选修4-4 一、平面直角坐标系

你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这 个问题吗？你认为建立直角坐标时应该注意些什 么？
（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
思考： （1百度文库怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sinx
设点P（x,y）
经变换得到 O
x'=
1 2
2
x
点为P'(x',y')
伸缩变换
x
3
y'=3y
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
x' x : y' y ( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应 P’(x’,y’).称
C
c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2
E
O (A)
F
B
x
x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 2 由b2 c 2 5a 2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
即 x 2 y 2 c 2 5[( x c)2 y 2 ].
y
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐
1 标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦 2
曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持 纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 1 2 P'(x',y').坐标对应关系为： x'= 2 x 1 通常把叫做平面 y'=y 直角坐标系中的一 个压缩变换。
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x'2+y'2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换 x'=3x 后， y'=y 曲线C变为x'2+9y'2 =1，求曲线C的方 程并画出图形。
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
选修4-4 坐标系与参数方程
考 纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩 坐标系与简 变换作用下平面图形的变化情况. 单曲线的极 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐 坐标方程 标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程. 知识点
2 2 （x 1） （x 1） 能把椭圆 1变为中心在原点的单位圆吗？ 9 4
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。 作业： P8 1, 2，4, 6
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10 m 处.
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
解： 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， 边AB所在的直线x轴，建立直角 y 坐标系，由已知，点A、B、F的 坐标分别为
参数方 1.了解参数方程，了解参数的意义. 程 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆 锥曲线的参数方程.
一．平面直角坐标系的建立 坐标法
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系; 2.设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y) ; 3.写出适合条件 P 的几何点集: P M P ( M ) ; 4.将坐标代入条件 P( M ) ,列出方程 f ( x, y ) 0 ; 5.化简方程 f ( x, y ) 0 为最简形式; 6.证明(查漏除杂).
怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？
y P C
B
信息中心
o
A
x
L Γ
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听 到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s y 听到爆炸声，
把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 可以用坐标伸缩变换得到； 在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一 直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x'=2x (1)2x+3y=0; y'=3y (2)x2+y2=1; 后的图形。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
设点P（x,y） 经变换得到 点为P'(x',y')
P
y
P'
y=3sinx
x'=x
2
O
y=sinx
2
x
y'=3y
伸长变换
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y=sin2x
y
y=3sin2x
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
x y 故双曲线方程为 1 ( x 0) 2 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5， ∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P ( 680 5 ,680 5 ), 故PO 680 10
以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ．．． ． ．． ． ．
某信息中心接到位于正东、正西、正北 方向三个观测点的报告：正东、正西两个观 测点同时听到一声巨响，正东听到的巨响时 间比它们晚4秒.已知各观测点到中心的距离 都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声 音传播的速度为340m/s,个观测点均在同一 个平面上.)
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
B
P
C
|PA|－ |PB|<|AB| |PA|> |PB|
o
A
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的左支上， a b a 680 , c 1020
b c a 1020 680 5 340
整理得
因为
2 x 2 y 2c 5cx 0.
2 2 2
c x y BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2
x c y2 所以 BE ( c)( x) CF 0. 2 2 2
因此，BE与CF互相垂直.