八年级数学能力提高题

合集下载

精品八年级数学下册能力提高期中复习题

八年级数学
八年级数学上期中复习题
例 1.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度 AC 为 800 m,从山上 A 与山下 B 处各建一索道口,且 BC=1500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走 50 m, 那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.
4
）
C. 5 个
D.6 个
八年级数学 11.如图，E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、DC 中点，DE、BF 交 AC 于 M、N，则( A.AM=ME B.AM=DF C.AM=NC D.AM⊥MD
)
12.如图,在周长为 20cm 的平行四边形 ABCD 中,AB AD,AC、BD 相交于点 O,OE BD 交 AD 于 E,则△ABE 的周长为（） A. 4cm B.6cm C.8cm D.10cm 13.如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线相交于点 O,过点 O 作 AC 的垂线 EF,分别交 AD、 BC 于 E、 F 点，连接 CE,则△CDE 的周长为（） A.5cm B.8cm C.9cm D.10cm 14.如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点， BEG 60 ，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在约片上的点 H 处，连接 AH，则与 BEG 相等的角的个数为 ( ) A.4 B. 3 C.2 D.1 15.当 x 满足时， x 2 2 x 1 有意义。
4ab
5 3
4
a b
其中正确的算式是（） A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） 5.在平行四边形 ABCD 中若∠A＞∠B，则∠A 的补角与∠B 的余角之和( A.小于 90° B.等于 90° C.大于 90°

2022-2023学年新人教版初中八年级数学下册第二十单元综合能力提升测试卷(附参考答案)

2022-2023学年新人教版初中八年级数学下册第二十单元综合能力提升测试卷时间：120分钟满分：120分班级__________姓名__________得分__________一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）蓝青学校乒乓球队员的年龄分布如表所示：对于不同的a，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()A．众数，中位数B．众数，方差C．平均数，中位数D．平均数，方差2．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如下表：则这四个人中成绩最稳定的是()A．甲B．乙C．丙D．丁3．（3分）某厂房3月1日至7日的用电量如表：关于这7天的用电量，下列说法不正确的是()A．平均数是50B．中位数是50C．众数是3D．方差是1000 74．（3分）把一组数据中的每个数据都加1后得到一组新数据，新的这组数据与原数据相比()A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．方差不变5．（3分）中国队在2002年至2022年间的六届冬奥会中获得的金牌数分别是2，2，5，3，1，9枚，则中国队在这六届冬奥会中所获得的金牌数的众数和中位数分别是()A．2，2.5B．2，3C．3，3D．4，26．（3分）已知一样本数据4，4，5，6，m的中位数为4，则数m可能为() A．6B．5C．4.5D．47．（3分）某同学对数据35，31，29，32，4■，44，45进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是()A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．（3分）为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如表：则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为()A．25.5cm，26cm B．26.5cm，26cmC．26.5cm，25.5cm D．26cm，26cm9．（3分）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是()A．中位数是36C︒B．平均数是32C︒C．众数是33C︒D．7天里的最高气温的极差为7 10．（3分）3月14日是国际数学节，为迎接数学节，某学校3月份举办“数学嘉年华之手抄报评比活动”，对甲、乙、丙、丁四组候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表，如果按照创新性占60%，丰富性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是()A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，这些数据的中位数为．12．（3分）若数据2，1，a，3，0的平均数是2，则这组数据的方差是．13．（3分）2022年冬奥会将在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过5次测试，若甲、乙、丙三组的平均成绩相同，且方差20.75S=甲，220.50.9S S==乙丙，则应选择组参加全市中学生冰球联谊赛．14．（3分）在一次以“建设美丽济阳”为主题的演讲比赛中，小红的演讲内容、语言表达、演讲技能、形象礼仪的各项得分依次为9.5；9.4；9.2；9.7．若依次按40%，25%，25%，10%的比例确定她的综合得分，则她的综合得分是．15．（3分）每天登录“学习强国” App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表，则这组数据的中位数是．三、解答题（共10小题，满分75分）16．（7分）为了解某校七年级450名男生引体向上成绩情况，陈老师对该校随机抽取的30名七年级男生进行了引体向上测试，制成统计表如表：（1）求这30名男生引体向上成绩的平均数、中位数和众数．（2）学校规定：当引体向上测试成绩超过5个时成绩等级评为优秀，请估计该校七年级所有男生引体向上成绩为优秀的人数．17．（7分）我们约定：如果身高在选定标准的2%±范围之内都称为“优身高”．为了解某校九年级男生中具有“优身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名，分别测量出他们的身高（单位：)cm，收集并整理统计如下表：根据以上表格信息，解答如下问题：（1）这10个数据的中位数是 cm ，众数是 cm ；（2）如果以中位数作为选定标准，请通过计算说明，上面挑选的10名男生中具有“优身高”的有几人？（3）请根据第（2）问中的信息，估计本校380名男生中具有“优身高”的人数．18．（7分）学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查．现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果（满分为100分，分数用x 表示，共分成四组：:85A x <，:8590B x <，:9095C x <，:95100)D x 进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息．八年级随机抽取了20名学生的分数是：72，80，81，82，86，88，90，90，91，a ，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99．九年级随机抽取了20名学生的分数中，A 、B 两组数据个数相等，B 、C 两组的数据是：86，88，88，89，91，91，91，92，92，93根据以上信息，回答下列问题：填空：（1）a = ；b = ；m = ；（2）根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级学生心理健康状况更好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？19．（7分）某公司欲招聘一名公关人员，对甲，乙两位应试者进行了面试与笔试，他们的成绩（百分制）如表所示：（1）如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，会被录取是；（2）如果公司认为作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算两人各自的平均成绩，并确定会被录取的人．20．（7分）某篮球训练营在一次投篮训练中，A组的20名运动员均参加训练，训练方式为每人定点投篮10次，以命中次数作为训练成绩．据统计，此次投篮训练的成绩如表：（1）已知这20名运动员此次训练成绩的平均数是6.25、中位数是b、众数是c，直接写出b、c的值；（2）若A组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是．（填“平均数”、“众数”、“中位数” )（3）已知B组的20名运动员在本次训练中的成绩统计如表：你认为哪组运动员本次的训练成绩更好？为什么？21．（8分）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6??8.8??8.8??8.9??8.6??8.7对打分数据有以下两种处理方式：方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；（1）a=，b=，c=；（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．22．（8分）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x 表示，满分100分，共分成五组：A ．80x <，B ．8085x <，C ．8590x <，D ．9095x <，E ．95100)x ，下面给出了部分信息：a ．甲校20名志愿者的成绩在D 组的数据是：90，91，91，92．b ．乙校20名志愿者的成绩成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c ．d ．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）由上表填空：a = ，b = ，α= ︒．（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有多少？23．（8分）保家卫国尽精英，战绩辉煌留盛名，近几年涌现了很多缅怀中国军人的优秀作品，其中《长津湖》和《长津湖之水门桥》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．根据以上信息，解答下列问题：（1）上述表格中的b=，c=；（2）根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品一共大约可得到多少个满分？24．（8分）北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”．某校组织全校七、八年级学生举行了“冬奥知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：[收集数据]七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：x<x<901006070x<8090x<7080152a0451【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=，c=；（2）计算八年级同学测试成绩的方差是：2_S八年级．请你求出七年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？（3）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数．（4）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．25．（8分）2022年2月8日，中国选手谷爱凌在冬奥会自由式滑需女子大跳台决赛中夺得金牌，国际滑联评价谷爱凌为滑雪史上第一人，已知自由式滑雪大跳台的计分规则如下：①每次滑雪的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数A；②每次滑雪都有7名裁判进行打分，在7个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下5个得分的平均值为这次起跳的完成分B；③运动员该次滑雪的最后得分C=难度系数A⨯完成分3B⨯．在某次自由滑雪大跳台比赛中，某运动员的打分（满分10分）表为：（1）7名裁判打分的众数是；中位数是．（2）该运动员的最后得分是多少？（3）已知某运动员在一次滑雪大跳台比赛中完成了难度系数3.2的动作，且所有裁判都打了满分，请你帮她算一下，难度系数3.2的满分成绩应该是多少分？参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．A；2．C；3．C；4．D；5．A；6．D；7．C；8．B；9．A；10．B；二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．5；12．2；13．乙；14．9.42；15．21；三、解答题（共10小题，满分75分）16．（1）这30名男生引体向上成绩的平均为：1(013253644556373) 3.730⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个），中位数为343.52+=（个），众数为3个；（2）334509030+⨯=（人），答：估计该校七年级所有男生引体向上成绩为优秀的人数为90人．17．（1）这10个数据的中位数是：164166165()2cm+=，众数是164cm，故答案为：165；164；（2）如果以中位数作为选定标准，上面挑选的10名男生中具有“优身高”的有⑦、⑧、⑨、⑩共4人；（3）438015210⨯=（人），答：估计本校380名男生中具有“优身高”的人数为152人．18．（1）1(92)922a+=，解得92a=，九年级测试成绩的中位数1(9191)912b=⨯+=，九年级测试成绩分数不低于90分的人数所占百分比为12100%60% 20⨯=，60m∴=，故答案为：92；91；60；（2）八年级学生心理健康状况更好，理由如下：八年级测试成绩的平均数，中位数和健康率均大于九年级；（3）估计这两个年级的学生疫情防控知识竞赛成绩为优秀（分数不低于90分为优秀）的一共有80080%70060%1060⨯+⨯=（人）． 19．（1）甲的平均成绩：859087.52+=（分），乙的平均成绩：928186.52+=（分），所以认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，甲将被录取；故答案为：甲．（2）甲的平均成绩8569048764⨯+⨯==+（分），乙的平均成绩92681487.664⨯+⨯==+（分），因为乙的平均分数较高，所以乙将被录取．20．（1）这20名运动员此次训练成绩从小到大排列，排在最中间的两个数分别为6、6，故中位数6662b +==， 7出现的次数最多，故众数7c =；（2）若A 组某运动员的训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受影响的是中位数；故答案为：中位数；（3）B 组成绩更好；理由：两组成绩的众数均相同，但B 组的平均数、中位数较大，说明B 组运动员的平均成绩及中等偏上的成绩更好．21．（1）方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为：8.88.88.82a +==；方式二：去掉一个最高分和一个最低分，平均数为1(8.88.88.98.7)8.84b =⨯+++=，方差为：22221[(8.88.8)(8.88.8)(8.98.8)(8.78.8)]0.0054c =⨯-+-+-+-=，故答案为：8.8，8.8，0.005；（3）方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计更合理，理由：这样可以减少极端值对数据的影响．22．（1）甲校D组所占的百分比为：420%20=，甲校C组所占的百分比为：15%5%45%20%25%----=，C组的人数为2025%5⨯=（名），∴甲校的中位数919291.52a+==，乙校的出现次数最涉感是96，因此众数是96，即96b=．360(5%5%25%)126a x=︒++=︒，故答案为：91.5，96，126；（2）乙校志愿者测试成绩较好．理由如下：甲、乙两校的平均数虽然相同，但是乙校的中位数、众数均比甲校的大，甲校的方差为36.6，乙校的方差是31.4，而36.631.4>，∴乙校的成绩较为稳定，∴乙校志愿者测试成绩较好；（3）根据题意得：甲校20名志愿者成绩在90分以上的人数为：20(45%20%)112⨯+-=，20名志愿者成绩在90分以上的人数为13，∴12132003001201953152020⨯+⨯=+=（人），答：成绩在90分以上的志愿者有315人．23．（1）将《长津湖》得分按照从小到大排好顺序处在中间位置的两位数为：898.52+=，根据扇形图可知《长津湖之水门桥》的得分为8分的所占的比例为126100%35% 360⨯=，∴得分为10分的所占的比例为135%20%20%10%15%----=，∴《长津湖之水门桥》的得分的众数为8分，故答案为：8.5，8；（2）该校九年级学生对《长津湖》评价更高，理由是：《长津湖》的平均数、众数、中位数均比《长津湖之水门桥》的高；（3）这两部作品一共大约可得到满分的个数为41100(15%)38520⨯+=（人）答：该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，这两部作品一共大约可得到满分的个数为385人．24．（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在90100x<范围内的数据有2个，故2a=．中位数787978.52b+==，将八年级样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，其众数80c=，故答案为：2，78.5，80；（2）七年级的方差是2_S七年级，因为2_S七年级，所以八年级学生的竞赛成绩更整齐；（3）21 120010003401010⨯+⨯=（人），答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；（4）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．25．（1）9.0出现次数最多，7名裁判打分的众数是9；把这组数据按照从小到大的顺序排列得：9、9、9、9、9.5、9.5、10，根据中位数的定义知，中位数是9．故答案为：9；9；（2）13.0(9.59.09.0)382.53⨯⨯++⨯=（分）．故该运动员本次滑雪的得分是82.5分．（3）13.2(101010)3963⨯⨯++⨯=（分），答：难度系数3.2的满分成绩应该是96分．。

八年级数学提高题1

八年级数学提高题（中考剪接特辑1）1.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，点E ，Ｆ分别是CD 和AB 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH ，若HG 延长线恰好经过点D ，则CD 的长为（ ▲ ）(A) 2cm (B) 32cm (C) 4cm (D) 34cm2.当12≤≤-x 时，二次函数()122++--=m m x y 有最大值4，则实数m 的值为（ ▲ ） (A)47-(B) 3或3- (C) 2或3- (D) 2或3或47-3.如图，在直角坐标系中，已知点)13(--，A ，点)12(，-B ，平移线段AB ，使点A 落在)10(1-，A ，点B 落在点B 1.，则点B 1.的坐标为 ▲ .4.某校为了了解学生孝敬父母的情况（选项：A.为父母洗一次脚；B.帮父母做一次家务；C.给父母买一件礼物；D.其它），在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表（部分信息未给出）：根据以上信息解答下列问题：（1）这次被调查的学生有多少人？(第12题)GFE HBCAD 学生孝敬父母情况统计表学生孝敬父母情况条形统计图(第19题)604020（2）求表中m ，n ，p 的值，并补全条形统计图.（3）该校有1600名学生，估计该校全体学生中选择B 选项的有多少人？5.已知：如图，在□ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF. （1）求证：△DOE ≌△BOF.（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFED 为菱形？请说明理由.6.某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车．上周售出１辆A 型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为62万元．（1）求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少元．（2）甲公司拟向该店购买A ，B 两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？7.类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等．．．．．．．．的凸四边形叫做“等对角四边形” ．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A=70°，∠B=80°．求∠C ，∠D 的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD （如图2），其中∠ABC=∠ADC ，AB=AD ，此时她发现CB=CD 成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” ．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．B(3)已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC 的长．A第23题图1第23题图2BD。

人教版八年级(上)期中数学试卷(能力提高)

人教版八年级（上）期中数学试卷（能力提高）一.选择题（本大题共12小题，每小题中有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．2．若三角形的底边长是2a+1，该底边上的高为2a﹣3，则此三角形的面积是（）A．B．4a2﹣4a﹣3C．4a2+4a﹣3D．3．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（）A．2B．3C．4D．114．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）①﹣m2+4；②﹣x2﹣y2；③x2y2﹣1④（m﹣a）2﹣（m+a）2⑤2x2﹣8y2⑥﹣x2﹣2xy﹣y2⑦9a2b2﹣3ab+1．A．4个B．5个C．6个D．7个5．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．76°B．62°C．42°D．76°、62°或42°都可以6．如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（）A．（4，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣1）D．（1，3）7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）8．“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（）A．+＝B．+20＝C．﹣＝D．﹣＝209．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形的顶角是（）A．42°或138°B．48°或132°C．48°或138°D．42°或132°10．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3 12．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④二.填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）13．若x+m与x+7的乘积不含x的一次项，则m的值为．14．计算：＝．15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC 的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP 全等．三.解答题（本大题共9小题，共56分）17．计算：（1）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2；（2）（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+1）；（2）先化解，再求值：，其中．18．分解因式：x4﹣8x2y2+16y4．19．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，若∠ADE＝80°，∠EAC＝20°，求∠B的度数．20．如图，在正方形网格上有一个△ABC．（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）在直线MN上求作一点P，使P A+PB最小．21．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．22．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：BE ＝CF．24．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5；②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+9＝（x﹣3）2+2x或x2﹣4x+9＝（x+3）2﹣10x；③选取一次项和常数项配方：．根据上述材料，解决下面问题：（1）求代数式x2﹣6x+10最小值；（2）写出代数式x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（3）已知x2+y2+xy﹣3y+3＝0，求x y的值．25．在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC 的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是，若BC＝a，则CD的长为；（用含a的式子表示）（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．。

八年级数学下册《二次根式》单元测试能力提升卷含答案 (原卷+详解)

人教版数学八年级下册单元测试能力提升卷《二次根式》一．选择题1有意义，且关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是( ) A ．7-B ．6-C ．5-D ．4-2．若23a <<( ) A ．52a -B ．12a -C ．25a -D ．21a -3．把四张形状大小完全相同宽为1cm 的小长方形卡片（如图①)不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4)cm 的盒子底部（如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是( )A ．B ．16cmC ．4)cm +D ．4)cm -4．已知10a -<<( )A ．2aB ．22a a+ C ．2a D ．2a-5．已知：a ，b =，则a 与b 的关系是( )A ．0a b -=B ．0a b +=C ．1ab =D ．22a b =6．计算201820193)3)-的值为( )A ．1B 3C 3D ．3-7．若实数x 满足|3|7x -=，化简2|4|x +( ) A ．42x + B ．42x -- C ．2- D ．28．如果22()1xf xx=+并且f表示当x12f==，f表示当x=值，即13f==，那么f f f f f f f+++++⋯++的值是()A．12n-B．32n-C．52n-D．12n+9()======A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错10．下列各式中，正确的是个数有()2=a b=+=A．1个B．2个C．3个D．0个11．若实数m满足|4||3|1m m-=-+，那么下列四个式子中与(m-相等的是() AB．CD．二．填空题12a为．13．若x，y4y=，则xy的值为．14．=⋯观察下列各式：请你找出其中规律，并将第(1)n n个等式写出来．15．已知m是实数，且m+1m-都是整数，那么m的值是．16．已知ABC∆的三边长分别为AB=BC=AC=其中7a>，则ABC ∆的面积为．17．已知a ，b 是实数，且)1a b =，问a ，b 之间有怎样的关系：．18．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘2122222(2)===，（1分母有理化可得；（2）关于x 的方程132x -的解是．19．已知252a a +=-，225b b +=-，且a b ≠，则化简．20．（1）（2）02(3)ππ--（3）-（4）21．已知a 为实数，且a +与1a-a 的值是．三．解答题 22．计算：（1-（2）21)（3）解分式方程：1111x x x+=--；（4）已知：22112()1121x A x x x x -=-÷+-++；①当1x =时，先化简，再求值； ②代数式A 的值能不能等于3，并说明理由．23．已知：12y 的值．24．若x ，y 是实数，且13y =，求2(3-的值．25．已知：a 、b 、c 是ABC ∆26．化简求值：x =，y =的值．27．阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：2a 14a =”有不同的解答．甲的解答是：22213474a a a a a a a +==+-=-=；乙的解答是22211174a a a a a a a ==+-=+= （1）填空：的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a 的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当35x <<28．先阅读，再解答问题．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当1x =时，求32122x x x --+的值，为解答这题，若直接把1x 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一将条件变形．因1x =，得1x -=(1)x -的表达式．原式321(22)22x x x =--+21[(1)(1)3]22x x x x x =----+ 21[(1)3]22x x x =--+ 1(33)22x x =-+ 2=方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由1x -=得2220x x --=，即，222x x -=，222x x =+．原式21(22)22x x x x =+--+ 222x x x x =+--+2=请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若2310a a -+=，求32232531a a a --++的值；（2）已知2x =，求432295543x x x x x x ---+-+的值．29．（1（2）已知1x ，1y =，求代数式22x y xy +的值．30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式了的平方，如23(1+．善于思考的小明进行了以下探索：若设222(22a m m n ++=++a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似a + 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若2(a m +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ；（2）若2(a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；（3．人教版数学八年级下册单元测试能力提升卷《二次根式》答案详解版一．选择题1有意义，且关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是( ) A ．7-B ．6-C ．5-D ．4-【解析】去分母得，2(1)3m x -+-=，解得，52m x +=，关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解， ∴502m +>， 5m ∴>-，又1x =是增根，当1x =时，512m +=，即3m =- 3m ∴≠-，有意义，20m ∴-，2m ∴，因此52m -<且3m ≠-， m 为整数，m ∴可以为4-，2-，1-，0，1，2，其和为4-，故选：D ．2．若23a <<( ) A ．52a -B ．12a -C ．25a -D ．21a -【解析】23a <<，∴2(3)a a =---23a a =--+ 25a =-．故选：C ．3．把四张形状大小完全相同宽为1cm 的小长方形卡片（如图①)不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4)cm 的盒子底部（如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是( )A ．B ．16cmC ．4)cmD ．4)cm【解析】设小长方形卡片的长为x ，宽为y ，根据题意得：2x y += 则图②中两块阴影部分周长和是2(42)2(4)4442162(2)1616()y x y x x y cm -+-=⨯--=-+=-．故选：B ．4．已知10a -<<( )A ．2aB ．22a a+C ．2a D ．2a-【解析】10a -<<，∴==11()a a a a=--+2a =-．故选：D ． 5．已知：a ，b =，则a 与b 的关系是( )A ．0a b -=B ．0a b +=C ．1ab =D ．22a b =【解析】分母有理化，可得2a =+，2b =(2(2a b ∴-=+--=A 选项错误；(2(24a b +=++=，故B 选项错误；(2(2431ab =+⨯=-=，故C 选项正确；22(2437a =+=+=+22(2437b ==-=-22a b ∴≠，故D 选项错误；故选：C ．6．计算201820193)3)-的值为( )A ．1B 3C 3D ．3【解析】原式201820183)3)3)=⨯20183)]3)=⨯2018(109)3)=-⨯13)=⨯3=，故选：B ．7．若实数x 满足|3|7x -=，化简2|4|x +( ) A ．42x + B ．42x --C ．2-D ．2【解析】|3|7x -，|3||4|7x x ∴-++=，43x∴-，2|4|x∴+2(4)|26|x x=+--2(4)(62)x x =+--42x=+，故选：A．8．如果22()1xf xx=+并且f表示当x12f==，f表示当x=值，即13f==，那么f f f f f f f+++++⋯++的值是()A．12n-B．32n-C．52n-D．12n+【解析】代入计算可得，1f f+=，1f f+=，⋯，1f f+=，所以，原式11(1)22n n=+-=-．故选：A．9()======A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错【解析】甲同学在计算时，将分子和分母都乘以是有可能等于0，此时变形后分式没有意义，所以甲同学的解法错误；乙同学的解法正确；故选：B ．10．下列各式中，正确的是个数有( )2=a b =+= A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【解析】2不能合并，故①错误，若1a =，2b =a b ≠+，故②错误，，故③正确，3a +=故选：B ．11．若实数m 满足|4||3|1m m -=-+，那么下列四个式子中与(m -( )A B ．C D ．【解析】由|4||3|1m m -=-+得，3m ，40m ∴-<，30m -，(m ∴-故选：D ．二．填空题12a 为 2 ．a 为2，故答案为：2．13．若x ，y 4y =，则xy 的值为 2 ．【解析】x ，y 4y =，210x ∴-=，4y =，则12x =，故1422xy =⨯=．故答案为：2．14．（2019秋•===，⋯观察下列各式：请你找出其中规律，并将第(1)n n (n =+===，⋯得(n =+(n =+15．已知m 是实数，且m +1m-都是整数，那么m 的值是 3-3- 【解析】22m +是整数，m a ∴=-，（其中a 为整数），∴1m ==，又1m -是整数，281a ∴-=，3a ∴=±，3m ∴=-或3m =--故答案为：3-3--．16．已知ABC ∆的三边长分别为AB =BC AC =其中7a >，则ABC ∆的面积为 168 ．【解析】2AB ==BC =AC =如图，点(,24)A a ，(,24)B a --，(7,0)C11124247242168222ABC S OC OC ∆∴=⨯+⨯=⨯⨯⨯=故答案为：168．17．已知a ，b 是实数，且)1a b =，问a ，b 之间有怎样的关系： 0a b += ．【解析】2(1)1a ab +=，等式的两边都乘以)a b a =①，等式的两边都乘以)b -a b +②，①+b a b a =，整理，得220a b += 所以0a b += 故答案为：0a b +=18．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘2122222(2)===，（11 ；（2）关于x的方程132x -=+ 的解是．【解析】（11==1；（2）132x -=，132x -=，132x -=+⋯+，113122x -=+，611x -=-+6x =x =，故答案为：2．19．已知252a a +=-，225b b +=-，且a b ≠，则化简+=【解析】252a a +=-，225b b +=-，即2520a a ++=，2520b b ++=，且a b ≠，a ∴、b 可看做方程2520x x ++=的两不相等的实数根，则5a b +=-，2ab =，0a ∴<，0b <，则原式=-==(254)2-=-=故答案为：20．（1）（2）02(3)ππ--（3）-（4）【解析】（1）原式==（2）原式2(3)1ππ=---+231ππ=--++2=；（3）原式=3=；（4）原式322=-+3=．21．已知a 为实数，且a +1a-a 的值是 5-5-【解析】a +a ∴是含-1a -∴化简后为1a 为含5a ∴=-5--故答案为：5-5--．三．解答题（共9小题） 22．计算：（1-（2）21)（3）解分式方程：1111x x x +=--；（4）已知：22112()1121x A x x x x -=-÷+-++；①当1x =+时，先化简，再求值； ②代数式A 的值能不能等于3，并说明理由．【解析】（1）原式11=-=-；（2）原式426=-=- （3）两边都乘以1x -，得：11x x -=-，解得：1x =，检验：当1x =时，10x -=，1x ∴=是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（4）①原式211(1)[](1)(1)(1)(1)2x x x x x x x -+=-+-+-- 22(1)(1)(1)2x x x x x -+=+--11x x +=-，当1x 时，原式===；②若代数式A 的值为3，则131x x +=-，解得2x =，当2x =时，原式没有意义，∴代数式A 的值不可能为3．23．已知：12y =的值．【解析】180x -，18x810x -，18x，18x ∴=，12y =，∴原式4===．24．若x ，y 是实数，且13y =，求2(3-的值．【解析】x ，y 是实数，且13y ，410x ∴-且140x -，解得：14x =，13y ∴=，2(3∴-的值．2===18=25．已知：a 、b 、c 是ABC ∆【解析】a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，a b c ∴+>，b c a +>，b a c +>，∴原式||||||a b c b c a c b a =++-+-+--()()a b c b c a b a c =++-+-++-a b c b c a b a c =++--+++- 3a b c =+-．26．化简求值：x =，y的值．【解析】22x ===-，2y ===，∴====27．阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：2a+14a =”有不同的解答．甲的解答是：22213474a a a a a a a +==+-=-=；乙的解答是22211174a a a a a a a =+-=+= （1）填空：乙的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a 的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当35x <<【解析】（1）乙的做法错误．当14a =时，10a a ->1a a =-，故乙的做法错误．故答案为：乙（2）当0a <a -；（3）35x <<，70x ∴-<，250x ->．7252x x x =-+-=+28．先阅读，再解答问题．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当1x =时，求32122x x x --+的值，为解答这题，若直接把1x 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一将条件变形．因1x =，得1x -=(1)x -的表达式．原式321(22)22x x x =--+21[(1)(1)3]22x x x x x =----+ 21[(1)3]22x x x =--+ 1(33)22x x =-+ 2=方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由1x -=得2220x x --=，即，222x x -=，222x x =+．原式21(22)22x x x x =+--+ 222x x x x =+--+2=请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若2310a a -+=，求32232531a a a --++的值；（2）已知2x =，求432295543x x x x x x ---+-+的值．【解析】（1）2310a a -+=，231a a ∴-=-，213a a +=，13a a +=，32232531a a a ∴--++2232(3)(3)333a a a a a a a =-+-+-+ 12(1)(1)33a a a =⨯-+-+-+12133a a a =--+-+ 14a a =-+ 34=-1=-；（2）2x =+，2x ∴-= ∴432295543x x x x x x ---+-+322(2)(2)7(2)19(2)33(2)1x x x x x x x x -+------=--======962-=32=．29．（1（2）已知1x ，1y =，求代数式22x y xy +的值．【解析】（1）原式92=-+7=；（2）22x y xy +()xy x y =+11)=+1=⨯=．30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式了的平方，如23(1+．善于思考的小明进行了以下探索：若设222(22a m m n ++=++a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似a +请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若2(a m +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = 227m n + ，b = ；（2）若2(a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；（3．【解析】（1）设222(72a m m n +=+=++a 、b 、m 、n 均为整数），则有227a m n =+，2b mn =；故答案为227m n +，2mn ；（2）62mn =，3mn ∴=， a 、m 、n 均为正整数，1m ∴=，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，22313928a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，22393112a m n =+=+⨯=；即a 的值为为12或28；（3t =，则244t =8=+8=+81)=+6=+21)=，1t ∴=．。

精品八年级数学下册一次函数综合能力提高题

一次函数一、选择题：1.下列关系中，符合正比例函数关系的是( )A.边长一定，三角形的面积与该边上的高B.质量一定时，体积与密度C.路程一定时，速度与时间D.长方形的面积一定时，它的长与宽2.下列说法中不成立的是（）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例3.若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（）A ．m=-3B ．m=1C ．m=3D ．m>-34.已知正比例函数y=(2m －1)x 的图象上两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当x 1<x 2时，有y 1>y 2,那么m 的取值范围是( ) A.m<12 B.m>12C.m<2D.m>0 5.已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能6.若一次函数11b x k y +=和22b x k y +=的图像是两条平行直线，那么（）A.2121,b b k k ==B.2121,b b k k ≠=C.2121,b b k k ≠≠D.2121,b b k k =≠7.已知函数 y ＝2x －1与y ＝3x ＋2的图象交于点P ，则点P 在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限8.如图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为380 千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题：9.当a=________时，函数y=(a －3)x ＋a 2－9是正比例函数.10.正比例函数y=kx ，若自变量取值增加1，函数值相应减小4，则k=______11.关于x 的一次函数35-+=m x y ，若要使其成为正比例函数，则m= 12.函数(2)4y m x m =+++中y 随x 的增大而减小，且图象交y 轴于正半轴，则m 的取值范围是13.若m 是整数，且一次函数2)4(+++=m x m y 的图象不过第二象限，则m=14.将直线y =3x 向下平移2个单位,得到直线___________;将直线y =-x -5向上平移5个单位,得到直线_____________15.若直线b kx y +=平行于直线35+=x y ，且过点（2，-1），则k= ，b=16.如图，一次函数b kx y +=的图象经过A 、B 两点，则△AOC 的面积为三、综合题：17.已知y －5与3x －4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x 的值.18.如图所示，若正方形ABCD 的边长为2，P 为DC 上一动点，设DP=x ，求△APD 的面积y 与x 的函数关系式，并画出函数的图象.19.在函数y=-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-•2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）．20.已知4y+3m 与2x －5n 成正比例，证明y 是x 的一次函数．21.已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）设该一次函数的图象向上平移2个单位后，与x 轴、y 轴的交点分别是点A 、点B ，试求AOB ∆的面积.22.在函数y=-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-•2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）．23.直线y= -x+m 与直线y=33-x+2相交于y 轴上的点C ，与x 轴分别交于点A 、B 。

人教版八年级下册数学第十九章一次函数单元能力提升练习

人教版八年级下册数学第十九章一次函数单元能力提升练习人教一.单选题 1．已知点()14,y -，()22,y 都在直线32y x =-+上，则1y ，2y 的大小关系是（）．A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能比较 2．函数23x y x -=-的自变量x 的取值范围是（） A ．x ≥2 B ．x ≥3 C ．x ≠3 D ．x ≥2且x ≠33．周日早晨，乐乐从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，乐乐离公园的路程y 与时间x 的关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与时间t （秒）的关系如下图所示，则下列结论错误的是（）A ．甲的速度为8米/秒B ．甲比乙先到达终点C ．乙跑完全程需12.5秒D ．这是一次100米赛跑5．函数123y x x =-+-中自变量x 的取值范围是（） A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ．x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠36．图中的折线表示一骑车人离家的距离y 与时间x 的关系．骑车人9:00离家，15:00回家，下列说法错误的是：（）A ．他离家最远是45km ；B ．他开始第一次休息离家30km ；C ．他在10:30~12:30的平均速度是7.5km/hD ．他返家时的平均速度是25km/h ．7．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的个数是（）①每分钟的进水量为5升．②每分钟的出水量为3.75升．③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升．④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.自行车骑行爱好者东东和乐乐两人相约沿着同一条线路从家出发前往博物馆．东东和乐乐分别以不同的速度匀速骑行，乐乐比东东早出发10分钟，乐乐出发15分钟之后，东东以原速度的三倍继续骑行，经过一段时间后，东东先到博物馆，乐乐一直保持原速前往博物馆．在此过程中，东东和乐乐两人相距的路程y （单位：米）与乐乐骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则以下结论正确的有几个（）①东东原来的速度为100米每分钟；②两人相遇的时候乐乐一共骑行了40分钟；③整个过程中两人相距最远3000米；④乐乐比东东晚到18分钟．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二.填空题 9．如下图，已知一次函数4y ax =-和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，二元一次方程组4y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解是．10．一次函数112y x =-+的图像不经过第象限． 11．已知直线()0y kx b k =+≠与直线2y x =-平行，且经过点（1，1，），则直线()0y kx b k =+≠解析式为．12．已知变量x ，y 的关系如下表格：则x ，y 之间用关系式表示为．13．在平面直角坐标系中，x 轴一动点P 到定点A(1，1)、B(7，5)的距离分别为AP 和BP ，那么当BP+AP 最小时，P 点坐标为．14．已知函数y=mx+n 和y=的图象交于点P （a ，﹣2），则二元一次方程组的解是．15．在平面直角坐标系中，已知()1,3Q -，()0,4A ，点P 为x 轴上一动点，以QP 为腰作等腰Rt QPH △，当OH AH +最小时，点H 的坐标为．16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 与反比例函数m y x=的图象相交于点(2,3)A 和点(,1)B n -，则关于x 的不等式m kx b x+>的解集是．三.解答题 x … 3- 2- 1- 1 2 3 …y … 1 1.5 3 3- 1.5- 1- …17．如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y （厘米）与注水时间x （秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(1)图中字母a 的值为；(2)若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积．18．某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元，该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x 千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为y 元．(1)求y 与x 的关系式；(2)若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的52，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？19．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线11:2l y x =与直线22:l y x a =-+交于点(1,)P m .(1)求m ，a 的值；(2)直接写出关于x 的二元一次方程组2y x y x a =⎧⎨=-+⎩的解； (3)当12y y <时，x 的取值范围是 .20．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，12min 后只出水不进水。

2022-2023学年人教版八年级上数学期中能力提升测试卷含答案

2022年人教版八年级数学第一学期期中能力提升测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF3．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD5．一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（）A．1260°B．1080°C．1620°D．360°6．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去7．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．三角形的稳定性D．垂线段最短8．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝102°，则∠EAF为（）A．38°B．40°C．24°D．44°10．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分面积S＝（）cm2．A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为．12．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝．13．若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是三角形．14．如图所示，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝18，CF＝8，则AC＝．15．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数是．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）求△ABC的面积．18．（9分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：AB＝CD．19．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝26°，∠BAC＝30°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．20．（10分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．21．（10分）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR 分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．22．（10分）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．23．（11分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．参考答案12345678910D B C D B C C B C C11．40°或140°12．1013．钝角14．1015．60°三、解答题16．解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝360×3+180，解得：n＝9．即这个多边形的边数是9．17．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．（2）S△ABC＝5×5−12×4×5−12×1×3−12×2×5=172．18．证明：连接BC，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都是直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，{BC =CBAC =DB ，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ）． ∴AB ＝CD ．19．解：∵∠B ＝26°，∠BAC ＝30°， ∴∠ACD ＝56°， ∵CE 平分∠ACD ， ∴∠ACE ＝∠ECD ＝28°， ∵AD ⊥BD ， ∴∠CDE ＝90°，∴∠AEC ＝∠ECD +∠D ＝118°． 20．证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，{AB =DC BF =CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ） ∴∠AFB ＝∠DEC ， ∴OE ＝OF ，∴△OEF 是等腰三角形． 21．解：（1）∵P ，Q 关于OA 对称， ∴OA 垂直平分线段PQ ， ∴MQ ＝MP ＝4， ∵MN ＝5，∴QN ＝MN ﹣MQ ＝5﹣4＝1．（2）∵P ，R 关于OB 对称， ∴OB 垂直平分线段PR ， ∴NR ＝NP ＝4，∴QR ＝QN +NR ＝1+4＝5． 22．（1）证明：∵△ABD ≌△CFD ， ∴∠BAD ＝∠DCF ，又∵∠AFE ＝∠CFD ， ∴∠AEF ＝∠CDF ＝90°， ∴CE ⊥AB ；（2）解：∵△ABD ≌△CFD ，∴BD ＝DF ，∵BC ＝7，AD ＝DC ＝5， ∴BD ＝BC ﹣CD ＝2， ∴AF ＝AD ﹣DF ＝5﹣2＝3．23．证明：（1）∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBE ，在△ABD 和△ECB 中，{∠A =∠BECAD =BE ∠ADB =∠CBE ，∴△ABD ≌△ECB （ASA ）；（2）∵△ABD ≌△ECB ， ∴BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝70°， ∴∠DBC ＝40°， ∴∠ADB ＝∠CBD ＝40°．。

第十二章全等三角形八年级数学上学期能力提升单元测试卷(人教版)(解析版)

第十二章全等三角形(B·能力提升)一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）下列各组两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误．B、两个图形能够完全重合，故本选项正确；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；故选：B．2．（4分）下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．故选：C．3．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故选：D ．4．（4分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去【解答】解：A 、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A 选项错误；B 、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B 选项错误；C 、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA 判定，故C 选项正确；D 、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D 选项错误．故选：C ．5．（4分）如图是一个平分角的仪器，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【解答】解：在△ADC 和△ABC 中， {AD =AB DC =BC AC =AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∴AC就是∠DAB的平分线．故选：A．6．（4分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．4【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，故选：C．7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；8．（4分）下列各组条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（） A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF C ．AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠ED ．AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ＝90°【解答】解：A ．∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，AB ＝DE ，符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不符合题意；B ．AC ＝DF ，BC ＝EF ，AB ＝DE ，符合全等三角形的判定定理SSS ，能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不符合题意；C ．AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意；D ．∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝DE ，AC ＝DF ，符合两直角三角形全等的HL ，能推出Rt △ABC ≌△RtDEF ，故本选项不符合题意；故选：C ．9．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，延长中线AD 至E ，使DE ＝AD ，连结CE ，则△CDE 的周长可能是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：在△ADB 和△EDC 中， {AD =ED∠ADB =∠CDE BD =CD， ∴△ADB ≌△EDC （SAS ）， ∴AB ＝EC ＝4， ∵AD +CD ＞AC ＝7， ∴CD +DE ＞7，∴△CDE 的周长大于4+7＝11，10．（4分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【解答】解：如图，在△ABC 和△DEA 中， {AB =DE∠ABC =∠DEA =90°BC =AE， ∴△ABC ≌△DEA （SAS ），∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4）， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：C ．11．（4分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝3，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为（）A ．1B ．6C ．3D ．12【解答】解：过点D 作DH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．12．（4分）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（）个．（不含△ABC）A．28B．29C．30D．31【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）已知：△ABC≌△DEF，若∠ABC＝65°，则∠DEF＝65°．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠ABC＝65°，∴∠DEF＝∠ABC＝65°，故答案为：65°．14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是5．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝2，∴DE＝CD＝2，∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×5×2＝5，故答案为5．15．（4分）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度16米．【解答】解：∵AB ∥CD ， ∴∠ABP ＝∠CDP ， ∵PD ⊥CD ， ∴∠CDP ＝90°，∴∠ABP ＝90°，即PB ⊥AB ， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD ＝PB ，在△ABP 与△CDP 中， {∠ABP =∠CDP PB =PD ∠APB =∠CPD， ∴△ABP ≌△CDP （ASA ）， ∴CD ＝AB ＝16（米），故答案为：16米．16．（4分）如图，在第1个△ABA 1中，∠B ＝40°，∠BAA 1＝∠BA 1A ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得在第2个△A 1CA 2中，∠A 1CA 2＝∠A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得在第3个△A 2DA 3中，∠A 2DA 3＝∠A 2A 3D ；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A 3为顶点的内角的度数为 17.5° ；第n 个三角形中以A n 为顶点的底角的度数为70°2n−1．【解答】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝40°，AB ＝A 1B ， ∴∠BA 1A =12（180°﹣∠B ）=12（180°﹣40°）＝70°， ∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=12∠BA 1A =12×70°＝35°；同理可得，∠DA 3A 2=14×70°＝17.5°，∠EA 4A 3=18×70°，以此类推，第n 个三角形的以A n 为顶点的底角的度数=70°2n−1．故答案为：17.5°，70°2n−1．三．解答题（共8小题，满分86分）17．（8分）如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，BD ＝CF ，AB ＝EF ，AC ＝ED ．求证：△ABC ≌△EFD ．【解答】证明：∵BD ＝CF ， ∴BD +DC ＝CF +DC ． ∴BC ＝FD ．在△ABC 和△EFD 中， {AB =EFAC =ED BC =FD， ∴△ABC ≌△EFD （SSS ）．18．（8分）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，求证：△ADE ≌△CFE ．【解答】证明：∵FC ∥AB ， ∴∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，在△ADE 与△CFE 中：∵{∠A =∠FCE ∠ADE =∠F DE =EF， ∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．19．（10分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，且BE ＝CF ．求证：AB ＝AC ．【解答】证明：∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴△BED 和△CFD 都是直角三角形，在△BED 和△CFD 中，{BD =CD BE =CF ，∴△BED ≌△CFD （HL ）， ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC （等角对等边）．20．（10分）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BD ＝DF ．（1）求证：CF ＝EB ．（2）若AB ＝12，AF ＝8，求CF 的长．【解答】（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于E ， ∴DE ＝DC ．在Rt △CDF 与Rt △EDB 中， {DF =DB DC =DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，{AD=ADCD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．21．（12分）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME＝MC，∵M为BC中点，∴MB＝MC，又∵ME＝MC，∴ME＝MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB＝AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中{DM=DMEM=CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD＝DE，同理AE＝AB，∵AE+DE＝AD，∴CD+AB＝AD．22．（12分）如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CF A ＝α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上．①如图1，若∠BCA ＝90°，α＝90°，则BE ＝ CF ；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 α+∠BCA ＝180° ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD 经过∠BCA 的外部，α＝∠BCA ，请提出关于EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．【解答】解：（1）∵∠BEC ＝∠CF A ＝α＝90°，∴∠BCE +∠CBE ＝180°﹣∠BEC ＝90°．又∵∠BCA ＝∠BCE +∠ACF ＝90°，∴∠CBE ＝∠ACF ．在△BCE 和△CAF 中，{∠BEC =∠CFA ，∠CBE =∠ACF ，BC =AC ．∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE ＝CF ．（2）α+∠BCA ＝180°，理由如下：∵∠BEC ＝∠CF A ＝α，∴∠BEF ＝180°﹣∠BEC ＝180°﹣α．又∵∠BEF ＝∠EBC +∠BCE ，∴∠EBC +∠BCE ＝180°﹣α．又∵α+∠BCA ＝180°，∴∠BCA ＝180°﹣α．∴∠BCA ＝∠BCE +∠ACF ＝180°﹣α．∴∠EBC ＝∠FCA ．在△BCE 和△CAF 中，{∠CBE =∠ACF ，∠BEC =∠CFA ，BC =CA ．∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE ＝CF ．（3）EF ＝BE +AF ，理由如下：∵∠BCA ＝α，∴∠BCE +∠ACF ＝180°﹣∠BCA ＝180°﹣α．又∵∠BEC ＝α，∴∠EBC +∠BCE ＝180°﹣∠BEC ＝180°﹣α．∴∠EBC ＝∠FCA ．在△BEC 和△CF A 中，{∠EBC =∠FCA ，∠BEC =∠FCA ，BC =CA ．∴△BEC ≌△CF A （AAS ）．∴BE ＝CF ，EC ＝F A ．∴EF ＝EC +CF ＝F A +BE ，即EF ＝BE +AF ．23．（12分）在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连接AD ．（1）如图1，当点D 是BC 边上的中点时，S △ABD ：S △ACD ＝ 1：1 ；（2）如图2，当AD 是∠BAC 的平分线时，若AB ＝m ，AC ＝n ，求S △ABD ：S △ACD 的值（用含m ，n 的代数式表示）；（3）如图3，AD 平分∠BAC ，延长AD 到E ，使得AD ＝DE ，连接BE ，如果AC ＝2，AB ＝4，S △BDE ＝6，那么S △ABC ＝ 9 ．【解答】解：（1）过A 作AE ⊥BC 于E ，∵点D 是BC 边上的中点，∴BD ＝DC ，∴S ABD ：S △ACD ＝（12×BD ×AE ）：（12×CD ×AE ）＝1：1，故答案为：1：1；（2）过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴DE ＝DF ，∵AB ＝m ，AC ＝n ，∴S ABD ：S △ACD ＝（12×AB ×DE ）：（12×AC ×DF ）＝m ：n ；（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案为：9．24．（14分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝（10﹣2t）cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP ＝2t，则PC＝（10﹣2t）cm；故答案为：（10﹣2t）；（2）当△ABP≌△DCP时，则BP＝CP＝5，故2t＝5，解得：t＝2.5；（3）①如图1，当△ABP≌△QCP，则BA＝CQ，PB＝PC，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5，2t＝5，解得：t＝2.5，BA＝CQ＝6，v×2.5＝6，解得：v＝2.4（cm/秒）．②如图2，当△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC．∵AB＝6，∴PC＝6，∴BP＝10﹣6＝4，2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4，v×2＝4，解得：v＝2；综上所述：当v＝2.4cm/秒或2cm/秒时△ABP与△PQC全等．。

八年级数学能力提高计算题

八年级数学能力提高计算题一、有理数的运算1、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+837327835 2、()435418---⎪⎭⎫⎝⎛-+3、（—341）+（+821）—（—543） 4、、 11121210833333⎡⎤⎛⎫--+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦5、)32(9449)81(-÷⨯÷-6、 772004100100-+-7、31412131-+-8、3430.8(2)5⎛⎫---+-÷÷- ⎪⎝⎭ 8、()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-÷-3126189、⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯----35132211|5| 10、()2313133.0121-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-二、幂的运算 1、(1) (2)(-5.5)1997×(211)1997； (3)2、()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-214124322 3、 ()220095150.813⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪⎝⎭4、[]--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥+--÷(.)()021252313423262 5、()()[]42233---÷三、整式运算1、2233515105x x x x --+-；2、()22123xy xy -÷； 4、(31xy)2·(－12x 2y 2)÷(－34x 3y)4、[5ab 3-2b 2(3a 2+2ab)]÷(-12ab 2)； 5、6、(2a-3b)(a+5b)11、)35)(35(n m n m +--- 12. 22)31()31(+-m m 13、()()()2x y x y x y --+-133(5)(2)354x y x y ---+14、 [(3x ＋2y)(3x －2y)－(x ＋2y)(3x －2y)]÷3x 15、 ()()5252+--+y x y x16、(x-4y+2z)(x+4y-2z)。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题含答案

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题含答案一、选择题1．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（）A．B．C．D．2．以线段a、b、c 的长为边长能构成直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=6B．a=1，b=2，c=3C．a=5，b=6，c=8D．a=3，b=2，c=53．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直4．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A．北偏西15︒B．南偏西75°C．南偏东15︒或北偏西15︒D．南偏西15︒或北偏东15︒5．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm6．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A．14 B．13 C．3D．27．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽 8．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（） A ．a =3，b =4，c =6 B ．a =5，b =6，c =7 C ．a =6，b =8，c =9D ．a =7，b =24，c =25 9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（） A ．::5:12:13a b c =B ．A BC ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c = 10．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，5 二、填空题11．如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．12．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．13．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知2,则另一直角边AB 的长为__________.15．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.16．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.17．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．18．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．19．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM 的值为______________．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．23．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．25．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)28．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.29．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．30．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.【详解】A 中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确； B 中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；C 中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；D 中,根据A 可得，C 可得，结合完全平方公式可以求得，错误.故选D.【点睛】本题考查勾股定理.在A 、B 、C 选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D 选项是由A 、C 选项联立得出的.2．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、2222+≠，故错误；B 、22213+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.3．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A 、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B 、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C 、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.4．C解析：C【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．5．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE=A'E=DG=4cm，∴BD=16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：22201612-=cm∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．6．D解析：D【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．【详解】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长=24-10=14，∴22+=1414142【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．7．D解析：D【分析】3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．故选D ．【点睛】考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．8．D解析：D【解析】A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．故选D ．9．D解析：D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．【详解】解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形； B 、A B C ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形；C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、()()()222235+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．二、填空题11．【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴ ∠90°.根据勾股定理可得．12．163 【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==， 2243AE BE AB ∴=-=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =，283CE CD ∴==，2212DE CE CD ∴=-=，∴1443832ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ，即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅，解得：CD=125，故答案为：125. 【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.14．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以BE=()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 15．15【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 16．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 17．71-【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，，∴AP 的最小值为AD PD=4-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=341--1【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 18．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴=5；∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，∴△AFD ∽△CBA ， ∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．20．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=，所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.三、解答题21．（132）150°；（313【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3；（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出102AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．23．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴BF ===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质． 24．(1)2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形．【分析】（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论．【详解】解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =；（2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =，当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上；（3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯，解得：5310t =， ∴当15319,5,2104t =或时，BCP 为等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．25．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；（3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23，故答案是：6-t ，t+23；（2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154；（3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入34y x b =-+，解得：x=443b -， ∴M(443b -，3)． ①当点M 在线段DB 上时，BM=6-(443b -)=4103b -+， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-+=215b -+， ②当点M 在DB 的延长线上时，BM=443b --6=4103b -， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-=215b -，综上所述：1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，设D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x= 74， AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB ，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．28．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，。

学科素养与能力提升八年级数学试卷

学科素养与能力提升八年级数学试卷一、选择题（每题3分，共15分）下列运算正确的是（）A. 2a+3b=5abB. a2⋅a3=a6C. a6÷a2=a3D. 2a−2=4a21若一个角的余角是这个角的补角的41，则这个角的度数为（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘下列命题中，真命题是（）A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 如果a>b，那么a2>b2C. 等腰三角形的高、中线和角平分线互相重合D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行下列调查方式，你认为最合适的是（）A. 了解我市中学生每天学习所用时间，采用全面调查的方式B. 为保证运载火箭的成功发射，对其所有的零部件采用抽样调查的方式C. 了解某市每天的流动人口数，采用全面调查的方式D. 了解全市中学生的视力情况，采用抽样调查的方式下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A. y=2x2B. y=x2C. y=2x+1D. y=2x二、填空题（每题3分，共9分）计算：9−∣−2∣+(31)−1= _______．分解因式：a2−4b2= _______．若扇形的圆心角为45∘，半径为3，则该扇形的弧长为_______．三、解答题（共76分）（本题8分）计算：(1) −32+∣−2∣−(6)0+2−1(2) (x−1)2−x(x+7)（本题10分）解方程组：{3x−y=72x+3y=8（本题10分）已知：A(−1,4)，B(3,2)，请在直角坐标系中描出这两点，并求出这两点之间的距离。

（本题10分）已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2=0。

(1) 求证：方程有两个不相等的实数根。

(2) 若方程的两个实数根的积为−4，求m的值。

（本题10分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)。

(1) 求抛物线的解析式。

(2) 若点M(m,y1)，N(n,y2)（m<n<−1）都在抛物线上，试比较y1与y2的大小。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 三角形综合能力提升训练(解析版)

三角形综合能力提升训练一．选择题（共17小题）1．某零件的形状如图所示按照要求∠B＝20°∠BCD＝110°∠D＝30°那么∠A 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B【解答】解：延长DC交AB于E∵∠BCD＝∠B+∠CEB∠BCD＝110°∠B＝20°∴∠CEB＝110°﹣20°＝90°∵∠CEB＝∠A+∠D∠D＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°故选：B．2．如图在△ABC中∠ACB＝80°点D在AB上将△ABC沿CD折叠点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝24°则∠A的度数为（）A．24°B．32°C．38°D．48°【答案】C【解答】解：∵∠ADE＝24°∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝156°∵将△ABC沿CD折叠点B落在边AC的点E处∴∠BCD＝∠ACD∠BDC＝∠EDC＝∠BDE＝＝78°∵∠ACB＝80°∴∠ACD＝∠BCD＝ACB＝40°∴∠A＝180°﹣∠ACD﹣∠ADE﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣78°﹣24°＝38°故选：C．3．如图BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC交AB于点E若∠A＝45°∠P ＝40°则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°∠ABC+∠C+∠BGC＝180°∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC交AB于点E∴∠GBC＝2∠PBE∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°∠P＝40°∴∠C＝35°．故选：B．4．如图已知AB∥DC Rt△FEG直角顶点在CD上已知∠FEC＝35°则∠GHB＝（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解答】解：∵∠FEG＝90°∴∠GED+∠CEF＝90°∵∠CEF＝35°∴∠GED＝55°∵AB∥CD∴∠GHB＝∠GED＝55°．故选：C．5．如图△ABC中CD平分∠ACB点M在线段CD上且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°∠CAN＝96°则∠N的度数为（）A．22°B．27°C．30°D．37°【答案】B【解答】解：如图所示∠NAC是三角形ABC的一个外角∴∠NAC＝∠B+∠ACB即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB∵∠B＝30°∠CAN＝96°∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°∵MN⊥CD∴在直角三角形OMC中∠COM＝90°﹣33°＝57°∵∠NOA与∠COM互为对顶角∴∠NOA＝∠COM＝57°∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故选：B．6．如图①、②中∠A＝42°∠1＝∠2 ∠3＝∠4 则∠O1+∠O2的度数为（）A．111B．174C．153D．132【答案】D【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣42°＝138°．∵∠1＝∠2＝∠ABC∠3＝∠4＝∠ACB∴∠2+∠4＝69°．∵∠2+∠4+∠O1＝180°∴∠O1＝180°﹣69°＝111°．∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝42°+∠ABC又∵∠1＝∠2＝∠ABC∠3＝∠4＝∠ACD∴∠4＝（42°+∠ABC）＝21°+∠ABC．∵∠4＝∠2+∠O2．∴∠O2＝∠4﹣∠2＝21°+∠ABC﹣ABC＝21°∴∠O1+∠O2＝111°+21°＝132°．故选：D．7．如图∠AOB＝60°点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合）ME平分∠AMN ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F在M、N的运动过程中∠F的度数（）A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°【答案】D【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角∴∠AMN＝∠O+∠ONM∵∠EMN是△FMN的外角∴∠EMN＝∠F+∠FNM∵ME平分∠AMN FN平分∠MNO∴∠AMN＝2∠EMN∠ONM＝2∠FNM∴∠O＝2∠F∴∠F＝30°．故选：D．8．如图BE、CF都是△ABC的角平分线且∠BDC＝115°则∠A＝（）A．50°B．45°C．65°D．70°【答案】A【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线∴∠EBC＝∠ABC∠BCF＝∠ACB．∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°∠BDC＝115°∴∠EBC+∠FCB＝65°．∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°∴∠A＝50°．故选：A．9．如图在△ABC中AD是BC边上的高AE BF分别是∠BAC∠ABC的平分线．∠BAC＝50°∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的高∠ABC＝60°∴∠BAD＝30°∵∠BAC＝50°AE平分∠BAC∴∠BAE＝25°∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°∵△ABC中∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故选：A．10．如图在△ABC中设∠A＝x°∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022得∠A2022则∠A2022是（）度．A．x B．x C．x D．x【答案】C【解答】解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角∠A1CD是△A1BC的外角∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC∵BA1和CA1分别是∠ABC和∠ACD的角平分线∴∠A1BC＝∠ABC∠A1CD＝∠ACD∴∠A1＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝x°同理可得∠A2＝∠A1＝×x°∠A3＝∠A2＝××x°…∴∠A2022＝x°故选：C．11．如图在△ABC中∠C＝90°∠B＝70°点D、E分别在AB、AC上将△ADE 沿DE折叠使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°∠C＝90°∠B＝70°∴∠A＝20°．∵△DEF是由△DEA折叠成的∴∠1＝∠2 ∠3＝∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2＝180°∴∠BDF＝180°﹣2∠1．∵∠CEF+∠CED＝∠DEF＝∠3 ∠CED＝∠1+∠A∠3+∠1+∠A＝180°∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠A．∴∠CEF＝∠3﹣∠CED．＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A＝180°﹣2∠1﹣2∠A＝140°﹣2∠1．∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1＝40°．故选：C．12．如图在△ABC中∠A＝60°∠B＝70°CD是∠ACB的平分线CH⊥AB于点H 则∠DCH的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】A【解答】解：在△ABC中∵∠A＝60°∠B＝70°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵CD是∠ACB的平分线∴∠ACD＝∠ACB＝25°．∵CH⊥AB于点H∴∠CHB＝90°．∴∠ACH＝∠CHB﹣∠A＝30°．∴∠DCH＝∠ACH﹣∠ACD＝30°﹣25°＝5°．故选：A．13．如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°∠A＝30°点D是AC上一点将△ABD沿线段BD翻折使得点A落在A'处若∠A'BC＝30°则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°∠A＝30°∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°由折叠性质得：∠ABD＝∠A'BD∴∠ABC﹣∠CBD＝∠A'BC+∠CBD∴60°﹣∠CBD＝30°+∠CBD解得：∠CBD＝15°．故选：C．14．如图图①是四边形纸条ABCD其中AB∥CD E F分别为AB、CD上的两个点将纸条ABCD沿EF折叠得到图②再将图②沿DF折叠得到图③若在图③中∠FEM ＝24°则∠EFC为（）A．48°B．72°C．108°D．132°【答案】C【解答】解：如图②由折叠得：∠B'EF＝∠FEM＝24°∵AE∥DF∴∠EFM＝24°∠BMF＝∠DME＝48°∵BM∥CF∴∠CFM+∠BMF＝180°∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°由折叠得：如图③∠MFC＝132°∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°故选：C．15．如图在△ABC中E为BC延长线上一点∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D∠D＝15°则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．20°D．22.5°【答案】A【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D∴∠ABD＝∠CBD∠ACD＝∠ECD∵∠ACE＝∠A+∠ABC即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）∵∠ECD＝∠CBD+∠D∠D＝15°∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°∴∠A＝2×15°＝30°．故选：A．16．如图点D在△ABC内且∠BDC＝120°∠1+∠2＝55°则∠A的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．75°【答案】C【解答】解：∵∠D＝120°∴∠DBC+∠DCB＝60°∵∠1+∠2＝55°∴∠ABC+∠ACB＝60°+55°＝115°∴∠A＝180°﹣115°＝65°故选：C．17．如图∠ABD∠ACD的角平分线交于点P若∠A＝50°∠D＝10°则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：延长DC与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角∠A＝50°∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．设AC与BP相交于O则∠AOB＝∠POC∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故选：B．二．填空题（共5小题）18．如图将△ABC纸片沿DE折叠使点A落在点A'处且A'B平分∠ABC A'C平分∠ACB若∠BA'C＝120°则∠1+∠2的度数为．【答案】120°【解答】解：如图连接AA'∵A'B平分∠ABC A'C平分∠ACB∴∠A'BC＝∠ABC∠A'CB＝∠ACB∵∠BA'C＝120°∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°∵沿DE折叠∴∠DAA'＝∠DA'A∠EAA'＝∠EA'A∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA' ∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°故答案为：120°．19．如图BP是△ABC中∠ABC的平分线CP是∠ACB的外角的平分线如果∠ABP＝20°∠ACP＝50°则∠P＝°．【答案】30【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线CP是∠ACB的外角的平分线∴∠ABP＝∠CBP＝20°∠ACP＝∠MCP＝50°∵∠PCM是△BCP的外角∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°故答案为：30°．20．在△ABC中∠ABC∠ACB的平分线交于点O∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D与∠ABC的外角平分线相交于点E则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．【答案】①②④【解答】解：∵∠ABC∠ACB的平分线交于点O∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC∠OCB＝∠ACO＝∠ACB∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A故①正确∵CD平分∠ACF∴∠DCF＝∠ACF∵∠ACF＝∠ABC+∠A∠DCF＝∠OBC+∠D∴∠D＝∠A故②正确；∵∠MBC＝∠A+∠ACB∠BCN＝∠A+∠ABC∠ACB+∠A+∠ABC＝180°∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A∵BE平分∠MBC CE平分∠BCN∴∠MBC＝2∠EBC∠BCN＝2∠BCE∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A∵∠E+∠EBC++BCE＝180°∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A故③错误；∵∠DCF＝∠DBC+∠D∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC∵∠ABD＝∠DBC∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确综上正确的有：①②④．21．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示）然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中∠BAC＝度．【答案】36【解答】解：∵∠ABC＝＝108°△ABC是等腰三角形∴∠BAC＝∠BCA＝36度．22．如图所示把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上按照这样的规律摆下去则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【答案】n2+2n【解答】解：第一个是1×3第二个是2×4第三个是3×5…第n个是n•（n+2）＝n2+2n故答案为：n2+2n．三．解答题（共8小题）23．如图所示D是△ABC边BC的中点E是AD上一点满足AE＝BD＝DC F A＝FE．求∠ADC的度数．【解答】解：延长AD至G使AD＝DG连接BG在DG上截取DH＝DC在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB（SAS）∴AC＝BG∠G＝∠CAD∵F A＝FE∴∠CAD＝∠AEF∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED∴BG＝BE＝AC∵AE＝DC＝BD∴AE+ED＝DH+ED∴AD＝EH在△DAC和△HEB中∴△DAC≌△HEB（SAS）∴CD＝BH∴BD＝BH＝DH∴△BDH为等边三角形∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．故答案为：60°．24．在△ABC中AE平分∠BAC∠C＞∠B．（1）课本原题再现：如图1 若AD⊥BC于点D∠ABC＝40°∠ACB＝60°求∠EAD的度数．（写出解答过程）（2）如图1 根据（1）的解答过程猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．（3）小明继续探究如图2在线段AE上任取一点P过点P作PD⊥BC于点D请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系并说明理由．【解答】（1）先求出∠BAC根据角平分线定义求出∠CAE根据三角形内角和定理求出∠CAD代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可；（2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得∠CAE＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）再根据直角三角形的性质可得∠CAD＝90°﹣∠ACB然后由∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD 代入计算可求解；（3）过A作AG⊥BC于G由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB再根据直角三角形的性质可得∠GAC＝90°﹣∠ACB进而可求解．25．如图在△ABC中点D是BC边上的一点∠B＝50°∠BAD＝30°将△ABD沿AD折叠得到△AED AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED∴∠BAD＝∠DAF∵∠B＝50°∠BAD＝30°∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；（2）∵∠B＝50°∠BAD＝30°∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°∠ADC＝50°+30°＝80°∵△ABD沿AD折叠得到△AED∴∠ADE＝∠ADB＝100°∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝100°﹣80°＝20°．26．如图将长方形纸片ABCD（四个内角均为直角两组对边分别平行）沿EF折叠后点C、D分别落在点M、N的位置EN的延长线交BC于点G．（1）若∠EFG＝68°求∠AEN、∠BGN的度数；（2）若点P是射线BA上一点（点P不与点A重合）过点P作PH⊥EG于H PQ平分∠APH PQ与EF有怎样的位置关系？为什么？【解答】解：（1）由折叠可知∠DEF＝∠GEF∵AD∥BC∴∠EFG＝∠DEF＝68°∴∠AEN＝180°﹣∠DEN＝44°∴∠BGN＝∠DEG＝136°；（2）PQ⊥EF或PQ∥EF；①点P在线段AB上PQ⊥EF如图设PQ交EF于点T∵PQ平分∠APH∴∠APQ＝∠HPQ设∠APQ＝∠HPQ＝α∠DEF＝∠GEF＝β由题意可知∠A＝90°∵PH⊥EG∴∠PHE＝90°在四边形APHE中∠A+∠APH+∠PHE+∠AEH＝360°∴∠APH+∠AEG＝180°∵∠AEG＝180°﹣∠GED＝180°﹣2β∴2α+180°﹣2β＝180°∴α＝β∵∠TEA＝βα+∠AKP＝90°∠AKP＝∠TKE∴∠TKE+∠KET＝90°∴∠KTE＝90°∴PQ⊥EF；②点P在线段BA的延长线上PQ∥EF如图设PQ交EF于点T∵PQ平分∠APH∴∠APQ＝∠HPQ设∠APQ＝∠HPQ＝α∠DEF＝∠GEF＝β由题意可知∠ABC＝90°在四边形APHE中∠A+∠BPH+∠PHG+∠BGH＝360°∴∠BGE+∠BFH＝180°∵长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠BGE＝∠GED＝2β∴2α+2β＝180°∴α+β＝90°∵α+∠PTE＝90°∴β＝∠ETP即∠GEF＝∠ETP∴PQ∥EF综上所述：点P在线段AB上PQ⊥EF；点P在线段BA的延长线上PQ∥EF．27．（1）阅读并填空：如图①BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+∠A的理由．解：因为BD平分∠ABC（已知）所以∠1＝（角平分线定义）．同理：∠2＝．因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠1+∠2+∠D＝180°（）所以∠D＝（等式性质）．即：∠D＝90°+∠A．（2）探究请直接写出结果并任选一种情况说明理由：（i）如图②BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D 与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是．（ii）如图③BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是．【解答】解：（1）解：因为BD平分∠ABC（已知）所以∠1＝∠ABC（角平分线定义）．同理：∠2＝∠ACB．因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°）所以∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）（等式性质）．即：∠D＝90°+∠A．故答案为：ABC ACB三角形的内角和等于180°180°﹣（∠ABC+∠ACB）．（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A．理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线∴∠EBD＝∠DBC∠BCD＝∠DCF∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°而∠ABC＝180°﹣2∠DBC∠ACB＝180°﹣2∠DCB∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°∴∠A+2∠D＝180°∴∠D＝90°﹣∠A故答案为：∠D＝90°﹣∠A；（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A．理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线∴∠DCE＝∠DBC+∠D∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D∴∠A＝2∠D即：∠D＝∠A．故答案为：∠D＝∠A．28．如图①△ABC中BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC＝75°∠ACB＝45°求∠D的度数；（2）若把∠A截去得到四边形MNCB如图②猜想∠D、∠M、∠N的关系并说明理由．【解答】解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE∠DCE＝∠D+∠DBC又BD平分∠ABC CD平分∠ACE∴∠ABD＝∠DBE∠ACD＝∠ECD∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC）∠D＝∠DCE﹣∠DBC∴∠A＝2∠D∵∠ABC＝75°∠ACB＝45°∴∠A＝60°∴∠D＝30°；（2）∠D＝（∠M+∠N﹣180°）；理由：延长BM、CN交于点A则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°由（1）知∠D＝A∴∠D＝（∠M+∠N﹣180°）．29．a b c分别为△ABC的三边且满足a+b＝3c﹣2 a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18 求c的值．【解答】解：（1）∵a b c分别为△ABC的三边a+b＝3c﹣2 a﹣b＝2c﹣6∴解得：1＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为18 a+b＝3c﹣2∴a+b+c＝4c﹣2＝18解得c＝5．30．问题情景如图1 △ABC中有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC 内）使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A＝50°则∠ABC+∠ACB＝度∠PBC+∠PCB＝度∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．（3）类比延伸：如图2 改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外三角板PMN 的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C（2）中的结论是否仍然成立？若不成立请直接写出你的结论．【解答】解：（1）∵∠A＝50°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°∵∠P＝90°∴∠PBC+∠PCB＝90°∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°．故答案为：130 90 40；（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．（3）不成立；存在∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．理由：△ABC中∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∵∠MPN＝90°∴∠PBC+∠PCB＝90°∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A ∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．。

浙教版八年级数学上册大题能力提升考前必做30题-(解析版)

浙教版八年级数学上册大题能力提升考前必做30题姓名：__________________班级：______________得分：_________________一．解答题（共30小题）1．（2020秋•拱墅区月考）（1）解不等式：2− 4≥1− 3；（2+2≥0− +52＜−1− ，并将解集表示在数轴上．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】（1）2− 4≥1− 3，3（2﹣x）≥4（1﹣x），6﹣3x≥4﹣4x，﹣3x+4x≥4﹣6，x≥﹣2；（2+2≥0①− +52＜−1− ②，解不等式①得：x≥﹣4，解不等式②得：x＜1，则不等式组的解集为﹣4≤x＜1，在数轴上表示为：．2．（2020秋•拱墅区月考）（1）已知关于x的不等式①x+a＞7的解都能使不等式② −2 5＞1﹣a成立，求a 的取值范围．（2）若关于x、y的二元一次方程组2 + =−3 +2的解满足x+y＞−32，求出满足条件的m的所有正整数值．【分析】（1）分别取出求出不等式①②的解集，再根据题意得到7﹣a≥5﹣3a，最后解不等式即可求出a的取值范围．（2）两个方程相加，即可得出关于m的不等式，求出m的范围，即可得出答案．【解析】（1）解不等式①x+a＞7得：x＞7﹣a，解不等式② −2 5＞1﹣a得：x＞5﹣3a，根据题意得，7﹣a≥5﹣3a，解得：a≥﹣1．（2）2 + =−3 +2①+2 =4②，①+②得：3x+3y＝﹣3m+6，∴x+y＝﹣m+2，∵关于x、y的二元一次方程组2 + =−3 +2+2 =4的解满足x+y＞−32，∴﹣m+2＞−32，∴m＜72，∴满足条件的m的所有正整数值是1，2，3，．3．（2020秋•拱墅区期中）设a和b是两个非负实数，已知a+2b＝3．（1）求a的取值范围；（2）设c＝3a+2b，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围．【分析】（1）根据a+2b＝3，可得2b＝3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b＝3，c＝3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．【解析】（1）∵a+2b＝3，∴2b＝3﹣a，∵a、b是非负实数，∴b≥0，a≥0，∴2b≥0，∴3﹣a≥0，解得0≤a≤3；（2）∵a+2b＝3，c＝3a+2b，∴c﹣3＝（3a+2b）﹣（a+2b）＝2a，∴c＝2a+3，∵a是非负实数，∴a≥0，∴0≤a≤3，∴0≤2a≤6，3≤2a+3≤9，即3≤c≤9．4．（2020秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CED，得出AB＝EC，由三角形三边关系得出答案；（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解析】证明：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图1．则AE＝2AD，在△ABD与△ECD中，=∠ =∠= ，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△ACE中，有AC+CE＞AE，即AC+AB＞2AD；（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接CG，FG，如图2．∵FD垂直平分EG，∴EF＝FG，在△EDB与△GDC中，=∠ =∠= ，∴△EDB≌△GDC（SAS），∴BE＝CG，在△FCG中，CF+CG＞FG，即CF+BE＞EF．5．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，∠PAC＝45°，AB ＝CP．（1）求证：CD＝BD；（2）若∠CPA＝105°，AB＝2，求PB的长．【分析】（1）先证△ADP是等腰直角三角形，得PD＝AD，再证Rt△CDP≌Rt△BDA（HL），即可得出结论；（2）先由等腰直角三角形的性质得PD＝AD，∠APD＝45°，再求出∠CPD＝60°，∠PCD＝30°，然后由全等三角形的性质得∠ABD＝∠PCD＝30°，则PD＝AD=12AB＝1，BD=3AD=3，即可得出答案．【解析】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠PDC＝∠ADB＝90°，∵∠PAC＝45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴PD＝AD，在Rt△CDP和Rt△BDA中，== ，∴Rt△CDP≌Rt△BDA（HL），∴CD＝BD；（2）解：由（1）得：△ADP是等腰直角三角形，∴PD＝AD，∠APD＝45°，∴∠CPD＝∠CPA﹣∠APD＝105°﹣45°＝60°，∵∠CDP＝90°，∴∠PCD＝30°，由（1）得：Rt△CDP≌Rt△BDA，∴∠ABD＝∠PCD＝30°，∴PD＝AD=12AB＝1，BD=3AD=3，∴PB＝BD﹣PD=3−1．6．（2020秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD．（1）求证：△BDE≌△CFD；（2）若∠A＝70°，求∠EDF的度数．【分析】（1）先由等腰三角形的性质得∠B＝∠C，再由SAS证明三角形全等即可；（2）先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠B＝∠C＝55°，则∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B＝125°，再由全等三角形的性质得∠BED＝∠CDF，即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE与△CFD中，=∠ =∠= ，∴△BDE≌△CFD（SAS）；（2）解：∵∠A＝70°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣70°）＝55°，∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B＝125°，∵△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF，∴∠CDF+∠BDE＝125°∴∠EDF＝180°﹣125°＝55°．7．（2020春•丽水期末）如图，线段AB的长为5，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝2，DB＝1，点P为线段AB上的一个动点，连结CP，DP．（1）若AP＝a，请用含a的代数式表示BP；（2）当AP＝1时，求△ACP与△BPD的面积之比；（3）若C，D是同一平面内的两点，连结CD，若点P以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PCD的面积等于3．【分析】（1）根据BP＝AB﹣AP求得即可；（2）根据三角形面积公式即可求得；（3）分两种情况得到关于t的方程，解方程即可．【解析】（1）∵线段AB的长为5，∴若AP＝a，BP＝5﹣a；（2）∵AB＝5，AP＝1，∴BP＝4，∴ △ △ =12×1×212×4×1=12；＝S梯形ABDC﹣S△ACP﹣S△BPD=12（2+1）×5−12t （3）当C、D在线段AB的同侧时，由图1可知：S△PCD×2−12（5﹣t）×1∵△PCD的面积等于＝3，∴12（2+1）×5−12t×2−12（5﹣t）×1＝3，解得t＝4，∴当t＝4时，△PCD的面积等于3；＝S△ADC﹣S△ACP﹣S△APD=12×2×5−12t×2−12t×1当C、D在线段AB的异侧时，由图2可知：S△PCD∵△PCD的面积等于＝3，∴12×2×5−12t×2−12t×1＝3，解得t=43，综上，当t为4或43时，△PCD的面积等于3．8．（2020•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且AE＝AF．（1）求证：△BED≌△CFD．（2）若∠AED＝∠EDF＝80°，求∠C的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△BED≌△CFD；（2）由全等三角形的性质可得∠BDE＝∠CDF＝50°，由外角的性质可求解．【解析】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AE＝AF，∴AB﹣AE＝AC﹣AF，∴BE＝CF，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴△BED≌△CFD（SAS）；（2）∵△BED≌△CFD，∴∠BDE＝∠CDF，∵∠AED＝∠EDF＝80°，∴∠BDE＝∠CDF＝50°，∵∠AED＝∠B+∠BDE＝80°，∴∠B＝30°＝∠C．9．（2020•温州三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，在边AB上取一点D，使得BD＝AC，过B作AC的平行线BE，过D作AB的垂线与BE交于点E，连结AE．（1）求证：△ABC≌△BED．（2）若∠BAC＝34°，求∠AED的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAC＝∠EBD，可证明△ABC≌△BED（ASA）；（2）由（1）可知AB＝BE，则∠EAB＝∠AEB，求出∠EAB的度数，则可求出答案．【解析】（1）证明：∵BE∥AC，∴∠BAC＝∠EBD，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠C，又∵BD＝AC，∴△ABC≌△BED（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△BED，∴AB＝BE，∴∠EAB＝∠AEB，∵∠BAC＝34°，∴∠EBD＝34°，∴∠EAB=180°−∠ 2=180°−34°2=73°，∴∠AED＝90°﹣∠EAB＝90°﹣73°＝17°．10．（2020•宁波模拟）如图，为4×4的正方形网格图，△ABC的顶点都在网格格点上（每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形）．（1）在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC成轴对称的三角形．（2）在图4中画出一个满足要求的格点△DEF，要求：△DEF与△ABC相似，且相似比的值为无理数．（画出一种即可）【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC 成轴对称的三角形；（2）根据网格即可在图4中画出一个满足要求的格点△DEF，△DEF与△ABC相似，且相似比的值为无理数．【解析】如图，（1）图1，图2，图3中的三角形即为所求；（2）图4中△DEF即为所求．11．（2020•永嘉县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC及其延长线上，点B，F分别在AE两侧，连结CF，已知AD＝EC，BC＝DF，BC∥DF．（1）求证：△ABC≌△EFD．（2）若CE＝CF，FC平分∠DFE，求∠A的度数．【分析】（1）先由AD＝EC，得AC＝ED，再由平行线的性质得∠ACB＝∠EDF，最后根据SAS定理证明三角形全等便可；（2）证明∠EDF＝∠EFD＝2∠E，再根据三角形的内角和定理求得∠E，便可得∠A．【解析】（1）∵AD＝EC，∴AC＝ED，∵BC∥DF，∴∠ACB＝∠EDF，在△ABC和△EFD中，=∠ =∠= ，∴△ABC≌△EFD（SAS），（2）∵△ABC≌△EFD，∴AB＝EF，AC＝ED，∵AB＝AC，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵CF平分∠DFE，∴∠EFD＝2∠CFE＝2∠E，∵∠EDF+∠EFD+∠E＝180°，∴2∠E+2∠E+∠E＝180°，∴∠E＝36°，∵△ABC≌△EFD，∴∠A＝∠E＝36°．12．（2020•宁波模拟）在4×4的方格纸中，线段AB的两个端点都在格点上（网格中小正方形的边长均为1）．（1）在图①中画出一个面积为2的钝角△ABC，要求顶点C在格点上；（2）在图②中画出一个面积最大的△ABC，要求顶点C在格点上，并直接写出最大面积．【分析】（1）由三角形面积公式可直接作图；（2）选择AB为底，若使△ABC的面积最大则高最大，即点C到AB的距离最远即可．【解析】（1）如图①所示：（2）如图②所示：△ABC的面积为3.5．13．（2020秋•吴兴区期中）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F 点，且BD＝CD＝CE．（1）若∠B＝30°，∠E＝20°，求∠A的度数；（2）若∠B＝x，∠E＝y，请用含x、y的代数式表示∠A的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解析】（1）∵BD＝CD＝CE，∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE，∵∠B＝30°，∠E＝20°，∴∠DCB＝∠B＝30°，∠CDE＝∠E＝20°，∴∠ADC＝60°，∠ACD＝40°，∴∠A＝80°．（2）∵BD＝CD＝CE，∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE，∵∠B＝x，∠E＝y，∴∠DCB＝∠B＝x，∠CDE＝∠E＝y，∴∠ADC＝2x，∠ACD＝2y，∴∠A＝180﹣2（x+y）．14．（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD=12（180°﹣∠B）=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°−12m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°1m°，∵EA＝EC，∴∠CAE=12∠AEB＝90°−12n°−12m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°−12n°−12m°=12n°．15．（2020•江干区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD ＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求：①∠BCA的大小；②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC＝FC．【分析】（1）①关键等腰三角形的性质即可得到结论；②过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，求出∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=12α，即可得出结论；（2）由直角三角形的性质得出∠BAG＝45°，证出∠BAC＝∠AFC，即可得出结论【解析】（1）解：①∵AD＝AC，∠CAD＝α，∴∠BCA=12（180°﹣α）＝90°−12 ，②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∴∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=12α，即∠BCF=12α；（2）证明：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC．16．（2020•金华二模）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，分别以AB为边画一个面积为152的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．（1）在图①中画△ABC，使∠BAC＝45°．（2）在图②中画△ABD，使△ABD是轴对称图形．（3）在图③中画△ABE，使AB边上的高将△ABE分成面积比为1：2的两部分．【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可．（2）利用勾股定理结合数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．（3）取格点E，连接AE，BE即可．【解析】（1）如图①中，△ABC即为所求．（2）如图②中，△ABD即为所求（答案不唯一）．（3）如图③中，△ABE即为所求（答案不唯一）．17．（2020•余杭区一模）如图，在△ABC中，AB＜AC＜BC，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点D，连接AD过点D作DE⊥AD，交AC于点E．（1）若∠B＝50°，∠C＝28°，求∠AED度数；（2）若点F是BD的中点，连接AF，求证：∠BAF＝∠EDC．【分析】（1）由题意可得AB＝AD，求得∠ADB＝∠B＝50°，根据平角的定义得到∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣90°＝40°，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到AF⊥BD，∠BAF＝∠DAF，由三角形的内角和得到∠DAF+∠ADB＝90°，由平角的定义得到∠ADF+∠EDC＝90°，于是得到结论．【解析】（1）由题意可得AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝50°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣90°＝40°，∵∠C＝28°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°+28°＝68°；（2）∵AB＝AD，点F是BD的中点，∴AF⊥BD，∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠ADB＝90°∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝90°，∴∠DAF＝∠EDC，∴∠BAF＝∠EDC．18．（2019秋•义乌市期末）【阅读】例题：在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．点点同学在思考时是这样分析的：∠A，∠B都可能是顶角或底角，因此需要进行分类．他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图1），据此可求出∠B的度数．【解析】由以上思路，可得∠B的度数为20°或50°或80°；；【应用】将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法．请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13．（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B 与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此可得图形与等腰三角形的腰的长度．【解析】（1）当∠A为顶角，∠B=180°−∠ 2=180°−80°2=50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°．故答案为：20°或50°或80°；（2）如图所示，共有4种情况（任选其三）．19．（2020•上城区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t=12，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=194，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF•AB，列方程32=2 −3−42×5，即可得到结论．【解析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t=2516，∴当t=2516时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t=83，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当 =83或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t=12，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE=12BC=32，∴PB=12AB，即2t﹣3﹣4=52，解得：t=194，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF=12BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32=2 −3−42×5，解得：t=5310，∴当 =12，5，5310或194时，△BCP为等腰三角形．20．（2020•岳阳二模）疫情防控期间，某校开学时购买了80瓶A类消毒液（1000ml/瓶）和35瓶B类消毒液（2500ml/瓶）共花费2250元，已知购买一瓶A类消毒液比购买一瓶B类消毒液少花15元．（1）求购买一瓶A类消毒液和一瓶B类消毒液各需多少钱？（2）疫情逐渐得到控制，学校计划用不超过1200元的经费再次购买A类消毒液和B类消毒液共50瓶，若单价不变，则本次至少要购买多少瓶A类消毒液？【分析】（1）设购买一瓶A类消毒液需x元，购买一瓶B类消毒液需y元，根据80瓶A类消毒液（1000ml/瓶）和35瓶B类消毒液（2500ml/瓶）共花费2250元和购买一瓶A类消毒液比购买一瓶B类消毒液少花15元，即可得出方程组解答；（2）设购买m瓶A类消毒液，则购买（50﹣m）瓶B类消毒液，根据总价＝单价×数量结合该校此次购买的总费用不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．【解析】（1）设购买一瓶A类消毒液需x元，购买一瓶B类消毒液需y元，根据题意可得：80 +35 =2250= −15，解得： =15 =30，答：购买一瓶A类消毒液需15元，购买一瓶B类消毒液需30元．（2）设购买m瓶A类消毒液，则购买（50﹣m）瓶B类消毒液，根据题意可得：15m+30（50﹣m）≤1200，解得：m≥20，答：本次至少要购买20瓶A类消毒液．21．（2020春•椒江区期末）肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只N95口罩的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只N95口罩的费用也是22元．（1）求该超市普通医用口罩和N95口罩的单价；（2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且N95口罩不少于总数的40%，试通过计算说明，在预算不超过190元的情况下有哪些购买方案．【分析】（1）设普通医用口罩的单价为x元，N95口罩单价为y元，根据题意列方程组解答即可；（2）设购买普通医用口罩z个，则购买N95口罩（50﹣z）个，根据N95口罩不少于总数的40%；预算不超过190元；列出不等式组解答即可．【解析】（1）设普通医用口罩的单价为x元，N95口罩单价为y元，依题意有2 +3 =225 +2 =22，解得 =2 =6．故普通医用口罩的单价为2元，N95口罩单价为6元；（2）设购买普通医用口罩z个，则购买N95口罩（50﹣z）个，依题意有50− ≥50×40%2 +6(50− )≤190，解得27.5≤z≤30．购买方案：①购买普通医用口罩28个，购买N95口罩22个；②购买普通医用口罩29个，购买N95口罩21个；③购买普通医用口罩30个，购买N95口罩20个．22．（2019秋•苍南县期末）在4×4的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是（0，1），（﹣1，﹣1）．（1）请图1中添加一个格点C，使得△ABC是轴对称图形，且对称轴经过点（0，﹣1）．（2）请图2中添加一个格点D，使得△ABD也是轴对称图形，且对称轴经过点（1，1）．【分析】（1）根据题意画出满足条件的点C即可．（2）根据题意画出满足条件的点C即可．【解析】（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D即为所求．23．（2020春•湖州月考）在平面直角坐标系中，点A（0，2），C（10，0），过点A作直线AB，（1）若AB∥OC，点D是线段OC的中点，点P在射线AB上，当△OPD是有一边长为5的等腰三角形，共有几个这样的点P，并尝试求出点P的坐标；（2）若直线AB与OC不平行，AB在直线y＝﹣x+2上，是否存在点P，使得△OPC是直角三角形，且∠OPC＝90°，若存在，求出这样的点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图，满足条件的有三种情况：当P1D＝OD＝5时，点P1的坐标为（2，4）；当OP2＝OD，点P2的坐标为（3，4）；当DP3＝OD＝5时，点P3的坐标为（8，4）；（2）由勾股定理即可求解．【解析】（1）如图，满足条件的有三种情况：当P1D＝OD＝5时，点P1的坐标为（2，4）；当OP2＝OD，点P2的坐标为（3，4）；当DP3＝OD＝5时，点P3的坐标为（8，4）；故符合条件的点P有3个，坐标分别为：P1（3，4），P2（2，4），P3（8，4）；（2）设p（a，﹣a+2），∵∠OPC＝90°，则OC2＝PC2+PO2，即102＝（a﹣10）2+（﹣a+2）2+a2+（﹣a+2）2，解得a=故点P的坐标为（7+412，−3−412）或（7−412，−3+412）．24．（2020秋•拱墅区期中）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km求出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的时间，下坡所用的时间，那么小明在乙地休息的时间＝1h﹣小明上坡所用的时间0.2h﹣平路上所用的时间﹣下坡所用的时间；（2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：y AB＝6.5﹣10x，线段EF所对应的函数关系式为y EF＝4.5+20（x﹣0.9），即可解答；（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，求出a的值，即可解答．【解析】（1）小冲骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h），平路上的速度为：10+5＝15（km/h）；下坡的速度为：15+5＝20（km/h），平路上所用的时间为：2（4.5÷15）＝0.6h，下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h所以小冲在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）；（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，即y AB＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．线段EF所对应的函数关系式为y EF＝4.5+20（x﹣0.9）．即y EF＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）；（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地，6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，解得：a=110．110×10＝1（千米）．答：丙地与甲地之间的距离为1千米．25．（2020秋•拱墅区期中）已知一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）．（1）若函数图象经过（2，4），（4，0）两点，求k与b的值；（2）若﹣1≤x≤3时，3≤y≤5，求此一次函数的解析式．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）分两种情形，分别求解即可解决问题．【解析】（1）∵函数图象经过（2，4），（4，0）两点，∴−2| |+ =4−4| |+ =0，解得|k|＝2，b＝8，∴k＝2，b＝8或k＝﹣2，b＝8；（2）由题意可知点（﹣1，3）、（3，5）或（﹣1，5）、（3，3）都在一次函数：y1＝﹣|k|x+b（k，b为常数且k≠0）图象上，则有：| |+ =3−3| |+ =3，−3| |+ =5或| |+ =5解得| |=12 =92或| |=−12=72（舍去），∴此一次函数的解析式为y=12x+92或y=−12x+92．26．（2020•新昌县校级模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，点B．点P在线段AB上，过点P分别作x轴，y轴的垂线段PC，PD，垂足为C，D．（1）若k＝﹣1，如图．①求矩形OCPD的周长．②求矩形OCPD面积的最大值．（2）若矩形OCPD的面积最大值为6，求k的值．【分析】（1）①矩形OCPD的周长＝2PC+2PD＝2x+2（6﹣x）＝12；②OCPD面积＝PC•PD＝x（﹣x+6）＝﹣（x﹣3）2+9≤9，即可求解；（2）①当k＜0时，y＝PC•PD＝x（kx+6）＝kx2+6x，k＜0，故y有最大值，当x=−3 时，y的最大值为k（−3 ）2+6（−3 ）＝6，即可求解；②当k＞0时，同理可解．【解析】（1）当k＝﹣1时，y＝﹣x+6，设点P（x，﹣x+6），①矩形OCPD的周长＝2PC+2PD＝2x+2（6﹣x）＝12；②OCPD面积＝PC•PD＝x（﹣x+6）＝﹣（x﹣3）2+9≤9，故矩形OCPD面积的最大值为9；（2）①当k＜0时，如题干图所示，设点P（x，kx+6），设矩形OCPD的面积为y，则y＝PC•PD＝x（kx+6）＝kx2+6x，∵k＜0，故y有最大值，当x=−3 时，y的最大值为k（−3 ）2+6（−3 ）＝6，解得k=−32；②当k＞0时，同理可得k=32，故k的值为±32．27．（2020•拱墅区四模）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻边长分别为x，y．求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）方方说矩形的周长可以等于6，你认为方方的说法正确吗？为什么？【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．【解析】（1）①由题意可得：xy＝3，则y=3 ；②当y≥3时，3 ≥3，解得：x≤1，故x的取值范围是：0＜x≤1；（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y＝3，∴x+3 =3，整理得：x2﹣3x+3＝0，∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；所以方方的说法不对．28．（2019秋•拱墅区校级期末）已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．【分析】（1）把点（2，3）分别代入y1和y2，联立方程组，求出k和b的值即可；（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，分k＞0，k＜0两种情况，结合一次函数的性质求出k的值即可．【解析】（1）∵y1与y2的图象交于点（2，3），∴把点（2，3）代入y1与y2的解析式得，2 + =32 − =3，解得， =35 =95；（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，①当k＞0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1＝3k﹣1＝3，∴k=43，∴y1=43x+13；②当k＜0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y1＝﹣k﹣1＝3，∴k＝﹣4，∴y1＝﹣4x﹣5．综上所述，y1=43x+13或y1＝﹣4x﹣5．29．（2020春•鹿城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ，设点P运动的时间为t秒．（1）点C的坐标为（3，4），直线AB的解析式为y=−43x+8．（2）当点Q运动至点B时，连结CD，求证：CD∥AP．（3）如图2，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．【分析】（1）由中点坐标公式可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）通过证明四边形ACDP是平行四边形，可得结论；（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【解析】（1）∵点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，∴点C（3，4），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意可得： =80=6 +8，解得： =−43 =8，∴直线AB的解析式为：y=−43x+8；故答案为：（3，4），y=−43x+8；（2）如图1，连接CD，∵四边形CBDP是平行四边形，∴CB∥PD，BC＝PD，∵点C为AB的中点，∴AC＝BC，∴PD＝AC，∴四边形ACDP是平行四边形，∴CD∥AP；（3）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，∵四边形PCQD是平行四边形，∴CQ＝PD，PD∥CQ，∴∠QCP+∠DPC＝180°，∵AO∥CE，∴∠OPC+∠PCE＝180°，∴∠FPD＝∠ECQ，又∵∠PFD＝∠CEQ＝90°，∴△PDF≌△CQE（AAS），∴DF＝EQ，PF＝CE，∵点C（3，4），点P（0，8﹣t），点Q（2t，0），∴CE＝PF＝4，EQ＝DF＝2t﹣3，∴FO＝8﹣t﹣4＝4﹣t，∴点D（2t﹣3，4﹣t），当点D落在直线OB上时，则4﹣t＝0，即t＝4，当点D落在直线OC上时，∵点C（3，4），∴直线OC解析式为：y=43x，∴4﹣t=43（2t﹣3），∴t=2411，当点D落在AB上时，∵四边形PCQD是平行四边形，∴CD与PQ互相平分，∴线段PQ的中点（t，8− 2）在CD上，∴8− 2=−43t+8，∴t=245；综上所述：t＝4或2411或245．30．（2020春•临海市期末）已知一次函数y1＝kx+b，图象经过点（1，2）（1）请直接写出k，b满足的关系式k+b＝2；（2）若﹣1≤x≤4时，y1有最大值3，求k的值；（3）若有函数y2＝（a﹣2）x+2a（a≠2），对于任意实数x，都有y1＜y2成立，求k与a的数量关系及a 的取值范围．【分析】（1）把（1，2）代入一次函数y1＝kx+b求得即可；（2）分两种情况：①当x＝﹣1时，y1有最大值3，代入解析式组成方程组，解得即可；②当x＝4时，y1有最大值3，代入解析式组成方程组，解得即可；（3）根据题意两条直线平行，则有k＝a﹣2，当x＝1时y2＞2，即可求得a的取值．【解析】（1）∵一次函数y1＝kx+b，图象经过点（1，2），∴k+b＝2，故答案为k+b＝2；（2）①当x＝﹣1时，y1有最大值3，则﹣k+b＝3，∴ + =2− + =3，解得k=−12；②当x＝4时，y1有最大值3，则4k+b＝3，∴4 + =3+ =2，解得k=13；故若﹣1≤x≤4时，y1有最大值3，k的值为−12或13；（3）若有函数y2＝（a﹣2）x+2a（a≠2），对于任意实数x，都有y1＜y2成立，则两条直线平行，∴k＝a﹣2；当x＝1时y2＞2，即a﹣2+2a＞2，解得a＞43．。

八年级数学提高试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是（）。

A. √16B. √-9C. πD. √22. 已知a，b是方程x²-5x+6=0的两个根，则a+b的值是（）。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点是（）。

A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）4. 下列函数中，自变量x的取值范围是所有实数的是（）。

A. y=√(x-1)B. y=x/(x-1)C. y=2x+1D. y=√(2-x)5. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积是（）。

A. 24cm²B. 30cm²C. 36cm²D. 42cm²二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知x²-4x+4=0，则x的值为______。

7. 若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为______。

8. 在直角坐标系中，点A（-3，4）到原点O的距离是______。

9. 函数y=2x+1的图像是一条______，斜率为______。

10. 一个等边三角形的边长为a，则它的面积是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - y = 1\end{cases}\]12. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为6cm，腰长为8cm，求该三角形的面积。

13. 已知函数y=kx+b的图像经过点A（2，3）和B（-1，1），求该函数的表达式。

四、应用题（每题15分，共30分）14. 某工厂生产一批零件，计划每天生产100个，连续生产了5天后，实际每天生产了120个，问还需要多少天才能完成生产？15. 一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，行驶了2小时后，又以每小时100公里的速度行驶，问汽车行驶了3小时后离出发点的距离是多少？。

第1章勾股定理北师大版八年级数学上册能力提升(含答案)

第一章勾股定理单元测试（能力提升）一、单选题1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（）A．3、4、5B．5、12 、13C．7、24、25D．7、9、13【答案】D【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：选项A：∵3²+4²=5²，∴能构成直角三角形三边，故选项A不符合题意；选项B：∵5²+12²=13²，∴能构成直角三角形三边，故选项B不符合题意；选项C：∵7²+24²=25²，∴能构成直角三角形三边，故选项C不符合题意；选项D：∵7²+9²=49+81=130≠13²，∴不能构成直角三角形三边，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB 的长为（）．A．B．C．10D．【答案】A设，，在和中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解．设，，在中，，①在中，，②①＋②，，∴，在Rt△ABC中，，故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键．3．如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为( )A．B．5C．D．【答案】D把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．解：如图示，将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，．答：蚂蚁从点爬行到点的最短距离为．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．4．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c 三个正方形的面积之和为（）A．11B．15C．10D．22【答案】B【解析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.利用勾股定理可得：，，∴故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5．如图1是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以【答案】A【解析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．故选：．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．6．下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】C【解析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．解：①如果a，b，c 为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；故选：C．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．7．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接DE，证明DE=DC=5，推出AB=10，AD=6，进而求出的面积即可得出结果．如图，连接，作于F点，是边上的高线，在中，根据“斜中半”定理可知，，，，为等腰三角形，且由勾股定理知：，，，是边上的中线，，，得，，，在中，由“三线合一”性质，知G为CE的中点，，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识点，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD 即可．解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，∴△BAF≌△EAF(SAS)∴BF=EF∴AF⊥BE又∵AF＝4，AB＝5，∴在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴即∵，∴∴∴∴在Rt△BDF中，，，∴故选：A【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．连接BE，延长CD 交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：∴∵∴∴故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．二、填空题11．如图,已知OA=AB,数轴上点C表示的实数是_____________，点E表示的实数是____________.【答案】【解析】利用勾股定理求出OB，即可得到点C表示的实数；利用勾股定理求出OD可得到点E表示的实数.解：由题意得：，∴，即点C表示的实数是，∴，∴，即点E表示的实数是，故答案为：，.【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，熟练应用勾股定理是解题关键.12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=6, 一个边长为2的正方形DEFH沿边CA方向向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为__________时，有DC2=AE2+BC2成立，【答案】【解析】连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,由∠A=30°，∠B=90°，BC=6,得到AC=12，AE=12-2-x=10-x,再根据DC2=AE2+BC2列出方程即可求解.连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,∵∠A=30°，∠B=90°，BC=6,∴AC=12，AE=12-2-x=10-x,∴AE2+BC2=（10-x）2+62，∵DC2=AE2+BC2∴22+(x+2)2=（10-x）2+62，解得x=【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理进行求解.13．若直角三角形的三边分别为a、a＋b、a＋2b，则的值为___【答案】3或－5【解析】若b是正数，则a、a＋b、a＋2b中a+2b最大，即a+2b是斜边，由勾股定理可得(a+2b) 2＝a2＋(a+b) 2，化简得a2－2ab－3b2＝0 ，所以(a+b)(a-3b)＝0 ，又a+b是一条直角边，因此a+b>0，所以a＝3b>0，即=3 ；若b是负数，则a、a＋b、a＋2b中a最大，即a是斜边，由勾股定理可得a2＝(a+b) 2＋(a+2b) 2，化简得a2＋6ab＋5b2＝0 ，即(a+b)(a＋5b)＝0 ，同上a+b>0，所以a＝-5b，即=-5.所以的值为3或－5.点睛：本题考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决本题的关键.14．如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为________.【解析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案∵∴点B与点C关于AD对称过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时最小∵∴BD=2在Rt△ABC中，∵S△ABC=∴得故此题填【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题15．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．【答案】0.5【解析】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.【答案】21【解析】在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠EAC．在△AEC和△ADC中，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF⊥AB，∴EF=BF，设EF=BF=x．∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．17．定义：如图，点、点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点、点是线段的勾股分割点．已知点点是线段的勾股分割点，，则_____．【答案】或【解析】①当MN为最长线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最长线段时，由勾股定理求出BN即可．解：当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，；当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，．综上所述：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，注意分类思想的应用．18．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为__________海里．【答案】【解析】根据题目中的已知角度，求出，再利用勾股定理列方程计算．由题意知，，在中，，，则，解得：故答案为：15【点睛】本题考查了勾股定理的应用，突破口在于找到直接三角形．19．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和4cm，高为6cm．如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要_______________cm．（结果用含n 的代数式表示）【答案】2【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．解：将长方体展开，连接A、B．从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，则AB＝=2cm．故填：2.【点睛】本题主要考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答．20．如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______．【答案】．【解析】利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形面积，从而发现规律．解：由题意可得在中，∴同理可得：…∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题关键．21．如图，四边形ABCD中，点E在CD上，交AC于点F，，若，，则__________．【答案】7【解析】证明△ABF≌△DCA可得AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，可得DG=GC=3，GF=GC-FC=1，在△ADG中利用勾股定理即可求得AD，从而求得AC．解：∵BE∥AD，∴∠AFB=∠CAD，∵，∴△ABF≌△DCA（AAS），∴AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD=45°，，∴DG=GC=3，∴GF=GC-FC=3-2=1，设AD=AF=x，则AG=x-1，由勾股定理得32+（x-1）2=x2，解得x=5，∴AD=5，BF=AC=AF+CF=5+2=7，故答案为：7．【点睛】此题考查勾股定理以及全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．22．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）【答案】①②③【解析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA），结合可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP，可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE= ，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，，故②正确，∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故③正确，若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题23．如图，已知与有一个公共点C，其中，若，，，，.求证：．【答案】见详解.【解析】先利用勾股定理求出AC2和CE2的值，再根据勾股定理的逆定理证明△ACE为直角三角形.证明：∵，∴在中，根据勾股定理同理可求.在中∵..∴.∴为直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形，本题依次可证.24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2．【答案】证明见解析．【解析】根据即可得证．如图，过点D作，交BC延长线于点F，连接BD，则，由全等三角形的性质得：，，，，即，整理得：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．25．如图，某小区对位于小路AC同侧的两个喷泉A，B的管道进行铺设．供水点M在小路AC上，喷泉A，B的距离是400米，供水点M到AB的距离MN是150m，BM=250m．（1）供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？（2）改变供水M的在AC上的位置，若使管道BM最短，求出此时供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？．【答案】（1）500m；（2）560m【解析】（1）根据勾股定理依次求出BN和AM，供水管道总长即为AM+BM；（2）根据垂线段的性质可画出对应图，再根据勾股定理分别在Rt△BM M '和Rt△BAM '中表示，列出方程求解即可求得MM '，由此可求得和AM '即可求解．解：（1）由题意可得：MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，在Rt△MNB中，∠MNB=90°，BN＝，∵AB＝400，∴AN＝AB﹣BN＝200，在Rt△AMN中，∠MNA=90°，AM＝，∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝250+250＝500m；（2）由题意可得：BM '⊥AC，AM=BM=250，AB=400，∴∠BM 'M=90°，设MM '=x，则AM '=x+250，在Rt△BM M ' 中，∠BM 'M=90°，，在Rt△BAM ' 中，∠BM 'M=90°，，∴，∴，∴，∴，∴供水点M ' 到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝320+240＝560m.【点睛】本题考查勾股定理的应用，线段垂线段的性质．（2）中能正确作出图形，并熟练掌握方程思想是解题关键．26．如图1，在中，，，是的高，且．（1）求的长；（2）是边上的一点，作射线，分别过点，作于点，于点，如图2，若，求与的和．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）根据勾股定理可求AD，再根据勾股定理可求CD，根据BC=BD+CD即可求解；（2）根据三角形面积公式可求AF与CG的和．（1）在Rt△ABD中，ADB=90，由勾股定理得：AD=，在Rt△ACD中，ADC=90，由勾股定理得：CD=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC的长为3；（2）∵AF⊥BE，CG⊥BE，BE=，∴，=，=，而=，∴=，即AF与CG的和为．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．27．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作【解析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算；（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可．解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．28．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．（1）如图1，已知，，，求BD的长；（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析【解析】（1）利用勾股定理运算即可；（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中点，连接，如图2所示：则∴∵∴∴∴∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．29．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处．【解析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．（1）由面积相等可得，∴，∴，∴．（2），，∴．故答案为：（3）设千米，则千米．∵到A，B两个城市的距离相等，∴，即，由勾股定理，得，解得．即O应建在离C点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．30．阅读下面的材料，并解决问题：数学家与勾股数组定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长都是正整数，且满足，那么数组称为一组勾股数．每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究：1．我国西周数学家商高在公元前年发现了“勾三，股四，弦五”，数组是世界上发现最早的一组勾股数．2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为，其中为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)3．柏拉图提出的勾股数公式为，其中为大于的整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为，其中是互质的奇数．(注：的相同倍数组成的一组数也是勾股数) 5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为，其中是互质且为一奇一偶的任意正整数．问题解答：通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知_；直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出；通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字．【答案】（1）-2；（2）答案不唯一，例如；（3）答案不唯一，例如【解析】（1）直接令b-c即可求解；（2）根据题意即可写出勾股数；（3）根据题意即可写出勾股数．解：（1）∵∴b-c=故答案为：-2．答案不唯一，例如答案不唯一，例如．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．31．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为___；位置关系为．拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD 之间的关系是否仍然成立请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段AB 绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）．【解析】（1）问题发现，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，可证AE⊥BD；（2）拓展探究，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，可证AE⊥BD；（3）解决问题，由由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，由三角形的三边关系可求解．解：（1）问题发现如图①，延长BD交AE于H，∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCD＝90°，CA＝CD，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，∵∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠EAC＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；拓展探究：（2）成立．理由：如图2，设与BD相交于点G．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，，∴，∴，∴．拓展延伸：（3）AE的最大值为．如图3，连接BD．∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，当点在线段DA的延长线时等号成立，故AE的最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，证明△ACE≌△DCB是本题的关键．。

八年级数学上册能力提升试卷【有解析有答案】

八年级数学上册能力提升试卷【有解析有答案】1．如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画（）A．5个B．6个C．7个D．8个2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC 交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=30，D是AB上一点，AD：CD=25：7，且DB=DA，过AB 上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是．4．如图，两个边长为6的等边三角形拼出四边形ABCD，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t秒．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．当t=时，DF的长度有最小值，最小值等于．5．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD2=．6．如图，已知三角形木块ABC，∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm，一只蚂蚁在AC、AB间往返爬行．当蚂蚁从木块AC边的中点O出发，爬行到AB边上任意一点P后，又爬回到AC边上的任意一点Q后，再爬行到点B，在这一过程中这只蚂蚁爬行的最短距离为．7．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P是△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°﹣α．（1）用含α的代数式表示∠APC，得∠APC=；（2）求证：∠BAP=∠PCB；（3）求∠PBC的度数；（4）若PA=PB，试猜想△ABC的形状．8．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，三角板斜边交BC于点D，直角边交BC于点E，在BC边上取一点M，连接AM．（1）若∠BAD=∠DAM，求证：∠CAE=∠EAM；（2）在（1）的条件下，线段BD、CE、DE之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出这个数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．9.如图1：点M、N在直线AB的同侧，在直线上找一点P使MP+NP最短？解：做点M关于直线AB的对称点M′．连接M′N，线段M′N与直线AB的交点即为点P的位置，即MP+NP最短．（1）应用1：如图2，M、N是△ABC中AB、AC边上的两点，请在BC边上确定一点P使得△PMN的周长最小？（不写作法只保留作图痕迹）（2）应用2：设x、y为正实数，且x+y=8，求：+的最小值．10．数学活动﹣﹣求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．11．如图，四边形ABCD是长方形（长方形对边相等且平行，四个角为直角），（1）用直尺和圆规在边CD上找一个点P，使△ADP沿着直线AP翻折后D点正好落在BC边上的Q点（不写作法，保留作图痕迹）．连结AP，AQ，PQ；（2）在（1）中作的新图形中，已知AB=5，AD=13，求CP的长．12．课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．。