常用函数的Taylor展开Peano余项

2
k2
(2k )!!
常用函数的Taylor展开(Peano余项)
1
n
(1来自百度文库k xk o( xn )
1 x k0
1
n
xk o( xn )
1 x k0
1
1 x2
n
(1)k
k0
x2k
o( x2n )
1
1 x2
n
x2k
k0
o( x2n )
1 1 n (1)k (2k 1)!! xk o( xn )
4) f ( x) (1 x) ,( x 1)
n ( 1)( k 1) xk o( xn )
k0
k!
n
Ck xk o( xn )
k0
f x (1 x)
f (k) ( x) ( 1) ( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1)
常用函数的泰勒展开(Peano余项)
特例：
1 x
n
1 (1 1)(1 k 1)
22
2
xk o( xn )
k0
k!
1 a0 1,a1 2
ak
1 1(1 k! 2 2
1)(1 2
k
1)
(1)k1 1 3
(2k 3) 2k k !
(1)k1 (2k 3)!! k 2
(2k )!!
1 x 1 1 x n (1)k1 (2k 3)!! xk o( xn )
(1)n1 x2n1 o( x2n )
3! 5! 7!
(2n 1)!
f
x
sin
x,
f
(n) (0)
sin(0
n
2
)
0, n 2k (1)k1 , n
2k
1
x2 x4 x6 cos x 1
(1)n x2n o( x2n1 )
2! 4! 6! (2n)!
常用函数泰勒展开(Peano余项)
1 x
k1 (2k)!!
常用函数的泰勒展开(Peano余项)
泰勒定理(Peano余项)
f ( x)
n k0
f k x0 x
k!
x0 k
o( x
x0 n )
n
f ( x)-
k0
f k x0 x
k!
x0 k
=o( x
x0 n )
1. 泰勒公式：用简单函数逼近复杂函数 2.泰勒多项式次数越高,逼近精度越高 3. 泰勒公式局部逼近特征
x2 x3 3) ln(1 x) x
(1)n1 xn o( xn )
23
n
f x ln1 x
f
(k) ( x)
(1)k1 (k ( x 1)k
1)!
,
f
(k) (0)
( 1)k 1 ( k
1)!
ln(1 x) [x x2 x3 xn ] o( xn )
23
n
常用函数的泰勒展开(Peano余项)
第2节 泰勒公式(Peano余项)
第二讲 常用函数泰勒展开(Peano余项)
常用函数泰勒展开(Peano余项)
初等函数的泰勒展开式
1) e x 1 x x2 xn o( xn )
2!
n!
f x ex , f (n)( x) ex , f (n)(0) 1
x3 x5 x7 2)sin x x
常用函数的泰勒展开(Peano余项)
泰勒公式局部逼近
常用函数的泰勒展开(Peano余项)
常用函数的泰勒展开（Peano余项)
常用函数的泰勒展开（Peano余项)
常用函数的Taylor展开(Peano余项)
常用函数的Taylor展开(Peano余项)
常用函数的泰勒展开(Peano余项)