《高等数学》 各章知识点总结—第9章

第9章 多元函数微分学及其应用总结
一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间
2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。

3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三
维空间。

n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。

n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离：
||PQ
邻域: 设0P 是n
R 的一个点， 是某一正数，
与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP
空心邻域: 0P 的
邻域去掉中心点0P 就成为0P 的
空心邻域,记为
0(,)U P o
=0{0||}P PP 。

内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。

如果存在点P 的某个邻域
),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。

如果点P 的任何邻域内都既有
属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．
聚点：设E 为n 维空间中的点集，n
P R 是一个点。

如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。

设点集n
E R , 如果E 的补集
n E R 是开集，则称E 为闭集。

区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．
有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D
d D PP 为D 的直径。

二、多元函数
n 元函数就是n R 的一个子集D 到R 的一个函数，即对任意的P D ，都存在唯一的
y R ，使得()y f P 。

习惯上，我们用()y f x 表示一元函数， 用),(y x f z 表示
二元函数，用(,,)w f x y z 表示三元函数. 一般用(),R n y f P P 或12(,,,)n y f x x x L 表示n 元函数． 三、多元函数的极限
设多元函数)(P f z 在D 有定义，0P 是D 的一个聚点，A 为常数。

如果对任意给定的0 ，都存在0 ，当0
(,)P D P U
时，有
()f P A
则称A 为P 趋于0P 时函数)(P f z 在D 上的极限，记为
P P lim (P)f A 或
0(P),(P P )f A 。

四、多元函数的连续性
设多元函数)(P f z 在D 有定义，0P 是D 的一个聚点。

如果0
0P P lim
(P)(P )f f ，
则称)(P f z 在0P 点连续。

如果)(P f z 在区域D 上各点都连续，就称)(P f z 在D 上连续．如果函数)(P f z 在 点0P 处不连续，则称函数)(P f z 在点0P 处间断, 也称0P 是函数),(y x f z 的间断点。

五、偏导数
设二元函数),(y x f z ，),(000y x P 为平面上一点。

如果0(,)z f x y 在0x 的某一邻
域内有定义且在0x 存在, 则称),(y x f z 在点),(000y x P 处对x 可偏导，称此极限值为函数),(y x f z 在点
),(000y x P 处对x 的偏导数，记为
000000(,)
(,)
(,)
,
,x
x y x y x y z f z x
x
或00(,)x f x y
六、高阶偏导数
2222
xx z f f f x x x x ，22xy z f f f x y x y y x
，
22yx
z f f f y x y x x y ， 2222yy z f f f y y y y
如果函数),(y x f z 的两个二阶混合偏导数,xy yx f f 都在平面区域D 内连续，那么这两
个二阶混合偏导数在D 内相等。

七、全微分
设函数),(y x f z 在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，,A B 为常数。

如果
()z A x B y o ，其中 则称函数 ),(y x f z 在点000(,)P x y 可微分（简称可微），称A x B y 为函数),(y x f z 在点000(,)P x y 的全微分，
记作dz ，即dz A x B y
可微的必要条件：函数),(y x f z 在点000(,)P x y 可微, 则(1) ),(y x f 在点000(,)P x y 处连续。

(2) ),(y x f 在点000(,)P x y 处偏导数存在, 且 z d 00(,)d x f x y x 00(,)d y f x y y 。

可微的充分条件：函数),(y x f z 在点000(,)P x y 的某个邻域内可偏导，且偏导数
(,),(,)x y f x y f x y 在点000(,)P x y 连续，则),(y x f z 在点000(,)P x y 可微。

八、多元复合函数的求导法则
链式法则：),(v u f z ，),(),,(y x v v y x u u
一阶全微分的形式不变性：),(v u f z ，),(),,(y x v v y x u u
,z z z z dz dx dy dz du dv x y u v
九、隐函数及其求导法
若),(y x F 满足：(1) ),(y x F 在),(00y x 某邻域内可偏导, 且(,),x F x y (,)y F x y 连续，(2) 00(,)0F x y ，(3) 00(,)0y F x y 。

则(1) 存在0x 的某个邻域，在此邻域内存在唯一确定的一元函数)(x f y 满足称函数)(x f y 称为由方程0),( y x F 所确定的隐函数，且
)(x f y 具有连续导数，
(,)d ()d (,)
x y F x y y
f x x F x y ． 若12(,,,,)n F x x x y L 满足：(1) ),,,,(21y x x x F n 在点),,,,(0
00201y x x x n 的某个(n +1)
维邻域内可偏导, 且1
121212(,,,,),,(,,,,),(,,,,)n x n x n y n F x x x y F x x x y F x x x y L L L L 连续。

(2) 000012(,,,,)0n F x x x y L ，(3) 000012(,,,,)0y n F x x x y L
则(1) 存在点),,,(0
0201n x x x 的某个n 维邻域, 在此邻域内存在唯一的n 元函数，且函数
),,,(21n x x x f y 在该邻域内具有连续偏导数,,i i x x y F y F
1,2,,i n L 。

十、空间曲线的切线与法平面
空间曲线 的参数方程为
)()()
(t z z t y y t x x ，))(),(),((0000t z t y t x M 为曲线上一点。

如果
000(),(),()x t y t z t 不全为0，则在点0M
在点0M 处的法平面方程为：000000()'()()'()()'()0x x x t y y y t z z z t 。

十一、空间曲面的切平面与法线
曲面 ：0),,( z y x F 在点处0M
在点处0M
十二、无条件极值
极值存在的必要条件：函数),(y x f z 在点),(000y x P 处取得极值, 且在该点处函数的偏导数都存在, 则),(y x f z 在),(000y x P 点处的一阶偏导数为零, 即 0000(,)0,
(,)0x y f x y f x y
极值存在的充分条件：函数),(y x f z 在点),(000y x P 的某邻域内有一阶及二阶连续
偏导数，且0000(,)(,)0x y f x y f x y 。

令00(,)xx f x y A ，00(,)xy f x y B ，00(,)yy
f x y C ，则
(1) 当02 B AC 时，00(,)f x y 是函数),(y x f z 的极值，其中当0 A 时
00(,)f x y 为极大值，当0 A 时00(,)f x y 为极小值。

(2) 当02 B AC 时，00(,)f x y 不是极值。

十三、条件极值
函数),(y x f z （称为目标函数）在条件(,)0,1,2,,i x y i k L 下极值问题转化为求辅助函数11
(,,,,)(,)(,)k
k i i
i L x y f x y x y
L 的无条件极值的问题。