解绝对值不等式的几种常用方法以及变形

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
一. 前提: 0a >;
形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为
()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<
()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤
例1. (1) |2x －3|＜5
解：－5＜2x －3＜5，得－1＜x ＜4 -------------------------转化为一元一次不等式
(2) |x 2－3x －1|＞3
解：x 2－3x －1＜－3 或 x 2－3x －1＞3 ---------------------转化为一元二次不等式 即：x 2－3x ＋2＜0 或 x 2－3x －4＞0
∴不等式的解为1＜x ＜2或x ＜－1或x ＞4 (3)
2x 3x 2－＋＞1 解：2x 3x 2－＋＜－1 或 2x 3x 2
－＋＞1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：－2＜x ＜1
3 或 x ＜－2或x ＞5
∴不等式的解为x ＜－2或－2＜x ＜13
或x ＞5
反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。

(2)规范解答，可以避免少犯错误。

二. 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱<g(x)
⇔- g(x)<f(x)<g(x)
（2）︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)
（3）︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x);
（4）︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)＜g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2－x ；
解：(1)原不等式等价于
x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) ---------------利用绝对值概念转化为整式不等式
解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12
} (2)|2x －2x －6|<3x
解: 原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x
即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩
或 即: 2<x <6
所以原不等式的解集是{x |2<x <6}
(3) 解不等式123x x ->-。

解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<
⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423
x <<。

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。

三. 前提: ,0a b >
形如: ()a f x b << x a x b ⎧>⎪⇔⎨<⎪⎩
----------------转化为不等式组来解决 例3. 解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5
解：原不等式等价于⎩⎨⎧≥-<-1
|12|5|12|x x 5215211211x x x -<-<⎧⇔⎨-≥-≤-⎩或 2310x x x -<<⎧⇔⎨≥≤⎩
或 ∴原不等式的解集为 {x | -2< x ≤0或1≤x<3}
四. 含有两个绝对值的不等式---------------(常常采用零点分段法来讨论)
例4 : 解不等式：|x-3|-|x+1|<1
解: 原不等式等价于
① 11(3)(1)141
x x x x ≤-≤-⎧⎧⇒⎨⎨--++<<⎩⎩⇒无解 ② 13131(3)(1)12
x x x x x -<<⎧-<<⎧⎪⇒⎨⎨---+<>⎩⎪⎩132x ⇒<< ③ 33(3)(1)141x x x x ≥≥⎧⎧⇒⎨⎨--+<-<⎩⎩
3x ⇒≥ 综上 原不等式的解集为}2
1|{>x x 练习．不等式|x+3|-|2x-1|<2
x +1的解集为
五. 含有参数的不等式
例5 (1)解关于x 的不等式①)(R a a x ∈<,②)(R a a x ∈> 解：∵R a ∈，分类讨论如下
① Ⅰ,0∅≤时，解集为a
Ⅱ },|{0a x a x a <<->时，解集为当
② Ⅰ,0R a 时，解集为<
Ⅱ },0|{0≠=x x a 时，解集为当
Ⅲ },|{0a x a x x a >-<>或时，解集为当 解关于x 的不等式(132R a a x ∈<-+
解:原不等式化为：132+<+a x ,在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论 ①当a+1≤0即a ≤-1时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为
②当a+1>0即a> -1时，- (a+1)<2x+3< a+1 => 24+-
a 2
综上得： ①；时，解集为∅-≤1a
②}2224|{1-<<+-->a x a x a 时，解集为
六:含有绝对值不等式有解. 解集为空, 与与恒成立问题
例6: 若不等式|x －4|+|3－x |<a 的解集为空集，求a 的取值范围。

［解题］解法一
(1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。

(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a 的取值范围。

令x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3
① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3<a ，即2x －7<a 解不等式组474272x a x x a
≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a >1 ② 当3<x <4时，原不等式化为4－x +x －3<a 得a >1
③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x <a 即7－2x <a 解不等式377337222x a a x x a ≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩
，∴a >1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时，原不等式解集为空集。

由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1
方法二
∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1
∴当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解
从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。

总结
(1) : ()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互
补。

()f x a <恒成立()max a f x ⇒>。

(2) ()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补。

()
⇒≤
a f x
>恒成立()min f x a。