【精准解析】江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试数学试题

苏州市2019-2020学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}1A x x =≥，{}1,0,1,4B =-，则A B =________.【答案】{}1,4 【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{|1}A x x =，{1B =-，0，1，4}，{1A B ∴⋂=，4}．故答案为：{1，4}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义、交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.已知i 是虚数单位，复数()()12z bi i =++的虚部为3，则实数b 的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部为3求解b ． 【详解】(1)(2)(2)(21)z bi i b b i =++=-++的虚部为3，213b ∴+=，即1b =．故答案为：1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.从2名男生和l 名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________. 【答案】23【解析】 【分析】基本事件总数233n C ==，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数11212m C C ==，由此能求出选中的恰好是一男一女的概率．【详解】从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，基本事件总数233n C==，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数11212m C C==，则选中的恰好是一男一女的概率为23mpn==．故答案为：23．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[)5,7之间通过的车辆数是440辆，则在[8,9)之间通过的车辆数是________.【答案】100【解析】【分析】由频率分布直方图得在[5，7)之间通过的车辆的频率为0.44，在[8，9)之间通过的车辆的频率为0.10，由此利用在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，能求出在[8，9)之间通过的车辆数．【详解】由频率分布直方图得：在[5，7)之间通过的车辆的频率为0.240.200.44+=，在[8，9)之间通过的车辆的频率为0.10，设在[8，9)之间通过的车辆数为n ． 在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，∴4400.440.1n=，解得100n =． 则在[8，9)之间通过的车辆数为100． 故答案为：100．【点睛】本题考查在[8，9)之间通过的车辆数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为________.【答案】2 【解析】 【分析】根据算法流程图，一步一步进行运算，直到跳出循环.【详解】输入5x =，不满足0x <，所以运行2log (51)2y =-=， 故答案为：2【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案．【详解】在等比数列{}n a 中，10a >，则由12a a <，得11a a q <，即1q >，∴243115a a q a q a =<=；反之，由243115a a q a q a =<=，得21q >，即1q >或1q <-，当1q <-时，112a a q a >=．∴等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查等比数列的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为()0,b ，若12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为________.【解析】 【分析】利用已知条件列出b 、c 关系式，然后转化求解双曲线的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy 中，己知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ， 由12120F PF ∠=︒，可得：cb=，即222233()c b c a ==-， 即2223c a ，所以双曲线的离心率为：6c ea ．故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．8.若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】3 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组10xx yx y⎧⎪-⎨⎪+-⎩对应的平面区域如图：设3z x y=+得1133y x z=-+，平移直线1133y x z=-+，由图象可知当直线1133y x z=-+经过点(0,1)A时，直线1133y x z=-+的纵截距最大，此时z最大，此时3z=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4cmπ的扇形，则该冰淇淋的体积是________3cm.【答案】)16613π【解析】 【分析】求出圆锥底面半径为422r ππ==，圆锥母线长41025l ππ==，圆锥的高为2210246h =-=半个冰淇淋小球的半径2R =，由此能求出该冰淇淋的体积．【详解】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4cm π的扇形，∴圆锥底面半径为422r ππ==，圆锥母线长41025l ππ==，圆锥的高为2210246h =-∴半个冰淇淋小球的半径2R =，∴该冰淇淋的体积是：23114161662462323V ππ+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．16166+． 【点睛】本题考查冰淇淋的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．10.在平面直角坐标系xOy 中，若直线()20x my m m R +++=∈上存在点P ，使得过点P 向圆22:2O x y +=作切线PA （切点为A ），满足2PO PA =，则实数m 的取值范围为________.【答案】0m ≤或43m ≥ 【解析】 【分析】根据题意，由切线的性质分析可得2PO =2，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:2O x y +=，其圆心为O，半径r =若点P 向圆22:2O x y +=作切线PA，满足PO =，又由OA r ==则有222||||||2PO PA OA -==，变形可得2PO =，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P2，变形可得：2340m m -， 解可得：0m 或43m，即m 的取值范围为{|0m m 或4}3m ； 故答案为：{|0m m 或4}3m． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11.在平面直角坐标系xOy 中，己知直线1:2l y =与函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ，…，若点1A 的横坐标为1，则点2A 的横坐标为________. 【答案】3 【解析】 【分析】当1x =时，1()sin()62f x πω=+=得266k ππωπ+=+，或52()66k k Z ππωπ+=+∈，依题意可得566ππω+=，可求得ω，继而可得答案． 【详解】因为点1A 的横坐标为1，即当1x =时，1()sin()62f x πω=+=，所以266k ππωπ+=+或52()66k k Z ππωπ+=+∈，又直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，所以566ππω+=， 故23πω=， 所以函数的关系式为2()sin()36f x x ππ=+． 当23x =时，f （3）21sin(3)362ππ=⨯+=， 即点2A 的横坐标为3，(13,2)为二函数的图象的第二个公共点． 故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．12.如图，在平面四边形ABCD 中，己知AD =3，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅的值为________.【答案】74- 【解析】 【分析】可连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，根据题意即可得出四边形EPFQ 为平行四边形，从而可得出11(),()22PQ AD BC EF AD BC =-=+，然后进行数量积的运算即可．【详解】如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点， ∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴1()2PQ EQ EP AD BC =-=-，1()2EF EP EQ AD BC =+=+，且3AD =，4BC =， ∴2217()44PQ EF AD BC =-=-．故答案为：74-．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 13.已知实数x ，y 满足()212x x y y +=+，则2254x y -的最小值为________.【答案】4 【解析】 【分析】实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，化为：(2)()1x y x y +-=，令2x y m +=，x y n -=，则1mn =．解得x ，y ．代入2254x y -，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】实数x ，y 满足2()12x x y y +=+， 化为：(2)()1x y x y +-=，令2x y m +=，x y n -=，则1mn =． 解得23m nx +=，3m n y -=．则222222222221116116545()4()(2816)(28)(228)433999m n m n x y m mn n m m m m+--=-=++=+++=，当且仅当212m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，212m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，即112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时取等号．2254x y ∴-的最小值为4． 故答案为：4．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知函数(),248,25x exx ef x x x x ⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()()22320f x a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为________. 【答案】241,52e ⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【解析】 【分析】作出()f x 图象，求出方程的根，分类讨论()f x 的正负，数形结合即可. 【详解】当2x 时，令()10x ef x e'=-=，解得1x =， 所以当1x 时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当12x 时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x -==-单调递减，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=， 则()20f x a =-<，()0f x a =-<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a -+=--=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得245a e <， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意．综上：a 的范围是2[e ，4)51{}2⋃故答案为：2[e ，4)51{}2⋃【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.己知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-. （1）当//a b 时，求tan 2x 的值；（2）设函数()()2f x a b b =+⋅，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的最大值以及对应的x 的值.【答案】（1）24tan 27x =-；（2）8xπ=时，函数()f x 32.【解析】 【分析】（1）根据//a b 即可求出3tan 4x =-，然后根据二倍角的正切公式即可求出tan 2x 的值； （2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出3()2sin(2)42f x x π=++，从而可求出()f x 的最大值，以及对应的x 的值．【详解】（1）因为//a b ，所以3sin cos 04x x --=， 因为cos 0x ≠（否则与3sin cos 04x x --=矛盾），所以3tan 4x =-， 所以22tan 24tan 21tan 7x x x ==--. （2）()()21322sin cos 2cos sin 2cos 222f x a b b x x x x x =+⋅=++=++ 32sin 242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为02x π<<，所以52444x πππ<+<， 所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数()f x 的最大值为322+. 【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．16.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D ，E 分别是AB ，1B C 的中点.（1）求证：//DE 平面11ACC A ； （2）若DE AB ⊥，求证：1AB B C ⊥. 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）连结1BC ，1AC ，由三角形中位线定理可得1//DE AC ，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得CD AB ⊥，结合DE AB ⊥由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面C DE ，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结1BC ，1AC ，因为斜三棱柱11ABC A B C -，所以四边形11BCC B 为平行四边形， 由平行四边形性质得点E 也是1BC 中点， 因为点D 是AB 的中点，所以1//DE AC ， 又DE ⊂/平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， 所以//DE 平面11ACC A .（2）连结CD ，因为CA CB =，点D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥， 又DE AB ⊥，DE CD D ⋂=，DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ⊥平面C DE ，因为1B C ⊂平面C DE ，所以1AB B C ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.17.为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB 中，23AOBπ∠=，23OB=（百米），荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在AB上（C 与A，B不重合），在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区.设BDCθ∠=，蜂巢区的面积为S（平方百米）.（1）求S关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值.【答案】（1）3cos6sinSθθπθ=+-，5,66ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当θ等于4π时，S取到最小值32π+平方百米【解析】【分析】（1）由余弦定理得6AB=，由正弦定理得3)6sinBDπθθ-=，3)623sinADπθθ-=，蜂巢区的面积AOD CDB AOD BDOCOBS S S S S S∆∆∆∆=+=+-扇形，由此能求出S关于θ的函数关系式．（2）对36tanSθπθ=+-求导得，当(,)64ππθ∈时，0S'<，S递减，当3(,)44ππθ∈时，0S'>，S递增，当3(4πθ∈，5)6π时，0S'<，S递减，由此能求出当θ为4π时，蜂巢区的面积S最小，S的最小值为32π+．【详解】（1）23AO OB==，23AOBπ∠=，由余弦定理得6AB=，在BDO∆中，由正弦定理得sin sinBD BOBOD BDO=∠∠，∴23sin()6BDπθ-，3)6sinBDπθθ-∴=，23)623sinADπθθ-=，∴蜂巢区的面积：AOD CDB AOD BDO COB S S S S S S ∆∆∆∆=+=+-扇形2116sin sin 26226AO AD AO BO BD πθππππ-=⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅⋅， 整理，得S 关于θ的函数关系式为： 36tan S θπθ=+-，5(,)66πθπ∈． （2）对36tan S θπθ=+-求导，得236S sin θ'=-， 令0S '=，解得4πθ=或34πθ=， 当(,)64ππθ∈时，0S '<，S 递减， 当3(,)44ππθ∈时，0S '>，S 递增， 当3(4πθ∈，5)6π时，0S '<，S 递减，综上所述，S 的最小值只可有在4πθ=或θ趋近56π时取得， 当4πθ=时，32S π=+，当56πθ=时，43332S ππ=->+，∴当θ为4π时，蜂巢区的面积S 最小，S 的最小值为32π+．【点睛】本题考查函数关系式、蜂巢区的面积最小值的求法，考查三角函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．18.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点3⎛ ⎝⎭的上辅点为(3.（1）求椭圆E 的方程； （2）若OPQ ∆的面积等于12，求上辅点Q 的坐标； （3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）2214x y +=；（2）(2,2Q ；（3）直线PT 与椭圆相切，证明见解析【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）设点0(Q x ，0)y ，则点0(P x ，1)y ，则可得到012y y =，再根据OPQ ∆的面积可得到011x y =，进一步与椭圆方程联立即得解；（3）表示出直线PT 的方程，与椭圆方程联立，再判断△即可得出结论．【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点3(1,2的上辅点为3)，∴辅圆的半径为132R =+，椭圆长半轴为2a R ==，将点3(1,)2代入椭圆方程22214x y b+=中，解得1b =，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）设点0(Q x ，0)y ，则点0(P x ，1)y ，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，22004x y +=，220114x y +=，故22014y y =，即012y y =， 又00111()22OPQ S x y y ∆=-=，则011x y =， 将011x y =与220114x y +=联立可解得0x0y ，∴点Q的坐标为；（3）直线PT 与椭圆E 相切，证明如下：设点0(Q x ，0)y ，由（2）可知，001(,)2P x y ，与辅圆相切于点Q 的直线方程为0000()x y y x x y -=--，则点04(,0)T x ， 直线PT 的方程为：00001420()4y y x x x x -=--，整理得00022x y y y =-+， 将00022x y y y =-+与椭圆2214x y +=联立并整理可得，2200222000210x x x x y y y -+=，由一元二次方程的判别式22004400440x x y y =-=，可知，上述方程只有一个解，故直线PT 与椭圆E 相切．【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查通性通法的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目．19.已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和. （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设()*12311112462n n T n N S S S S n=++++∈++++. ①若23k T T T =，求k 的值；②求证：数列（{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积. 【答案】（1）10a =，22a =，22n a n =-；（2）①1，②见解析 【解析】【分析】（1）利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列{}n a 的通项公式；（2）结合第一问的结论求出1n n T n =+，①直接代入1n nT n =+即可求解；②对于给定的*n N ∈，若存在k ，t n ≠，k ，*t N ∈，使得n k t T T T =，只要找到相应的整数，即可证明．【详解】（1）2n =时，()22112222S a a a a =+=+，所以10a =，3n =时，3312312S a a =+=，所以1236a a a ++=，所以22a =.由12n n n S na a na =+=，① 所以()1121n n S n a ++=+，②由②-①得()1121n n n a n a na ++=+-， 即()11n n na n a +=-，③当2n ≥时，()()112n n n a n a --=-，④由③-④得()()()111121n n n a n a n a +--+-=-， 即112n n n a a a +-+=，所以数列{}n a 是首项为0，公差为2的等差数列， 故数列{}n a 的通项公式是22n a n =-. （2）11112(1)1n S n n n n n ==-+++；∴1231111111111112462223111n n nT S S S S n n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++++++； ①23k T T T =⨯；∴23111342k k k =⨯=⇒=+． ②对于给定的*n N ∈，若存在k ，t n ≠，k ，*t N ∈，使得n k t T T T =； 1n n T n =+，只需111n k tn k t =⨯+++，两边取倒数，即111(1(1)(1)n k t +=++，即1111n k t kt=++；即kt nt nk n =++，(1)n k t k n+=-；取1k n =+，则(2)t n n =+；1(2)n n n n T T T ++=⨯；∴对数列{}n T 中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．【点睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.已知函数()()ln a xf x a R x+=∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合； （3）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足12111x x a +<. 【答案】（1）单调增区间为()10,ae -，单调减区间为()1,ae-+∞；（2）1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（3）见解析【解析】 【分析】（1）利用导数求解单调性；（2）先求出公切线l 的方程，再探讨a 的取值范围；（3）先利用导数研究函数()h x 的单调性，证明零点个数．再使用函数思想，构造函数，利用导数研究函数单调性解决不等式问题． 【详解】（1）对()a lnx f x x +=求导，得21()a lnxf x x --'=， 令()0f x '=，解得1a x e -=，当1(0,)a x e -∈时，()0f x '>，()f x 单调递增． 当1(a x e -∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）设公切线l 与函数()g x lnx =的切点为0(x ，0)y ，则公切线l 的斜率001()k g x x ='=， 公切线l 的方程为：0001()y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =． 公切线l 的方程为：1y x e=，将它与()a lnx f x x +=联立，整理得21a x lnx e =-．令21()m x x lnx e =-，对之求导得：22()x em x ex-'=，令()0m x '=．当x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，值域为2(,)2ln +∞，当)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，值域为2(,)2ln +∞， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为1{ln2}2．（3）证明：2()a lnx ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()k x ax lnx a =--有两个零点即可．k （1）0=，即1x =时函数()k x 的一个零点．对()k x 求导得：1()2k x ax x'=-，令()0k x '=，解得x =当x >()0k x '>，()k x 单调递增；当0x <<时，()0k x '<，()k x单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()(1)12k x ax lnx a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >函数2001()02u x ax x =-+>， 即00()()0k x u x >>．因此在区间上0)x 必定存在()k x 的一个零点．综上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间)+∞上． 下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间)+∞上． 不妨设11x =，2x >12211111x x x +=+<，下面证明11a<即可．令1()1v a a=，对之求导得21()0v a a '=--，故v（a）在定义域内单调递减，11()1()02v a va=>=，即11a．证明完毕．【点睛】本题考察知识点众多，利用导数研究函数单调性，切线与导数的关系，利用导数研究函数的零点个数，利用导数构造函数来证明不等式，对学生的思维能力和思维品质要求极高，属于难题．。