湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二12月联考数学(理科创新班)试题含答案
湖南省醴陵市两校高二数学上学期期中联考试题 理
2017年下学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、已知椭圆的方程为221916x y +=，则此椭圆的长轴长为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 72 2、若a b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．22a b >B ．11a b< C ．a b < D ．22a b > 3、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-54、等比数列{}n a 的前n 项和为{}n s ，已知9,105123=+=a a a s ，则1a =（ ） A ．19 B. 13- C. 13 D. 19- 5、由111,31nn n a a a a +==+给出的数列{}n a 的第54项为（ ）A ．16154B ．1601C ．160D ．80276、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3,3π==A a ，则c b +的最大值为（ ）A ．32B ．2C ．33D ．4 7、下列说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠,则2320x x -+≠”． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题．D ．命题p ：存在x R ∈使得210x x ++<．则p ⌝：任意x R ∈， 均有210x x ++≥． 8、已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．32π9、不等式03522<--x x 的一个充分不必要条件是( ) A ．－21<x <3 B ．－21<x <0 C ．－3<x <21D ．－1<x <6 10、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．53钱 C ．43钱 D ．32钱 11、已知点P 为椭圆22221x y a b+=()0>>b a 上一点，21,F F 分别为其左、右焦点，且0212160,=∠⊥F PF PF PF 。
湖南省醴陵市第一中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题文2
2017年上学期醴陵一中高二年级期中考试文科数学试卷时量：120分钟 总分：150分 命题人：班级： 姓名： 考号：一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若,1i z +=则z i iz⋅+= A.2- B. i 2- C. 2 D. i 2 2.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.43.函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为A.)20(，B.]2,0(C.),2(+∞D.)2[∞+，4.对于直线m,n 和平面α,下列命题中的真命题是 A.如果m ⊂α,n ⊄α,m,n 是异面直线,那么n ∥α B.如果m ⊂α,n ⊄α,m,n 是异面直线,那么n 与α相交 C.如果m ⊂α,n ∥α,m,n 共面,那么m ∥n D.如果m ⊂α,n ∥α,m,n 共面,那么m 与n 相交5.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A.12 B. 13 C.14 D.166. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则A.1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r B.1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC.AC 31AB 34AD +=D. AC 31-AB 34AD =7. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是A.55B.255C.12D ．28.设变量x,y 满足约束条件: ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y 则z=x-3y 的最小值是A.-2B.-4C.-6D.-89.一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该几何体的体积等于A. 6 3B.2 3 C ．3 3 D ． 310.已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r，则0y 的取值范围是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33，33-B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63，63-C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛322，322-D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332，332- 11.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U12.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为A.62B.63 C.32 D.22二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .14.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立,则m 的取值范围是 . 15.已知ABC ∆中，53cos ,sin ,135A B ==则cos C = . 16.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是棱BC,CC 1的中点,P 是侧面BCC 1B 1内一点,若A 1P ∥平面AEF,则线段A 1P 长度的取值范围是 .二.解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分12分）已知)(1cos 2cos sin 32)(2R x x x x x f ∈-+= (1)求函数)(x f 的最小正周期及在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最值； (2)若56)(0=x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,40ππx ，求)62cos(0π+x 的值.18. （本题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，19. （本题满分12分）如图所示，在直三棱柱1111D C B A -ABCD 中，AD//BC ，∠BAD=90°，AC ⊥BD ，BC=1，3AA AD 1==.(1)证明:AC ⊥D B 1(2)求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）已知点A(-2,0)，B(2，0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，记点P 的轨迹为曲线C. （1）求曲线C 的方程.（2）设M ，N 是曲线C 上任意两点，且OM ON OM ON -=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r，问是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()01ln 21)(2>+--=a x ax x x f (1)若x=2是f(x)的极值点，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间..22. （本题满分10分）极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.1.设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若则=（C）A. B.C.D.2.等差数列中，，，则数列的公差为（ B ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.函数的定义域为( C )A、B、C、D、4.对于直线m,n和平面α,下列命题中的真命题是( C )A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m, n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m与n相交5.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ B）A. B.C. D.6. 设为所在平面内一点，则（ A ）（A）(B)（C）(D)7. 正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( B )A.55B.55C.21D ．28.设变量x,y 满足约束条件:则z=x-3y 的最小值是( D ) A.-2B.-4C.-6D.-89. 一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该几何体的体积等于（ A ） A. B.2 C ．3 D ．610.已知M （）是双曲线C ：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( A )（A）（-，）（B）（-，）（C）（，）（D）（，）11.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ A ）A．B．C．D．12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( A )A. B. C. D.13.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.14.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 (-∞,-5] .15已知中，则=16.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是17. （本题满分12分）已知（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最值；（Ⅱ）若，，求的值.解：（1）∵，∴，∴函数的最小正周期为，……2分∵，∴，∴，……4分；……6分（2）由（1）可知，则，，……8分又∵，∴，∴，……10分即. ……12分18.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（Ⅱ）判断变量与之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【解题指南】根据公式可直接求出回归直线方程,然后根据回归方程解决相关问题.【解析】（Ⅰ）由题意知,又由此得故所求回归方程为.（Ⅱ）由于变量的值随的值增加而增加,故量与之间是正相关.（Ⅲ）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为(千元).19. 如图所示，在直三棱柱中，，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，.(1)证明:AC⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题共13分）已知函数(1)若x=2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间..21. （本题满分13分）已知点A(-2,0)，B(2，0)，直线PA与直线PB的斜率之积为记点P的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求曲线C的方程.（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且问是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.……5分……13分。
湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二12月联考地理试题 Word版含答案
南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考地理试题总分：100分时量：90分钟考试时间2016年12月9日由株洲市南方中学醴陵市第一中学联合命题姓名：______________ 考号：_______________一、选择题(本大题共25小题，每小题2分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
)读下面某区域等高线（单位：米）示意图，回答1—3题。
1、图示Ⅰ山顶与甲村的高差可能为A.500米B.900米C.1100米D.1200米2、若此图示区域位于北回归线以北地区，则乙城的人们不借助仪器A.在夏至日能看到海面日出景象B.在春分日能看到海面日落景象C.在冬至日不能看到海面日出景象D.在秋分日能看到海面日出景象3、未来将丙地铁矿石运到乙城附近加工出口，图中M、N、P、O四条公路设计，最合理的是A.M线B.N线C.P线D.O线下图为我国某地局部降水（雪）分布图。
据此完成4—5题。
4、导致图中雨雪分界线在甲、乙两处发生弯曲的主要因素是A．地形 B．大气环流C．纬度 D．海陆热力性质差异5、下列对甲、乙两地天气的叙述，正确的有①甲地中雨，乙地中雪②甲地小雪，乙地小雨③甲、乙两地风向均为偏北风，乙地风力较强④甲、乙两地风均为偏南风，甲地风力较强A．①④ B．①③ C．②③ D．②④下图中的阴影表示五个典型农业生产地区．读图完成6—8题。
6、图示地区主要农产品正确的是A．①②棉花 B．①④小麦 C．③⑤水稻 D．③④油橄榄7、图示地区的农业地域类型错误的是A．②④主要为大牧场放牧业 B．③⑤主要为种植园农业C．④⑤适宜发展水稻种植业D．①②适宜发展商品谷物农业8、最适合发展大型机械化作业的是A．①③ B．②⑤ C．③⑤ D．①④东北地区是我国人口流出最明显、自然增长率最低的区域之一（下表），2015年东北三省经济增速均低于中部、西部和东部。
结合资料完成9—10题。
2015年全国及部分省市人口自然增长率比较表（‰）9、东北地区人口流出多、自然增长率低，对其未来社会经济发展的主要影响是①后备劳动力不足②耕地资源压力减轻③养老负担更加沉重④公共设施利用率提高⑤经济逐渐失去活力A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤10、上海市常住人口自然增长率远高于户籍常住人口自然增长率，这说明上海市A．对户籍与非户籍人口采取不同人口政策B．总体上比东北地区老龄化问题更为严重C．户籍人口中青壮年大量移居国外，户籍常住人口自然增长率低D．迁入人口数量大且以青壮年为主，使得常住人口自然增长率高某河流下游横截面略图，该河下游所在地区的地形以低山丘陵为主。
湖南省高二12月联考数学(文)试卷Word版含答案
浏阳一中醴陵一中南方中学 2017下学期高二年级联考文科数学总分：150分时量：120分钟考试时间：2017年12月12日命题人：审题人：一．选择题（共12小题，每题5分）1．已知命题p：若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（）A．“p∨q”为假命题 B．“p∧q”为假命题C．“⌝p”为真命题 D．“⌝q”为假命题2．椭圆的离心率为（）A．B． C．2 D．43．下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则⌝p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．4．在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．365．已知函数f（x）=xe x，则f′（2）等于（）A．e2 B．2e2 C．3e2 D．2ln26．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B． C． D．2x±y=07．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b| C． D．8．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．11万件 B．9万件 C．6 万件 D．7万件9．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．10．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B． C． D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B． C． D．（1，+∞）二．填空题（共4小题，每题5分）13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为．14．已知 m＞0，n＞0且n+2m=4，则+的最小值是．15．如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．16．f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a 的取值范围是．三．解答题（共6小题，总共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣12x．（1）求在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．18．在等差数列{a n}中，a1=﹣2，a12=20．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．19．某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的方程．21．已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为抛物线C上第一象限的任意一点，过点A的直线l交C 于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．（Ⅰ）求抛物线的C的方程；（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为y A、y B、y E，求的值；（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．浏阳一中醴陵一中南方中学2017下学期高二年级联考文科数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）12.【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．二．填空题（共4小题）13．914．15．16．[﹣2，+∞）16.【解答】解：g′（x）=，而x∈（0，1]，故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，故g（x）在（0，1]递增，g（x）max=g（1）=0，若∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），只需f（x）min≥g（x）max即可；故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，h′（x）=＞0，h（x）在（0，1]递增，故h（x）max=h（1）=﹣2，故a≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．三．解答题（共6小题）17.【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f（1）=﹣11，f′（x）=3x2﹣12，f′（1）=﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11=﹣9（x﹣1），即9x+y+2=0；（2）∵f（x）=x3﹣12x，∴f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f（2）=﹣16．18.【解答】解：（Ⅰ）因为a n=﹣2+（n﹣1）d，所以a12=﹣2+11d=20．于是d=2，所以a n=2n﹣4．（Ⅱ）因为a n=2n﹣4，所以．于是，令，则．显然数列{c n}是等比数列，且，公比q=3，所以数列的前n项和．19【解答】解：（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，完成完成年度任务的人数200×4×（0.03+0.03）=48人，（2）这5组的人数比为0.02：0.08：0.09：0.03：0.03=2：8：9：3：3，故这5组分别应抽取的人数为2，8，9，3，3人（3）设第四组的4人用a，b，c表示，第5组的3人用A，B，C表示，从中随机抽取2人的所有情况如下ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，其中在同一组的有ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=．20【解答】解：（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，则：①椭圆的一个焦点是F（0，1）．则a2﹣b2=1 ②由①②得：a2=4 b2=3椭圆C的方程：③（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④联立③④得：3（x+b）2+4x2=12整理得：7x2+6bx+3b2﹣12=0∴∵|AB|===解方程得：b=±2 ∴直线l的方程为：y=x±2故答案为：（1）（2）直线l的方程为：y=x±221.【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），即有抛物线的方程为y2=4x；（Ⅱ）设，，∵|AF|=|DF|∴，∴，∴直线AD 的方程为，1）当()()()则时，6921212-=,B ,-,E ,,A t 2=--EA BA y y y y2）当时，2≠t 直线AE 的方程为，由，可得∵y A =t ，∴，由，可得∵y A =t ∴∴；综上所得2=--EA BA y y y y （Ⅲ）直线l 1方程为y=﹣x ﹣， 令x=﹣1，可得Q （﹣1，﹣），y E =，取AE 的中点G ，QG ∥x 轴，则S △AQE =|QG |•|y A ﹣y E |， |QG |=（++2）=（+）2，即有S △AQE =（t +）3≥•（2）3=4，则S △AQE 的最小值为4，当且仅当t=2取等号．22.【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），，若a ≤0，则f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 若a ＞0，则由f′（x ）=0，得x=， 当x ∈（0，）时，f′（x ）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[）．。
《解析》湖南省株洲市醴陵二中、四中联考2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
湖南省株洲市醴陵二中、四中联考2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、已知复数z满足z= ，那么z的虚部为（）A、﹣1B、﹣IC、1D、i2、定积分（2x+e x）dx的值为（）A、e+2B、e+1C、eD、e﹣13、观察下列各式：，，，…．若则n﹣m=（）A、43B、57C、73D、914、按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A、12种B、6种C、10种D、9种5、曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是（）A、4B、C、3D、26、的展开式中常数项是（）A、﹣160B、﹣20C、20D、1607、用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A、2k+1B、2k+3C、2（2k+1）D、2（2k+3）8、某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q（单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q=8300﹣170P﹣P2，则最大毛利润为（毛利润=销售收入﹣进货支出）（）A、30元B、60元C、28000元D、23000元9、若f（x）=2xf'（1）+x2，则f'（0）等于（）A、﹣2B、4C、2D、﹣410、用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A、12B、24C、30D、3611、若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A、（﹣∞，0）B、（0，+∞）C、（﹣∞，4]D、[4，+∞）12、f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A、①③B、②③C、②④D、①④二、填空题13、已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，则a=________，b=________．14、设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．15、在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为________．16、已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命题正确的序号是________．①如果函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），其中a i∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值为127．②数列{a n}满足首项a1=2，a k+12﹣a k2=2，k∈N*，当n∈M且n最大时，数列{a n}有2048个．③数列{a n}（n=1，2，3，…，8）满足a1=5，a8=7，|a k+1﹣a k|=2，k∈N*，如果数列{a n}中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列{a n}一共有33个．④已知直线a m x+a n y+a k=0，其中a m，a n，a k∈M，而且a m＜a n＜a k，则一共可以得到不同的直线196条．三、解答题17、已知复数(1)m取什么值时，z是实数？(2)m 取什么值时，z是纯虚数？18、（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求(1)a1+a2+a3+a4．(2)（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2．19、6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？20、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21、设f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n为正整数．(1)求f（1），f（2），f（3）的值；(2)猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．22、已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．(1)若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．(2)若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：z= = =1+i，∴z的虚部为1．故选：C．【分析】利用复数的乘法运算法则得出．2、【答案】C【考点】定积分【解析】【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）| =（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【分析】根据微积分基本定理计算即可．3、【答案】C【考点】归纳推理【解析】【解答】解：∵，，…．∴，= ，…∵，∴m=9，n=m2+1=82，∴n﹣m=82﹣9=73，故选：C．【分析】通过找规律可知：等式左边的第n项为：根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样，问题得以解决．4、【答案】D【考点】计数原理的应用【解析】【解答】解：由题意，他的父母的血液类型都是A、B、O三种之一，故每人的血液类型有三种可能则其父母血型的所有可能情况有3×3=9种故选D．【分析】由血液遗传原理知它的血型为O型，则其父母都血型中都有O型基因，都不是AB型，由此每人的血液类型有三种选择，由公式求解即可．5、【答案】C【考点】余弦函数的图象【解析】【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是3 =3sinx =3，故选：C．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是3 =3sinx ，计算求的结果．6、【答案】A【考点】二项式系数的性质r r3﹣r所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．7、【答案】C【考点】数学归纳法，数学归纳法【解析】【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．8、【答案】A【考点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）=pQ﹣20Q=Q（p﹣20）=（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）=﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）=﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）=0，解得p=30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）=23000．因为在p=30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故选：A．【分析】毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．9、【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=2xf'（1）+x2，则其导数f′（x）=2f'（1）+2x，令x=1可得：f′（1）=2f'（1）+2，解可得f′（1）=﹣2，则f′（x）=2×（﹣2）+2x=2x﹣4，则f'（0）=﹣4；故选：D．【分析】根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=2f'（1）+2x，令x=1可得：f′（1）=2f'（1）+2，解可得f′（1）的值，即可得f′（x）的解析式，将x=0代入可得f'（0）的值，即可得答案．10、【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．11、【答案】C【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤x+2lnx+ ，x＞0，令y=x+2lnx+ ，则= ，由y′=0，得x1=﹣3，x2=1，x∈（0，1）时，y′＜0；x∈（1，+∞）时，y′＞0．∴x=1时，y min=1+0+3=4．∴a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：C．【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+ ，x＞0，令y=x+2lnx+ ，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．12、【答案】C【考点】命题的真假判断与应用，函数的值域【解析】【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；对于②，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴②正确；对于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴，解得0＜k＜1，∴③错误；对于④，y= （a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，∴方程的两根之差x1﹣x2= = == ≤ ，即n﹣m的最大值为，∴④正确．综上，正确的命题是②④．【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．二、<b >填空题</b>13、【答案】-3；-9【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，∴f′（﹣1）=0且f′（3）=0，即，解得a=﹣3，b=﹣9，故答案为：﹣3，﹣9【分析】求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可得到结论．14、【答案】-2【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：= = + ，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】由已知得= + ，从而得到，由此求出a=﹣2．15、【答案】﹣e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：y=lnx的导数为y′= ，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k= ，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a• =﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．16、【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，令g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（x）=g（x）+x•g′（x），∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），∴f′（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）…（﹣a7）＜（﹣1）7=﹣1．命题①错误；对于②，n=12，令，则b k+1﹣b k=2，b1=4．对于每一个a i（i＞1）都有两种取值，共211=2048个．命题②正确；对于③，这个问题相当于走楼梯问题，一共六级楼梯，可以进一步也可以退一步，现在在第三级，求走7步后到第四级楼梯的走法．事实上，必定要向前走四步和向后走三步，共种走法，但先走四步和先退三步这两种都是不行的．∴共33种走法，即符合条件的不同数列{a n}一共有33个．命题③正确；对于④，考虑满足a m＜a n＜a k（a m，a n，a k）数组的数量，共个．而数组（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9），（4，8，12），（1，2，4），（2，4，8），（3，6，12），（1，2，5），（2，4，10），（1，2，6），（2，4，12），（1，3，4），（2，6，8），（3，9，12），（1，3，5），（2，6，10），（1，3，6），（2，6，12），（1，4，5），（2，8，10），（1，4，6），（2，8，12），（1，5，6），（2，10，12），（2，3，4），（4，6，8），（6，9，12），（2，3，5），（4，6，10），（2，3，6），（4，6，12），（2，4，5），（4，8，10），（2，4，6），（4，8，12），（2，5，6），（4，10，12），（3，4，5），（6，8，10），（3，4，6），（6，8，12），（3，5，6），（6，10，12），（4，5，6），（8，10，12）中共重复25个数组，∴一共可以得到不同的直线195条．命题④错误．故答案为：②③．【分析】对于①，由积函数导数的运算法则求得f′（0）的最大值为﹣1，说明命题①错误；对于②，由分步计数原理可得命题正确；对于③，把问题转化为走楼梯问题，由排列组合知识解决；对于④，由组合数知识求解，然后枚举重复的数组，即可说明命题错误．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：由z是实数得，即，即m=﹣2，∴当m=﹣2时，z为实数（2）解：由z是纯虚数得，即，解得m=3；∴当m=3时，z为纯虚数【考点】复数的基本概念【解析】【分析】根据复数的概念，建立方程或不等式关系即可．18、【答案】（1）解：由（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0得（0﹣3）4=a0，所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4﹣a0=（2﹣3）4﹣81=﹣80（2）解：在（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4．①令x=﹣1得（﹣2﹣3）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4．②所以由①②有（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）（a0+a1+a2+a3+a4）=（﹣2﹣3）4（2﹣3）4=（2+3）4（2﹣3）4=625【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0得（0﹣3）4=a0，即可求出答案，（2）令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4．①，令x=﹣1得（﹣2﹣3）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4．②而（a0+a2+a4）2﹣（a+a3）2，代值计算即可．（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）（a0+a1+a2+a3+a4）119、【答案】（1）解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C74=35种插法，故空位不相邻的坐法有A66C74=25200种（2）解：将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72=30240种．（3）解：4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C74种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C71C62种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C72种坐法．综合上述，应有A66（C74+C71C62+C72）=115920种坐法【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【分析】（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在6个人隔开的7个间隔中，有C74种插法，得到空位不相邻的坐法有几种．（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个间隔里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72种．（3）4个空位至少有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻②4个空位2个相邻，另有2个不相邻③4个空位分两组，每组都有2个相邻．根据分类计数原理得到结果．20、【答案】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．21、【答案】（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）= ﹣3= ﹣3=﹣（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，证明：①当n=3时，f（3）=﹣＜0成立，②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）= ﹣k＜0，∴＜k，则当n=k+1时，由于f（k+1）= = （1+ ）＜（1+ ）＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，∴＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用数学归纳法证明即可：①当n=3时，f（3）=﹣＜0成立；②假设当n=k （n≥3，n∈N+）时猜想正确，即﹣k＜0，去证明当n=k+1（n≥3，n∈N+）时，f（k+1）= ﹣（k+1）＜0也成立即可．22、【答案】（1）解：当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）= ，从而f′（1）=1．又f （1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0（2）解：证明：当k=5时，f（x）=lnx+ ﹣4．因为f′（x）= ，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+ ﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点（3）解：方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x∈（2，+∞）恒成立．令h（x）= ，则h′（x）= ．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）= ．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．因为lnx0= ，所以h（x0）= ∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）= ．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）= ＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．。
湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中高二数学上学期12月联考试题 理
理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．若0a b >>，0c d >>，则一定有( )A ．a b d c > B ． a bd c< C ． b a d c < D ． b a d c > 2．已知向量)5,3,2(-=a 与向量),,4(y x b -=平行,则,x y 的值分别是（ ） A ．–6和10B ．6和10C ．–6和-10D ． 6和-103．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）A ．13B ．35C ．49D ．634．已知命题,:R x p ∈∃使;25sin =x 命题R x q ∈∀:，都有012>++x x 。
给出下列结论：①命题""q p ∧是真命题； ②命题""q p ∨⌝是真命题； ③命题""q p ⌝∨⌝是假命题； ④命题""q p ⌝∧是假命题。
其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③5．已知命题265:x x p ≥-，命题2|1:|>+x q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A ．160元B ．80元C ．240元D ．120元7. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B ．2C ．1 D8．已知实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[0,2]9．已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++= （ ） A.21n n + B. 2(1)n n + C. (1)2n n + D.2(1)n n + 10．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在相应位置上。
湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二12
南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考物理(理科平行班)试题总分：110分 时量：90分钟 考试时间2016年12月9 日由 株洲市南方中学 醴陵市第一中学 联合命题姓名： 考号：一、选择题（第1题至第10题为单项选择题，每小题3分，第11题至第15题为多选题，每小题4分，少选计2分，错选计0分。
本大题共计50分。
）1．如图所示，在绝缘水平面上静止着两个质量均为m ，电荷量均为＋Q 的物体A 和B(A 、B 均可视为质点)，它们间的距离为r ，与水平面间的动摩擦因数为μ，则物体A 受到的摩擦力为( )A ．μmgB ．0C ．k Q 2rD ．k Q 2r22.电场线分布如图所示，电场中a ，b 两点的电场强度大小分别为E a 和E b ，电势分别为φa 和φb ，则( )A ．E a >E b ，φa >φ bB ．E a >E b ，φa <φbC ．E a <E b ，φa >φbD ．E a <E b ，φa <φb3.下列说法正确的是( )A.将电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电势能一定增加B.将负电荷由电势低的地方移到电势高的地方，电势能一定增加C.将正电荷由电势高的地方移到电势低的地方，电势能一定增加D.无论是正电荷还是负电荷，电场力做负功时电势能一定增加4．如图所示，地面上某区域存在着竖直向下的匀强电场，一个质量为m 的带负电的小球以水平方向的初速度v 0由O 点射入该区域，刚好通过竖直平面中的P 点，已知连线OP 与初速度方向的夹角为45°，则此带电小球通过P 点时的动能为( )A ．mv 02 B.12mv 02 C ．2mv 02D.52mv 025.铅蓄电池的电动势为2V ，下列说法不正确的是（ ） A.电路中每通过1C 电荷量，电源把2J 的化学能转变为电能 B.蓄电池没接入电路时两极间的电压为2V C.蓄电池在1S 内将的2J 化学能转变为电能D.蓄电池将化学能转变为电能的本领比一节干电池（电动势为1.5V ）的大6．如图3电路所示，当ab 两端接入50V 电压时，cd 两端为10V ；当cd 两端接入50V 电压时，ab 两端电压为25V ，则R 1∶R 2∶R 3之比是（ ）A ．4∶2∶1B ．2∶1∶1C ．3∶2∶1D ．以上都不对7.某导体中的电流随其两端电压的变化如图所示,则下列说法中正确的是( )A.加5 V 电压时,导体的电阻是8 ΩB.加12 V 电压时,导体的电阻约是10 ΩC.由图可知,随着电压的增大,导体的电阻不断减小D.由图可知,随着电压的减小,导体的电阻不断减小8.一个可以自由运动的线圈L 1和一个固定的线圈L 2互相绝缘，垂直放置，且两个线圈的圆心重合．当两线圈都通过如图所示方向的电流时，则从左向右看，线圈L 1将( )A ．不动B ．顺时针转动C ．逆时针转动D ．向纸外平动9．一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动，其效果相当于一环形电流，则此环形电流为多大（ ）A ．mB q π22 B ． B q m 22πC ．Bm q 22πD ．22q Bm π10.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角．现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为 （ ）A ．12Δt B ．2Δt C ．13Δt D ．3Δt11．下列关于电场线和磁感线的说法中，正确的是（ ）A ．电场线和磁感线都是电场或磁场中实际存在的线B ．磁场中两条磁感线一定不相交，但在复杂电场中的电场线是可以相交的C ．电场线是一条不闭合曲线，而磁感线是一条闭合曲线D ．电场线越密的地方，电场越强，磁感线越密的地方，磁场也越强12．将平行板电容器两极板之间的距离、电压、电场强度大小和极板所带的电荷量分别用d 、U 、E 和Q 表示．下列说法正确的是（ ）A ．保持U 不变，将d 变为原来的两倍， 则E 变为原来的一半B ．保持E 不变，将d 变为原来的一半， 则U 变为原来的两倍C ．保持d 不变，将Q 变为原来的两倍， 则U 变为原来的一半D ．保持d 不变，将Q 变为原来的一半， 则E 变为原来的一半13．空间有平行于纸面的匀强电场，一电荷量为－q 的质点(重力不计)，在恒定拉力F 的作用下沿虚线由M 匀速运动到N ，如图2所示，已知力F 和MN 间夹角为θ，MN 间距离为d ，则( )A ．MN 两点的电势差为Fd cos θqB ．匀强电场的电场强度大小为Fd cos θqC ．带电小球由M 运动到N 的过程中，电势能增加了Fd cos θD ．若要使带电小球由N 向M 做匀速直线运动，则F 必须反向14.在如图所示的U-I 图像中,直线Ⅰ为某一电源的路端电压与电流的关系图线,直线Ⅱ为某一电阻R 的伏安特性曲线.用该电源直接与电阻R 相连组成闭合电路.由图像下列说法正确的是( )A.电源的电动势为3 V,内阻为0.5 ΩB.电阻R 的阻值为1 ΩC.电源的输出功率为2 WD.电源的效率为66.7% 15.如图所示，电源电动势为E ，内阻为r ，不计电压表和电流表内阻对电路的影响，当电键闭合后，两小灯泡均能发光．在将滑动变阻器的触片逐渐向右滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．小灯泡L 1、L 2均变暗B ．小灯泡L 1变亮，小灯泡L 2变暗C ．电流表A 的读数变小，电压表V 的读数变大D ．电流表A 的读数变大，电压表V 的读数变小二、实验题（每空2分，共计16分）16.一个电压表V 0，量程3V ，内阻约为1k Ω．为进一步测量V 0的内阻，有甲、乙两个电路可选择．备选器材有：电流表A1，量程3mA；电流表A2，量程0.6A；电压表V，量程3V，内阻R v＝1.2 kΩ；滑动变阻器R，0～3000 Ω；电源E，6V电池组，内阻不计．（1）若选用甲电路，电流表应选用，若V0和选用电流表示数分别为U0和I，则测得电压表的内阻R0＝．（2）若选用乙电路，若V0和V示数分别为U0和U，则测得电压表的内阻R0＝（用U0、U、R V等字母表示）．17．在如图所示的电路中，四节干电池串联，小灯泡A、B的规格为“3.8V0.3 A”，合上开关S后，无论怎样移动滑动片，A、B灯都不亮．⑴用多用电表的直流电压挡检查故障．①选择开关置于下列量程的________挡较为合适（用字母序号表示）A．2.5 V B．10 V C．50 V D．250 V②测得c、d间电压约为5.8 V，e、f间电压为0，则故障是________；A．A灯丝断开 B．B灯丝断开 C．d、e间连线断开 D．B灯被短路⑵接着换用欧姆表的“×1”挡测电阻，欧姆表经过欧姆调零．②测试前，将电路中的开关S断开；②测c、d间和e、f间电阻时，某次测试结果如图所示，读数为________Ω，此时测量的是________间电阻．根据小灯泡的规格计算出的电阻，它不等于测量值，原因是：________．三、计算题（共计44分）18.（8分）如图所示，竖直放置的两块足够大的带电平行板间形成一个方向水平向右的匀强电场区域，场强E＝3×104N/C.在两板间用绝缘细线悬挂一个质量m＝5×10－3kg的带电小球，静止时小球偏离竖直方向的夹角θ＝60°(g取10 m/s2)．试求：(1)小球的电性和电荷量；(2)悬线的拉力；19.（10分）如图所示，E＝10V，r＝1Ω，R1＝R3＝5Ω，R2＝4Ω，C＝100μF.当S断开时，电容器中带电粒子恰好处于静止状态．(重力加速度g＝10 m/s2)求：(1)S闭合后，带电粒子加速度的大小和方向；(2)S闭合后流过R3的总电荷量．20.（12分）如图所示，两平行金属导轨间的距离L=0.40m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B=0.50T、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．金属导轨的一端接有电动势E=4.5 V、内阻r=0.50 Ω的直流电源．现把一个质量m=0.040 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止．导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0=2.5 Ω，金属导轨电阻不计，g取10 m/s2．已知sin37°=0.60，cos37°=0.80，求：⑴通过导体棒的电流；⑵导体棒受到的安培力大小；⑶导体棒受到的摩擦力．21.（14分）如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m（不计重力），从点P 经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ= 45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：⑴两板间电压的最大值U m；⑵ CD板上可能被粒子打中的区域的长度s；⑶粒子在磁场中运动的最长时间t m．物理试题答案(理科平行班)一、选择题（1-10每小题3分，11-15每小题4分） 1-5：D 、C 、D 、D 、C 6-10：A 、D 、C 、A 、B 11-15：CD 、AD 、AC 、ABD 、BC二、实验题（每空2分）16：⑴ A 1 ⑵ U 0/I U 0R V /U17：⑴ ① B ② A ⑵ 6 、 e f 、 欧姆表测量时灯泡未发光，灯泡温度低，电阻小三、计算题 18（8分）：解析：(1)小球受静电力向右，故带正电-----1分 受力分析如图所示．由平衡条件有Eq ＝mg tan 60°----------3分 解得q ＝533×10－6C.--------------1分(2)由平衡条件得F ＝mgcos 60°.--------2分解得F ＝0.1 N.----------1分19（10分）：解析： (1)开始带电粒子恰好处于静止状态，必有qE ＝mg 且qE 竖直向上．S 闭合后，qE ＝mg 的平衡关系被打破．S 断开，带电粒子恰好处于静止状态，设电容器两极板间距离为d ，有U C ＝R 2R 1＋R 2＋rE ＝4 V-------1分qU C /d ＝mg.---------1分S 闭合后，U′C ＝R 2R 2＋rE ＝8 V-----------1分设带电粒子加速度为a ，则qU′C /d －mg ＝ma------------2分 解得a ＝g ＝10 m/s 2，-----------1分方向竖直向上．------------1分(2)S闭合后，流过R3的总电荷量等于电容器上电荷的增加量，所以ΔQ＝C(U′C－U C)＝4×10－4C.-----------3分20（12分）：⑴根据闭合电路欧姆定律I = E/(R0 + r) --------3分I = 1.5 A．---------1分⑵导体棒受到的安培力F安 = BIL ----------------3分F安= 0.30 N．--------------1分⑶导体棒受力如图，将重力正交分解F1 = mg sin 37° = 0.24 NF1 ＜F安，根据平衡条件mg sin 37° + f = F安----------3分解得：f = 0.06 N．--------1分21（14分）：⑴M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，所以圆心在C点，如图所示，CH = QC = L，故半径r1 = L---------2分又因为qv1B = mv12/r1------------1分且qU m = mv12/2-----------1分所以U m = qB2L2/2m ----------1分⑵设粒子在磁场中运动的轨迹与CD板相切于K点，此轨迹的半径为r2，设圆心为A，在△AKC中：sin 45° = r2/(L–r2)-------2分解得r2 = ( 2 – 1)L，即KC = r2 = ( 2 – 1)L．--------2分所以CD板上可能被粒子打中的区域的长度s = HK，即s = r1 - r2 = (2 –2)L．-----------2分⑶打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以t m = T/2 = πm/qB．----------3分。
湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二12
南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考英语试题总分：150分时量：120分钟考试时间2016年12月10日由株洲市南方中学醴陵市第一中学联合命题姓名：_______________ 考号：_______________第I卷第一部分听力（共两节，满分 30 分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，满分 7.5 分）听下面 5 段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What does the woman suggest doing?A.Repairing the telephone.B. Surfing the Internet.C. Cooking at home.2.What did the man do?A.He bought a computer.B.He set up a company.C.He hunted for a new job.3.What are the speakers talking about?A. A fire.B. A flood.C. An earthquake.4.How many people will be expected to the party?A.15B.135.C.150.5.Why does the woman mention her dinner guests?A.To ask the man to join them.B.To suggest politely the man leave.C.To invite the man to have another drink.第二节（共 15 小题；每小题 1.5 分，满分 22.5 分）听下面5段对话。
湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二12月联考物理(创新班)试题 Word版含答案
南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考物理(理科创新班)试题总分：110分时量：90分钟考试时间2016年12月9日由株洲市南方中学醴陵市第一中学联合命题姓名：考号：注意：请将所有答案写在答题卡上，写在试卷上无效！一、单项选择题(9*4分=36分)1、如图所示的情况中，a、b两点的电场强度和电势均相同的是（）A．甲图：离点电荷等距的a、b两点B．乙图：两个等量异种点电荷连线的中垂线上，与连线中点等距的a、b两点C．丙图：两个等量同种点电荷连线上，与连线中点等距的a、b两点D．丁图：带电平行金属板两板间分别靠近两板的a、b两点2、在如图所示的电路中，电源的内阻为r，现闭合开关S，将滑片P向左移动一段距离后，下列结论正确的是（）A．灯泡L变亮B．电压表读数变小C．电流表读数变小D．电容器C上的电荷量减少3、如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是（）A．该匀强电场的电场强度为B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为C．带电物块电势能的增加量为mg（H+h）D．弹簧的弹性势能的增加量为4、如图所示，空间存在垂直于纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，场内有一绝缘的足够长的直杆，它与水平面的倾角为θ，一带电量为﹣q质量为m的带负电小球套在直杆上，从A点由静止沿杆下滑，小球与杆之间的动摩擦因数为μ，在小球以后的运动过程中，下列说法正确的是( )A．小球下滑的最大速度为B．小球下滑的最大加速度为a m=gsinθC．小球的加速度一直在减小D ．小球的速度先增大后减小5、如图所示，带异种电荷的粒子a 、b 以相同的动能同时从O 点射入宽度为d 的有界匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，且同时到达P 点。
【精选高中试题】湖南省高二12月联考数学(理)试卷Word版含答案
浏阳一中 醴陵一中 南方中学2017年下学期高二年级联考理科数学试题总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2017年12月12日命题人： 审题人：姓名___________ 考号__________一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 2．下列说法中错误的是（ ）A. 若命题2:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥.B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C. 命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为:“若1x ≠，则232x x -+≠0”D. “若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠”是假命题.3．设()f x '是函数()f x 的导函数， ()y f x ='的图像如右图所示，则()y f x =的图像最有可能的是( ).A B C D4．若变量,x y 满足约束条件1 211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A. -7B. -1C. 1D. 25．若执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 76．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ） A.310π B. 320π C. 20π D. 10π 7．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =， 3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 10D. 118．如右图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A B 、，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且1,2A B A C B D ===，则CD 的长为( )A. 29．已知两圆()()222212:4169,:49C x y C x y -+=++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A. 2216448x y -=B. 2214864x y -=C. 2214864x y +=D. 2216448x y +=10．使函数32()21f x x x ax =-++在上是增函数的一个充分不必要条件是（ ）A ．43a ≥B ．43a >C ．43a ≤D ．43a < 11．曲线22y x =上两点()()1122,,A x y B x y 、关于直线y x m =+对称，且1212x x ⋅=-，则m 的值为（ ） A. 3 B.52 C. 2 D. 3212．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0)x ∈-∞时，有()()0f x xf x '+<（()'f x 是函数()f x 的导函数)成立.若1122a sin f sin ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()112211ln2ln2,log log 44b f c f ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________14．双曲线2221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于,A B 两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率为___ 15．已知数列{}n a 满足： 111n na a +=-， 12a =，记数列{}n a 的前n 项之积为n P ，则2017P =______.16．已知,A B 两地的距离是120km ，按交通法规规定， ,A B 两地之间的公路车速应限制在50100/km h ~，假设汽油的价格是6元/升，以/xkm h 速度行驶时，汽车的耗油率为24/360x L h ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，支付司机每小时的工资36元.（1）此次行车最经济的车速是___________；（2）如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为_________.三、解答题：共70分。
湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二上学期12月联考数
2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二（上）12月联考数学试卷（文科）（创新班）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．|a|＜|b|D．2a＞2b2．在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.254．命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）5．设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（）A．1 B．C．D．56．“m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x﹣y+2=0 B．3x+y+2=0 C．x+3y+2=0 D．x﹣3y﹣2=08．在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．9．记等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=（）A．45 B．20 C．30 D．3510．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞ B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜11．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，0）C．（0，2） D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f （x）∈[0，1]，则b的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.13．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．15．设x1，x2是函数f（x）=x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a 的取值范围是．16．下列结论正确的是．（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；（3）设，是非零向量，命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值为0．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在[﹣1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．18．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．20．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．（Ⅰ）试用x表示S；（Ⅱ）当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．21．如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1相切，求椭圆C1的标准方程．22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二（上）12月联考数学试卷（文科）（创新班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．|a|＜|b|D．2a＞2b【考点】不等式的基本性质．【分析】考察指数函数y=2x的单调性即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴2a＞2b，故选：D．2．在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的出错运算法则，以及复数单位的幂运算，化简复数，推出对应点的坐标即可．【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25【考点】相关系数．【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．故选A．4．命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假；特称命题．【分析】判断命题P与q的真假，然后判断选项的正误．【解答】解：命题p：∀x∈R，log2x＞0，是假命题；￢p是真命题；命题q：∃x0∈R，2x0＜0，是假命题；￢q是真命题；所以p∨q是假命题；p∧q是假命题；（￢p）∧q是假命题；p∨（￢q）是真命题．故选：D．5．设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（）A．1 B．C．D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离的最小，最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=故选：B6．“m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性．【解答】解：先证明充分性：∵m＜，∴△=1﹣4m＞0，∴方程x2+x+m=0有实数解，∴是充分条件；再证明必要性：∵方程x2+x+m=0有实数解，∴△=1﹣4m≥0，∴m≤，∴不是必要条件，故选：A．7．与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x﹣y+2=0 B．3x+y+2=0 C．x+3y+2=0 D．x﹣3y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），则由题意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，故切点为（﹣1，1），代入切线方程y=﹣3x+m可得m=﹣2，故设所求的直线方程为y=﹣3x﹣2，即3x+y+2=0故选B．8．在△ABC中，B=，则sinA•sin C的最大值是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的积化和差公式．【分析】化简可得sinAsinC=sin（2A﹣）+，由0，可求﹣＜2A﹣＜，从而可得sinA•sinC的最大值．【解答】解：sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）=sinAsin（﹣A）=sinA（cosA+sinA）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+∵0∴﹣＜2A﹣＜∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．故选：D．9．记等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=（）A．45 B．20 C．30 D．35【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得S3 、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等比数列，故有100=5（S9﹣15 ），由此求得S9的值．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则由等比数列的性质可得S3 、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等比数列，即5，15﹣5，S9﹣15 成等比数列，故有100=5（S9﹣15 ），∴S9=35．故选D．10．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞ B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对称性，可得MF1=F1F2=2c，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，得到x的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，再由a，b，c的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F2（c，0），由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，由对称性可得，MF1=F1F2=2c，则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，可得，（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，即有3b2=3c2﹣3a2＞a2，即c＞a，则有e=＞．故选A．11．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，0）C．（0，2） D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数恒成立问题．【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a﹣x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．【解答】解：由f（x）=，知：①当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，故f（x）在（﹣∞，0]上是减函数；②当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，故f（x）在（0，+∞）上是减函数；又∵（0﹣2）2﹣1=﹣（0+1）2+4，∴f（x）在R上是减函数，∴不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立可化为x+a＜2a﹣x在[a，a+1]上恒成立；即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，故2（a+1）＜a，解得，a＜﹣2；故选：D．12．设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f （x）∈[0，1]，则b的最大值是（）A．B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导数，利用函数的单调性，结合x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，即可b的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax3+3bx，∴f′（x）=3ax2+3b令f′（x）=0，可得x=，①≥1，则f（x）max=f（1）=1，∴b∈（0，]；②0＜＜1，f（x）max=f（）=1，f（1）≥0，∴b∈（，]．∴b的最大值是．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.13．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，∴双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），∴，解得a=2，c=，b=1，∴该双曲线的方程为．故答案为：．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．【考点】类比推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为4836．故答案为：4836．15．设x1，x2是函数f（x）=x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a 的取值范围是（2，6）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得x1，x2是方程3x2﹣4ax+a2=0的两个实数根，故有3×22﹣4a ×2+a2＜0，由此求得a的范围．【解答】解：∵x1，x2是函数f（x）=x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，∴x1，x2是方程的两个实数根，∴3×22﹣4a×2+a2＜0，即a2﹣8a+12=（a﹣2）（a﹣6）＜0，解得2＜a＜6，故答案为：（2，6）．16．下列结论正确的是（2）（3）．（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；（3）设，是非零向量，命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值为0．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】举例说明（1）错误；利用角的范围结合余弦函数的单调性说明（2）正确；由向量共线的条件判断（3）正确；利用导数求出函数f（x）=2x3﹣3x2，x ∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值说明（4）错误．【解答】解：对于（1），390°＞60°，但sin390，∴函数f （x）=sinx在第一象限是增函数错误；对于（2），△ABC中，∵0＜A，B＜π，且y=cosx在[0，π]上是减函数，∴“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件正确；对于（3），设，是非零向量，若|•|=||||，则共线，∴命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”是真命题，则其逆否命题是真命题；命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题是“若|•|≠||||，则∀t∈R，≠t”，也是真命题，故（3）是真命题；对于（4），由f（x）=2x3﹣3x2，得f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），当x∈[﹣2，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，原函数为增函数，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，原函数为减函数，∴f（x）=2x3﹣3x2在[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）上的最大值为，故（4）错误．故答案为：（2）（3）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在[﹣1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次不等式．【分析】先通过因式分解求出方程x2﹣（2+a）x+2a=0的根，再根据判别式确定不等式x2+2ax+2a≤0有解，最后根据复合命题真假求出a的取值范围．【解答】解：①若命题p为真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在[﹣1，1]上有且仅有一解，∴﹣≤a≤1．②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，当命题p为假时，a＜﹣1或a＞1，当命题q为真时，a≤0或a≥2，因此，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．18．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n 项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣219．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由B的度数表示出A+C的度数，用A表示出C，已知等式利用正弦定理化简，将表示出的C代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后得到tanA=1，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将表示出的c，sinB以及已知面积代入求出a的值，代入f（x）解析式中化简，利用二次函数的性质及正弦函数的值域即可确定出最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵B=60°，∴A+C=120°，即C=120°﹣A，∵a=（﹣1）c，由正弦定理可得：sinA=（﹣1）sinC，sinA=（﹣1）sin=（﹣1）（cosA+sinA），整理得：cosA+sinA﹣cosA﹣sinA=sinA，即cosA=sinA，即sinA=cosA，∴tanA=1，则A=45°；=acsinB=12+4，c=，sinB=，（Ⅱ）∵S△ABC∴••=12+4，解得：a=4，∴f（x）=1﹣2sin2x+4sinx=﹣2（sinx﹣）2+5，则当sinx=1时，函数f（x）取得最大值4﹣1．20．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．（Ⅰ）试用x表示S；（Ⅱ）当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得xy=1800，结合图形及x=3a+6，由此我们易将池塘所占面积S表示为变量x的函数．（2）要求S的最大值，根据xy=1800，直接使用基本不等式，即可求最大值．【解答】解：（1）由题可得：xy=1800，则x=a+2a+6=3a+6，即a=∴S=（y﹣4）a+（y﹣6）×2a=（3y﹣16）a=1832﹣6x﹣y=1832﹣（16x+）（x＞0）．（2）∵16x+≥1440，当且仅当16x=，即x=45m时，取等号，∴x=45m时，S取得最大值1352，此时y=40．21．如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；（Ⅲ）若坐标原点关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1相切，求椭圆C1的标准方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设出抛物线C2的标准方程，利用焦点F（1，0），即可得出结论；（Ⅱ）设AB：x=4+ny，代入抛物线方程，证明=0，即可得出结论；（Ⅲ）P（4t2，4t），则OP⊥l，且OP的中点（2t2，2t）在直线l上，直线方程代入椭圆方程，利用△=0，可得结论．【解答】（Ⅰ）解：抛物线C2的标准方程为：y2=2px，∵焦点F（1，0），∴p=2∴抛物线C2的标准方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：设AB：x=4+ny，代入抛物线方程得y2﹣4ny﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣16，x1x2==16，∴=x1x2+y1y2=0，∴以AB为直径的圆过原点；（Ⅲ）解：设P（4t2，4t），则OP⊥l，且OP的中点（2t2，2t）在直线l上，∴，∴n=±1，由，得（b2n2+a2）y2+8b2ny+b2（16﹣a2）=0，由△=0，可得a2+b2=16，∵a2=b2+1，∴，∴椭圆C1的标准方程为．22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（2）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可；（3）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．【解答】解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=∴①时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为；②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=在（0，+∞）上有且只有一根令h（x）=，则∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增∴a=h（x）min=h（1）=3（3）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（）=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a 的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意两式相减可得∴x2=4x1代入上述方程可得此时所以，实数a的取值范围为．2017年2月12日。
2017-2018学年湖南省浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二上学期12月联考数学试题(文科)(解析版)
2017-2018学年湖南省浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二（上）12月联考数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）已知命题p：若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（）A．“p∨q”为假命题 B．“p∧q”为假命题C．“￢p”为真命题D．“￢q”为假命题2．（5分）椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．43．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．4．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）已知函数f（x）=xe x，则f′（2）等于（）A．e2B．2e2C．3e2D．2ln26．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．C．D．2x±y=07．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b|C．D．8．（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．11万件B．9万件C．6 万件D．7万件9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．711．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B． C． D．（1，+∞）二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为．14．（5分）已知m＞0，n＞0且n+2m=4，则+的最小值是．15．（5分）如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．16．（5分）f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a 的取值范围是．三．解答题（共6小题，总共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣12x．（1）求在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2，a12=20．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若，求数列的前n项和．19．（12分）某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l 的方程．21．（12分）已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为C上异于顶点的任意一点，过点A的直线l交C 于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．（Ⅰ）求抛物线的C的方程；（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为y A、y B、y E，求的值；（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）已知命题p：若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（）A．“p∨q”为假命题 B．“p∧q”为假命题C．“￢p”为真命题D．“￢q”为假命题【分析】分别判断p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，则命题p是真命题，若x2=4，则x=2或x=﹣2，则命题q是假命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢p是假命题，￢q是真命题，故选：B．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件分别判断命题p，q的等价条件是解决本题的关键．2．（5分）椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．4【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得a=2、b=，从而算出c=1，由此即得该椭圆离心率的值．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a2=4，b2=3，可得c==1，因此椭圆的离心率e=，【点评】本题给出椭圆方程，求椭圆的离心率的值．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．3．（5分）下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【分析】根据充分必要条件的定义以及否命题的定义，逆否命题的定义判断即可．【解答】解：对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，是真命题；”x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件，是真命题；若c=0时，不成立，是假命题；命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，是真命题；故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查否命题以及逆否命题的定义，是一道基础题．4．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：设公比为q，∵a3=6，a3+a5+a7=78，∴a3+a3q2+a3q4=78，∴6+6q2+6q4=78，解得q2=3∴a5=a3q2=6×3=18，【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=xe x，则f′（2）等于（）A．e2B．2e2C．3e2D．2ln2【分析】先根据两乘积函数的导数运算法则求出f（x）的导数，然后将2代入导函数，即可求出所求．【解答】解：∵f（x）=xe x，∴f′（x）=e x+xe x．∴f′（2）=e2+2e2=3e2．故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数的求值，解题的关键是两乘积函数的导数运算法则，属于基础题．6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．C．D．2x±y=0【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x．再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），∴双曲线渐近线为y=±x．又∵离心率为e==2，∴c=2a，∴b==a，由此可得双曲线渐近线为y=±x=±x，即：故答案为：．故选：C．【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．7．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b|C．D．【分析】令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，从而得出结论．【解答】解：令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．8．（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．11万件B．9万件C．6 万件D．7万件【分析】y′=﹣x2+81，令y′=0，解得x=9．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：y′=﹣x2+36，令y′=0，又x＞0，解得x=6．当0＜x＜6时，y′＞0，函数f（x）单调递增；当x＞6时，y′＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=6时，y有最大值．故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】利用等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，可得d=a1，即可求出．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，∴a42=a2a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），∴d2=a1d，∵d≠0，∴d=a1，∴==3．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B．C．D．【分析】如图所示，由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F，准线l方程，准线l与x 轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．由QN ∥MF，可得=，即可得出．【解答】解：如图所示由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F（2，0），准线l方程为：x=﹣2，准线l与x轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．∵QN∥MF，∴==，∴|QN|=3=|QF|．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、平行线分线段成比例，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B． C． D．（1，+∞）【分析】通过变形可知问题转化为不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论．【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．【点评】本题是一道关于导数的综合题，考查转化与化归思想，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为9．【分析】确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图目标函数z=2x+3y的最大值，即求纵截距的最大值由，可得由图象可知，在（3，1）处纵截距取得最大值，此时z=9故答案为：9【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，正确作出平面区域是关键．14．（5分）已知m＞0，n＞0且n+2m=4，则+的最小值是．【分析】求出+=1，根据乘“1”法求出代数式的最小值即可．【解答】解：由n+2m=4，得：+=1，故+=（+）（+）=++2+≥+2=，当且仅当n=4m时“=”成立，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查乘“1”法的应用，是一道基础题．15．（5分）如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的结果是什么，从而求出答案．【解答】解：设输入的数是a，则根据程序框图运行程序如下：即输出为8a﹣7＞49，∴a＞7；∴输出的x大于49的概率为=．故答案为：．【点评】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了几何概率的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．16．（5分）f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a 的取值范围是[﹣2，+∞）．【分析】求出g（x）的最大值，问题转化为ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：g′（x）=，而x∈（0，1]，故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，故g（x）在（0，1]递增，g（x）max=g（1）=0，若∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），只需f（x）min≥g（x）max即可；故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，h′（x）=＞0，h（x）在（0，1]递增，故h（x）max=h（1）=﹣2，故a≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．三．解答题（共6小题，总共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣12x．（1）求在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）求出导函数，切线切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，人家求解函数的极值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f（1）=﹣11，f′（x）=3x2﹣12，f′（1）=﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11=﹣9（x﹣1），即9x+y+2=0；（2）∵f（x）=x3﹣12x，∴f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f（2）=﹣16．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查计算能力．18．（12分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2，a12=20．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若，求数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则﹣2+11d=20，解得d=2．∴a n=﹣2+2（n﹣1）=2n﹣4．（2）a1+a2+…+a n==n2﹣3n．∴=n﹣3，∴=3n﹣3．数列的前n项和==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．【分析】（1）根据频率直方图即可求出a的值，（2）求出各组的人数比，即可求出各组的人数，（2）求出从这6人中随机抽取2人的情况总数，及两人来自同组的情况数，代入概率公式，可得答案．【解答】解：（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，完成完成年度任务的人数200×4×（0.03+0.03）=48人，（2）这5组的人数比为0.02：0.08：0.09：0.03：0.03=2：8：9：3：3，故这5组分别应抽取的人数为2，8，9，3，3人（3）设第四组的4人用a，b，c表示，第5组的3人用A，B，C表示，从中随机抽取2人的所有情况如下ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，其中在同一组的有ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，古典概型，难度不大，属于基础题．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l 的方程．【分析】（1）首先利用椭圆经过的点求得方程，利用焦点的坐标建立a2﹣b2=1解方程组得椭圆方程．（2）根据直线的倾斜角为，社直线的方程为y=x+b联立以弦长公式为突破口，解方程求的结果．【解答】解：（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，则：①椭圆的一个焦点是F（0，1）．则a2﹣b2=1 ②由①②得：a2=4 b2=3椭圆C的方程：③（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④联立③④得：3（x+b）2+4x2=12整理得：7x2+6bx+3b2﹣12=0∴∵|AB|===解方程得：b=±2直线l的方程为：y=x±2故答案为：（1）（2）直线l的方程为：y=x±2【点评】本题考查的知识点：椭圆的方程的求法．直线方程的求法，弦长公式在直线与曲线相交中的应用，解一元二次方程及根和系数之间的关系．21．（12分）已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为C上异于顶点的任意一点，过点A的直线l交C 于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．（Ⅰ）求抛物线的C的方程；（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为y A、y B、y E，求的值；（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），可得抛物线开口向右，即可得到抛物线方程；（Ⅱ）首先通过，得到D的坐标，从而得到直线AD的方程，求出y B，通过直线AE的方程求得y E，将坐标代入求求值；=|QG|•|y A﹣y E|，进（Ⅲ）求△AEQ面积的最值，首先求出面积的表达式S△AQE而化简利用均值不等式求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），即有抛物线的方程为y2=4x；（Ⅱ）设，，∵|AF|=|DF|∴，∴，∴直线AD的方程为，直线AE的方程为，由，可得∵y A=t，∴，由，可得∵y A=t∴∴；（Ⅲ）直线l1方程为y=﹣x﹣，令x=﹣1，可得Q（﹣1，﹣），y E=，取AB的中点G，QG∥x轴，则S△AQE=|QG|•|y A﹣y E|，=（t+）3≥•（2）|QG|=（++2）=（+）2，即有S△AQE3=4，则S的最小值为4，当且仅当t=±2取等号．△AQE【点评】本题考查抛物线的方程和性质的运用，考查直线方程的求法和运用，以及化简整理能力，基本不等式的运用，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．【分析】（I）先求出切线的斜率k=f′（1）和f（1），代入直线的点斜式方程化简即可；（II）作差得f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），依次计算g′（x），g″（x），讨论a的范围判断g（x）的单调性，验证结论是否成立即可得出a的范围．【解答】解：（I）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=﹣a，∴f（1）=0，f′（1）=1﹣a，∴函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1）．（II）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），则g′（x）=lnx+1﹣2ax，g″（x）==，①若a≤0，则g″（x）＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，∴≥0，即f（x）﹣≥0，不符合题意．②若0，则当x∈（1，）时，g″（x）＞0，∴g′（x）在[1，）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，∴≥0，即f（x）﹣≥0，不符合题意．③若a，则当x∈[1，+∞）上时，g″（x）≤0，∴g′（x）在[1，+∞）上单调递减，∴g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴≤0，即f（x）≤，符合题意．综上所述，a的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．。
湖南省醴陵市高二数学下学期期中试题 理(1)(2021年整理)
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湖南省醴陵市2016—2017学年高二数学下学期期中试题 理时量：120分钟 总分:150分 命题人：班级:_______姓名：_______考号：_______一．选择题（共12小题）1、复数()i i 13-的共轭复数是（ ）i A -3. i B +3. i C --3. i D +-3.2、dx e m x ⎰=1与dx xn ⎰=11的大小关系是（ ） n m A >. n m B <. n m C =. .D 无法确定3、已知()()*∈++++=N n nn f 131211 ,计算得()232=f ，()24>f ,()258>f ，()316>f ,()2732>f ，由此推算：当2≥n 时，有( ） ()()*∈+>N n n n f A 2122. ()()()*∈-+>N n n n f B 21122. ()()*∈+>N n n f C n 2122. ()()*∈+>N n n f D n 222. 4、函数()x x x f ln -=的减区间为( ）()1,.∞-A ()1,0.B ()∞+,1.C ()2,0.D5、用数学归纳法证明()1,12131211>∈<-++++*n N n n n 时，第一步应验证不等式（ ） 2211.<+A 331211.<++B 34131211.<+++C 231211.<++D6、小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）.A 96种 .B 120种 .C 480种 .D 720种7、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()x f ，如果()00='x f ,那么0x x =是函数()x f 的极值点，因为函数()3x x f =在0=x 处的导数值()00='x f ，所以，0=x 是函数()3x x f =的极值点．以上推理中（ ）.A 大前提错误 .B 小前提错误 .C 推理形式错误.D 结论正确8、某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为32，徒弟加工一个零件是精品的概率为21，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为（ ).A 98 .B 32 .C 31 .D 919、81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中,2x 的系数是（ ) .A 70 .B 70- .C 28 .D 28-10、某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个,且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有( ）.A 35种 .B 24种 .C 18种 .D 9种11、一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的，从盒子中任取3个球来用,用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为()X P ，则()4=X P 的值为（ ).A 2201 .B 5527 .C 22027 .D 552112、已知()x f ，()x g 都是定义在R 上的函数,且()()()1,0≠>=a a a x g x f x 且，()x f '()x g ＜()x f ()x g '，()()()()251111=--+g f g f ，则a 的值为（ ）.A 2 .B 21 .C 53 .D 35二．填空题（共4小题）13、已知56101111⨯⨯⨯⨯= mA ,则=m ________。
湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题
2017年下学期醴陵一中高二年级期末考试数学试卷（理科）时量：120分钟 总分：150分 命题人：班级__________ 姓名___________ 考号___________一．选择题 （每小题5分，共60分）1．已知复数()()()242i z a a a R =-++∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件2．已知双曲线2213x y b-=的一焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 13y x =± B. 3y x =± C. 3y x =± D. y = 3．已知，如果，，则( )A.B.C.D.4．用数学归纳法证明等式()()()22222222211211213n n n n n +++-++-+++=，当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上（ ）A. ()2212k k ++ B. ()221k k ++ C. ()21k + D.()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 5．命题:p x R ∀∈， 220x ax a ++≥，命题:q x R +∃∈，使得12x x+<，则下列命题中为真命题的是（ ）.A. p q ∧B. ()()p q ⌝∧⌝C. p q ∨D. ()p q ⌝∨6．已知(2,1,3),(1,4,2),45a b c λ=-=--=（，，）若,,a b c 三个向量共面，则实数λ=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．57．学校艺术节对同一类的,,,a b c d 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“是c 或d 作品获得一等奖”; 乙说:“b 作品获得一等奖”;丙说:“,a d 两项作品未获得一等奖”; 丁说:“是c 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是：（ ）A. aB. bC. cD. d 8.若函数f （x ）=，则()f x '是（ ）A ．仅有最小值的奇函数B ．仅有最大值的偶函数C ．既有最大值又有最小值的偶函数D ．非奇非偶函数9．直三棱柱111ABC A B C -中， 90BCA ∠=︒， 12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为（ ）3510．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n>1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201520169999a aa a a a a a ++++等于( )A.20122013 B. 20132012 C. 20142015 D. 2014201311．已知函数f （x ）=，给出下列结论：①（1，+∞）是f （x ）的单调递减区间；②当k ∈（﹣∞，）时，直线y=k 与y=f （x ）的图象有两个不同交点； ③函数y=f （x ）的图象与y=x 2+1的图象没有公共点． 其中正确结论的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③12．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A. 112B. 132C. 152D. 172二.填空题 （每小题5分，共20分） 13．设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =_____14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________．15．点F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心的圆过坐标原点O ，且与双曲线C 的两渐近线分别交于A B 、两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C 的离心率为__________．16．已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，且()f x 的导函数()1()3f x f x ''<满足，则()233x f x <+的解集为_____________三．解答题 （ 17题10分，18题至22题每小题12分，共 70分） 17．设函数()222f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）x R ∈， ()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．（1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；（2）求方盒容积的最大值及相应的值．19．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1（α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C 2的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标.20．如图在棱锥P ABCD -中， ABCD 为矩形， PD ⊥面ABCD ， 2PB =， PB 与面PCD 成045角， PB 与面ABD 成030角.（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭，离心率e = （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，0为坐标原点，求OPQ ∆的面积的最大值。
湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班2016-2017
2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜12．已知数列{a n}满足3a n+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）+1A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）3．已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．2434．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q5．设x，y＞0，且x+2y=3，则+的最小值为（）A．2 B．C．1+D．3+26．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）A．8 B．6 C．5 D．47．椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A．B．1或﹣2 C．1或D．18．双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±6x9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8] B． C．D．（2，3]10．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10 m B．30 m C．10m D．10m12．已知命题P：至少存在一个实数x0∈[2，4]，使不等式x2﹣ax+2＞0成立．若P为真，则参数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．14．在等差数列{a n}中，已知a4=﹣15，公差d=3，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为．15．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．16．过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．三、解答题（本题共6道大题，第17题10分，第18～22题，每大题12分，共60分）17．（10分）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．（1）求∠B的大小；（2）若a+c=，求△ABC的面积．18．（12分）数列{a n}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1﹣，（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20．（12分）学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．21．（12分）已知命题P：函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上是单调递增函数；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P ∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中联考平行班高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1【考点】全称命题；命题的否定．【分析】利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．故选：D．【点评】本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．2．已知数列{a n}满足3a n+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）+1A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求+a n=0【解答】解：∵3a n+1∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题3．已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．243【考点】等比数列．【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2，∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64．故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．4．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题的定义判断即可．【解答】解：由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是：“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”，故此命题可以表示为￢p∨￢q故选：A．【点评】本题考查复合命题的真假，掌握其真假判断规则是解答的关键．5．设x，y＞0，且x+2y=3，则+的最小值为（）A．2 B．C．1+D．3+2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由已知可将+变形为（+）（x+2y）=（++3）的形式，结合基本不等式可得原式的最小值．【解答】解：∵x，y＞0，且x+2y=3，∴+=（+）（x+2y）=（+）=（++3）≥（+3）=1+当且仅当==时取等号故+的最小值为1+故选C【点评】本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，熟练掌握基本不等式“一正，二定，三相等”的使用要点是解答的关键．6．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）A．8 B．6 C．5 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义，以及离心率，求出c然后求解椭圆短轴长即可．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，可得a=6，c=2，则b===4．则椭圆短轴长为：8．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7．椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A．B．1或﹣2 C．1或D．1【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由题意可知焦点在x轴上，且a＞0，c相等．【解答】解：∵椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，∴它们的焦点在x轴上，且6﹣a2=a+4（a＞0），解得a=1，故选D．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题．8．双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±6x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，直接求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是4x2﹣=0，即y=±6x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8] B． C．D．（2，3]【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选B．【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．10．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【考点】全称命题；复合命题的真假．【分析】先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．【点评】本题考查复合命题的真假，属于基础题．11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10 m B．30 m C．10m D．10m【考点】解三角形的实际应用．【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【解答】解：如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣105°=30°，由正弦定理知=，∴AC=•sin∠ABC=×=20（m），在Rt△ACD中，AD=•AC=×20=30（m）即旗杆的高度为30m．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．12．已知命题P：至少存在一个实数x0∈[2，4]，使不等式x2﹣ax+2＞0成立．若P为真，则参数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，3）B．C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【考点】函数恒成立问题．【分析】求出￢p成立时，∀x∈[2，4]，都有a≥x+恒成立，从而求出p为真时，a的范围即可．【解答】解：命题P：至少存在一个实数x0∈[2，4]，使不等式x2﹣ax+2＞0成立，则￢p：∀x∈[2，4]，都有x2﹣ax+2≤0成立，即∀x∈[2，4]，都有a≥x+恒成立，令f（x）=x+，x∈[2，4]，则f′（x）=1﹣=＞0，故f（x）在[2，4]递增，f（x）max=f（4）=4+=，故a≥，即￢p成立时，a≥，故p为真时，a＜，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查命题的否定，是一道中档题．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．14．在等差数列{a n}中，已知a4=﹣15，公差d=3，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为﹣108．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】求出首项a4=﹣24，公差d=3，从而得到S n=（n﹣）2﹣，由此能求出数列{a n}的前n项和S n的最小值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4=﹣15，公差d=3，∴a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24，∴S n=﹣24n+=（n﹣）2﹣，∴n=8或n=9时，数列{a n}的前n项和S n取最小值S8=S9=﹣108．故答案为：﹣108．【点评】本题考查等差数列的前n项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（0，1] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解得即可．【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴，∴0＜m≤1．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．16．过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣4=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，==﹣∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案为x+2y﹣4=0【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．三、解答题（本题共6道大题，第17题10分，第18～22题，每大题12分，共60分）17．（10分）（2011秋•南通期末）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．（1）求∠B的大小；（2）若a+c=，求△ABC的面积．【考点】数列与三角函数的综合；解三角形．【分析】（1）利用等差中项的性质，知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，由此结合三角函数的性质能够求出∠B．（2）由（1）知B=，利用余弦定理得到=，再利用三角形面积公式，能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，即sin（A+C）=2sinBcosB，∵A+C=π﹣B，0＜B＜π，∴sin（A+C）=sinB≠0，∴cosB=，B=．（2）由B=，得=，即，∴ac=2，∴．【点评】本题考查等差中项，正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．18．（12分）（2013•上高县校级模拟）数列{a n}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1﹣，（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）依题意，解方程x2﹣12x+27=0可得a2、a5，从而可得数列{a n}的通项公式；由T n=1﹣b n可求得数列{b n}的通项公式；（2）c n=a n•b n，利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，∴a2=3，a5=9．∴d==2，∴a n=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1；又数列{b n}中，T n=1﹣b n，①∴T n +1=1﹣b n +1，②②﹣①得： =，又T 1=1﹣b 1=b 1，∴b 1=，∴数列{b n }是以为首项，为公比的等比数列， ∴b n =•；综上所述，a n =2n ﹣1，b n =•；（2）∵c n =a n •b n =（2n ﹣1）••，∴S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n=1×+3××+…+（2n ﹣1）××，③∴S n =×+3××+…+（2n ﹣3）××+（2n ﹣1）××，④∴③﹣④得： S n =+ [+++…+]﹣（2n ﹣1）××，S n =1+2[+++…+]﹣（2n ﹣1）×=1+2×﹣（2n ﹣1）×=2﹣×=2﹣（2n +2）×．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和，属于中档题．19．（12分）（2015•安徽二模）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a．（Ⅱ）平均分是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点横坐标之和，由此利用频率分布直方图能求出平均分．（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，由此利用列举法能过河卒子同这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．20．（12分）（2011秋•清远期末）学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，又设占地面积为ym2，依题意，写出函数y的解析式，再利用基本不等式求出此函数的最小值即得游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小．【解答】解：设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，又设占地面积为ym2，（1分）依题意，得，当且仅当，即x=28时，取“=”．（9分）答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2（10分）【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、基本不等式的知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2015秋•湛江校级期末）已知命题P：函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上是单调递增函数；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】若命题P为真，则a＞1．若命题Q为真，则a﹣2=0或，解得a．由P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，可得P真Q假，或P假Q真．即可解出．【解答】解：若命题P为真，则a＞1．若命题Q为真，则a﹣2=0或，解得﹣2＜a＜2．可得﹣2＜a≤2．∵P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，∴P真Q假，或P假Q真．∴或，即a＞2或﹣2＜a≤1．【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
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南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考数学(理科创新班) 试题总分：150 时量：120 考试时间2016年12月10 日由 株洲市南方中学 醴陵市第一中学 联合命题姓名： 考号：一、选择题1.命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤2．已知ABC ∆中，1,a b ==45B = ，则角A 等于 ( )A ．150B ．90C ．60D ．303.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ） A.1 B.53C.2D.34．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．6B ．18C ．2 3D ．3 35.一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为(－12，13)，则a ＋b 的值是( )A ．－10B ．－14C ．10D ．14 6.由曲线x xy y 32,==围成的封闭图形面积为( )（A ）112(B)14(C)13(D)7127.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.338.设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与ex 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．ex 1f (x 2)＝ex 2f (x 1) D ．ex 1f (x 2)与ex 2f (x 1)的大小关系不确定11. 已知双曲线1:22=-nmC y x,曲线()exx f =在点(0,1)处的切线方程为022=+-ny mx ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±=12.设c bx ax x x f +++=23)(,又k 是一个常数,已知当0<k 或4>k 时,0)(=-k x f 只有一个实根, 当40<<k 时,0)(=-k x f 有三个相异实根,现给出下列命题: (1) 04)(=-x f 和0)(='x f 有且只有一个相同的实根. (2) 0)(=x f 和0)(='x f 有且只有一个相同的实根. (3) 03)(=+x f 的任一实根大于01)(=-x f 的任一实根.(4) 05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 的任一实根. 其中错误命题．．．．的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13. 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围 。
14. 已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的点，|AF|+|BF|=5,则 线段AB 的中点的横坐标为 。
15.已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值 。
16. 已知数列{2,21,31≥==-n n a n n ，n S 是该数列的前n 项和，若n S 能写成p t (,t p *∈N 且1,1>>p t )的形式，则称n S 为“指数型和”．则}{n S 中是“指数型和”的项的序号和为 。
三、解答题17. 设命题p ：“方程012=++mx x 有实数根”；命题q ：“01)2(44,2≠+-+∈∀x m x R x ”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18.在平面四边形ABCD 中，772cos 321=∠===CAD AB CD AD ，，，。
（1）求AC 的长；（2）若147cos -=∠BAD ，求ABC ∆的面积。
B19.已知数列{n a }，若1a ,2a +1, 3a 成等差数列，数列{n a +1}为公比为2的等比数列。
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++n n T n 的最小正整数n ．20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，设底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ． （1）求证：PC ⊥BD ；（2）过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E ，当三棱锥E ﹣BCD 的体积最大时，求二面角E ﹣BD ﹣C 的大小．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程.22.已知函数.(1)若,求函数的极值；（2）若时，证明(3)当时,不等式恒成立,试证明南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考数学(理科创新班)参考答案一、选择题二、填空题13．k ≥1. 14. 2315.6 16.3 三、解答题17.解：对于命题P ：若方程012=++mx x 有实根，则2140m ∆=-≥， 解得2m ≤-或2m ≥，即p :2m ≤-或2m ≥；……………………（2分）对于命题去q ：若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则016)2(1622<--=∆m ， 解得31<<m ，即31:<<m q ．………………………………………（4分） 由于若p q ∧为假，则p ，q 至少有一个为假；又q ⌝为假，则q 真．所以p 为假， 即p 假q 真，……………（7分） 从而有2213m m -<<⎧⎨<<⎩解得12m <<．所以m 的范围是(1,2)．…………（10分）18.解：（1）在ACD ∆中，由余弦定理可列得：77212142⨯⨯⨯-+=AC AC ，即：037742=--AC AC ，………………3分解得：7=AC .………………5分 （2）由772cos =∠CAD ，易得：73sin =∠CAD ，………………6分由147cos -=∠BAD ，易得：7233sin =∠BAD ，………………7分 故CAD DAB CAD DAB CAD DAB CAB ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin=73)147(72733⨯--⨯=23，………………10分 故237321sin 21⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆CAB AC AB S ABC =4213.………………12分19.（1） 21nn a =-（*n N ∈）.（5分）20．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ， 由此推出PA ⊥BD ， 又AC∩PA=A，∴BD ⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，所以推出PC ⊥BD ． （2）设PA=x ，三棱锥E ﹣BCD 的底面积为定值，求得它的高，当，即时，h 最大值为，三棱锥E ﹣BCD 的体积达到最大值为．以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，则，令E （x ，y ，z ），，，得，∴，设是平面EBD 的一个法向量，，，则，得．又是平面BCD 的一个法向量，∴，∴二面角E ﹣BD ﹣C 为．21.(1)设椭圆的右焦点为'F ，由椭圆的定义， 得''||||||||2AF AF BF BF a +=+=，……1分而ABF ∆的周长为''||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++=，……3分 当且仅当AB 过点'F 时，等号成立，所以48a =，即2a =，又离心率为12，所以1,c b ==5分 所以椭圆的方程为22143x y +=.……6分（2）设直线AB 的方程为4x my =-，与椭圆方程联立得22(34)24360m y my +-+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则222576436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，……7分且1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1213||2ABF S y y ∆=∙-=②……9分令0)t t =>，则②式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==≤=++当且仅当163t t =，即m =. ……11分所以直线AB 的方程为4x y =-或4x y =-……12分． 22.解：(1)由题意得,∵函数的定义域为,由,.∴函数有极小值。
………………4分 （2）易知要证即证在上恒成立，令………………8分(3)∵,∴.当时,,∴.即时,恒成立.又由（2）知在上恒成立,∴在上恒成立.当时取等号, ∴当时,,∴由上知.………………12分。