工程流体力学 第二章 水静力学
《工程流体力学》PPT课件
本章学习要求:
流体静力学主要研究流体平衡时，其内部的压强分布规律 及流体与其他物体间的相互作用力。它以压强为中心，主要 阐述流体静压强的特性、静压强的分布规律、欧拉平衡微分 方程，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，潜体 与浮体的稳定性，并在此基础上解决一些工程实际问题。
无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相 对运动，因而粘性作用表现不出来，故切应力为零。
• 2.3.3 静止液体中的等压面 • 由于等压面与质量力正交，在静止液体中只有重
力存在，因此，在静止液体中等压面必为水平面。
• 对于不连续的液体或者一个水平面穿过了两种不 同介质连续液体，则位于同一水平面上各点压强 并不一定相同，即水平面不一定是等压面。
2.3 流体静力学的基本方程
2.3.4 绝对压强、相对压强、真空度
(z A (g p A )W ) (z B (g p B )W ) (( (g g ) ) H W g2 1 ) h 1 2 .6 h
2.4 压强单位和测压仪器
2、U形水银测压计
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 ： p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
M点的绝对压强为： p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（ z+p/g）：单位重量流体的总势能。
物理意义： 1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面 的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压 头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）
必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
流体第二章1流体静力学
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（3）连通容器中盛有两种液体，1 2但液面上的
压强相等（ p01 p02）时，自分界而起，液面的高
度之比与液体容重成反比。
p 0 11 h 1 1 h p 0 22 h 2 1 h
1h12h2
1 h2 2 h1
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二、等压面
流体中压力相等的点所组成的面(平面或曲面) 称为等压面（p为常数）。
等压面方程为 d p0X dYxd Z ydz
等压面特性为：
1、dpdU0，U=常量，等压面与等势面重合
2、由等压面方程可知
X Y d Z d ( x X d , Y y , Z ) ( d z , d , d x ) y F z d l 0
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2、由等压面方程可知
pB p11gh1 pC p21gh22gh pB pC
p 1 p 2 1 g1 h (1 g2 h2 g)h 1 g (h 1 h 2 )2 g h (21 )g h 读 h 值
如果两球内的压强差微小，为了提高测量精 度常常把压差计的玻璃管倾斜放置，借以达到放 大压差读数提高测量精度。
因此欧拉平衡微分方程为 dp dU
积分可得： pUC
§2-3 流体静压强的基本方程
实际工程中，作用于平衡流体上的质量力只有重力 把z轴取在铅垂方向，则有：
X 0 Y 0 Z g
由欧拉平衡方程，则有
p0, p0, pg
x y z
经积分得出，压力p是 和 z 的函数，即为：
pgzC
p z C(常数） 称为水静力学基本方程
201683135重力场中流体的平衡几何意义不可压缩的重力流体处于平衡状态时静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线位置水头压强水头之和为静水头aa静水头线aa计示静水头线26水头与比势能26水头与比势能常数水静力学基本方程201683136物理意义当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时在流体中的任意点上单位重量流体的总势能为常数单位重量流体的位势能单位重量流体的压强势能液体静压强不仅可以用基本公式来计算而且还可以用各种仪表直接测定gh测量办法最简单
工程流体力学第二章
pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强
第二章流体力学流体静力学(2)
2、总压力作用点（压心）
F sinyc A
o
y yc yp
自由液面
M dF h hc hp F
CP N y
x
C P
合力矩定理（对ox轴求矩）：
F y p y dF sin y2dA A
F y p y dF sin y2dA
面积惯性矩：
A
A y 2dA Io Ic yc2 A
p0
l
h
A
（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体，重度 ′< ，则有较 大的h。
第五节 测压计
二、水银测压计与U形测压计
适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压
强较大。
B—B等压面：
pA 1gz1 p0 2 gz2
pA 2gz2 1gz1
1
A+ z1
B
p0 c
z2 B'
yc yp
1、 作用力的大小，微小面积dA的作用力：
dF pdA hdA y sin dA
自由液面
M dF h hc hp F
CP N y
x C P
静矩：
ydA yc A
A
F dF y sin dA
x
sin yc A hc A pc A
结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水 总压力F，大小等于受压面面积A与其形心 点的静压强pc之积。
(zA
pA
)
(
z
B
pB )
0
m h汞 0
3、图示两种液体盛在同一容器中，且 1< 2，在容器侧壁装 了两根测压管，试问图中所标明的测压管中水位对否？
对
1 2
第六节 平面上的流体静压力
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
工程流体力学 禹华谦 习题答案 第2章
第二章 流体静力学 2-1 作用于流体的外力有哪两种?答: 作用于流体的外力有质量力与表面力. 2-2 流体块表面上的压强有哪两项特性? 答: 流体块表面上的压强有以下两项特性1.法向应力的方向沿讨论流体块表面上某点的内法线方向，即压强沿垂直方向从外部指向表面。
2.静止流体中任一点处的压强大小与它所作用的表面方位无关。
2-3 什麽是绝对压强, 相对压强及真空度?答: 以绝对真空状态为基准计算的压强值叫绝对压强。
相对压强用于绝对压强大于大气压的场合，即一点处的相对压强指这点处的绝对压强高于大气压的部分.真空度用于绝对压强低于大气压的场合，即出现了真空的状态。
一点处的真空度指这点绝对压强小于大气压的那一部分.2-4 容器A 被部分抽成真空，容器下端接一玻璃管与水槽相通，玻管中水上升h=2m ，水的39800/N m γ=，求容器中心处的绝对压强p 和真空度v P ，当时当地大气压298000/a P N m =。
解：由a p h p =+γ，有2/784009800298000m N h p p a =⨯-=-=γ2/196007840098000m N p p p a v =-=-=2-5 以U 型管测量A 处水压强，h 1=0.15m ，h 2=0.3m ，水银的γ＝N 3/m ，当时当地大气压强298000/a P N m =，求A 处绝对压强p 。
a解：由γ+p 水γ+1h 水银a p h =2，有-=a p p γ水-1h γ水银22/565463.013328015.0980098000m N h =⨯-⨯-=2-6 图中压差计上部有空气，h 1=0.6m ，h=0.45m ，h 2=1.8m ，求A 、B 两点压强差，工作介质水的39800/N m γ=。
解：设空气绝对压强为a p ，A ，B 两处绝对压强分别为B p p A ,,这里γ1h p p a A +=，γ)(2h h p p a b ++=，从而212/161709800)6.08.145.0()(m N h h h p p A B =-+=-+=-γ2-7 如图为一复式水银测压计，用以测量水箱中水的表面相对压强。
第二章 流体静力学ppt课件
2.1 静止流体上的作用力
按力的物理性分为：惯性力、重力、弹性力、粘性力 按力的表现形式分为：质量力、表面力
2.1.1 质量力（体积力、长程力）
1、定义：作用于流体的每个质点上，并与作用的流体 质量成正比。 例如：重力、直线惯性力、曲线惯性力
2、单位质量力 总的质量力以F表示，设F在各个坐标轴上的分力为：
C、导出关系式： F0
D、得出结论
. 图2.2 静止流体中的微元四面体
选取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
C
O
A
B
静止流体中任何一点上各个方向作用 的静压强大小相等，与作用面方位无 关——大小特性
.
2.2 流体的平衡微分方程及其积分
2.2.1欧拉平衡微分方程
1、取研究对象：在平衡流体中取一微元六面体，边
.
即：
z
p
常数
流体静力学基本方程
对1、2两点：
z1
p1
z2
p2
当z=0时，即自由液面处，p=p0 代入静力学基本方程，得c=p0
p=p0-γz
p=p0+γh
——静力学方程基本形式二
Δh
p2=p1+γΔh
——静力学基本方程的变形
.
2.3.2 静止液体中压强计算和等压面
1、绝对静止等压面应满足的条件：
为 静水压强的方向垂直指向作用面
、
。同一点不同方向上的静水压强大小相等
.
2.3 流体静力学基本方程
绝对静止流体——质量力只有重力 表面力只有静压力
2.3.1 静力学基本方程
重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入压强p的微分公式
d p(Xd Yxd Z ydz)
工程流体力学 水力学 课件 第二章
自由液面（p=pa）方程：
a z0 x g
二、等角速度旋转容器中流体的相对平衡
建立如图所示运动坐标系
1 ）压强分布规律 液体所受单位质量力： f 2 r cos(r, x) 2 x x
o
z
h
m
z
zs
f y 2 r cos(r, y) 2 y
代入 dp ( f x dx f y dy f z dz ) 得
二、静力学基本方程式的意义
1．几何意义
在一个容器侧壁上打一小孔，接上与大气相通的 玻璃管，这样就形成一根测压管。如果容器中装 的是静止液体，液面为大气压，则测压管内液面
z1
p1 g
p2 g
2
1
z2
与容器内液面是齐平的，如图2-8所示
从图2-8中可以看出：
p1 p2 z1 z2 g g
积分：
O
z
M
x
p ( ax gz ) c
图2-13 等加速运动容器
定解条件：当x=z=0时，p=pa，则c=pa。
∴压强分布规律
p pa ( ax gz )
2 ）等压面方程 据
p pa ( ax gz ) 和等压面定义得 p pa ax gz c ( 斜平面 )
略去级数中二阶以上无穷小量得：
p1 p
1 p dx 2 x
同理可得流体微团右侧面中心M2点处的压力： p 2 p 因此作用在流体微团左侧面和右侧面的总压力分别为：
1 p dx 2 x
(p
1 p 1 p dx)dydz和( p dx)dydz 2 x 2 x
2、作用于流体微团的质量力
流体力学--第二章流体静力学
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
名师讲义【中国计量大学】工程流体力学第二章 流体静力学
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
X 1 p 0 （1） x
同理
Y 1 p 0 （2） —欧拉平衡微分方程（2.4）
y
Z 1 p 0 （3）
z
意义：平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量。该
方程用于可压、不可压流体，理想和黏性流体。是流体静 力学最基本的方程。
9
现代设计制造研究所
18
现代设计制造研究所
静止液体中的压强计算和等压面
等压面
1、在重力作用下，不可压缩静止流体中的等
高面为等压面； 2、自由表面。
p p0 gz0 z p0 gh
静压强分布
19
现代设计制造研究所
静止液体中的压强计算和等压面
习题1：水池中盛水如图。已知液面压强 p0 98.07kN / m2，
解:圆柱体底面上各点所受到的计示 压强为:
F mg 100 5.1 9.807
pe d 2 / 4 0.7854 (0.12)2 13263(Pa)
pa F
H h
pe g(h H )
1
H pe h 0.8524(m)
g
w 1
d
24
现代设计制造研究所
流体静压强的测量
1. 静压强的单位
物理意义：在重力作用下的连续均质不可压静止流体
中，各点单位重量流体的总势能保持不变(能量守恒)。
16
现代设计制造研究所
静止液体中的压强计算和等压面
p gz C
p gz p0
C由边界条件确定。如果假定在液
面上，Z=0，p=p0，则C=p0。
p p0 gz
如果选取h的坐标方向与z轴相反，则： p p0 gh
积分 p gz c
流体力学第二章题库
工程流体力学第二章题库一、名词解释1、流体静力学基本方程及适用条件z+p／ρg=c适用于不可压缩重力流体平衡状态。
2、总势能p／ρg单位重力作用下流体的压强势能，位势能和压强势能之和称为总势能。
3、流体静力学基本方程的物理意义：当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时，在流体中的任意点上，单位重力下流体的总势能为常数。
4、流体静力学基本方程的几何意义：不可压缩的重力流体处于平衡状态时，静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线。
5、流体静压强的传递现象（帕斯卡原理）均值不可压缩的重力流体处于平衡状态时，自由液面上的压强p0对内部任意点上的影响是同样的，即施加于自由液面的压强，将以同样的大小传递到液体内部任意点上。
6、绝对压强以绝对真空为基准度量的压强称为绝对压强，用p表示。
7、计示压强以大气压为基准度量的压强称为计示压强或相对压强，用p a表示。
8、真空状态和真空当被测流体的绝对压强低于大气压时，测得的计示压强为负值，此时，称该流体处于真空状态。
负的表压强称为真空，用p v表示。
9、静压强：当流体处于平衡或相对平衡状态时，作用在流体上的应力只有法向应力而没有切向应力，此时，流体作用面上负的法向应力就是静压强p，即：错误！未找到引用源。
10、浮体：流体力学中将部分沉浸在液体中的物体称为浮体。
11、潜体：全部沉浸在液体中的物体称为潜体。
12、沉体：沉入液体底部固体表面的物体称为沉体。
二、简答题1、写出流体静力学基本方程的几种表达式。
说明流体静力学基本方程的适用范围以及物理意义、几何意义。
z+p／ρg=c z1+p1/ρg=z2+p2/ρg适用范围：适用于不可压缩重力流体平衡状态。
物理意义：当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时，在流体中的任意点上，单位重力下流体的总势能为常数。
几何意义：不可压缩的重力流体处于平衡状态时，静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线。
2、什么是绝对压强、计示压强和真空？他们之间有什么关系？绝对压强：以绝对真空为基准度量的压强称为绝对压强，用p表示。
工程流体力学之——流体静力学
即：静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。
2-1 流体静压强及其特性
证明：
1. 取坐标系 oxyz
z
2. 取隔离体 3. 分析受力
OABC
表面力： px , py , pz , pn
质量力： f x , f y , f z
py
C
pn
px
dz
o dy
dx
By
4. 列方程
A
x
pz
px
1 2
dydz
静止、相对静止
流体微团无
相对运动
平衡
dv x 0
dy
dvx
dy
0
粘性作用表现不出来
本章得出的结论对粘性流体和理想流体均适用
2-1 流体静压强及其特性 流体静压强
单位面积流体受到的法向力
F dF
pnn
lim
n
A
n pn dA
单位：Pa，N/m2
2-1 流体静压强及其特性 流体静压强的两个特性
p x
0
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
流体平衡微分方程式 （ Euler平衡微分方程式 ）
矢量形式： 其中：
f 1 p 0
i j k x y x
哈密顿算子
2-2 流体平衡微分方程
4. 分析解
在静止的流体中，作用在单位质量流体上的质量力与静 压强的合力相平衡。
适用范围：不可压缩流体、可压缩流体的静止和相对静 止状态
5. 推论
dp p dx p dy p dz
水力学（工程流体力学）流体静力学要点总结
第二章 流体静力学•静水压强特性：（1）第一特性：静水压强的方向与作用面的内法线方向重合（2）第二特性：静止流体中某一点静水压强的大小与作用面的方位无关（只与深度位置有关）•流体平衡微分方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂⋅-=∂∂⋅-=∂∂⋅-010101z p Z y p Y x p X ρρρ流体处于平衡状态时，作用于流体上的质量力与压强递增率间的关系 用途：质量力已知时，用该式求静止流体内的压强分布规律)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ dz zW dy y W dx x W dW ∂∂+∂∂+∂∂= 势函数；有势的力zW Z y W Y x W X ∂∂=∂∂=∂∂=；； dW dp ρ= 积分得：p W C ρ=+ 当某点压强0p 、力的势函数0W 已知时（即边界条件已知）得 00()p p W W ρ=+-•静水压强分布规律：〖一〗 'pC z C γγ+== 或 1212p p z z γγ+=+z ：单位重量流体具有的位能或位置水头；γp：单位重量流体具有的压能或压强水头； γp z +：单位重量流体具有的总势能或测压管水头（测压管液面相对于基准面的高度）；C p z =+γ: 表明静止流体中单位重量流体具有的总势能守恒或测压管水头为常数物理意义：静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等几何意义：静止液体中各点的测压管水头相等，测压管水头线是水平线从能量意义上来说：静止流体中各点的位置水头与压强水头之和都相等，或者静止流体中各点的测压管水头线为一水平线。
〖二〗边界条件：0z z =时，0p p =则0p p h γ=+•22/10132533.107601m N O mH mmHg atm ===（标准大气压）22/98070107361m N O mH mmHg at ===（工程大气压）•压强表示方法：绝对压强：绝对真空状态做为压强起始计算零点，以abs p 表示；相对压强：一个大气压做为压强起始计算零点，以p 表示；•等压面及其性质：①等压面与质量力正交②水平面是等压面的条件：由于等压面与质量力正交，静止流体中等压面是水平面。
《工程流体力学》第二章 流体静力学
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各项物理意义：
容器：封闭
液体重度：g
自由液面压强：po 小孔： 器壁上距底部z处
小孔处压强：p = po+ gh
在o处与一根抽成真空的小管相通，液体进入小管，并迅
速上升到A点： p = gh’
h ——O、B两处单位重量流体位能差 h’ ——O、A两处单位重量流体位能差
代表一种能量，称为压力能
容器旋转：绕铅直轴，角速度w
容器旋转后，液体虽未流出，但压强发生了变化，
画出过边上小孔的等压线
虚线 —— 相对压强为 0
盖板各点承受的相对压强：
或真空度： 盖板上： 在轴心处，真空度 最大： 在边缘处，真空度 最小： 离心泵和风机就是利用这个原理，使 流体不断从叶轮中心吸入。
3. 流体静压强仅是空间位置和时间的标量函数，与所取 作用面的方向无关——各向同性 证：取一五面体
(1)表面力：作用静止(或相对静止)流体上无拉力和切力， 表面力只有压力，
在左面上：pydxdz 在底面上：pzdxdy 在斜面上：pndxds 在前面上：pxdydz/2 在后面上：pxdydz/2
液面上半径r处： 液体体积：
由此可测得w值。
速很高，液面上升过高， 溢出容器，容器为封闭的，只在中间留有一小口。
容器静止时：液面离盖板Dho 容器旋转时：液面中心下降到b
求：w
(1)求R’：
(2)静止时空出体积＝旋转时下凹体积
画出等压线
讨论： 1、AA`处压强？ 2、A`B处压强？ 3、容器底部压强？
外力场作用在流体微团上的非接触力，与流体质量(或 体积)成正比， 如地球吸引力、惯性力、电磁力等。 流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。 单位质量力：单位质量流体受到的质量力。
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因X方向合力为0，所以有；
( p 1 p dx)dydz ( p 1 p dx)dydz X dxdydz 0
2 x
2 x
则有： p dxdydz X dxdydz 0
x
同除以dxdydz得:
X 1 p 0
x
因X方向合力为0，所以有: 同 理：
X 1 p 0
x
Y 1 p 0
以X向为例，X向的力有：
①表面力Px,，
②表面力Pn 的分力，
③ 质量力Fx,
1
Px
dy dz 2
px
Fx
1 6
dxdydz
X
1 Pn cos(n, x) pn ds cos(n, x) pn 2 dy dz
Px Pn cos(n, x) Fx 0
1 2
dydz
px
即 液体质点沿等压面移动ds 距离时,质量力F做的微功=0.
重力作用下的液体，等压面处处与重力方向垂直，近似 认为是与地球同心圆的球面，球面的有限部分可当成水平面。 但应是相连通的同种液体内的水平面。
§2-3重力作用下静水压强的分布规律
思考： 点A质量为M的液体： 静止时有重力Mg，方向？ 与Z轴方向关系？？ 在X、Y轴方向的投影为？ 则：单位质量力为Mg / M = g ，方向？？
静止液体不呈现切应力；液体几乎不能承受拉应 力，所以，静止液体质点间的相互作用是通过 压应 力(称静水压强) 形式呈现出来。
水静力学的主要任务：研究静水压强在空间的分 布规律，并在此基础上解决一些工程实际问题。
§2—1 静水压强定义及其特性
1．静水压强定义 静水压力 P（N, kN）：静止液体作用在与之接触的
表面上的水压力称为静水压力。
作用位置：与之接触的固体边壁、 液体内部。
lim 静水压强 p
P
0
N / m2
水对其它的物体的作用力：压力 一部分水对相邻的另一部分水的作用力：压力
思考： 平面上各点的静水压力方向？？ 曲面上各点的静水压力方向？？
2. 静水压强特性 (1) 静水压强方向垂直指向作用面。
第二章 水静力学
§2—1 静水压强定义及其特性 §2—2 液体平衡微分方程及其积分 §2—3 重力作用下静水压强的分布规律 §2—4 几种质量力作用下液体的相对平衡 §2—5 作用在平面上的静水总压力 §2—6 作用在曲面上的静水总压力 §2—7 浮力及物体的沉浮
静止（相对的概念）：
1 液体对于地球没有相对运动，处相对静止的状态。 2 液体对于地球虽有运动，但液体与容器之间以及液 体质点相互之间都不存在相对运动，而处于 相对平 衡 状态。
p p0 h
水静力学基本方程常用表达式 说明：
(1) 静水压强随深度按线性规律增加。
(2) 液体内任一点的静水压强由两部分组成， po : 自由液面上 的 表面压强(气体压强)； γh: 单位面积上 的 垂直液柱重量。
质量力只有重力作用的静止液体其压强的性质：
p p0 h
(1)若任意两点h1=h2时，则p1，p2 。 质量力只有重力作用的静止液体其等 压面为水平面。
y
Z 1 p 0
z
2．液体平衡微分方程的积分
将液体平衡微分方程式依次乘以任意的 dx、dy、dz并将它们加起来，得
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
X 1 p 0
x Y 1 p 0
y
Z 1 p 0
z
即 dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 液体平衡微分方程综合式
(2) h 越深，静水压强越大。
(3)当已知某点的静水压强值及其水深 （位置标高）时，可否液体内其他点的 静水压强？
pc p0 h2 p0 h1 (h2 h1) pA h
p p0 h
阶导数，则在该邻域内f（x）的 n 阶 泰勒公式为：
以上函数展开式称为泰勒级数。
pM
p(x, N
p
1 2
p x
dx
ABCD面上的力（p 1 p dx)dydz 2 x
EFGH面上的力 ( p 1 p dx)dydz 2 x
微小六面体总质量力在X 轴上的投影X dxdydz
§2—2 液体平衡的微 分方程及其积分
1．液体平衡的微分方程
设正交六面体中心点处的坐标为(x,y,z). 中心点处静水压强为p，是坐标的连续函数，即 p=p(x,y,z)。
可用泰勒级数展开求M和N点的压强。 M点的坐标为：x - dx/2 N点的坐标为： x + dx/2
泰勒级数的定义： 若函数f（x）在点 xo 的某一临域内具有直到（n+1）
1 2
dydz
pn
1 6
dxdydz
X
0
同除以（1/ 2）dydz
px
pn
1 dx
3
X
0
公式最后一项趋于零，
所以：
px pn 0 px pn
px pn 0 px pn 同理：py pn , pz pn 即：px py pz pn
上式中的 pn为任意方向。
某一点静水压强的大小 与作用面的方位无关——作 用于同一点各方向的静水压 强大小相等。
当液体所受的质量力已知时，可以从该式求出液体内的压强分 布规律p=p(x,y,z)。
3 ．等压面
液体中各点压强相等的面称 等压面。
例：液体与气体的交界面。 处于平衡状态下的两种液体的交界面。
1) 平衡液体中等压面是等势面; 2) 等压面与质量力正交。
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=0
Xdx+Ydy+Zdz=0
(2)同一点各方向的静水压强大小相等。
静止液体中某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。
（1）静水压强方向 垂直指向作用面
如果压强是任意方向，便会有切向应力，则液体会流动。
（2）证明
令x、Y、z分别为 液体单位质量的质量力 在相应坐标 轴方向的分量，则质量力F在坐标轴方向的分量分别为
dV 1 dxdydz 6
任一点的单位质量力均为g，方向？？
1 ．水静力学基本方程
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 液体平衡微分方程综合式
X 0, Y 0, Z g
dp gdz dz p z C /
认为气体内各点压强近似相等
由z z0时, p p0得：
C / p0 z0
任一点A：
p z ( p0 z0 ) p0 (z0 z) p0 h