概率论与数理统计第七章习题课

三、 解答题
数理统计
3）随机地从一批零件中抽取 16 个，测得长度(cm)
为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，
2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设
零件长度分布为正态分布，试求总体 的 90％的置信
区间：（1）若 0.01(cm)，（2）若 未知。
数理统计
概率统计习题课七
一．填空题：
数理统计
1）设总体 X : B(n, p),0 p 1, X1, X2, , Xn 为 其子样，n及p 的矩估计分别是
解： 由1 E( X ) np,
2 E( X 2 ) D( X ) E2( X ) np(1 p) np2 ,
得
p
1
1
2 1
解：由2 E( X 2 )
故E·( X 2 )
A2
1 n
n i 1
X2 i
而
S2 2
2
X
1 n
n i 1
X2 i
二、 选择题：
数理统计
2）总体 X : N ( , 2 ) ， 2 已知，n B 时，
才能使总体均值 的置信度为0.95 的置信区间长不大
于L
（A）15 2 /L2 ; （B）15.3664 2 /L2 ; （C）16 2 /L2 ; （D）16
解：
置信区间为
X
n
z 2
依题意，区间长度
2
n
z 2
L
而由 0.05, z 1.96 2
所以n 4 2 L2
z 2
2
2
15.3664
L2
二、 选择题：
数理统计
3 ） 设 X1, X 2 , , X n 为 总 体X 的 一 个 随 机 样 本 ，
E( X ) , D( X ) 2 ，$2 C n1 ( X i1 X i )2 为 2 的 i 1
,
n
2 1
,
1
2 1
2
数理统计
故
pˆ 1
X
1 n
n i 1
X2 i ,
X
2
nˆ
X
X
2
X
1 n
n i 1
, X2
i
n 1 S2 于是 pˆ 1 n ,
X
2
nˆ
X
X n 1 S2
,
n
一．填空题：
数理统计
2）设总体 X : U 0, ,( X1, X2, , Xn ) 是来自X 的样
0.588
置信区间为 4.412,5.588
数理统计
二、 选择题：
1)设 X1, X 2 , , X n 是取自总体X 的一个简单样本，则 E( X 2 )的矩估计是 D
（A）
S2 1
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
（B）
S
2 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
（C）S12 X 2 （D）S22 X 2
x!
数理统计
x 0,1,2,L
n
似然函数为 L( ) PX xi
n
i 1
en
xi
i1
n i 1
1
xi
!
xi 0,1,2,L
dL( )
d
ne n
n
xi
i1
n
xi 1
e n
i 1
n i 1
xi
n i 1
1
xi
!
0
最大似然估计值为 ˆ x
最大似然估计量为 ˆ X
求导数得
n
n
ln xi
i 1
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
ln xi
i 1
最大似然估计量为
ˆ
nLeabharlann Baidu
n
ln Xi
i 1
数理统计
三、 解答题
数理统计
2）设X 服从参数为 的泊松分布，试求参数 的矩估 计与极大自然估计。
解： 10 E X 1
矩估计量为 ˆ X
20 X分布律为 PX x x e
无偏估计，则 C＝ C
（A）1 n
（B） 1 n1
（C）
2
1 n
1
（D） 1 n2
解：E
ˆ2
n1
E
C
n1 i 1
Xi1 X i
2
C
E
X2 i1
2Xi1 Xi
X2 i
ni 11
C 2 2 2 2 2
i 1
2(n 1)C 2 2
C 1 2(n 1)
三、 解答题
数
f
(x)
x 1 ,
0,
0
x 其他
1,
0
求参数
的矩估计
量和极大似然估计量。
解： 20 似然函数为
L( )
n
f ( xi )
n i 1
x , 1 i
i 1
0 ,
当 0 xi 1,i 1,2,L n 时
0 xi 1, i 1,2,L n 其他
n
ln L( ) nln 1ln xi i 1
3）设总体 X : N ( ,0.92 ) 容量为9 的简单随即变
量，均值 x 5 ，则未知参数 的置信度为0.95 的
置信区间是 4.412, 5.588
解： 2 0.92 已知， 置信区间
X
n
z 2
而x 5,n 9, 0.9, 0.05， z z0.025 1.96 2
故
n
z 2
解： (1) 0.01已知
置信区间为
X
n z 2
而x 2.125,n 16, 0.01, 0.10，z z0.05 1.645 2
故
n
z 2
0.004
置信区间为 2.121,2.129
数理统计
解： (2)
未知
置信区间为
X
S n
t
2
(n
1)
而 x 2.125,n 16, S 2 0.0044 , 0.10，
15
t (n 1) t0.05(15) 1.7531 2
故
S n t 2 (n 1) 0.0075
置信区间为 2.1175, 2.1325
三、 解答题
数理统计
4）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两
条流水线上抽取样本：X1 , X 2 , , X12
及Y1 ,Y2 , ,Y17
本，则 的极大似然估计量是
max 1in
xi
1
解： 由 f ( x)
0 x
0 其它
1
似然函数
L( )
n
0
0 xi ,i 1,2,L n
其它
数理统计
1
即 L( ) n
0 min 1in
xi
max 1in
xi
,
0 其它
ˆ max 1in
xi
数理统计
一．填空题：
算出 X
10.6( g),Y
9.5(
g
),
S2 1
2.4,
S2 2
4.7 ，假设这
两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且
数理统计
1）设 X1, X 2 , , X n 为总体X 的一个样本, X 的密度函
数
f
(x)
x 1 ,
0,
0
x 其他
1,
0
求参数
的矩估计
量和极大似然估计量。
解：10 E X
1 x x 1dx
0
1
1
1 1 1
矩估量ˆ 1
1 X
三、 解答题
数理统计
1）设 X1, X 2 , , X n 为总体X 的一个样本, X 的密度函