高中数学三角函数新奇妙题难题提高题(修改版).doc

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高考级 1、关于函数

f (x )

4sin( 2x

)( x R )

3 y f (x ) 的表达式可改写为 y

4 cos(2x

象关于直线

x

对称。其中正确命题的序号是

6

答案：②③

有下列命题 : ①由

f (x 1 ) f (x 2 )

可得

x 1 x 2 是 π的整数倍；②

) ；③ y f (x ) 的图象关于点（－ ,0) 对称；④ y = f ( x ) 的图 6

6

__

_

2. 已知函数 g (x)

1 cos πx 2

π

的图象过点

1

,2，若有4

个不同的正数 x i

2

2

满足

g( x i )

M (0 M

1) ，且 x i

4(i 1, 2, 3, 4) ，则 x 1

x 2

x 3 x 4 等于

答案 10

3 函数

y

1 的图像与函数 y 2sin x(

2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于

1 x

（A ）2 (B) 4

(C) 6

(D)8

解析：图像法求解。

y

x 1 的对称中心是（ 1,0 ）也是 y 2sin x( 2 x 4) 的中心， 2 x 4

他们的图像在

1

x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有

4 个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为

x 1, x 2 , x 3, x 4 , x 5, x 6 , x 7 , x 8 ，则

x 1 x 8 x 2 x 7 x 3 x 6 x 4 x 5

2 ，所以选 D

5 . 如果圆 x 2+y 2=n 2 至少覆盖函数

f (x)

3 sin

x

的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是

( B )

n

(A )1

(B )2 (C )3 (D ) 4

提示：因为

f ( x)

3sin

x

为奇函数， 图象关于原点对称， 所以圆 x 2 y 2 n 2 只要覆盖 f ( x) 的一个最值点即可，

n

令

x ，解得 f ( x) 距原点最近的一个最大点

P( n

, 3) ，由题意 n 2

( n ) 2

( 3) 2 得正整数 n 的最小值为 2 选 B

n 2

2

2

6． ( 模拟 ) 对于函数 f ( x ) ＝

sin x ， sin x ≤cos x

给出下列四个命题：

cos x ， sin x >cos x

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数；②当且仅当

x ＝π＋ k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－

1；

③该函数的图象关于

＝ 5π ＋ 2 π( ∈Z)对称；④当且仅当

π ＋ 2 π( ∈Z)时， 0<

( ) ≤ 2

x 4 2 π< < 2 f 2 .

k k k x k k x

其中正确命题的序号是 ________．( 请将所有正确命题的序号都填上 )

答案：③④

8 已知 f ( x )=s in (

x + )(

>0, 0≤ ≤π ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点

M

3 ,0 对称，且在区间 0, 上是单

4 2

调函数，求 和 的值。

【解】 由 f ( ) 是偶函数，所以

f (- x )= f ( x ) ，所以 s in ( + )=s in (- x + ) ，所以 s s inx =0，对任意 x ∈R 成立。又 0

x

co

11

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M 3

f ( 3

3

x) =0

x =0

f ( 3 ) =0

≤

≤π，解得

=

，因为

f (

) 图象关于

,0

x) f (

对称，所以

。取

，得

，

2

x

4

4

4

4

所以 sin

3

0.所以 3

k

2 ( k ∈Z) ，即

= 2

(2 k +1) ( k ∈ Z) ，又 >0，取 k =0 时，此时

4

2

4

3

f ( x )= sin (2 x + ) 在[0 ， ] 上是减函数；取 k =1 时， =2，此时 f ( )= s in (2 + )在[0， ] 上是减函数；取 k =2 时，

≥

10

，

2 2

x

x

2 3

2

此时 f ( x )=

sin (

+

)在[0 ， ] 上不是单调函数，综上，

=

2

或2。

x

2

2

3

7． 如图，已知在等边△ ABC 中， AB ＝3，O 为中心，过 O 的直线交 AB 于 M ，AC 于 N ，设∠ AOM ＝ (60 °≤ ≤120°) ，当

分别

为何值时，

1

1

OM

取得最大值和最小值．

ON

解：由题意可知： ∠ OAM ＝ 30°，则∠ AMO ＝ 180°－（θ＋ 30°）由正弦定理得：

OA

＝ OM

，又 OA= 3

3 2 3

，

sin AMO sin 30 2

3

∴

OM

3

同 理 ：

ON

3

， ∴

2sin(

30 )

2sin(

30 )

1 1

2sin(

30 )

2sin(30 )

2

3

1

3

1

2 sin ，∵ 60°≤θ≤ 120°，

OM

ON

3

3

(

sin

cos

2

sincos )

3 2 2

2

∴

3 ≤ 2sin θ≤ 2，故当θ＝ 60°或 120°时， 1

1

的最小值为 3 ；当θ＝ 90°时，

OM

ON

1

1

的最大值为 2．

OM ON

联赛

1. 在平面直角坐标系 xoy 中，函数

f ( x) a sin ax cos ax (a 0) 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数

g (x)

a 2 1 的图像所围成的封闭图形的面积是

_____________ 。

解：

f ( x)

a 2 1sin( ax

), 其中

arctan

1

，它的最小正周期为

2 ，振幅为 a 2 1 。由 f ( x) 的图像与

a

a

g( x) 的图像围成的封闭图形的对称性，

可将这图形割补成长为

2 、宽为 a 2

1 的长方形， 故它的面积是 2

a 2 1 。

a

a

2. 已知 x,2y ∈

[

, ] ， a ∈ R,且

x 3 sin x

2a 0 (1)

的值。

4 y 3 sin y cos y a

求 cos(x+2y)

4 4

0 (2)

分析：（ 1），（2）可得变形： x 3 +sinx=2a,(2y) 3

+sin2y=-2a, 由这式子使我们联想到函数 f(v)=v

3

+sinv ，由（1）得，f(x)=2a;

由（ 2）得， f(2y)=-2a;

由 f(v) 在

[

, ] 上，为单调的奇函数。故 f(x)=-f(2y)=f(-2y),

又 x,2y ∈ [

4 , ] , ∴ x=-2y,

2 2

4

∴x+2y=o, 从而 cos(x+2y)=0 。

3．函数

f ( x) | sin x |

与直线

y

kx (k

0) 有且仅有三个交点， 交点的横坐标的最大值为

，求证：

cos 1 2

．

sin sin 3

4

[ 证 ]

f ( x) 的图象与直线 y kx (k

0) 的三个交点如答 13 图所示，且在 ( ,

3 内相切，其切点为 A( , sin ) ，

)

2

22