双曲线经典知识点总结

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双曲线知识点总结

椭圆一、1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

2．标准方程： 222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac 称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-c 5.三个技巧：(1)用待定系数法求椭圆方程：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．1．椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若△ABF 2的周长为20，离心率为35，则椭圆方程为（） A ．221259x y += B ．2212516x y += C ．221925x y += D ．2211625x y += 2．已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<与y 轴交于,A B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为（） A.1 B.2 C.4 D.83．直线y x =与椭圆2222:1x y C a b+=的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为 A ．152-+ B ．152+ C ．352- D ．124．已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120PF PF ⋅=，且121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）A ．12 B ．23 C ．13D ．53 5．设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，若01160,||||F PQ PF PQ ∠==，则椭圆的离心率为（） A ．13B ．23C ．233D ．33 6．已知设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为( )A ．33B ．36C ．13D ． 16 7.已知椭圆22221x y a b +=上的点P 到左、右两焦点1F 、2F 的距离之和为22，离心率22e = （I ）求椭圆的方程；（II ）过右焦点2F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：线段2OF 上是否存在一点M ，使得||||MA MB =？请作出并证明。

双曲线知识点总结

双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。

2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标；（2）找条件；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。

3. 双曲线的标准方程及其性质（1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ；共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。

二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。

双曲线知识点总结

双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直=±③离心率为y x2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。

双曲线部分性质知识点总结

一、双曲线的定义1、第一定义：21212F F a PF PF <=-（a >0））。

注意：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)二、双曲线的标准方程（222a b c +=，其中|1F 2F |=2c ，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）；焦点在y 轴上：12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）焦点不确定时：)0(,122<=+mn ny mx ；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （)22b k a <<-）与双曲线12222=-b y a x 共渐进线（x a by ±=）的双曲线系方程是)(,2222o by a x ≠=-λλ三、特殊双曲线：等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b ）1、形式：λ=-22y x （0λ≠）； 2、离心率2=e ； 3、两渐近线互相垂直，为y=x ±；； 4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线） 1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。

四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线五、相关性质：1、点与双曲线的位置关系：2、中点弦的存在性3、以PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）4\若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的切线方程是00221x x y y a b -=.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.5、双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦点角形的面积为2tan212PF F b S ∠=6、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.8、设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce a αγβ==±- 9、已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -1，F 1、F 2是162x －202y =1的焦点，其上一点P 到F 1的距离等于9则P 到焦点F 2的距离. 172．双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则 △PF 2Q 的周长是 .3．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是22y －42x=14．已知21,F F 是双曲线的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为35．过点A （0，2）可以作_4__条直线与双曲线x 2－42y ＝1有且只有一个公共点6．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有3条7．若116922=-y x 上点P 满足64||||21=•PF PF （321π=∠PF F 或），求31621=∆PF F S 8．动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？9．若)0,5(),0,5(C B -是三角形ABC 的顶点，且A C B sin 53sin sin =-，求顶点A 的轨迹 10．圆M 与圆2)4(:221=++y x C 外切，与圆2)4(:222=+-y x C 内切，求M 轨迹11．已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 12．求与8222=+y x 有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为 2813求与64422=+y x 有公共焦点，且渐近线为03=-y x 的双曲线为1123622=-y x 14．12222=-b y a x 左支一点P 到左准线l 距离为d ，若d, |||,|21PF PF 成等比，求e 范围15．C ：12222=-by a x 右顶点为A ，x 轴上一点Q （2a,0），若C 上一点P 使0=•PQ AP ，求e 范围16. 渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为53或5416. 已知双曲线的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e=217. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为218．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解析： (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1 ②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14. ∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 19．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C 的方程；1322=-y x （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围. )1,33()33,1(⋃-- 19直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。

双曲线经典知识点总结

双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。

在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。

一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。

当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。

2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。

（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。

（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。

（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。

（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。

2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。

在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。

双曲线的基本知识点

双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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双曲线的基本知识点总结

双曲线的基本知识点总结双曲线基本知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是由一个平面和一个双圆锥面相交，除去与锥面的两个交点（焦点）所得到的曲面。

在笛卡尔坐标系中，标准形式的双曲线方程为 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 或 $ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，且 $ a > 0 $ 和 $ b > 0 $。

2. 几何性质- 焦点：双曲线有两个焦点，位于主轴上，且距离为 $ 2c $，其中 $ c^2 = a^2 + b^2 $。

- 实轴：通过双曲线中心的一条轴，且与双曲线的两个分支相切。

- 虚轴：垂直于实轴并通过双曲线中心的轴。

- 半焦距：焦点到双曲线中心的距离，等于 $ c $。

- 半实轴：实轴的一半，长度为 $ a $。

- 半虚轴：虚轴的一半，长度为 $ b $。

- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线的分支趋近于这些线。

渐近线的方程为 $ y = \pm \frac{b}{a}x $。

3. 标准方程- 横向双曲线：$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是正实数，且 $ a^2 < b^2 $。

- 纵向双曲线：$ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是正实数，且 $ a^2 < b^2 $。

4. 双曲线的类型- 右双曲线：中心在原点，实轴向右延伸。

- 左双曲线：实轴向左延伸。

- 上双曲线：实轴向上延伸。

- 下双曲线：实轴向下延伸。

5. 双曲线的性质- 双曲线的两个分支是对称的。

双曲线重点难点知识点总结

双曲线重点难点知识点总结双曲线是几何学中的重要概念，是平面解析几何中一类具有独特性质的曲线。

以下是对双曲线重点、难点和知识点的总结：一、重点1.双曲线的定义和标准方程双曲线的定义包括焦点在x轴和y轴上的双曲线，以及等轴双曲线。

需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。

2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率等。

需要理解这些性质的含义和计算方法，以及它们在不同类型双曲线中的表现。

3.双曲线的标准方程的推导方法双曲线的标准方程可以通过代入法、点差法、平方差法等方法进行推导。

需要掌握这些方法，并理解它们在不同情况下的适用性。

二、难点1.双曲线标准方程的理解和应用双曲线标准方程的形式相对复杂，需要理解其含义和应用方法。

特别是对于焦点在y轴上的双曲线，标准方程的形式更为复杂，需要注意符号和系数的含义。

2.双曲线的几何性质的灵活运用双曲线的几何性质多样，不同情况下需要运用不同的性质进行求解。

需要具备灵活运用这些性质的能力，特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时。

3.双曲线与直线的交点坐标的求解方法求解双曲线与直线的交点坐标是双曲线学习中的一个难点。

需要掌握代入法、点差法等方法，以及了解它们在不同情况下的适用性。

同时还需要理解直线与双曲线的位置关系对交点数量的影响。

三、知识点总结1.双曲线的定义和标准方程定义包括焦点在x轴、焦点在y轴和等轴双曲线。

需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。

同时还需要了解如何根据标准方程计算双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质。

2.双曲线的几何性质的灵活运用需要了解双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质的计算方法和含义，并能够灵活运用这些性质进行求解。

特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时，需要运用相应的性质进行求解。

3.双曲线标准方程的推导方法需要掌握代入法、点差法、平方差法等方法，并理解它们在不同情况下的适用性。

数学双曲线知识点总结

数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。

这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。

双曲线的离心率小于1。

双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。

2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。

3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。

其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。

4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。

其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。

二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。

2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。

两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。

第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。

3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。

4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。

当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。

5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。

其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。

6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。

即|PF1 - PF2| = 2a。

三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。

2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。

3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。

双曲线相关知识点总结

双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。

具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。

双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。

二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。

2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。

3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。

4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。

5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。

6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。

7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。

三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。

2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。

3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。

4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。

四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。

2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。

3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。

五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点归纳总结双曲线作为数学中的重要曲线之一，具有广泛的应用领域。

本文将对双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。

一、双曲线的基本概念和标准方程在数学中，双曲线是由于两个焦点的特殊点之间的距离差等于一常数而定义的曲线。

其标准方程为：(x² / a²) - (y² / b²) = 1 (1)其中，a和b分别为双曲线的半轴长度。

二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴以及原点具有对称性。

2. 渐近线：双曲线的渐近线分为两类，即斜渐近线和水平/垂直渐近线。

斜渐近线的斜率为±(b / a)，水平渐近线为y = ±(b / a)，垂直渐近线为x = ±(a / b)。

3. 离心率：双曲线的离心率为e = √(1 + (b² / a²))。

4. 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线，焦点到双曲线上任意一点的距离差等于双曲线的半焦距。

5. 直径和短轴：双曲线的直径为两个焦点之间的距离，短轴为双曲线的两个半焦距之和。

除了标准双曲线外，双曲线还有一些常见的变形形式，如：1. 椭圆形式：当双曲线的焦点在y轴上，准线在x轴上时，其方程可表示为：(y² / b²) - (x² / a²) = 1 (2)2. 倾斜形式：当双曲线的焦点不在x轴或y轴上时，其方程可表示为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 (3)其中，(h, k)为双曲线中心的坐标。

四、双曲线的重要公式在应用中，我们常常需要根据已知条件求解双曲线的相关参数。

以下是一些重要的计算公式：1. 长轴长度：2a = |焦点之间的距离|2. 短轴长度：2b = |2半焦距之和|3. 离心率：e = √(1 + (b² / a²))4. 焦点坐标：(±ae, 0)5. 垂直渐近线方程：x = ±(a / e)6. 水平渐近线方程：y = ±(b / e)双曲线在数学中具有广泛的应用，尤其在科学、工程和实际问题的建模和分析中发挥着重要作用。

高中数学双曲线知识点归纳

高中数学双曲线知识点归纳1. 双曲线的定义双曲线是数学中的一种曲线形状，定义为平面上满足一定关系式的点的集合。

双曲线由两个分离的曲线支构成，且每个支都是无限延伸的。

双曲线有许多重要的性质和应用。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为以下形式：- 横轴双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。

- 纵轴双曲线方程：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。

3. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线的重要概念。

- 焦点：对于横轴双曲线，焦点是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，焦点是位于纵轴上的两个点。

焦点具有很多重要的性质，如与双曲线的离心率相关等。

- 准线：对于横轴双曲线，准线是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，准线是位于纵轴上的两个点。

准线也与双曲线的离心率有关。

4. 双曲线的性质双曲线具有许多特殊的性质，包括但不限于：- 双曲线是对称的，关于$x$轴和$y$轴都具有对称性。

- 双曲线的离心率为超过1的正实数，离心率越大，曲线形状越扁平。

- 双曲线的渐近线是曲线的两个分支的极限位置，与曲线的形状和方程有关。

5. 双曲线的应用双曲线在数学和其他领域中有广泛的应用。

- 物理学中的抛物线轨迹、光学中的抛物面反射、天体力学中的行星轨道等问题都涉及到双曲线。

- 经济学中的供求曲线、成本曲线等也可以用双曲线进行建模和分析。

以上是对高中数学中双曲线知识点的简要归纳，希望对你有所帮助。

双曲线是数学中一个重要而有趣的概念，深入学习和应用双曲线将能拓宽你的数学视野。

双曲线知识点总结

双曲线知识点总结双曲线知识点1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(__',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

高二数学学习方法课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。

上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。

特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。

首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。

认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。

在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

双曲线结论知识点总结

双曲线结论知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义是动点到两个不相交定点的距离的差等于常数的轨迹。

双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，其中实轴是连接两焦点的直线，虚轴是与实轴垂直的直线。

二、双曲线的性质1. 双曲线是一种非闭合曲线，其两支无交点。

2. 双曲线的轴线是连接两焦点的直线，在坐标系中通常与x轴或y轴平行。

3. 双曲线在两支的极限位置有渐近线，实轴和虚轴分别为双曲线的渐近线。

4. 双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数，即双曲线的定义。

5. 双曲线具有反射性质，通过焦点发出的光线被双曲线反射后会聚于另一焦点。

三、双曲线的方程双曲线的标准方程有两种形式：横轴上的双曲线和纵轴上的双曲线。

1. 横轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

2. 纵轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$。

其中，a和b分别代表横轴和纵轴上的焦点到曲线的距离之和的一半。

四、双曲线的焦点双曲线有两个焦点，分别位于实轴和虚轴上，距离轴线的距离分别为c和-c。

五、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是实轴和虚轴，其方程分别为y=±c/b*x和x=±a/c*y。

六、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为$x=a\cdot \cosh t, y=b\cdot \sinh t$或$x=a\cdot \sec t, y=b\cdot \tan t$，其中t为参数。

七、双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用，例如在天文学中描述行星轨道的形状、在物理学中描述光线的反射和折射等。

总结一下，双曲线是一种重要的曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。

我们从双曲线的定义、性质、方程、焦点、渐近线、参数方程以及应用等方面对双曲线进行了总结，希望对读者有所帮助。

双曲线的知识点总结

双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

这两个固定点称为双曲线的焦点。

2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。

- 水平开口：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$- 垂直开口：$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$其中，$a$ 是实轴半长，$b$ 是虚轴半长。

3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。

- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。

- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。

- 焦距：两个焦点之间的距离，用 $2c$ 表示，其中 $c^2 = a^2+ b^2$。

- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 $(±a, 0)$（水平开口）或$(0, ±b)$（垂直开口）。

- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。

渐近线的方程为 $y = ±\frac{b}{a}x$（水平开口）或 $x = ±\frac{a}{b}y$（垂直开口）。

4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。

- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。

- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。

5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。

- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。

- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。

6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。

例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。

7. 双曲线的参数- 离心率 $e$：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为$e = \frac{c}{a}$。

数学双曲线知识点总结

数学双曲线知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

这两个固定点称为双曲线的焦点。

双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，$a$ 是实轴的一半长度，$b$ 是虚轴的一半长度。

2. 焦点和焦距双曲线的两个焦点位于实轴上，其坐标为 $(\pm c, 0)$，其中$c$ 是焦距，满足 $c^2 = a^2 + b^2$。

3. 实轴和虚轴双曲线有两个主轴：实轴和虚轴。

实轴是连接两个焦点的直线，虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心。

4. 离心率双曲线的离心率 $e$ 是一个大于1的数，定义为焦距与实轴半长度的比值，即 $e = c/a$。

5. 渐近线双曲线有两条渐近线，它们的方程为 $y = \pm (b/a)x$。

渐近线是双曲线的对称轴，双曲线永远不会与渐近线相交。

6. 等轴双曲线当 $a = b$ 时，双曲线变成等轴双曲线，其方程简化为 $x^2 - y^2 = a^2$。

7. 双曲线的性质- 双曲线是对称的，关于实轴和虚轴对称。

- 双曲线是开放的，没有封闭的边界。

- 双曲线的两个分支是镜像对称的。

8. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学中的电磁波传播。

- 工程学中的曲线设计。

- 天文学中描述行星轨道。

9. 双曲线的绘制可以通过以下步骤绘制双曲线：- 确定焦点位置。

- 画出实轴和虚轴。

- 确定渐近线的方程。

- 在满足标准方程的点上绘制双曲线的分支。

10. 双曲线的方程变形双曲线的方程可以变形为其他形式，例如：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = k\]其中 $k$ 是任意实数，表示双曲线的开口大小和方向。

11. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[x = a \sec(t)\]\[y = b \tan(t)\]其中 $t$ 是参数。

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。

（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

双曲线经典知识点总结

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双曲线的基本知识点

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