第五章 假设检验

时拒绝HZ 0，Z当

时接受H0。
Z Z
Z Z
（二）两个总体方差未知但大样本
若两个总体方差S12
和S
2 2
未知且不相等，要分别以样
本方差s12 和s22 来估计，那么当n1和n2都足够大时，统
计量Z (x1 x2 ) ( X1 X 2 )
s12 s22
趋于服从标n1 准n2正态分布。
• 要进行假设检验，必须设立原假设和备择假设。
• 原假设也称零假设或虚无假设，是研究者对总体参数 值事先提出的假设，是被检验的假设。备择假设也称 对立假设，是研究者通过检验希望能够成立的假设， 是当原假设不成立时供选择的假设。
• 设总体参数 的假设值为 0 ，那么原假设记为：H0： 0 它表示总体参数值与其假设值之间没有显著差异。 备择假设记为：H1： 0 （双侧检验时） 或 H1： 0 （右单侧检验时） 或 H1： 0 （左单侧检验时）
t t
H0：X X 0
H1：X X 0 t t
• 设两个总体的均值分别为 X1 和 X2 ，两个总体的方差分 别样为本均S12 值和分S22 别，为来自和两个。总检体验的的样目本的容是量两分个别总为体n1的和均n2， 值是否相等，或两个总x1 体x的2 均值之差是否为零。我们
对于双侧检验，当
，接受原假设
而拒绝
备择假设
；t 若 t 2
，则要拒H绝0：HX 0而X0 接受H1。
同理，对于H1：左X 单 X0侧检验，t t当
时，拒绝
而
接受 验，当
；若 时，拒绝
。2 则t 接t 而受接H0受。对于H0右：X若单 X侧0 检，
则接受H1H：X0。 X0
t t
2
接受域1
2
拒绝域
拒绝域
Z
0
2
Z 2
图5-1 正态分布双侧检验接受域与拒绝域示意图

接受域1
接受域 1

拒绝域
拒绝域
Z
0
0
Z
（a）左单侧检验
（b）右单侧检验
图5-2 正态分布单侧检验接受域与拒绝域示意图
假设检验的基本原理
（一）提出原假设和备择假设；
（二）确定检验的显著性水平；
正态分布。
S12 S22 n1 n2
服从标准
如果原假设H0：X1 X2 成立，我们可构造检验统计量
为：Z x1 x2
S12 S22
受对H于0。双对侧n1 于检n2左验单，侧当检Z 验 Z，2 当时拒绝H0时，拒当绝Z HZ02，时当接
时接受H0。对于右单侧检验Z ，Z当
H0 ，当
时要接受H0 。对于右单侧检验， t t(,n1n22)
当
时要拒绝H ，当 t t( ,n1n2 2)
0
要接受H0 。
t t( ,n1 n2 2)
t t( ,n1 n2 2)
• 检验的目的是判断总体成数P是否等于P0，我们可以建 立假设如下：
H0：P P0（双侧检验）
• 在统计中，常见的统计假设有：总体均值（或总体成 数、总体方差等）等于（或大于、小于）某一数值， 总体相关系数等于0，两总体均值（或两总体成数、两 总体方差）相等，总体分布服从正态分布等。
• 根据检验的目的不同，假设检验可以分为双侧检验和 单侧检验两类。双侧检验是指同时注意总体参数估计 值与其假设值相比的偏高和偏低倾向的检验。单侧检 验是指只注意总体参数估计值比其假设值偏高或偏低 倾向的检验,它是单方向的。
H1：P P0
或
H0：P P0（左单侧检验）
H1：P P0
或
H0：P P0 （右单侧检验）
H1：P P0
• 根据抽样分布定理可知，当样本容量足够大，即nP和
n（1-P）都大于5时，样本成数p的抽样分布近似服从
正态分布，而统计量 Z p P P(1 P)
服从标准正态分布。其中，由n 于N一般都很大，因此
• 总体均值检验的目的是总体均值 X 是否等于（或大于， 或小于） 。我们可以建立假设如下：
X0
H0：X X0 （双侧检验）
H1：X X 0
或
H0：X X0 （左单侧检验）
或
H1：X X 0
H0：X X 0 H1：X X 0
（右单侧检验）
下面我们分几种情况加以介绍。
（一）总体服从正态分布且方差已知
第七章 假设检验
第一节 假设检验的基本问题 第二节 几种常见的假设检验 第三节 假设检验的两类错误与功效
第一节 假设检验的基本问题
• 一、假设检验的概念与种类 • 二、原假设和备择假设 • 三、显著性水平和拒绝域 • 四、假设检验的基本步骤
• 所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形态 做出一个规定或假设，然后利用样本提供的信息，以 一定的概率来检验假设是否成立（或是否合理），或 者说判断总体的真实情况是否与原假设存在显著的系 统性差异。
• 由抽样分布理论可知，若原假设成立，则样本统计值 与总体参数假设值偏差很大的事件是一个小概率事件。 倘若在一次抽样中，样本统计值与总体参数假设值相 差很大，那么在原假设成立的条件下，就是出现了一 个小概率事件。一旦出现小概率事件，就要怀疑原假 设的正确性，从而否定原假设。若一次抽样的样本统 计值与总体参数假设值相差不大，那么就没有理由拒 绝原假设，也就只好接受原假设。
时，
要接受H0；当
n时，则要拒绝H0而接受H1。

Z Z
2
Z Z 2
（二）总体分布及其方差均未知但大样本
根据中心极限定理，当样本容量足够大时（n>30），
样态估本分计均布，值。这但时x 由统也于 计趋量于S 2 服未Z从知 x 数， X0 学要期以趋望样于为本服方从X 差，标方准s2差正 为态(nxi分Sn12x的布)2 正。来
可以建立假设如下：
（双侧检验）
或 H0：X1 X 2 H1：X1 X 2
或 H0：X1 X 2 H1：X1 X 2
（左单侧检验）
H0：X1 X 2
（右单侧检验）
H1：X1 X 2
下面分几种情况加以介绍。
（一）两个总体服从正态分布且方差已知
根据抽样分布原理，统计量Z (x1 x2) (X1 X2)
根据抽样分布原理，当总体服从正态分布 N(X,S2) 时， 那么从中抽取容量为n的样本，其样本均值 服从正态 分布 S2 （为了简便，只讨论重复抽样情况x ），而统 计量 N(X , n ) 服从标准正态分布。 所以，Z 当x SnX 原假设为真时，我们可以构造检验统计量为：
对于双侧检验，Z针 x对SX给0 定的显著性水平 ，当
• 现在的问题是，概率小到多少的事件为小概率事件？ 这个概率是在假设检验之前由人们事先主观选定的， 用 表示。 究竟取多大为宜，应视具体情况而定， 通常取0.05或0.01，有时也取0.10，而把概率小于上 述值的事件称为小概率事件。 越大，样本统计值与 总体参数假设值之间的差异成为显著性差异的可能性 越大； 越小，这种差异成为显著性差异的可能性越小。 因此的 大小就成了判定这种差异是否显著的一个标 准，故称为显著性水平。1- ，则是样本统计值与总 体参数假设值之差不超过一定范围的概率。
• 假设检验的实质就是样本信息是否有充分的理由来否 定原假设。
• 一方面原假设H0受到保护而不被轻易否定，使它处于 有利地位；另一方面当原假设H0被接收时，又认为它 不一定正确。
• 还须指出，备择假设的表达式中是不含有等号的，即 等号一定存在于原假设中。
• 进行假设检验，概率论中关于小概率事件在一次试验 中是不可能事件的原则是其所要遵循的基本原则。
Z
( p1 p2 ) Pˆ(1 Pˆ)( 1 1 )
Z ( p1 p2 ) (P1 P2 ) P1(1 P2 ) P2 (1 P2 )
由于P1、n1 P2未知n2，要以p1和p2来估计，因此在原假设H0 为真时，我们要以两个样本的合并成数作为两个总体 成数的共同的估计值，即：
Pˆ n1 p1 n2 p2
这样，n当1 原n2 假设成立时，检验统计量就成为：
差为ns-21估的计t分，布那。么当n 30
时，统计量 t

x
s
X
服从自由度
n
如果原假设 H0：X X 0
成立，则检验统计量为：t
x
X s
0
根据规定的显著性水平 来确定临界值
或n
，
通过比较t和 （或 ） ，来做出接受或t(拒2,n1)绝原t(假 ,n设1)
的判断。这种t检2 验称t为小样本t检验。
总体方差
简化为
。
因此，当NP（N原11假P）设为真时P（，1我P）们可以构造检验统计量为：
对于Z 给Pp定0(1P的0P0) 显著性水平 ，可查得临界值 或
。
通过比较n 与 或 ，可做出拒绝原假设H0或接受 原假设H0的判断。判断规 则与总体均值检验Z相2 同Z。
Z
Z
2
Z
• 设两个总体成数分别为P1和P2，来自两个总体的样本 容量分别为n1和n2，样本成数分别为p1和p2。检验两 个总体成数是否相等，或两个总体成数之差是否为零，
所以，如果原假设
s n
成立，我们也可以构造检验
统计量为：
H0：X X 0
根据与（一Z） x 相sX0 同的规则，通过比较 值与临界值
n
或 ，可以做出接受H0或拒绝H1的判断Z ，唯一不同之Z
处，Z 就是以 代替了 。 2
s
S
（三）总体为正态分布，但方差未知且小样本
若总体服从正态分布N(X , S2) ，但S 2 未知而要用样本方