高等代数不变子空间
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显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间. 命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间. 命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
不变子空间的常见例子
命题 如果线性变换 A 与 B 可交换（即 A B = BA ），则 ker B， ImB，B 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间的常见例子
命题 如果线性变换 A 与 B 可交换（即 A B = BA ），则 ker B， ImB，B 的特征子空间都是 A -子空间. 证 任取 α ∈ ker B，则 Bα = 0. 于是
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
B(A α) = (BA )α = (A B)α = A (Bα) = A (0) = 0. 因此 A α ∈ ker B，从而 ker B 是 A -子空间.
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显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间. 任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
不变子空间概念的背景
我们讨论了可对角化的线性变换，不可以对角化的线性变换，其 结构又如何呢？解决这个问题的思路是什么？我们知道，A 是 可对角化的线性变换当且仅当空间 V 能分解成 A 的特征子空间 的直和. 由此受到启发，研究不可以对角化的线性变换的结构， 能不能以研究线性空间 V 分解成与 A 有关的特殊类型的子空间 的直和入手？这节就来讨论这个问题. 注意 A 的特征子空间 Vλi 具有如下性质：若 α ∈ Vλi，则 A α = λiα ∈ Vλi，这启发我们引 入 A 的不变子空间的概念.
A -子空间.
任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
任取
α
∈
Vλi ，因为wenku.baidu.com
A
α
=
λiα
∈
V ，所以 V 是 A -子空间. λi
λ . . . i . . . . . . . . . . . . .
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间. 命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
不变子空间的常见例子
命题 如果线性变换 A 与 B 可交换（即 A B = BA ），则 ker B， ImB，B 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间的常见例子
命题 如果线性变换 A 与 B 可交换（即 A B = BA ），则 ker B， ImB，B 的特征子空间都是 A -子空间. 证 任取 α ∈ ker B，则 Bα = 0. 于是
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
B(A α) = (BA )α = (A B)α = A (Bα) = A (0) = 0. 因此 A α ∈ ker B，从而 ker B 是 A -子空间.
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显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间. 任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
不变子空间概念的背景
我们讨论了可对角化的线性变换，不可以对角化的线性变换，其 结构又如何呢？解决这个问题的思路是什么？我们知道，A 是 可对角化的线性变换当且仅当空间 V 能分解成 A 的特征子空间 的直和. 由此受到启发，研究不可以对角化的线性变换的结构， 能不能以研究线性空间 V 分解成与 A 有关的特殊类型的子空间 的直和入手？这节就来讨论这个问题. 注意 A 的特征子空间 Vλi 具有如下性质：若 α ∈ Vλi，则 A α = λiα ∈ Vλi，这启发我们引 入 A 的不变子空间的概念.
A -子空间.
任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
任取
α
∈
Vλi ，因为wenku.baidu.com
A
α
=
λiα
∈
V ，所以 V 是 A -子空间. λi
λ . . . i . . . . . . . . . . . . .
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