线性规划单纯形法知识讲解
单纯形法与线性规划问题
单纯形法与线性规划问题线性规划是一种优化问题，其基本形式是在给定的约束条件下，使目标函数最大或最小。
这种问题在工业、商业、农业和社会等领域有着广泛的应用。
在解决线性规划问题时，单纯形法是一种经典和常用的算法。
本文将介绍单纯形法和其在线性规划问题中的应用。
一、单纯形法概述单纯形法是一种基于向量空间的方法，其基本思想是沿着可行解空间中的边缘逐步搜索找到最优解。
单纯形法的运算是建立在基向量的概念上，基向量是指满足线性不可约条件的可行解基组成的向量。
单纯形法的步骤如下：1. 构造首行，确定初始基向量。
2. 选择离目标函数最远并且为正的变量，称为入基变量。
3. 选择离约束最近的基变量，称为出基变量。
4. 通过 Gauss-Jordan 消元法计算新的基向量组，确定更新后的基向量。
5. 重复步骤 2-4 直至无法选择入基变量为止。
6. 找到目标函数的最优解。
二、线性规划问题线性规划问题的一般形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$其中，$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 为线性目标函数，$a_{ij}$ 和$b_i$ 均为常数。
三、单纯形法解决线性规划问题1. 转化为标准型单纯形法只能用于标准型的线性规划问题，因此需要将原始问题转化为标准型。
标准型的形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}\sum_{j=1}^nc_jx_j$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$2. 添加松弛变量将约束条件转化为等式形式时需要添加松弛变量，松弛变量是一种关于决策变量的人工变量，其值可以取负数。
单纯形表法详细讲解
单纯形表法详细讲解
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。
以下是其详细步骤：
1. 确定初始基可行解：一般采用取松弛变量的方法来获得初始基可行解，从而得到对应的单位矩阵作为基。
2. 判断是否满足最优解条件：单纯形法从可行域中的一个点开始，判断该顶点是否为最优解。
如果不是，就寻找另一个目标函数值更优的顶点。
3. 迭代优化：通过单纯形表判断出顶点是否为最优解，如果线性规划问题没有最优解，则继续迭代优化，直到找到最优解或确定问题无解。
4. 确定最优解：在单纯形表中，理解其系数矩阵、基、基向量、非基向量和基变量等基本概念，从而确定最优解。
5. 确定换入变量和换出变量：在单纯形表中，如果发现非基变量的系数大于零，则可以通过增加这些变量的值来使目标函数增加。
由于每个变量都大于零，对于某个变量增加是有所限制的，如果该变量过大，由于其他限制条件，会导致其他变量小于零。
因此，应该让该变量一直增大，直到有一个其他变量刚好等于0为止，那么这个变量就被换出基。
6. 进行高斯行变换：使用第4行对各行进行高斯行变换，使得二列第四行中的每个x都变成零，也包括c2。
如需更多关于单纯形法的信息，可以咨询数学专家或查阅相关文献资料。
第5章_单纯形法
初始可行解:第一个找到的可行域的顶点。
三、单纯形法试算程序框图（见图5—1）
开始
转变为标准型[增加额外 变量(松弛、剩余、人工 变量)]
建立初始单纯形表
最优
是
停
否 找出“换入”“换出”变量
修正单纯形表
图5—1
5.2 线性规划模型的变换
一、线性规划模型标准型的特点 ⑴目标函数是求极大值或极小值； ⑵所有的变量都是非负的； ⑶除变量的非负约束外，其余的约束条件都
ABCD 含量（单位/千克）
最低需求量 （单位）
糖
5 2 4 2 60
蛋白质
3 2 1 4 40
脂肪
3 1 2 5 35
单价（元/千克） 1.5 0.7 0.9 1.2
例3是例2的对偶问题，例3与例2互为对偶线性规 划原规划与对偶规划具有对称性，如图所示：
食品
单一营
养成分单价
AB C D
单一营养
（x1） （x2） （x3） （x4） 成分需求量
m
c a Z j
i ij
i 1
解b
b 1
b 2
…… b
n
目标函 数
例1
求max Z=7x1+10x2 满足 7x1+7x2≤49 10x1+5x2≤50 x1，x2≥0
用单纯形法求解。
例2
第2章例1中我们得线性规划模型为： 目标函数：max Z = 50x1+100x2
满足 x1 + x2 ≤300 2x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1，x2 ≥0
…… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥，=) bm x1，x2 …… xn≥ 0
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
线性规划 -单纯形法
找出一个初始可行解
是 是否最优 循 环 最优解
否 结束 转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 核心是：变量迭代
7
二、确定初始基本可行解
8
二、确定初始基本可行解
9
三、最优性检验
10
四、基变换
得到一个基本可行解后，经检验如果不是 最优解，则要寻找一个新的基本可行解。 具体做法是从原可行基中换一个列向量， 得到一个新的可行基，这就叫基变换。 为了换基，要确定进基变量和离基变量。
第六节 单纯形法的基本原理
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的 可行域是凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸 集)的顶点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行 解是最优解。（或在某个顶点取得）
0 0 x3 x4 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1/2 0 -2 0 - 5/2
0 x5 0 0 1 0 0 0 1 0
比 值
6 min 9 8
4 min
单纯形法的计算过程
cj
0 5 第 0
二 次 迭 代
基
解
3 x1
5 x2
0 x3
0 x4
Hale Waihona Puke 0 x5比 值x3 8 x2 6 x5 12
例 求解下述LP问题 max z = 3x1+2x2 -2x1 +x2 ≤ 2 s.t. x1 -3x2 ≤ 3 x1 ， x2 ≥ 0 cj
基 解
max z = 3x1+2x2 -2x1 +x2 +x3 = 2 s.t. x1 -3x2 +x4 = 3 x1，x2 ，x3， x4 ≥ 0
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
第三章2 单纯形法1
，可以构成基本矩
阵 （单位矩阵） 因而不需要加任何变量直接就能求出基本可行解。 ，
第二节 单纯形法
再看课本 20 页的例题 1，当化为标准型后，变量 x3 的系数列
0 向量为 1 1 ， 所以只需要再构造出一个变量的系数列向量为 0
第二节 单纯形法
本节主要介绍单纯形法的计算步骤及线性 规划解的讨论方面的内容
一．单纯形法的基本思路 求出线性规划问题的初始基本可行解X（0），并充分 运用它提供的信息，编制初始单纯形表。 （0）是否最优？为此，需要建立一个判别标准。 判别X 如X（0）不是最优，就将一个基变量换出，将一个非 基变量换入，组成另一组基本可行解，迭代为另一张 单纯形表，使新的目标函数值较原有的为优。如此逐 步迭代，若问题有最优解，那么经有限次迭代就可求 出最优解。
只要有一个人工变量不 为零，目标函数将永远 不能求得最大值
xj ≥ 0 j=1,2,3,4,5,6
由人工变量 x5，x6 系数列向量构成的矩阵（单位矩阵）就是一个 满秩矩阵，以它为基本矩阵，x5，x6 为基变量求得的基本解为： （x1，x2， x3，x4， x5，x6）=（0， 0，0，0，2，5）
第二节 单纯形法
大家前面已经学过，化一般线性规划模型为标准型时，对“≤”约束 引入了松弛变量，松弛变量对应的系数列向量是非常特殊的。在课本例题2 中（16 页） 4,x5 是松弛变量，对应的系数列向量组成的矩阵为 0 1 ，由 ，x 文献（3）中的知识可知该矩阵是形式最简单的满秩矩阵（单位矩阵） ，因而 可以作为基本矩阵。 2．求基本解的方法： 令所有的非基变量全为零，就可以解出基变量的值。例 2 中由单位矩 阵解出的基本解为 x4= 100，x5 =120。此时，线性规划问题的基本解为： （x1，x2，x3，x4，x5）=（0，0，0，100，120） 非基变量 基变量
线性规划中的单纯形法分析
线性规划中的单纯形法分析在数学和运筹学领域中，线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过最小化或最大化线性目标函数，同时满足一系列线性等式和不等式约束条件。
而单纯形法则是一种广泛应用于线性规划问题求解的算法，它通过迭代计算来找到最优解。
本文将对线性规划中的单纯形法进行详细分析。
一、线性规划基本概念在介绍单纯形法之前，我们需要先了解线性规划的基本概念。
线性规划包括目标函数、决策变量和约束条件三个主要部分。
目标函数是线性规划问题中待优化的目标，可以是最大化或最小化某个线性表达式。
决策变量是这个问题中需要确定的变量，它们的取值将影响到目标函数的结果。
约束条件则是对决策变量的限制条件，可以是等式或不等式。
二、单纯形法的基本原理单纯形法是由美国数学家Dantzig于1947年提出的一种求解线性规划问题的有效算法。
该算法基于以下基本原理：在每一次迭代中，通过选择合适的决策变量进行优化，使目标函数的值不断逼近最优解。
具体而言，单纯形法通过构造一个初始可行解，然后通过迭代计算找到一个更优的解。
三、单纯形法的步骤1. 构造初始可行解：根据约束条件，求解一组可行解，并将其用于下一步的迭代计算。
2. 检验最优性：计算当前解的目标函数值，判断是否满足最优性要求。
3. 选择进入变量：根据规则选择一个进入变量，即使得目标函数值增加最大的变量。
4. 选择离开变量：根据规则选择一个离开变量，即使目标函数值达到最大的变量离开。
5. 更新解的值：根据进入变量和离开变量，更新当前解的值。
6. 返回步骤2，直至达到最优解或无界。
四、单纯形法的优缺点1. 优点：a) 单纯形法适用于大多数线性规划问题，并且可以找到全局最优解。
b) 算法相对简单直观，易于理解和实现。
c) 在实践中，单纯形法已被证明是一种高效的求解方法。
2. 缺点：a) 即使是对于中等规模的问题，单纯形法的计算复杂度也很高，需要大量的迭代计算。
b) 在某些特殊情况下，单纯形法可能会陷入循环，并无法找到最优解。
第7讲线性规划与单纯形法
1x12x2 4 4x10x2 8 0x14x2 6
(原料钢的限制)； (原料铁的限制)； (原料橡胶的限制)；
• 另外，根据实际问题的需要和计算方面的考虑，还 对决策变量x1 , x2 加上非负限制，即
x10,x20
综上所述，我们将例2.1的实际问题用数学模型描述 成：求 x1 , x2使得
MaxZ2x13x2;
同时，为了营养需要，变量x1 , x2 必须满足 下列约束条件：
0.10 x1 0.15x2 1.00;
s.t.
1.70 1.10
x1 x1
0.75 x2 1.30 x2
7.50; 10.00;
x1, x2 0.
• 设决策变量 xj (j=1 ,2 , … , n)分别表示此人对这n种 食物的食用量，则问题的线性规划模型表示为：
• 解：这里所说的生产计划问题是指要制定出两 种产品的产量．显然，可行的生产计划是很多 的，比如可以只生产A型产品，也可只生产B型 产品，也可两种产品都生产．通常一个企业的 生产中有多种不同的产品组合，而每一种产品 组合又有大量的不同的数量组合．每个这样的 组合都是一个生产计划．要从这许许多多个（ 有时甚至是无穷多个）生产计划中确定出哪个 是最优的（既是企业获利最多的），这是个非 常困难的问题，传统的经济分析方法在此无能 为力．
第7讲线性规划与单纯形法
本章要求：
◎ 掌握线性规划的数学模型及其建模步骤． ◎ 掌握线性规划的图解法． ◎ 认识线性规划的标准型，掌握转化为标准
型的方法． ◎ 掌握单纯形法与单纯形表；掌握人工变量
方法的使用．
• 线性规划（Linear Programming．简记为LP）是管 理科学研究方法的一个重要部分，是管理科学研 究方法中研究较早，发展较快，理论上比较成熟 和应用上极为广泛的一个部分，它已成为帮助各 级管理人员进行决策的一种十分重要的工具．
线性规划-单纯形法
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
单纯形算法原理与计算步骤详解
单纯形算法原理与计算步骤详解单纯形算法是一种常用于线性规划问题求解的优化算法，其基本思想是通过不断迭代改变可行解，使目标函数值逐渐趋近最优解。
本文将详细介绍单纯形算法的原理和计算步骤。
一、单纯形算法原理单纯形算法基于以下原理：假设存在一个线性规划问题，其中目标函数需要最小化，约束条件为一组线性等式和不等式。
算法通过在可行域内循环改变基变量，以求得最优解。
算法的基本思想是从初始可行解出发，不断迭代地转移到更优的解，直到找到最优解。
单纯形算法的迭代过程中，每一次迭代都会选择一个非基变量进行转移，使目标函数值逐步减小。
二、单纯形算法的计算步骤下面将详细介绍单纯形算法的计算步骤，以帮助读者更好地理解该算法。
1. 初始化阶段在初始化阶段，需要将线性规划问题转化为标准型，并找到初始可行解。
标准型的要求是：目标函数为最小化，约束条件为等式和非负约束。
2. 检验阶段在检验阶段，需要进行基变量的选择和检验是否达到最优解。
首先选择一个入基变量，该变量的选择通常基于某些准则，如最大增量准则、最小比率准则等。
3. 转换阶段在转换阶段，需要进行基变量的转换，使目标函数值不断减小。
通过将选定的入基变量与已有的基变量组成一个新的基，进而得到新的可行解。
在转换过程中，还需要进行非基变量的选择和计算。
选择一个出基变量，使得目标函数值减小的幅度最大。
然后，通过高斯消元法计算出相应的新基。
4. 终止判断阶段在每次迭代后，都需要判断是否已达到最优解或存在无界解。
如果目标函数不能减小或者无界，则算法终止。
否则，返回检验阶段继续迭代。
5. 结果输出阶段当算法终止时，需要输出最优解以及最优解对应的目标函数值。
三、单纯形算法的优化尽管单纯形算法是一种常用的线性规划求解方法，但在某些情况下，其迭代次数可能会非常大。
为了优化算法效率，可以采用以下方法：1. 人工变量法当初始可行解需要引入人工变量时，可以通过人工变量法来优化算法。
该方法通过对目标函数引入人工变量，并对目标函数进行最小化，从而减少迭代次数。
§2.2单纯形法
Maxz 7 x 12 x
1
Maxz 7 x1 12x2 0x3 0x4 0x5
3) 当模型中有某变量 xk 没有非负要求， 称为自由变量, 则可令 x x x ,x ,x 0
/ // / // k k k k k
化为标准型。 4) 若某个bi<0,两边乘(-1) 5) 对负变量 x j 0 ，换元设 xj x j 0
2. 最优性检验
问题：用什么检验？ —— 目标。
1 1
X 而目标z CX (C C ) C (B b B N X ) C X X C B b (C C B N ) X
记 C C B N，则当 0 时，当前基可行解为最 优。
1
方法：计算每个变量 x 的检验数 c C B P ,
1
若 0, 则当前解为最优；否则 非最优。
问题：非最优的特征为何？
至少有某个检验数 0。
3. 寻找更好的基可行解（换基迭代） （基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行 解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此， 本步骤也称为基变换。 进基
1 1 1 1
360 90 4
[ ] 中表示进基列与出基行的交叉元，下一张表将实行以它为主 元的初等行变换（称高斯消去）。方法是：先将主元消成1，再用此1将 其所在列的其余元消成0。
特点： (1) 目标函数求最大值 (2) 约束条件都为等式方程； (3) 非负约束：决策变量xj为非负； 右端常数项bi非负。
标准型的矩阵表示：
Maxz CX AX b s.t. X 0
其中，A 的秩为m（m n） , b 0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ii) 如果任何替换都产生不了新的BFS，则问题无界.
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
i) 若有可行解，则必存在基本可行解； ii) 若有解，则必有某个基本可行解是最优解.
与凸性的关系
线性规划的基本定理(标准形)
基本可行解
极点
线性方程组 的基本性质
代数理论 (与表述形式有关)
设计算法
凸集理论
几何理论
(与表述形式无关)
直观理解
凸性(凸集及性质)
定义
是凸集(convex set)，如果对S中任意
处理：给表格附加m个单位列向量开始迭代，用A
中的列依次替换这些单位列向量
例2. 利用转轴解方程组
为了得到第一个规范形，形成增广表格
以下运算 同例1 !
2. BFS→相邻BFS(极点→相邻极点)
设x是BFS, 且规范形如前，且假设 aq 进基 ◎问题：确定出基变量，使转轴后新规范形对应BFS？ 因为
◎ 模型：
例2. 运输问题
产销平衡/不平衡的运输问题
例3. 目标值带绝对值的问题
假设： 事实： 转化为：
例4. 其它应用
• 数据包络分析(data envelope analysis, DEA) • 网络流问题(Network flow) • 博弈论(game theory)等
线性规划的一般形式
循环
定义：从某张单纯形表开始返回到该单纯形表的一串转轴 转轴规则：选取进基变量和离基变量的明确规则(可以选时！)
◎ 进基变量：最小系数规则 最小系数规则：◎ 出基变量：最小指标规则
循环的例子
Beale
第七张单纯形表
循环！
注：循环转轴序列中所有BFS都是退化的！是 同一个BFS！
避免循环的方法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形表可以提供计算所需的所有信息！
如何得到第一张单纯形表
◎ 初始表格：BFS对应规范形的表格＋[c 0]
◎ 用转轴运算(初等行变换)将 最后一行与基变量对应的元素化为零，
即得第一张单纯形表！
例1. 化标准形 得标准形的初始表格/第一张单纯形表
邻极点/BFS？
1. 转轴(基本解→相邻基本解)
满秩假定： A是行满秩的
规范形(canonical form)
不妨设
线性无关 等价变形
基本解
基变量
一般地： 只要有m个单位列
非基变量
次序可以打乱！
规范形的转换问题
◎ 替换问题
假设在上述规范形中，想用
⊙ 什么时候可以替换？ ⊙ 替换后新规范形是什么？
. 则 aq 进基， 的逆
这里 ei 表示n 维单位向量，向量 v 定义为
左乘该矩阵等价于对矩阵进行初等行变换！
相关数据的更新－初等行变换
设转轴元是 ，即 aq 出基， ap进基
实用优化方法
第2章 线性规划：单纯形法
刘红英 理学院数学系
线性规划
线性规划：目标函数是线性的，约束条件是 线性等式或不等式
线性规划的历史
• 渊源要追溯到Euler、Liebnitz、Lagrange等
• George Dantzig, Non Neumann(Princeton)和 Leonid Kantorovich在1940’s创建了线性规划
最后一张单纯形表/最优单纯形表
退化的线性规划－退化的基本可行解(几何解释)
对于标准形而言，当极点仅对应一个基时，是非退化的； 当极点对应多个基时，是退化的。
6. 单纯形法的矩阵形式
给定基 B 及对应BFS (xB, 0), 其中xB=B-1b
用非基变量表示基变量： 用非基变量表示目标函数：
相对费用向量
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
相对/既约费用系数(relative/reduced cost coefficients)
将 Ax=b 的任一解 x 用非基变量表示为
确定进基变量
◎最优性定理
◎定理(BFS的提高) 给定目标值为z0的非退化基本可行解，且假定存
在 j 使得 rj < 0，则
所以
令 可否选取合适的
使得
是BFS ？
确定离基变量
至少有一个正元
例3. 考虑线性方程组
转 轴
B=(a1,a2,a3) X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
a1进基
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
初始表格－单纯形表
初始表格 通常不是单纯形表！
与基矩阵 B 对应的单纯形表
7. 修正单纯形法(Revised simplex method)
◎ 重要事实： ⊙ 通常仅有少数列发生转轴(2m-3m) ⊙ 仅需原始数据(c, A, b)和基 B 的逆矩阵
◎ 核心问题： 如何更新当前基的逆→新基的逆
理论上的表现 表格实现
⊙ 第II阶段：利用单纯形法求原问题
→从上述BFS出发，求解所给问题 →原问题无界或者有解
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有 一个或者多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数 没有发生变化！
修正单纯形法的计算步骤
步0 给定BFS及对应的B-1。计算
步1 计算
。如果
步2 选取 q 满足
步3 计算 yq=B-1aq；若 停，问题无界；否则，选 p 满足
停；得最优解. ，
步4 更新 B-1, B-1b和 涉及到的计算：
，返步1.
核心计算：B-1
基的转换定理
定理 不妨设B= ap出基后所得新基
两 点 x , y 和(0,1)中的任一数 满足
几何解释：连接集合中任两点的线段仍含在该集合中 性质
一些重要的凸集
超平面(hyperplane): 正/负闭半空间：
多面集(polyhedral convex set): 有限个闭半空间的交集
推 广
平面上：多边形
注：任一线性规划的可行集是多面集！
极点
几何上：极点即不能位于连接该集合中其它两点 的开线段上的点
定义 称凸集C中的点 x 是C的极点，如果存在 C 中
的点 y, z 和某
，有
则必有 y=z.
极点与基本可行解的等价性定理
考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的m×n 矩阵，令
则x是 K 的极点当且仅当x是线性规划的基本可行解.
推论：
的线
性
i) 若K非空，则至少有一个极点.
线性规划的标准形(分析、算法)*****
向量表示： 标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量
例5. 化成标准形
等 价 表 示 为
基本解与基变量(*****)
其中 满秩假定：m<n，且A的行向量线性无关
定义 设B是A 的m个线性无关列组成的矩阵. 置 所有与B无关列对应的变量为零，称所得方程组 的解是Ax=b的基本解(basic solution)
单纯形法的收敛性
◎ 非退化线性规划：任一基本可行解非退化
◎ 收敛性定理：
对非退化线性规划，从任一基本可行解出发，利用 单纯形法可在有限步内得到最优解或判断问题无界.
5. 如何启动单纯形法－人工变量
◎ 目标 判断 Ax=b, x≥0 是否有界； 有解时找一个基本可行解；
◎ 方法 ⊙ 给有需要的行乘以-1，使得 b≥0 ⊙ 构造辅助问题
单纯形法简介
• 适用形式：标准形(基本可行解=极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，
依次移动到相邻极点/BFS，直到找出最优 解，或判断问题无界.
• 初试化：如何找到一个BFS？ • 判断准则：何时最优？何时无界？ • 迭代规则：如何从一个极点/BFS迭代到相
• 1947年, George Dantzig于发明了单纯形法
• 1979年，L. Khachain找到了求解线性规划的一 种有效方法(第一个多项式时间算法－椭球内点法)
• 1984年，Narendra Karmarkan发现了另一种求 解线性规划的有效方法，已证明是单纯形法的强 有力的竞争者(投影内点法)
第一张 单纯形表
第二张 单纯形表
辅助问题的最优值是0. 原问题的BFS：
例2. 利用两阶段法求解下面的问题 第I阶段：辅助问题
辅助问题的最后一张单纯形表 原问题的初始表格：
原问题的最优解：
两阶段法－可求任一线性规划问题
◎ 第I阶段：启动单纯形法
→构造、求解辅助问题
→判断原问题不可行、或可行 → 可行时找到基本可行解及对应规范形
线性规划 解的
几何特征
唯一 解(顶点)！
无(下)界
顶点 一 条 边
线性规划解的几何特征
• 有解：唯一解/多个解(整条边、面、甚至
整个可行集)
有顶点解
• 无界：没有有限最优解 • 不可行：没有可行解
无解
可行集：多边形(二维) →多边集(高维空间)