平面波和球面波的复振幅球面波的复振幅平面波的复振幅

(P) k • 0 kx x ky y kz z 0
k kx xˆ ky yˆ kz zˆ 是波矢。k 2 /
r xxˆ yyˆ yzˆ 场点P的位置矢量。
0 为振源的初相位（下同）。 19
20
定态球面波波函数的特点： （1）振幅反比于场点到振源的距离。
13
三、傍轴条件和远场条件（轴外物点） 物点O的坐标为（x, y,0）， 场点P的坐标为（x', y', z）
r (x x')2 ( y y')2 z2
r0 x'2 y'2 z2
r0 ' x2 y2 z2
14
U~(x', y') a exp[ikr] r
a
exp[ik (x x')2 ( y y')2 z2 ]
(x x')2 (y y')2 z2
r0
z
x'2 y'2 2z
r0 '
z
x2 y2 2z
r z x'2 y'2 x2 y2 xx' yy'
2z
2z
z
r0
x2 y2 2z
xx' yy' z
x'2 y'2 xx' yy' r0 ' 2z z
15
1、 物点和场点同时满足傍轴条件： x2 , y2 z2
16
2、场点满足傍轴条件、物点同时满足傍轴条 件和远场条件，
U~(x',
y')
a z
exp[ ikr0 ]exp[
ik z
(xx' yy')]
3、物点满足傍轴条件、场点同时满足傍轴条 件和远场条件，
U~(x',
y')
a z
exp[ ikr0 ']exp[
ik z
(xx' yy')]
17
位相因子满足平面波的特征，此时球面波 转化为平面波。
设 0 0 则：
U~(x, y, z) Aexp[ ik(x sin z cos )]
在波前z 0面上
U~(x, y, z) Aexp[ik(x sin )] 2
复振幅互为复数共轭的波称为共轭波，所以 上述平面波的共轭波为：
U~(x, y, z) Aexp[ ik(x sin )]
3
例题2：分别写出与z=0平面距离为R的两个物点 在此平面上的复振幅分布。并分析此两球面波的 共轭波分别是怎么的波。设一物点在z轴，另一 物点在轴外。
对于给定的物点O，其坐标x，y是确定的， 所以位相因子是场点坐标x', y'的线性函数。此 近似平面波可以看成是波矢k的 ' 方向余弦为
cos' x / z, cos ' y / z的斜入射的平面波。
作业：P159，1、2。
18
3、定态平面波和定态球面波
定态平面波波函数的特点： （1）振幅是常数，与场点的坐标无关； （2）位相是直角坐标的线性函数：
a exp[ik
(x x1)2 ( y y1)2 R2
(x x1)2 ( y y1)2 R2 ]
它们的共轭波为：
U~(x, y, z)
a
exp[ik x2 y2 R2 ]
x2 y2 R2
5
U~1(x, y, z)
a (x x1)2 ( y y1)2 R2
exp[ik (x x1)2 ( y y1)2 R2 ]
忽略此项，要求：
2
z2 1
或
z2 2 , ()
要使位相中该项可以忽略，则要求：
1 k 2 或
2z
z 2 (为什么？),()
()式称为傍轴条件，()式称为远场条件。
11
傍轴条件和远场条件哪一个更强，要看
具体情况，要看与的比值。在光学中，往
往是远场条件蕴涵了傍轴条件(参看教材P153， 例题5、例题6)。
[解答]：对于轴上物点O，坐标为（0，0，R） 其波前为（注意：是发散的球面波）：
U~(x, y, z) a exp[ikr] r
a
exp[ik x2 y2 R2 ]
x2 y2 R2
4
对于轴上物点O1，坐标为（x1，y1，-R）
其波前为：
U~1 ( x,
y,
z)
a r1
exp[ik r1 ]
核心问题是要分析清楚波前的复振幅分布， 即其振幅大小和相位的分布。要特别注意，光波 的波长很短，很小的距离变化，将会引起较大的 位相变化。另外要注意到平面波具有线性位相因 子的特征。
8
O为点光源，位于 物平面上的坐标原点， P为接收平面（像平 面上任一点），坐标 为（x′，y ′）。
x'2 y'2
对应的物点坐标分别为，O＊（0，0，R） O1＊（x1，y1，-R）。显然它们都是发散的 球面波（如下图所示）。
6
7
二、傍轴条件和远场条件（轴上物点）
x-y是物平面，x′-y ′是像平面，二者相 隔一定距离z，讨论物面上某点源照射下，接收 面上的波前如何？进一步，在什么条件下，球 面波可以近似转化为平面波？
在满足傍轴条件时，
U~(x', y') a exp[ ik(z x'2 y'2 )]
z
2z
振幅是常数（对于同一个接收面，z是相同的）。
12
在同时满足傍轴条件和远场条件时，
U~(x', y') a exp[ikz] z
对于同一个接平收面，振幅是常数， 位相也是一个常数（与x′、y′无关）， 这时球面波可以近似看作是平面波（相 当于垂直入射的平面波）。
x'2 , y'2 z2. 这时r z, 所以，
U~(x',
y')
a z
exp[ik(r0
x2 y2 2z
)]exp[ ik z
(xx' yy')]
a z
exp[ik(r0
'
x'2 y'2 2z
)]exp[ ik z
(xx'
yy'
)]
振幅具有平面波的特点，但位相不满 足平面波的特征（存在二次项和交叉项）。
r z2 2
U~(x', y')
a
exp[ik z 2 2 ]
z2 2
9
若 2 z2,可以将r的表达式作泰勒级数 展开，保留到 2项，
U~ ( x' ,
y')
z (1
a
2
/ 2z2)
exp[ ik(z
2
2z
)]
10
与平面波波前比较，振幅的分母中多含一项 2
二是位相因子中多含一项 2，为了振幅中可以
§2、波前
一、波前的概念
波前通常指的是一个等相面或走 在最前面的波面。对于定态光波，最 关心的是一个特定波前上的复振幅的 二维分布。
1
例题1：一列平面波的传播方向平行于 x-z面，与z轴成倾角θ，写出其及其共 轭波在波前z=0面上的复振幅分布。
[解答]：该平面波波矢的三个分量为
kx k sin , ky 0, kz k cos