推理与证明经典练习题

高二数学《推理与证明》练习题
一、选择题 1．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ） A ．4857b b b b +=+ B ．4857b b b b ⋅=⋅ C ．4578b b b b ⋅=⋅ D ．4758b b b b ⋅=⋅
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *
N n ∈，试归纳猜想出n S 的
表达式为（ ）
A 、
12+n n B 、112+-n n C 、112++n n D 、2
2+n n
3．设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =⋅⋅⋅'
1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2015()f x =
（ ） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 4．平面有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ）
A.
()112n n + B.()1
12
n n - C.()1n n + D.()1n n - 5．已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+，*x N ∈（）
，猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2
()21
f x x =+
6．观察数列的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点中, 其中第100项是( )
A ．10
B ．13
C ．14
D ．100
7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 8. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充要条件
D ．必要条件或充分条件 9.
2+7与3+6的大小关系是( )
A.2+7≥3+6
B.2+7≤3+6
C.2+7>3+6
D.2+7<3+ 6
10．[2014·卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根
B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 11．若f （n ）=1+1
21
3121++
⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为 （A ）1
（B ）31 （C ）1+3
121+ （D ）非以上答案
12.用数学归纳法证明111111111()234212122n N n n n n n
-
+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+∈-++,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为 （ ）
(A) 121+k (B) 4
21
221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －2
21
+k
13 用数学归纳法证明*111
1(,1)2321
n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时，第一步应验证不等式
（ ）
A. 2211<+
B. 231
211<++ C. 331211<++ D. 34131211<+++
14. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*
N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从
n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为（ ）
A. 12+k
B. )12(2+k
C. 112++k k
D. 13
2++k k
15. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列
结论正确的是（ ）
A. )(n p 对所有自然数n 都成立
B. )(n p 对所有正偶数n 成立
C. )(n p 对所有正奇数n 都成立
D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立 16．某个命题与自然数n 有关，如果当n =k （k ∈N *）时，该命题成立，那么可推得当
n =k +1时命题也成立．现在已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得 （A ）当n =6时该命题不成立； （B ）当n =6时该命题成立 （C ）当n =4时该命题不成立 （D ）当n =4时该命题成立 17．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
Ａ．两条直线平行，同旁角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁角，则
180A B ∠+∠=°
Ｂ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
Ｃ．三角形角和是180°，四边形角和是360°，五边形角和是540°，由此得凸多边形角
和是(2)180n -· Ｄ．在数列{}n a 中，11a =，1111(2)2n n n a a n a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
≥，由此归纳出{}n a 的通项公式
18. 使不等式2
21n n >+对任意n k ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 19．设+
111
,,,,,x y z R a x b y c z y z x
∈=+
=+=+，则,,a b c 三数（ ） A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都小于2
20．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为（ ）
二、填空题
21．已知x>0，由不等式1x x +
，24x x +=24
22x x x
++≥…，启发我们可以得出推广结论：n a
x x
+≥n+1 (n ∈N *)，则a=_________ ______．
22．如果>,a b 满足的条件是 . 23． 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，切圆半径为r
（用的面积表示ABC S ABC ∆∆），
则ABC S ∆)(2
1
c b a r ++=
；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的切球半径 为R ，则三棱锥体积=-BCD A V
24．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数” 时，则做假设是 ； 25．若数列{a
n }，(n ∈N *
)是等差数列,则有数列b n =
n
a a a n +⋯++21(n ∈N *
)也是等
差数列，类比上述性质，相应地：若数列{C n }是等比数列,且C n ＞0(n ∈N *),则有d n =______________ (n ∈N *
)也是等比数列.
26．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则
222BC AC AB =+。

”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ” 27．观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为 。

28．设*111()()122f n n N n n n
=
++⋅⋅⋅+∈++，那么)()1(n f n f -+等于 29．用数学归纳法证明:*111
1(,1)2321
n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式
成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .
30．
三、解答题
31、设,(0,)a b ∈+∞，且a b ≠，求证：3
3
2
2
a b a b ab +>+.
32、证明：21
61n -+能被7整除。

33．设1212(1)2,()0(),()()()f f n n N f n n f n f n +
=>∈+=⋅且，试猜出()f n 的解析式，并证明你的猜想。

34．已知数列
1111,,,,,,122334(1)
n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+先计算前几项之和123,,,S S S 在推测前n 项之和n S 的表达式，并给出证明。

35.已知,,a b c 是互不相等的实数，求证：由22y ax bx c =++，2
2y bx cx a =++和
22y cx ax b =++确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点。

推理与证明练习题答题纸
二、填空题
21、22、
23、24、
25、26、
27、28、
29、30、
三、解答题
31、
32、
33、
34、
35、。