k πψ3cos =,（2）()f la x f x k,)(-l ∑∞∞=-=ψ是某一函数，求电子在以上状态中的波矢．［解 答］由《固体物理教程》（5.14）式()()r e R r k R r i n k nψψ∙=+可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足()()x e a x k ika k ψψ=+由此得(1) ()()()()x e x x ai x a i a x a i a x k ika k k ψψππππψ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+3cos 3cos 3cos于是1-=ikae因此得 ,5,3,aa akπππ±±±= 若只取布里渊区内的值：ak aππ<-，则有ak π=(2) ()].)1([)(a l x f la a x f a x l l k ∑∑∞-∞=∞-∞=--=++=+ψ令1+='ll得 ()()()()x e x a l x f a x k ika k k ψψψ==-=+∑'.由上式知 ikae =1所以有 ,6,4,2,0aa a kπππ±±±= 因此得在布里渊区内的值为0=k2.一维周期势场为()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=.1,0,21222b na x b a n b na x b na na x b mW x V 当当其中b a 4=，W 为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值．［解 答］图5.1 一维周期势场如图5.1所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得Ｖ=a 1 ()dx x V a a ⎰-22=()dx x V b bb ⎰-2241 =dx x b mW b b b ⎰--][2141222 =b b x x b b mW --]31[8322 =2261b mW . 3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度． ［解 答］根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为 ng V E 2=，其中n V 是周期势场()x V傅里叶级数的系数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式n V = a 1 ()dx e x V nx ai a a π222--⎰求得，第一禁带宽度为112V E g ==2()dxex V a a x ai ⎰--222a 1π=2⎰---b b x ai dxex b mW b π2222][241=2⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b dx x b x b mW b 2cos ][241222π=3228πb mW .第二禁带宽度为222V E g ==2()dxex V a a x ai ⎰--224a 1π=2⎰---b b x bi dx e x b mW b π][241222 =2⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b dx x b x b mW b πcos ][241222=222πb mW4.已知一维晶格中电子的能带可写成()⎪⎭⎫⎝⎛+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 8722 ， 式中ａ是晶格常数．m 是电子的质量，求（1）能带宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量． ［解 答］（1）能带宽度为 .min max E E E -=∆由极值条件 ()0=dkk dE 得上式的唯一解是0sin =ka 的解，此式在第一布里渊区内的解为 ak π,0=.当()k E k ,0时=取极小值min E ，且有 min E =()00=E当()k E ak,时π=，E(k)取极大值max E ,且有.222max ma a E E=⎪⎭⎫ ⎝⎛=π由以上可得能带宽度为.222m i nm a x ma E E E =-=∆（2）由《固体物理教程》（5.81）式，得电子的平均速度为 ().2sin 41sin 1⎪⎭⎫⎝⎛-==ka ka ma dk k dE v（3）由《固体物理教程》（5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为.322cos 21cos 1222m ka ka m k E mak ak ak -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=±=-±=*±=πππ.22cos 21cos 012220m ka ka m k E m k k k =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==-==*５．对简立方结构晶体，其晶格常数为a ．（1）用紧束缚方法求出对应非简并ｓ态电子的能带；（2）分别画出第一布里渊区［110］方向的能带﹑电子的平均速度、有效质量以及沿［110］方向有恒定电场时的加速度曲线．［解 答］（1）非简并ｓ态电子的能带().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E式中n R是晶体参考格点最近邻格矢．对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻．取参考格点的坐标为（0,0,0）,则6个最近邻点的坐标为()()().,0,0,0,,0,0,0,a a a ±±±简单立方体非简并s 态电子的能带则为()().cos cos cos 2a k a k a k J C E k E z y x s s at s s ++--=（2）在[110]方向上 ,22,0k k k k y x z === 能带变为(),22cos 40⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ka J E k E s s其中 ,20ss at s J C E E --=在[110]方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图5.2所示.图5.2[110]方向电子的能带电子的平均速度.22sin 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂=ka a J k E v s 平均速度曲线如图5.3所示.图5.3 平均速度曲线电子的有效质量,22cos 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂=*ka a J k E m s 有效质量曲线如图5.4所示.图5.4 有效质量曲线 在[110]方向有恒定电场情况下,电子的受力 εe F -=电子的加速度2222cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==*ka a J e m F a s ε.设电场方向与[110]方向相反,加速度曲线则如图5.5所示.图5.5加速度曲线6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s 态电子,试导出其能带⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4a k a k a k a k a k a k J C E E x z z y y x s s atss ,并求出能带底的有效质量. [解 答]用紧束缚方法处理晶格的s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据《固体物理教程》（5.60）式,其能带表示式为()∑∙--=ns s ats s J C E k E n R k e ,n R 是最近邻格矢.对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则12个最近邻格点的坐标为 (2a ±,2a ±,0),( 2a ±,0, 2a ±),(0, 2a ±,2a±). 将上述12组坐标带入能带的表示式,得()∑∙--=ns s ats s J C E k E n R k es s ats J C E --=()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++---+-+---+-++---+-z y z y z y z k y k a i z k x k a i z k x k a i z k x k a i z x y x y x y x y x k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i e e e e e e e e e e e e 222222222222()()()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++-+++-++--=z y z y z x z x y x y x s s ats k k a k k a k k a k k a k k a k k a J C E 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4a k a k a k a k a k a k J C E x z z y y x s s ats .能带底即()k E 的最小值对应的k为(0,0,0),有《固体物理教程》(5.87)可得在能带底处电子的有效质量为2202222a J k E m s kxx xx i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==*.同理可得222a J m s yy=*,222a J m s zz =*其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出 （1） s 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 8a k a k a k J C E k E z y x s s ats s --= ; （2） 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线;（3） 求出带顶和带底电子的有效质量. 【解 答】（1）用紧束缚方法处理晶格的s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E n R 是最近邻格矢.对体心立方晶格,取参考格点的坐标为（0,0,0）,则8个最近邻格点的坐标为 （2,2,2aa a ±±±）. 将上述8组坐标代入能带的表示式,的().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++--=---+---+---++-+--+++z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k ai z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k a i z y x e e e e e e e e J C E k k k a i s s ats 22222222()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--=--+--+2cos 2cos 2cos 2cos 22222a k e a k e a k e a k e J C E z zz z k k a i s s atsy k x k ai y k x k a i y k x k a i y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-2cos 2cos 422a k a k e e J C E z y k a i s s at s x k ai x 2cos 2cos 2cos 8ak a k a k J C E z y x s s at s --=.（2）在[111]方向上k k k k z y x 33=== , 且第一布里渊区边界在 ak k k z y x π±===,于是能带化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ka J E E s 63cos 830,其中s ats C E E -=0.图5.6为第一布里渊区[111]方向的能带曲线.图5.6 [111]方向的能带曲线（3）由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当===z y x k k k 时,sE 取最小值,即0===z y x k k k 是能带底,电子的有效质量为2202222a J k E m s kxx xx i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==*同理可得222a J m s yy=*,222a J m s zz =*其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±a a a πππ2,0,0,0,2,0,0,0,2处是能带顶,电子的有效质量为222a J m m m s zzyyxx-===***.其它交叉项的倒数也全为零.8.某晶体电子的等能面是椭球面⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=32322212122m k m k m k E ,坐标轴1，2，3相互垂.（1） 求能态密度;（2）今加一磁场B , B与坐标轴的夹角的方向余弦分别为γβα,,,写出电子的运动方程;（3） 证明电子在磁场中的回旋频率*=m eB c ω, 其中2132********⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=*m m m m m m m γβα.【解 答】（1） 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为1222232322222121=++ E m k E m k E m k .将上式与椭球公式1222222=++c z b y a x 比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面.与椭球的体积abc π34比较可得到,能量为E 的等能面围成的椭球体积 2332132234E m m m πτ= 由上式可得dE E m m m d 21321324 πτ=.能量区间内电子的状态数目()dE E m m m V d V dz cc 1321323222πτπ== 是晶体体积.电子的能态密度()21321322E m m m VdE dz E N cπ==（2） 根据《固体物理教程》中（5.86）式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂=331222121212211F k k EF k k E F k E a ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂=332222221122221F k k E F k E F k k E a,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂=323222321132231F k E F k k E F k k E a .将⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=32322212122m k m k m k E代入上述三式得运动方程为 333222111,,m F a m Fa m F a ===.即333222111,,F dtdvm F dt dv m F dt dv m ===. （1）当存在磁场B时,电子受到洛仑兹力B v e F⨯-=.其分量形式为 ()()23323223321v B v B v e B v B v e F ωνωβγ-=--=--=,()()31131331132v B v B v e B v B v e F ωνωγα-=--=--=, ()()12212112213v B v B v e B v B v e F ωνωαβ-=--=--=式中B B=,γωβωαωeB eB eB ===321,,.将上述结果代入运动方程（1）得.,,122133311322233211v v dt dvm v v dt dvm v v dt dv m ωωωωωω-=-=-= （2）(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一：对(2)式两边作拉普拉斯变换，并采用如下初始条件 ()1010v v =,()2020v v =,().0303v v =得[]11v pL m +[]23v L ω-[]32v L ω=101v m ,-[]13v L ω+[]22v pL m +[]31v L ω=202v m ,[]12v L ω-[]21v L ω+[]33v pL m =303v m .由此解出[]∆∆=11v L . 其中()()B p Ap m m m p m m m pm p m p m +≡+++=---=∆22332222113321312123231ωωωωωωωωω.321m m m A =,321233222211m m m m m m B ωωω++=.()()322130313202121021120332302323103213130312202231011C p C p C v m v m v m pv m m v m m p v m m m pm v m p m v m v m ++≡+++-+=--=∆ωωωωωωωωωωω()203302322103211,v v m m C v m m m C ωω+==,3031320212102113v m v m v m C ωωωωω++=.因此得[]()Bp A C B p p AB C B C p AB C B p Ap C p C p C v L +++-+=+++=22231323221111.上式两边取逆拉普拉斯变换得t B BA Ct B AB C B C p AB C v sin cos 123131+-+=.同理可得t B B A C t B AB C B C p AB C v sin cos 123132'+'-'+'=.()301103312203211,v v m m C v m m m C ωω+='=', 1021130323202223v m v m v m C ωωωωω++='.及t B B A C t B AB C B C p AB C v sin cos 123133''+''-''+''=.()102201212303211,v v m m C v m m m C ωω+=''=''2032210311302333v m v m v m C ωωωωω++=''.可见电子回旋频率为B .解法二：由于电子作周期运动，将试探解t i c e v v ω101=, t i c e v v ω202=t i c e v v ω303=（这里302010,,v v v 一般为复数，电子的真实速度应为321,,v v v 的实部或虚部.） 代入（2）式得 101v m i c ω+302v ω-203v ω=0,103v ω+202v m i c ω-301v ω=0,102v ω-201v ω+303v m i c ω=0.302010,,v v v 有不全为零的解的充要条件是0312123231=----m i m i m i c c c ωωωωωωωωω. 由此得 ()02332222113321=++-c c m m m m m m ωωωωω.于是B m m m m m m c=++=3212332222112ωωωω.这样，两种方法均给出电子回旋频率为21321233222211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==m m m m m m B c ωωωω.再将γωβωαωeB eB eB ===321,,,代入上式即得*=meBc ω, 其中2132********⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=*m m m m m m m γβα.9.求出一维、二维金属中自由的能态密度.[解 答]（1）一维情况自由电子的色散关系为 mk E 222 =.由此得dk E m dk m kdE 2121222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== ,即dE E m dk 212122-⎪⎭⎫⎝⎛= . 对应同一个dE ，在k ±方向各有一个dk ，因此空间中dE E E +与之间的区间为dE E m dk d 2121222-⎪⎭⎫⎝⎛== τ,在该范围内的状态数为dE E m L d LdZ 212122-⎪⎭⎫⎝⎛== πτπ,其中L 是晶格长度.于是，态密度()12122-⎪⎭⎫ ⎝⎛==E m L dE dZ E N π.（2）二维情况参照《固体物理教程》（5.102）式可知，二维情况下态密度的一般表示式为()⎰∇=Lk EdLS E N 22π.其中S 是晶格的面积，积分沿能量为E 的等能线进行.由()2222y x k k m E += 得 ()mk k k m E y x k 221222 =+=∇.于是有()21222222 mS k m k S E dL S E N Lk ππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇=-⎰.10.二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数A a2=,A b 4=，原子为单价的.(1) 试画出第一、二布里渊区； (2) 计算自由电子费密半径；(3) 画出费密面在第一、二布里渊区的形状.【解 答】（1） 倒格子原胞基矢j bb i a b ππ2,221==.选定一倒格点为原点,原点的最近邻倒格矢有4个,它们是21,b b ±±这4个倒格矢的中垂线围成的区间即是第一布里渊区.即图5.7中Ⅰ所示区间.原点的次近邻倒格矢有4个,它们是21b b ±±这4个倒格矢的中垂线围成的区间与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区.即图5.7中Ⅱ所示区间.图5.7 二维矩形晶格第一、二布里渊区（2）在绝对零度时,二维金属中导电电子若看成自由电子,电子的能量mk E 222 =,能量dE E E+→区间的电子占据波矢空间dk 的范围.在此范围内的波矢数目为图5.8二维波矢空间kdk S ππ2)2(2∙,其中2)2(πS是二维金属中导电电子的波矢密度,S 是金属面积。
第五章 能带理论
所以
称电子的赝动量（或电子的晶体动量）
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
3. 布洛赫波函数
是电子的晶体轨道
是整个晶体中的扩展态，不是局限在特定原子 附近运动的局域态。
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
§5.2 一维周期场中近自由电子近似
一、 模型和微扰计算
近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均 值代替原子实产生的势场
Ek E E
0 k
(1) k
E
( 2) k
.
一级能量修正
E
(1) k
0
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
二级能量修正 E
( 2) k
k'
k'| H '| k 0 0 Ek Ek '
2
——
—— 按原胞划分写成
—— 引入积分变量
x na
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
能带理论
—— 研究固体中电子运动的主要理论基础 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半 导体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的
简约波矢的取值
第一布里渊区体积
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
Vc原胞体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
能带理论5电子能带理论
3．一维情况
为标量，但标量并不等于是常量，m*也与能带结构有关。
4．仍以一维情况为例。设m为电子的惯性质量，FL为电子所受到的晶格场力；F外为电子所受到的晶体以外产生的场所施加的力。dv/dt＝1/m·F＝1/m（F外＋FL）与dv/dt＝1/m*F外比较，显然FL的影响包含m*中去了。比较可得
考虑固体中单电子的薛定谔方程：
式中哈密顿量的第一项是电子的动能，第二项是晶体势场；
是第n个能带且具有动量k的能级；
晶体势场可以表述为原子势场
这里
是晶格矢量，
是第l个原胞中第a 个原子的位矢。
的线性叠加，即
描述固体中电子的波函数。
波函数
可用LCAO的基矢
来展开
第l个原胞中第a个原子的第j个轨道，N是单位体积的晶格数目。
体心立方晶格的第一布里渊区
体心立方晶格的倒格子是面心立方格子。本图中用实心圆点标出了倒格点。在倒空间中画出它的第一布里渊区。如果正格子体心立方体的边长是a，则倒格子为边长等于4π/a的面心立方。
主要的对称点： Γ： ；H： ； P： ；N：
§6 紧束缚方法
三．导体 半导体和绝缘体
在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。
在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。
本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。
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晶体电子能带理论
固体电子理论－－－研究固体电子运动规律 固体电子理论－－－研究固体电子运动规律 －－－ 世纪末到现在， 从19世纪末到现在，金属研究一直处在固体研究的中心。 世纪末到现在 金属研究一直处在固体研究的中心。 1897年：英国物理学家汤姆逊 年 (J.J.Thomson,1856—1940)在实验中发现电子。 在实验中发现电子。 在实验中发现电子 1906年，因测出电子的荷质比获诺贝尔物理学奖。 年 获诺贝尔物理学奖。 1900年：英国物理学家德鲁德（P．K．L 年 英国物理学家德鲁德（ ． ． 德鲁德
第五章
晶体电子能带理论
1928年 1928年：在量子力学和量子统计的概念建立以 后，德国物理学家索末菲（Arnold Sommerfeld 德国物理学家索末菲（
1868-1951）建立了基于费密－ 1868-1951）建立了基于费密－狄喇克统计的量子
自由电子气体的模型， 自由电子气体的模型，给出了电子能量和动量分 布的基本图像。 布的基本图像。 计算了量子的电子气体的热容量， 计算了量子的电子气体的热容量，解决了经 典理论的困难。 典理论的困难。 德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。 德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。 量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。 量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。
NZ 1 NZ 1 e2 Vee ( ri , r j ) = ∑ ∑ = ∑ v e ( ri ) 2 i =1 j ≠ i 4πε 0 ri − r j i =1
( 4)
v e ( ri )
代表电子i与所有其它电子的相互作用势能， 代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了
其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。 其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。
第五章
晶体电子能带理论
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第五章 得到单电子薛定谔方程
晶体电子能带理论
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h2 2 ∇ + V ( r )ψ ( r ) = Eψ ( r ) − 2m
(8)
其本征函数取布洛赫函数的形式，并使单电子能谱呈能带结构。 其本征函数取布洛赫函数的形式，并使单电子能谱呈能带结构。 至此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化 至此，在单电子近似和晶格周期场假定下， 为在晶格周期势场V 为在晶格周期势场V（r）的单电子定态问题。 的单电子定态问题。
第五章
晶体电子能带理论
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第五章 晶体电子能带理论 本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。 能带理论基本原理和一些近似计算方法 本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。 能带理论的基本假定
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能带理论是一个近似理论，首先说明能带理论作了哪些近似和假定： 能带理论是一个近似理论，首先说明能带理论作了哪些近似和假定： 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电 子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用，一个严格的 电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用， 存在着相互作用 固体电子理论，必须求解下述多粒子体系的薛定谔方程： 固体电子理论，必须求解下述多粒子体系的薛定谔方程：
N (Ze ) 1 e2 1 h2 2 1 h2 2 1 ′ ′ [− ∑ ∇i + ∑ −∑ ∇n + ∑ 2 i , j 4πε 0 ri − r j n=1 2 M 2 n ,m 4πε 0 Rn − Rm i =1 2m NZ 2
Ze 2 ]ψ ( r , R ) = Eψ ( r , R ) −∑∑ i =1 n =1 4πε 0 ri − Rn
电子和离子实的位置矢量分别用ri Rn表示。 电子和离子实的位置矢量分别用ri和Rn表示。 ri和 表示 哈密顿量的第一项和第二项：分别是NZ个电子的动能和库仑相互作用能； 哈密顿量的第一项和第二项：分别是NZ个电子的动能和库仑相互作用能； NZ个电子的动能和库仑相互作用能 第三项和第四项： 第三项和第四项：是N个离子实的动能和库仑相互作用势能； 个离子实的动能和库仑相互作用势能； 最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。 最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。 这是一个量级为 10 23 / cm 3 的NZ＋N多体问题，无法直接求解，需要做一些 NZ＋ 多体问题，无法直接求解， 假设和近似，主要有三点： 假设和近似，主要有三点：
v v 2 v v v 2 v ρ (r + R ) = ψ (r + R ) = ψ (r ) = ρ (r )
(4)
即，在不同原胞中的相应位置，布洛赫电子的几率密度是一样的。 在不同原胞中的相应位置，布洛赫电子的几率密度是一样的。 既然几率密度相同，在不同原胞中的相应位置的波函数之间， 既然几率密度相同，在不同原胞中的相应位置的波函数之间，一定只 几率密度相同 相差一个相位。 相差一个相位。
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§5.1 布洛赫波函数 根据量子力学，要了解晶体中电子的运动，需求解定态薛定谔方程 根据量子力学，要了解晶体中电子的运动，
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ˆ Hψ ( x) = Eψ ( x)
就一维情况， 就一维情况，哈− + V (x) 2 2 m dx
ˆ ˆ He = Te +Vee(ri , rj ) +Ven(ri , Rn)
子实近似看作不动，能量与外界无交换。 子实近似看作不动，能量与外界无交换。
(3)
这种把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为绝热近似 这种把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为绝热近似。即离 把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为绝热近似。
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2、单电子近似（平均场近似） 单电子近似（平均场近似） 难以处理。 Vee(ri ,rj ) 难以处理。 作为一种近似，可用一种平均场来代替 V (r ,rj ), 即假定每个电子所处 作为一种近似， ee i 由于电子运动彼此关联， 由于电子运动彼此关联，使得 的势场都相同， 每个电子的电子间相互作用势能只与该电子的位置有关， 的势场都相同，使每个电子的电子间相互作用势能只与该电子的位置有关， 而与其它电子的位置无关。 而与其它电子的位置无关。 这样
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第五章 3、周期场近似
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固体中的离子和其它电子对被考察的单电子的库仑相互作用， 固体中的离子和其它电子对被考察的单电子的库仑相互作用，可 以用一个等效的具有晶格周期性的电势能来描述： 以用一个等效的具有晶格周期性的电势能来描述： 即不管（5）式中单电子势 即不管（
(2)
为一维周期势场，具有晶格的平移对称性， V ( x ) 为一维周期势场，具有晶格的平移对称性，满足
V ( x + na ) = V ( x )
式中a为晶格周期， 为任意整数。 式中a为晶格周期，n为任意整数。 在周期晶格势中运动的单电子称为布洛赫电子。 在周期晶格势中运动的单电子称为布洛赫电子。
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§5.1 布洛赫波函数 布洛赫给出的布洛赫电子的波函数具有如下形式： 布洛赫给出的布洛赫电子的波函数具有如下形式：
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ψ ( x ) = e ik x u k ( x )
uk ( x ) = uk ( x + n a )
(5 )
(6 )
（5）式称为布洛赫定理，式中的波函数称为布洛赫函数。因子 式称为布洛赫定理 式中的波函数称为布洛赫函数。 布洛赫定理， 为一平面波。下面我们证明布洛赫定理。 为一平面波。下面我们证明布洛赫定理。
Drude）提出了第一个经典的电子导电理论（玻 ）提出了第一个经典的电子导电理论（
尔磁曼统计），初步定量解释了金属导电性的问 尔磁曼统计），初步定量解释了金属导电性的问 ）， 经典的金属电子气理论。 题－德鲁德模型—经典的金属电子气理论。 德鲁德模型 经典的金属电子气理论
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Ze 2 V ( ri ) = ve ( ri ) − ∑ Rn 4πε 0 ri − Rn 1
于BLV的 R BLV的 n
( 6)
的具体形式如何，假定它具有和晶格同样的平移对称性。 的具体形式如何，假定它具有和晶格同样的平移对称性。即对所有属
V ( r + Rn ) = V ( r )
(7 )
成立。即电子是在一个周期场中运动。 成立。即电子是在一个周期场中运动。
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电子体系的哈密顿量（3）可写成： 电子体系的哈密顿量（ 可写成：
所有核对第i 所有核对第i个电子 的作用能
N
电子与核间作用能
h2 2 1 Ze2 ˆ H e = ∑ − ∇ i + ve (ri ) − ∑ 2m 4πε 0 ri − Rn i =1 Rn
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在能带论的基础上，从20世纪40年代到20世纪50年代，人们对半导体 世纪40年代到20世纪50年代 在能带论的基础上， 20世纪40年代到20世纪50年代， 和绝缘体的理解一下子深入了很多。 和绝缘体的理解一下子深入了很多。 在此基础上，半导体工业开始发展， 在此基础上，半导体工业开始发展，并最终导致了电子和信息时代的 到来。由此，从固体物理学逐渐发展出整个电子和信息硬件工业的理论基 到来。由此， 础。