选修4-4平面直角坐标系
新课标数学 选修4-4章末归纳提升1
新课标 ·数学 选修4-4
求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标的方法和步骤， 和求直角坐标方程类似， 就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条 件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式 f(ρ，θ)＝0 表示出来，就 得到曲线的极坐标方程．
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π 求圆心为 C(3， 半径为 3 的圆的极坐标方程． 6)， 【解】 如图，设圆上任一点为 P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠
x′＝3x， 2y′＝y.
求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方
程．
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【解】 设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点． 由伸缩变换
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
x′ x＝ ， 3 得 y＝2y′，
x′ 代入 y＝6x，得 2y′＝6·3 ＝2x′， ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程． 因此变换后直线 l′的方程为 x－y＝0.
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平面直角坐标系下图形的变换
平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用
x′＝λxλ>0 坐标变换公式 y′＝μyμ>0
时，一定要分清变换前后的新
旧坐标．
在 平 面 直 角 坐标 系 中 ，已 知 伸 缩 变换 φ ：
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2 2 x ＋y －4x＝0， (2)由 2 2 x ＋y ＋4y＝0，
x1＝0， 解得 y1＝0，
x2＝2， y2＝－2.
即⊙O1，⊙O2 交于点(0,0)和(2，－2)， 故过交点的直线的直角坐标方程为 y＝－x.
最新人教版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》课堂探究
课堂探究知能点一：利用平面直角坐标系解决实际问题数与形是数学的核心问题．代数与几何也是现实事物中广泛存在的两种形式．因此数形结合是重要的数学思想方法．很多实际问题都与图形的变换有关，所以我们可以用坐标法解决许多实际问题．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的典型例题1方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线m的相对位置，如图，以A为原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要求出点W与直线m的距离，则问题即可解决．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(－1 000,0)，由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－2002，2002)．由直线m过B点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m的方程是x－3y＋1 000＝0.于是，点W到直线m的距离为|－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100.所以，埋设地下管线m的计划可以不修改．设有半径为3千米的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A，B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A，B两人的速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设A出发x0小时后，在点P处改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇，则P ，Q 两点的坐标分别为(3vx 0,0)，(0，vx 0＋vy 0)．由|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2知，(3vx 0)2＋(vx 0＋vy 0)2＝(3vy 0)2，即(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.∵x 0＋y 0＞0，∴5x 0＝4y 0①. 将①代入k PQ ＝vx 0＋vy 0－3vx 0＝－x 0＋y 03x 0，得k PQ ＝－34.又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置． 设直线y ＝－34x ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝9相切，则有|4b |32＋42＝3，且b ＞0，∴b ＝154.故A ，B 两人的相遇点在离村中心正北334千米处．知能点二：平面直角坐标系下的轨迹问题在解决能够判断曲线类型的这一类问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决．典型例题2如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．由曲线C 上的点M 满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从而可以用待定系数法来求其方程．解：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22＜|AB |＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1．△ABC 的边AB 的长为定长2a ，边BC 的中线的长为定长m ，试求顶点C 的轨迹方程．解：取AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设C (x ，y )，则边BC 的中点为D ⎝⎛⎭⎫x ＋a 2，y 2，由|AD |＝m ，得⎝⎛⎭⎫x ＋a 2＋a 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝m 2.化简得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.又因点C 在直线AB 上时不能组成三角形， 故y ≠0，因此顶点C 的轨迹方程是(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2(y ≠0)． 知能点三：坐标伸缩变换求满足图象变换的伸缩变换，应先求出变换公式，再将新旧坐标代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．典型例题3在同一坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y后，圆x 2＋y 2＝1变成了什么曲线？将伸缩变换中的x ，y 分别用x ′，y ′表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，∴⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝12y ′，代入圆的方程x 2＋y 2＝1，有⎝⎛⎭⎫13x ′2＋⎝⎛⎭⎫12y ′2＝1，∴x ′29＋y ′24＝1． ∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y 后，圆x 2＋y 2＝1变成了椭圆x ′29＋y ′24＝1．1．在同一直角坐标系中，将直线2x －y ＝3变成直线2x ′－6y ′＝9，求满足图形变换的伸缩变换．解：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0 ，y ′＝μy μ>0 .将其代入2x ′－6y ′＝9，得2λx －6μy ＝9，与2x －y ＝3进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.故伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y . 2．在同一平面直角坐标系中，求将曲线x 2－2y 2－3x ＝0变成曲线x ′2－8y ′2－12x ′＝0的伸缩变换．解：令伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0).将其代入x ′2－8y ′2－12x ′＝0，得λ2x 2－8μ2y 2－12λx ＝0，与x 2－2y 2－3x ＝0进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧4μ2＝λ2，12λ＝3.故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.从而伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝2y .。
人教课标版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》教案-新版
1.1平面直角坐标系一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象() A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 21sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】422=+y ．端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ．（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 42后得到的图形对应的方程是（）A ．0142=-'+'y xB ．01=-'+'y xC ．014=-'+'y xD ．0116=-'+'y x 【知识点】伸缩变换【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程． 【答案】B（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422=+y x(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质与其他几何图形的关系． 2．问题探究探究一结合实例，感受坐标法思想★例1某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.） ●活动①实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点.【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A - 于是直线l 的方程为x y -=设双曲线Γ的方程是)0,0(12222>>=-b a by a x由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,于是双曲线Γ的方程是134056802222=⨯-y x将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以)5680,5680(-P ,10680=OP所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)． ②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动②归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③学以致用,理论实践例2 已知△ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+ , BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.A BCO y xF E【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】解: 如图, 以△ABC 的顶点A 为原点O, 边AB 所在的直线为x 轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F 的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(c F c B A ,设点C 的坐标为),(y x ,点E 的坐标为)2,2(yx .由2225a c b =+可得2225BC AB AC =+即[]22222)(5y c x c y x +-=++,整理得05222222=-++cx c y x因为),2(),2,2(y x cCF y c x BE --=-=所以0)5222(41222=-++-=•cx c y x CF BE由此,BE 与CF 相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE 与CF 相互垂直.同类训练 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2+|PB |2+|PC |2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想【解题过程】 如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A (0,23 a ),B (-2a ,0),C (2a ,0).设P (x ,y ),则|P A |2+|PB |2+|PC |2 =x 2+(y -23 a )2+(x +2a )2+y 2+(x -2a)2+y 2 =3x 2+3y 2-3ay +452a =3x 2+3(y -63a )2+a 2≥a 2,当且仅当x =0,y =63a 时,等号成立,∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心. 【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题 【答案】所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心 【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动①温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin =吗？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，就的到曲线x y 2sin =.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到点),(y x P '''，则⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 21①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动②温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y sin 3=呢？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就的到曲线x y sin 3=.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),(y x P '''，则⎩⎨⎧='='y y x x 3②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin 3=呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，再保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就可得曲线x y 2sin 3=.类比上述情况，即：设平面直角坐标系中任意一点),(y x P 经过上述变换后为点),(y x P '''，那么⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念． 活动④巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 2131后的图形.⑴14922=+y x ；⑵1121822=-y x ⑶x y 22= 【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2131得⎩⎨⎧'='=y y x x 23代入14922=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为122='+'y x同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为13222='-'y x⑶式经过伸缩变换后的图形方程为x y '='232 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程.同类训练在平面直角坐标系中, 求方程032=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形对应的方程为.【知识点】坐标的伸缩变换． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 321代入032=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为0='+'y x【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】0='+'y x●活动⑤强化提升、灵活应用例4在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3后，曲线C 变为曲线9922='-'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3代入曲线9922='-'y x 得到曲线C 对应的方程为122=-y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】122=-y x ．同类训练在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312后，曲线C 变为曲线1922='+'y x ，求曲线C 的方程． 【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312代入曲线1922='+'y x 得到曲线C 对应的方程为1422=+y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用． 【答案】1422=+y x ． 3.课堂总结 知识梳理（1）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业 基础型自主突破1．已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )A.21B.2C.3D.31 【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．【解题过程】:∵1,3,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩∴3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 【思路点拨】函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错． 【答案】C2.曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='yy xx 43变换后得到的新曲线的方程是（）.A ．14322='+'y xB ．191622='+'y xC ．116922='+'y x D ．116922='+'y x【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='y y x x 43变换后,即⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4131代入到圆的方程,可得116922='+'y x 即所求新曲线的方程为116922='+'y x ． 【思路点拨】将y x ,表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D ．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是() A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用．【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆． 【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得． 【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A ．2332x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3223x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．x'y y'x =⎧⎨=⎩D ．11x'x y'y =+⎧⎨=-⎩【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】设此变换为,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩则3,22,3x'x y'y λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以所求变换为3,22,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到． 【答案】B ．5．已知函数=)(x f 22(1)1(1)1,x x -++++则)(x f 的最小值为__________． 【知识点】平面直角坐标系的应用． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为2.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理． 【答案】22．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线322='+'y x ，则曲线C 的方程为________． 【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】将伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入322='+'y x ，得392522=+y x ．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式． 【答案】392522=+y x ． 能力型师生共研7．设曲线C 对应的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 后得到曲线C ',则曲线C '为（） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．随μλ,的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换．【解题过程】将变换,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x μλ11代入双曲线方程得)0,0(1222222>>='-'b a b y a x μλ，所以曲线C '为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以与双曲线定义． 【答案】A ．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线01283622=+--x y x 变成曲线03422=+'-'-'x y x ，求满足条件的伸缩变换．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为24()2x -－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得42,23,x x y y -⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩ 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象． 【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．探究型多维突破9．△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程． 【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程． 【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b )． 设△ABC 的外心为M (x ，y )．取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴|MA |＝|MB |. 又|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，∴x 2＋y －b2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量. 【答案】02222=-+-a b by x ．自助餐1．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得到的曲线方程为( )．A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′ C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 【知识点】三角函数图形、伸缩变换． 【解题过程】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，转化为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 312代入y ＝sin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用． 【答案】D2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )A ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，3y ＝0B ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0 C ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0 D ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，2y ＝0【知识点】伸缩变换．【解题过程】设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝3y ′，代入F (x ，y )＝0得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′，3y ′＝0.．【思路点拨】正确使用伸缩变换公式． 【答案】A3．双曲线C:16422=-y x 经过⎩⎨⎧='='yy x x 23:ϕ变换后所得曲线C '的焦点坐标为________．【知识点】双曲线的性质、伸缩变换．【解题过程】 将变换⎩⎨⎧='='y y x x 23ϕ变形为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 231代入曲线C 中得：116922=-y x ，所有焦点坐标为)0,5(或)0,5(-．【思路点拨】先将曲线C '的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标． 【答案】)0,5(或)0,5(-．4．在同一平面直角坐标系中，曲线369422=+y x 经过伸缩变换ϕ后变成曲线1222='+'y x ，则伸缩变换ϕ为________． 【知识点】伸缩变换公式．【解题过程】将369422=+y x 变形为14922=+y x 与1222='+'y x 比较可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 2231． 【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2231． 5．如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．【知识点】双曲线的定义、直角坐标系． 【数学思想】坐标法思想．【解题过程】解：设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． 因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，所以直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又因为|PB|－|P A|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－3211(舍去)，所以y＝5 3.所以点P的坐标为(8,53)．【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．【答案】(8,53)．。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[通一类] 1．已知线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|＝8，|CD|＝4， 动点 M 满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点 M 的轨迹方程．
解：以 O 为原点，分别以直线 AB，CD 为 x 轴、y 轴建立直 角坐标系， 则 A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)． 设 M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝ x＋42＋y2，|MB|＝ x－42＋y2，
变换后得到双曲线
高中数学选修4-4坐标系
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y3x yFra bibliotek后，曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入x2 9y2 9
得9x29y2 9即x2 y2 1
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程 再确定其中的基本量．
3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注 意：
(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解 题过程简化，减少计算量．
(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的 基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而 没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后 的结论是不完备的．
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系
思考:
思考:
思考:
探究
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
8.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ : 下仍是其本身的点为_______.
x=x ( 0, 1)
y=y ( 0, 1)
作用
【解析】设P（x,y）在伸缩变换φ： x=x ( 0) 作用下得到 y=y ( 0)
P′(λx,μy)，依题意得 x=x , 其中λ＞0,μ＞0,λ≠1，
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线（C）双曲线 Nhomakorabea（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=0
3
(C)F(3x, y )=0
2
(D)F( x ,2y)=0
3
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分） 7.点A(2,-3),B(-1,1)之间的距离为_______. 【解析】由两点间的距离公式得|AB| = [2-(-1)]2 +(-3-1) 2 =5. 答案：5
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
2014年人教A版选修4-4课件 1.平面直角坐标系
问题2. 上述思考充分体现了坐标法的思想. 其结 果有如下的两种表述, 各种表述由哪几个元素确定? 你认为各种表述有什么意义? 表述 1: 巨响位于 P(-680 5, 680 5 ) 处. 表述 2: 巨响位于信息中心北偏西45, 相距信息 中心 680 10 米处. 表述 1 用 x、y 的坐标这两个元素确定位置. 表述 2 用相对于信息中心的方位角和距离这两个 元素确定位置. 表述 1 便于书面和图纸上的标注. 这样的表述在 语言的传递中缺了坐标系, 点的坐标就显得无意义. 表述 2 便于语言传递和描述, 是相对于参照位置 的描述, 易于理解和想像.
O 设点 C 的坐标为 C (x, y), 由中点坐标求得 E ( x , y ), F ( c , 0). 2 2 2 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 代入坐标整理得 2x2+2y2+2c2-5cx=0. (A) F B x
O F B 设点 C 的坐标为 C (x, y), 2+c2=5a2, y x c 例 1. 已知△ ABC 的三边 a , b , 满足 b 由中点坐标求得 E ( , ), F ( , 0). 2 上的中线 2 2, 建立适当的平 BE, CE 分别为边 AC , AB 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系. 代入坐标整理得 解: 以△ ABC 的顶点 A= 为原点 , AB 所在直线 2+2y2 2x +2c2-5cx 0. y 为 x 轴, 建立平面直角坐标系 . x y C BE = ( - c, ), 2 2 则各点的坐标为 c E CF = ( x , y ), A(0, 0), B(c, 20), 2 y x c O(A) F B x 则 BE CF = ( - c )((xx )设点 C 的坐标为 C , y ), 2 2 2 y2 x c 1 2 2 由中点坐标求得 E F ).) = 0, = - (2 x( 2 +,2 2 y ), +2 c(2 - ,50 cx 4 2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 由 b ∴BF 与 CE 互相垂直. 代入坐标整理得 (请同学们用斜率试一试) 2x2+2y2+2c2-5cx=0.
选修4-4数学坐标系与参数方程
选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一，包括平面直角坐标系和极坐标系。
参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程，常用于描述曲线的运动或变化。
考点：1. 平面直角坐标系：了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。
2. 极坐标系：了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。
3. 参数方程：了解参数方程的定义和解题步骤，熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。
二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3，求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。
【解析】：1. 求该函数的根，即当y=0时x满足的条件：x=1±√2。
2. 绘制函数图像。
由于该函数为二次函数，故开口向上，图像开口向上，存在顶点，而顶点的横坐标为x=-b/2a，即x=1。
当x=0时，y=3，即函数在y轴上截距为3，因此y轴上的一点为(0，3)。
3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t，y=2sint-sin2t的形状和特征，求其极坐标方程，指出极点和极轴，找出曲线上各点的对称点。
【解析】：1. 观察曲线方程，发现x的系数为2，y的系数为-1。
而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1，故有x=4cos²t-1-y。
2. 代入x²+y²=r²，消去t，即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。
3. 极点为(θ=r=0)，为对称中心，且曲线轨迹在极轴之上。
4. 若要求曲线上一点的对称点，可先求该点的极坐标系(r,θ)，则其对称点的极坐标系为(r,-θ)，再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。
选修4-4 坐标系与参数方程
选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. 极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可. (2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ.由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ). 一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数. ④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性. 3.极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一. 4.简单曲线的极坐标方程[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2 D.ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4 解析：选A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C.(1,0)D.(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 3.在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3解析：选A 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.4.若点P 的直角坐标为(3，－3)，则点P 的极坐标为______.解析：因为点P (3，－3)在第四象限，与原点的距离为23，且OP 与x 轴所成的角为－π6，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6 5.在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________.解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：∵A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23). ∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6. 答案：6考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 [基础自学过关][题组练透]1.在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎨⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1).(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6×x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′，∴y ＝x 为所求直线l ′的方程.2.将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ＞0)，求λ，μ的值.解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ＞0)代入上式，得λ2x 225＋μ2y 216＝1，即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1， 与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.[名师微点]伸缩变换后方程的求法及注意点(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)即为所求.(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解. 考点二 极坐标与直角坐标的互化 [师生共研过关][典例精析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π). (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2， 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [解题技法]1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可. (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧. 2.极角的确定方法由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角.在这里要注意：当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[过关训练]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 极坐标方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系. [解] (1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ. 设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20， 即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5. 故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离.[解题技法]利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可. [提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.[过关训练](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.[课时跟踪检测]1.在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2.已知点Q 为曲线C 1上的动点，点P 在线段O Q 上，且满足|O Q |·|OP |＝4，动点P 的轨迹为C 2. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值. 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，由题意知，|OP |＝ρ，|O Q |＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.由|O Q |·|OP |＝4得C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6(ρ＞0)，化简得ρ＝3cos θ＋sin θ，因此C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，但不包括点(0,0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)， 由题意知，|OA |＝2，ρB ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6， 于是△AOB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin 2α－34≤32. 当α＝0时，S 取得最大值32.所以△AOB 面积的最大值为32.3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a ＞0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1.4.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5. (1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标. 解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行. 即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1， 即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，②联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32. 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12或⎝⎛⎭⎫32，32. 又因为圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小， 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32， 点A 的极径为⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3.所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3. 5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积.解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12()4＋33()3＋43sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3， 得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且A ，B 均异于原点O )，当0＜α＜π2时，求|OB |2－|OA |2的最小值.解：(1)易知曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α，则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8 ≥281＋sin 2α×4(1＋sin 2α)－8＝82－8， 当且仅当sin α＝2－1时取等号，所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π2.(1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，∴曲线M 是以(1,1)为圆心，22为半径的圆. (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2， ∵O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2(*)，将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝2(sin θ＋cos θ)，ρ1ρ2＝－6， 代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ. 用θ＋π2代替θ，得|BD |＝28－4sin 2θ，又l 1⊥l 2，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12(28＋4sin 2θ)(28－4sin 2θ) ＝249－sin 22θ，∵sin 22θ∈[0,1]，∴S 四边形ABCD ∈[83，14].第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎨⎪⎧x ＝f (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.(2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.(2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程[熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，2555.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围. 考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ . 因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2， 故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5， 解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数).(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数).以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值. 解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2， 则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107.8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.(1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ，得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ， 即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
返回
[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
返回
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
返回
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
返回
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨]
由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x
轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解 决问题． [证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系． 设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
返回
[解]
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)， 可得 x＝x0，|y|＝m|y0|， 1 所以 x0＝x，|y0|＝m|y|. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ＋ 2 ＝ m 1(m>0，且 m≠1)．
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点击下图进入
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x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
返回
6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
返回
建立平面直角坐标系的原则
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称
轴，M（0，64 ）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D
7
（8，0），观测点A（4，0），B（6，0）同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天 器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
缩短到原来的 1 ,得到的曲线方程为(
3
)
(A)F（ x ,3y）=0
2
(B)F(2x, y )=03Biblioteka (C)F(3x, y )=0
2
(D)F( x ,2y)=0
3
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分） 7.点A(2,-3),B(-1,1)之间的距离为_______. 【解析】由两点间的距离公式得|AB| = [2-(-1)]2 +(-3-1) 2 =5. 答案：5
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d2 =20 (km),
2
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
选修4-4 第一节 坐标系
π 2
－
θ)，即ρ＝4cos(π2－θ)＝4sin θ，将ρ＝4sin θ
化成直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4
①ρcos θ＝2化成直角坐标方程为x＝2
②ρcos θ＝－2化成直角坐标方程为x＝－2
③ρcos θ＝4化成直角坐标方程为y＝4 ④ρcos (θ－π6)＝3化成直角坐标方程为 3x＋y－6＝0 不难得出，①②③④都合题意．
∴x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1. ∴A′的坐标为(1，－1)．
(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，则 x＝13x′ y＝2y′
，将
x＝13x′ y＝2y′
代入y＝6x得2y′＝6×(13x′)，即y′＝x′.
∴直线l′的方程为y＝x.
(3)设曲线C′上任意一点P′(x′y′)，则 x＝13x′， 将 y＝2y′，
[做一题]
[例2] 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－
π 3
)＝1，M、
N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
[自主解答](1)由ρcos(θ－π3)＝1，
y＝ ρsin θ ；
tan θ＝
y x
x≠0.
4．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径
为 r 的圆
圆心为(r,0)，半径
为 r 的圆
圆心为(r，π2)，半径
为 r 的圆
极坐标方程
ρ＝r(0≤θ＜2π)
ρ＝2rcos θ (－π2≤θ≤π2)
ρ＝2rsin θ
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
选修4-4坐标系与参数方程
建立联系．
Y＝byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x，
1，－2
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标．
2y′＝y.
第 1 页 共 22 页
解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
x＝1x′， 由题意，将 3
y＝2y′
代入 x2－ y2 ＝1 64
得x′2－4y′2＝1，化简得x′2－y′2＝1，
9 64
9 16
即x2－ y2 ＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 9 16
则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′＝λ·xλ＞0，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点
4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2＋y2＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa>0， 求 a，b 的值．
94
Y＝byb>0，
X＝ax， 解y＝1Y， b
代入 x2＋y2＝1 中得Xa22＋Yb22＝1，所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，
选修4-4坐标系和参数方程
数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。
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P8 习题1.1－－1
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦
2
曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得1 到点
P’(x’,y’).坐标对应关系为：
2
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
思考:
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上
的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。 y
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， 边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的 坐标分别为
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8 1, 2，4, 5 预习： 极坐标系（书本P9-P11）
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，在此基础上，
2
将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线
y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐
标伸缩变换。
即 x 2 y 2 c 2 5 [(x c )2 y 2 ].
整 理 得 2 x 2 2 y 2 2 c 2 5 c x 0 .
因 为 B E (x c ,y ),C F (c x , y ),
22
2
所 以B EC F(xc)(cx)y20. 22 2
因此，BE与CF互相垂直.
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
听到爆炸声，
y
C
P
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
B o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 ห้องสมุดไป่ตู้1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
C E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
O (A)
F
Bx
设 点 C 的 坐 标 为 ( x , y ) , 则 点 E 的 坐 标 为 （ x 2 ， y 2 ） . 由 b 2 c 2 5 a 2 ， 可 得 到 |A C |2 |A B |2 5 |B C |2 ，
双曲线
x2 a2
y2 b2
1 上，
a680,c1020 b2 c2a2 10220682053420 故双曲线方 6x822程 05为 y324201(x0)
用y=－x代入上式，得 x6805，
∵|PA|>|PB|,
x680 5,y680 5, 即 P(680 5,680 5)故 , PO 681 00
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
第一讲 坐标系
§1 平面直角坐标系
一．平面直角坐标系的建立 坐标法
1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
思考:
思考:
C P
B
信息中心
A
l r
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，