精算数学与建模

§2 生命表


四、生命表分类 1、国民生命表—适用于社会养老保险 精算 是根据全体国民或一特定地区人口的死亡统计数据 编制的生命表。主要来源于全国性或地区性的人口普查 数据。 2、经验生命表—适用于商业寿险精算 是依据人寿保险、社会保险以往的死亡记录所编制的 生命表。 如：中国人寿保险业经验生命表（2000—2003）
§2 生命表


二、生命表的结构
基础生命表包括： 1、被观察的人口年龄，以（x）表示； 2、年初生存人数，以符号l表示，lx表示基期人口中活 至x岁的人数； 3、当年死亡人数，以符号d表示，dx表示x岁的人在一 年中死亡的人数； 4、死亡率，以符号q表示，qx表示x岁的人在一年内死 亡的概率； 5、生存率，以符号p表示，px表示x岁的人至少活到x+1 岁的概率；
m n Ax m n 1 k m
v
k 1
j m 1 q v k x j 0
n 1
jm
qx
1 v j v m 1 j q x m m p x A1 A x:n m x:m j 0
n 1
§3 死亡保险的精算现值


6、延期m年的终身死亡保险 与延期m年的n年两全保险不同的就是合同期限为无 穷。 我们以m A x 表示这种保险的精算现 值： 保额的精算现值为：
2、 终值 n (1 i) n (1 i) n 1 (1 i) s
§1 确定年金

3、 永久年金
2 n
对于 an v v v 当n 时，有 a 1 i
2
n 1 v v v 对于 a 当n 时，有 a
§2 生命表
中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）
年龄 (x)
0 1 2 3 4 5
死亡率 qx
0.002618 0.001814 0.001323 0.001003 0.000785 0.000632
生存人数 lx
1,000,000 997,382 995,572 994,255 993,258 992,479
§3 死亡保险的精算现值


5、延期m年的n年死亡保险 投保时年龄为x岁的被保人若在x+m岁之前死亡。则 保险人分文不付；他若活至x+m岁，且在x+m+n岁之前死 亡，则保险人须支付保额；他若活至x+m+n岁，则保险 人分文不付。
我们以m n A x 表示这种保险的精算现 值： 保额的精算现值为：
§1 确定年金
5、期初付定期延期年金 设年金额为1，于m年后开始在每年年初支付， 共支付n年，年利率为i，称此种年金为期初付定期 延期年金。
1、 现值 m an 2、 终值
m n 1 1 i m
1i1m1 1i 1mn1 v m v m 1 v m n 1
§2 生命表

三、生命表相关概率、年龄人口数换算
(1) t p x
S0 ( x t ) S0 ( x )
S0 ( x t ) l0l 0 S0 ( x )
l x t lx
(2) t q x 1t p x 1 llxxt (3) t d x l x l x t d x d x 1 d x t 1 (4)
x 表示此险种的精算现值 我们用a 。 x:n bk 1 k px v k . c a
k 0 n 1
§4 生存年金的精算现值
三、标准年金精算现值 1、终身生存年金 （1）年金在被保人存活之年的年末支付
a x k px v k .
k 1
（2）年金在被保人存活之年的年初支付
例2.1 根据《中国人寿保险国人 寿保 命表（ 2000- 2003 ） CL1》，计算下 列概率值。 （ 1 ） P r[( 50)在51岁之前死亡] （2） P r[(22)活到23岁] （3） P r[(22)活到24岁] （4） P r[( 35)在55岁之前死亡或在 70岁以后死亡] （5） P r[(20)至少活到80岁] （6） P r[( 50)在55岁和70岁之间死亡] （7） P r[( 50)在52岁之前死亡]
§3 死亡保险的精算现值


4、付保额1；(x)若活至x+n岁，则保险人亦需支付保额1.
我们以A x:n表示这种保险的精算现 值： A x:n v
n k 1 p v k qxk n x k 0 n 1 n 1
1 v n n p x v k 1 k p x q x k A1 A x:n x:n k 0

§3 死亡保险的精算现值

二、死亡保险现值精算公式-保额在死亡发生的当年年 末支付 设年龄为x岁的被保人购买保险期限为n年的保单， 如果他将在保单生效后的第k+1年内死亡，以bk+1表示在 第k+1年末支付的保额。V表示各年的贴现因子，得到
CAx:n v
k 0
n -1
(k 1)
b k 1 k q x .
§1 确定年金
二、标准年金 1 、期末付定期即期年金 设年金额为1， 年末支付，共支付n年，年利 率为 i，称此种年金为期末付定期年金。 1、 现值

2 n 1 1 1 an 1 v v v i 1 i 2 1 i n 1 其中：v 1 i , 称为贴现因子。
n n 1
(1 i ) (1 i ) s
(1 i )
(1 i ) n 1 d
n s
nm s a ( 1 i ) m n m n
§2 生命表


一、 生命表概述
生命表也称死亡表，是对一定数量的人口自出生直至全部死亡这段 时间内的生存和死亡情况的记录。 生命表特点： 1、刻画的是处于整数年龄的人在整数年内生存或死亡的概率分布 情况。 2、生命表 是针对确定的人群构造的。人群按性别、种族、保险类 别等进行区分。 3、生命表一般具有（1）人口集合是封闭的；（2）各成员在每一 年龄段的死亡率是确定的。
k 1 A v k qx m x k m j 0
v j m 1 Ax A1 x:m
jm
qx
§4 生存年金的精算现值

一、概念

1、生存年金是以人的生存作为保险标的的险种。被保险 人若在合同期限内，只要活着，就能定期获得约定的生存 年金。 2、生存年金的精算现值不仅考虑利率，还考虑了被保人 的生存概率。
§3 死亡保险的精算现值
三、标准死亡保险产品--保额在死亡发生的当年年末支 付 1、n年纯粹生存保险 n年纯粹生存保险是：被保人在n年内死亡，则保险 人分文不付；被保人若活至x+n岁，则保险人需支付保 额1. 1 我们以A x:n 表示这种保险的精算现 值：

1 A x:n v n n px
精算数学与建模
第一部分 寿险精算
§1 确定年金

年金是在相等的时间间隔上作的一系列支 付。分为不确定年金和确定年金。 确定年金是指事先约定好利息水平的支付。 两次年金付款的时间间隔称为支付期。

§1 确定年金
一、变动年金 设年金给付期间为 n年，第一年支付 b1，第二年支付b2， 第j年支付bj，直至第n年支付bn。这样的年金称为变动 年金。 设年有效利率为 i. 1、期末付递增年金 can b1v b2 v 2 bn v n (cs) n (ca) n (1 i ) n 2、期初付递增年金 n b1 b2 v b3v 2 bn v n 1 ca ) n (1 i ) n (c s) n (ca
nm
qx nm qx n qx n px m n px
l xn l xn1 lx d xn lx
当m 1时，n 1q x n q x x k 1 p x (5) e
k 0 l x1 l x2 l lx
.
0.5
§2 生命表
死亡人数 dx
2618 1810 1317 997 780 627
生存人年数 Lx
998691 996477 994,914 993,757 992,867 992,165
平均余命 ex
76.92 76.12 75.26 74.35 73.43 72.49
Tx
76,917,626 75,918,935 74,922,485 73,927,544 72,933,787 71,940,919
§3 死亡保险的精算现值

2、n年死亡保险 (x)若在x+n岁之前死亡，则保险人，则保险人须付 保额1；被保人若活至x+n岁，则保险人分文不付.
我们以A1 值： x:n表示这种保险的精算现
k 1 k 1 A1 v q v k x k px qx k x:n k 0 k 0 n 1 n 1


§4 生存年金的精算现值
二、精算现值 设年龄为x岁的被保人购买保险期限为n年的保单， 如果他活过在保单生效后的第k年内，以bk表示在第k年 末或年初支付的保额。V表示各年的贴现因子，得到 （1）年金在被保人存活之年的年末支付
ca x:n bk k px v k .
k 1

（2）年金在被保人存活之年的年初支付
2、 终值 sn (1 i ) n 1 (1 i ) n 2 1
§1 确定年金
2、 期初付定期即期年金 设年金额为1， 年初支付，共支付n年，年利率为i，称 此种年金为期初付定期年金。

1、 现值
2 n 1 1 1 1 n 1 1 a 1 v v v i 1i 2 1i n1