郭硕鸿《电动力学》课后标准答案
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电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：
B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇
A A A A )()(2
21∇⋅-∇=⨯∇⨯A
解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇
B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c c
B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=
（2）在（1）中令B A =得：
A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，
所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯
即 A A A A )()(22
1
∇⋅-∇=
⨯∇⨯A
2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u f u f ∇=
∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅
∇=⋅∇， u
u u d d )(A
A ⨯∇=⨯∇ 证明：
（1）z y x z
u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=
∇)
()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=
d d d d d d u u
f z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A z
u
u A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d
u
u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A
e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=
（3）u
A u A u A z u y u x u u
u z y x z
y x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A
z
x y y z x x y z y
u u A x u u A x u u A z u u A z u
u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (
∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=
z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])
()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=
)(u A ⨯∇= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为
从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ； 0)/(3=⨯∇r r ； 0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及
)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
○
1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=∇ r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=∇
可见 r r '-∇=∇ ○
2 3211d d 1r r r r r r r r -=∇-=∇⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇
32'1'1d d 1'r r r r r r r r =∇-=∇⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇
可见 ()()r r /1'/1-∇=∇
○
3 r r r r ⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇)/1()/1(])/1[()/(3
333r r r r 0301d d 4
3=⨯-=+⨯∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=
r r
r r
r r r r ○4 r r r r ⋅∇+⋅∇=⋅∇=⋅∇33
331)/1(])/1[()/(r
r r r 03
334=+⋅-=r
r r r r ， )0(≠r
（2）解：
○
13])'()'()'[()(=-+-+-⋅∂∂
+∂∂+∂∂=⋅∇z y x z y x z z y y x x z y x e e e e e e r ○
2 0'
''
///=---∂∂∂∂∂∂=⨯∇z z y y x x z y x z
y x e e e r
○
3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z a y a x a e e e r a -+-+-∂∂
+∂∂+∂∂=∇⋅ a e e e =++=z z y y x x a a a
○
4 r a r a a r a r r a )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 因为，a 为常向量，所以，0=⨯∇a ， 0)(=∇⋅a r ， 又0=⨯∇r ，a r a r a =∇⋅=⋅∇∴)()(
○
5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ⋅∇⋅+⋅⋅∇=⋅⋅∇ 0E 为常向量，00=⋅∇E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(⋅=⋅∇⋅=⋅∇，