1.1平面直角坐标系 (共31张PPT)

问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？ 问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立 坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
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某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时 间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上）
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
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例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处 ，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管 理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B 地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公 y y 路和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
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课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 。
y
B
P o
C Ax
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解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时 听到巨响声，得 |PC|=|PB| ，故 P 在 BC 的垂 直平分线 PO 上， PO 的方程为 y= － x ，因 A P B y C
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。 ①
0, 0
②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
典型例题
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即 x2 y2 c2 5[( x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
y
C
x y c 因为 BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2
x c y2 所以BE CF ( c)( x) 0. 2 2 2
y
C
B
D E
O F
A
x
D
A
O
E
F
x
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探究
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时 间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上）
点比B点晚4s听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
o
A
x
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由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
x y 2 1 2 a b
a 680 , c 1020 b 2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
BE,CF 分别为边 AC,AB 上的中线，建立适当的 BE,CF 分别为边 AC,AB 上的中线，建立适当的 平面直角坐标系探究 BE 与 平面直角坐标系探究 BE CF 与 的位置关系。 CF 的位置关系。
y 以△ ABC 的顶点Ａ为原点 Ｏ ， 解：
边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的
E
C
坐标分别为
c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2
O (A)
F
B
x
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x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 2
由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
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选修4-4 坐标系与参数方程
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一、平面直角坐标系
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1º数轴(直线坐标系)： 任意 2º平面直角坐标系： 点P 3º空间直角坐标系：
确定
确定 确定
实数x 有序实数对(x, y) 有序实数组(x, y, z)
直线仍然变成直线， 而圆可以变成椭圆。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点 O ,叫做极点； 引一条射线 OX ,叫做极轴； 再选定一个长度单位和角度单位（通 常取弧度）及它的正方向（通常取逆 时针方向），
O X
这样就建立了一个极坐标系。
想一想？ 如图:极坐标系OX,对比直角坐标 系想一想平面上任意一点M的极 坐标该如何表示？
例1 说出下 图中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4),

2
5 6
C E D O B A

4

4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3

2
5 6

P
C E D B A
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到 ； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
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平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考： 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
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y
O

2 x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P’(x’, y’)，坐标对应关系为：
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0
1 x 2 1 代入2x+3y=0; y 3
x 2 y 2 1 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 4 9
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x x, ( 0) 在伸缩变换 ： 下， y y, ( 0)
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
1 x x 2 y y
①
我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标 压缩变换。
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持 横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
D C
A(0,0)
E
120m 50m
45o 60o B A O 60m
C (120, ) D(60 3 , ) 3 2 3 E (50, ) 4
X
M.
O X
记:M(,)
表示线段OM的长度，叫做点M的极径;
表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角; 有序数对(,)就叫做点M的极坐标. M.
O X
强调：不做特殊说明时,≥0,∈R 当=0时，表示极点。
思考？
1.在极坐标平面上点与坐标的对应 关系是怎样的？ 2.极坐标平面上一个定点M(,)的 极坐标是否可以写出统一的表达 式？ 3.若使极坐标平面上点与坐标也为 一一对应关系需增加什么条件？
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y
O
2 x
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸 长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),坐标对应关系为：
x x y 3 y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
点的极坐标的统一表达式: 一般地： 极坐标 , 与 , 2k k Z 表示同一个点。 平面内点的极坐标有无数种表示。 点的直角坐标呢？ 当极角的取值范围 是[0,2π)时, O M
X
平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立 一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角。