九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第1课时 平行线与相似三角形作业课件
沪科版-数学-九年级上册-22.2 相似三角形的判定教案
22.2 相似三角形的判定第1课时相似三角形及相似三角形的判定1┃教学过程设计┃5.怎样判定两个三角形相似？问题2：如图,在△ABC中,D为AB上任意一点,作DE∥BC,交边AC于E,△ADE与△ABC相似吗？思考：若DE平行于BC,那么△ABC与△AED相似吗？提问学生怎样判定两个三角形相似.1.什么样的两个三角形相似？2.怎样说明对应角相等？对应边长度的比相等？可指导学生通过度量,判断对应角是否相等,对应边长度的比是否相等.归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.问题3：观察一下,如图△ABC与△EDF相似吗？为什么？这两个三角形相似,已知条件与边有关吗？教师引导学生思考,并让学生合作讨论.学生讨论,得出：(1)只满足一对角相等不能判定两个三角形相似；(2)如果两个三角形中有两对角对应相等,那么这两个三角形相似.用实验的方法得到结论.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.探索三角形相似的条件.三、运用新知,解决问题(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？(2)顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？进一步巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点本节课你学到了什么？(1)相似三角形的有关概念.(2)平行线截三角形相似.(3)相似三角形的判定定理1.加强教学反思,帮助学生系统整理知识.五、布置作业,巩固提升(1)教材78页和79页练习.(2)写出图中的相似三角形.加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】相似三角形及相似三角形的判定1相似三角形：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似判定1：两角分别相等的两个三角形相似.┃教学整体设计┃第2课时相似三角形的判定2、3【教学目标】1.会说出识别两个三角形相似的方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.2.能依据条件,灵活运用三种识别方法正确判断两个三角形相似.【重点难点】重点：用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似.难点：综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、复习回顾,导入新课1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)两角分别相等的两个三角形相似.2.上节学的“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理是怎样得出的？二、师生互动,探究新知两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗？(1)如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC上的三等分点(即AD＝13AB,AE＝13AC),那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？(2)思考：通过量角或量线段计算之后,可以得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看,△ADE与△ABC有一对对应角相等,即∠A＝∠A(是公共角),而另一个条件是AD＝13AB,AE＝13AC,即ADAB＝13,AEAC＝13,因此ADAB＝AEAC.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似吗？(3)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简单地说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.教师归纳强调：对应相等的角必须是成比例的边的夹角,如果不是夹角,它们不一定会相似.(4)判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.学生在作业本上证明,教师适时给予指导.三、运用新知,解决问题如图,△ABC中,D、E是AB、AC上的点,AB＝7.8,AD＝3,AC＝6,CE＝2.1,试判断△ADE与△ABC是否相似,小张同学的判断理由是是这样的：解：因为AC＝AE＋CE,而AC＝6,CE＝2.1,故AE＝6－2.1＝3.9.由于ADAB≠AEAC,所以△ADE与△ABC不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.四、课堂小结,提炼观点本节课你有什么收获？五、布置作业,巩固提升教材第82页练习第2、3、4题.┃教学小结┃【板书设计】相似三角形的判定2、3判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.┃教学整体设计┃第3课时直角三角形的相似【教学目标】1.使学生了解直角三角形相似定理的证2.通过了解定理的证明方法,培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【重点难点】┃教学过程设计┃相似.三、运用新知,解决问题(1)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,若BD＝3.6 cm,BC∶AC＝3∶4,则BC长为()A.4 cmB.5.6 cmC.6 cmD.7.2 cm(2)如图,已知：△ABC内接正方形DGFE,AH⊥BC于H,AH＝5 cm,AD∶BD＝2∶3.求BC的长.通过练习进一步加深对定理的理解,同时培养了学生的应用意识和能力.四、课堂小结,提炼观点(1)通过本节课的学习,你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师、同学听听.(2)教师与同学聆听部分同学的收获.加强教学反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.五、布置作业,巩固提升教材第84页练习1、2、3、4题.加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】直角三角形的相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.。
第22章 22.2.5 直角三角形相似的判定定理
自我诊断 2. 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C直角三角形相似的条件为( D )
A．∠A＝∠A′
B.A′ACC′＝B′BCC′
C.AACB＝AA′ ′CB′ ′
D.AACB＝AB′′CC′′
易错点 2: 忽略“在直角三角形中”这一条件，导致错误．
自我诊断 3. 如图，△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D.下列条件中，①∠A＋ ∠B＝90°； ②AB2＝AC2＋BC2；③ABCC ＝CBDD；④CD2＝AD·BD，能证明△ ABC 是直角三角形的有( C )
11．如图，P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过 P 点作直线 截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有
3 条．
12．如图，已知 AD 为△ABC 中 BC 边上的高，且CADD＝12，AC＝ 5，AB＝ 2 5，求证：△ACD∽△BAD.
证明：∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADC＝∠BDA＝90°.∵AC＝ 5，AB＝ 2 5，∴AACB＝12.又∵CADD＝12，∴AACB＝CADD.Rt△ACD∽Rt△BAD.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 8:13:46 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/32021/9/32021/9/3Sep-213-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/32021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021
《相似三角形的判定》 (第1课时)说课稿
《相似三角形的判定》 (第1课时)说课稿尊敬的各位专家、评委：大家好今天我说课的题目是《相似三角形的判定定理1》，下面我将从教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程六个方面加以说课。
一、教材分析本节课是华东师大版九年级数学上册第二十三章第三节《相似三角形的判定》第1课时，在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，它是全等三角形的拓广和发展，进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是以后学习相似三角形性质、圆中比例线段和三角函教的重要工具，可见相似三角形的判定占据很重要的地位,具有承上启下的作用。
二、学情分析九年级的学生，他们的思维已处于理论型逻辑思维阶段，具备一定的抽象思维能力和演绎推理能力，他们的思维比较活跃，能乐于探索，勇于探究。
另外学生在上两节课学习了三角形相似的概念，掌握了相似三角形判定的预备定理，已有一定的知识基础，为探究三角形相似的条件做好了知识上的准备，学生能主动参与本节课的操作、探究。
三、教学目标根据学生已有的认知，教材所处的地位和学情分析，我将本节课的教学目标定位为:知识与技能目示:理解并掌握“两个角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，能运用其方法进行简单推理。
过程与方法目标:通过引导学生探究相似三角形判定定理的证明过程，培养学生抽象概括能力，语言表达能力和逻辑思维能力。
情感态度和价值观目标:通过画图、观察猜想、度量验证等活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，培养学生合作意识。
四、教学重难点教学重点:两个三角形相似的判定方法1及应用。
教学难点:相似三角形判定定理1的证明过程五、说教法、学法<一>教法:学生是学习的主体，教师是学习的组织者，引导者，合作者，给予这一新课标理念，以及以上四部分内容，我在课堂中将会使用一下教法：情境教学法，探究教学法，启发式教学法，充分调动学生的积极性。
<二> 学法:这节课我将引导学生使用动手实践，自主探究，合作交流，分组讨论的学习方式，让学生遵循“观察、猜想、验证、归纳、应用、提高”的主线进行学习,充分调动学生的手、口、脑，使学生积极参与教学过程，自主获取数学知识。
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
沪科版数学九年级（上册）22.2相似三角形的判定-教案（1）
相似三角形的判定【教学目标】1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角：2.掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；3.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学重点】灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学难点】三角形相似的判定定理的探索与证明。
【课时安排】5课时。
【教学过程】【第一课时】三角形相似判定定理的“预备定理”。
一、复习旧知：前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？3.什么样的两个多边形是相似多边形？4.什么是相似比（相似系数）？（二）简答：1.正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。
2.正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。
3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解：概念：如图1,AAB（2与八AB。
相似。
记作“△ABCs/XABt，”,读作“Z\ABC相似于左ABC，”。
注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
, 、ZA=ZA\ZB=ZB；ZC=ZC；△ABCs/XABC，V〉AB BC CA明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……（引导学生明白定义的双重性。
）问题：将左ABC与左ABC，相似比记为ki，△ABC与8ABC相似比记为k?,那么幻与灯有什么关系？ki=k2能成立吗？说明：三角形全等是三角形相似的特例。
（一）类比猜想：1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？和对应角都相等？有没有简便的方法？（二）简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS,ASA、SSS,AAS,直角三角形还有HL。
初三九年级数学学沪科 第22章 训练习题课件22.2.1 用平行关系判定三角形相似
素养核心练
∴AADB＝AACP，即A1D0 ＝6t，∴AD＝53t. ∴BD＝AB－AD＝10－53t. ∵BQ∥DP，∴当 BQ＝DP 时，四边形 PDBQ 是平行四边形， 即 8－2t＝43t，解得 t＝152. 当 t＝152时，PD＝43×152＝156，BD＝10－53×152＝6， ∴DP≠BD，∴四边形 PDBQ 不能为菱形．
素养核心练
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位的速度运动， 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位的速度运 动．过点 P 作 PD∥BC，交 AB 于点 D，连接 PQ.若点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t>0)．
FG 的长． 解：∵EG∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴EBGC＝AAEB. ∵BC＝10，AE＝3，AB＝5， ∴E1G0 ＝35，∴EG＝6.
能力提升练
∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴AEDF＝BAEB. ∵AD＝6，AE＝3，AB＝5， ∴E6F＝5－5 3，∴EF＝152. ∴FG＝EG－EF＝158.
素养核心练
设点 Q 的速度为每秒 v 个单位，则 BQ＝8－vt，PD＝43t，BD＝ 10－53t. 要使四边形 PDBQ 为菱形，则 PD＝BD＝BQ. ∴43t＝10－53t＝8－vt，解得 t＝130，v＝1165. ∴当点 Q 的速度为每秒1165个单位时，经过130秒，四边形 PDBQ 是菱形．
基础巩固练
3．如图，若△ABC∽△DEF，求∠F 的度数与 DF 的长． (1)根据相似三角形的定义，可知对应角相等，则∠D＝∠A＝
初中数学沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
思考：①如果△ABC∽△DEF，相似比k1,△DEF∽ △ABC,相似比为k2, 那么k1,k2有怎样的关系？
k1k2=1
②如果k1＝1，这两个三角形有怎样的 关系？
全等
相似三角形的各对应角相等，各对应 边对应成比例.
B
C
．
∴△ADE∽△ABC．
Ⅱ、利用全等三角形和平行四
边形知识
A
过点D作DF∥AC交BC于点F，
D
E
则△ADE≌△DBF（ASA）
且 （四两边组形对D边F分CE别为平平行行的四四边边形形. 是B 平行四F边 C
形）
∴DE＝BF＝FC.
∴
∴△ADE∽△ABC．
［猜想］2、通过上面的特例，可以猜测：
如果△ABC∽△DEF,那么 ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
AB AC BC DE DF EF
D A
B
CF
E
[回顾]全等三角形知多少
什么样的两个三角形叫做全等三角形? 三角对应相等,三边也对应相等的两个三角形全等. 全等三角形有什么性质? 全等三角形的对应角相等,对应边相等. 你还记得三角形全等的判定条件吗? 边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边
F2 F1 C
∴ AD1 AE1 D1E1
AB AC BC
∴△AD1E1∽△ABC ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
当D为AB上任一点时，如图，过D点作DE∥BC 交AC于点E，都有△ADE与△ABC相似．
A
A
DE
A
D
EB
C
沪科版数学九年级上册第22章相似形课件
2
22
∵∠ABN＝∠E，∠ANB＝∠CNE，
∴△NCE∽△NAB，
∴
CE AB
CN AN
，即
X 3
3X 5 22 93X
，
解得，x＝ 5 (或x＝－2 5 2，舍去)．
∵BP＝CE，∴BP＝ 5 .
②解：BP＝ 7－1. 【解法提示】设BP＝x，如解图②，过点C作
CH⊥AB于点H，延长AB至E，使BE＝BP，则AH＝
第22章 类似形（通用）
比例的性质 比例线段
平行线分线段成比例
类 似 类似三角形的性质 三 角 类似三角形的判定 形
类似三角形的基本类型
性质1： a c ad bc(abcd 0)
bd
性质2： 性质3：
如果
如果
a
ba b
c d
c d
, 那么 a
b
b ＝①
m (b d n
c
d
d
2.两角对应相等，两三角形类似
类 似
一般三角形
3.两边对应成比例，且⑥ 夹角相等 ，两三角形类似；
三 角
4.三边对应成比例,两三角形类似
形 的
1.一组锐角对应相等
判 定
直角三角形
①两直角边对应成比例 2.两条边对 应成比例 ②斜边和一直角边对应
成比例
“平行线型”的类似三角形（有“A型”与“X型” ）
AC•cos∠A＝1，BH＝CH＝AC •sin∠A＝ 3，HE＝x ＋，3
∴EC2＝EH 2＋HC 2＝(x＋ )23＋( )2＝3 x2＋2 x＋3 6，
∵M是PC的中点，
∴BM是△PEC的中位线，
∴BM∥EC，
∴∠PCE＝∠PMB＝∠A，
第1课时 相似三角形的判定(平行线分线段成比例)
，
=
等.
D
l4
（Ⅱ） 任意平移l5 ，如图
=
l2
E
l5
C
F
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
试一试
l1 l2
l3
A
如图，根据分线段成比例定理，
=
，
=
等.
l2
l1
E
l4
D
l4
D
可以得到哪些比例相等？
的关系是否发生变化？
C
l2
D
E
F
观察图象，得
（Ⅰ）
=
l1
=
与 相等
l3
A
B
即
=
与 相等
与 的关系不发生变化.
同理，根据比例的基本性质，得
=
，
=
A
猜想： △ADE∽△ABC.
你能证明这个猜
想吗？试一试吧！
D
B
E
C
证明：先证明两个三角形的角分别相等.
在△ADE和△ABC中，∠A=∠A.
A
∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
D
再证明两个三角形的边成比例.
E
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
B
∵ DE∥BC， EF∥AB，
C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长
沪科版九年级数学上22.2.1相似三角形的判定课件1
二.引入新知
C
23.2相似三角形的判定（第1课时）
如图1，△ABC与△A′B′C′相似. 则 图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相 似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符号. 两个三角形相似，用相似符号表示时， 与全等一样，应把对应顶点的字母写在对 应的位置上，这样便于找出相似三角形的 对应角和对应边. 即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对 应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、 C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形 相似”,没有用“∽”表示的，则没有说 明对应关系.
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的判定定理. 教学难点 三角形一边的平行线的判定定理的探索及 证明.
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛 刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待. 通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、 表示方法、对应关系、相似比. 紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习 数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比 的概念. 通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个 三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等， 所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想 的认识和理解.
E
C
由以上探究过程你能得出什么结论？ 如果这条直线与三角形两边的延长线相交 呢？如图3所示
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边 （或两边的延长线）相交，截得的三角形与 原三角形相似.
E
B D E
A
C
符号语言
D
在△ABC中, 若 DE∥BC,（如图3所示) 则 △ADE∽△ABC.
B
九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第1课时相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理同步
22.2 相似三角形的判定一、选择题1．如图20－K －1，若DE ∥FG ，且AD ＝DF ，则△ADE 与△AFG 的相似比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．2∶5图20－K －12．［2017·合肥市庐阳区二模］如图20－K －2，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，DE ＝3则BC 的长是( )A ．6B ．8C ．9D ．12图20－K －23．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠C ＝∠C ′＝90°，AB ＝5，AC ＝3，A ′B ′＝10，则B ′C ′的长为( )A ．8B ．10C ．6D ．无法确定 4．［2017·合肥市琥珀中学模拟］如图20－K －3，F 是▱ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD ＝1∶3，则BE ∶EC 等于( )A. 12B. 13C. 23D. 14图20－K －3二、填空题5．如图20－K －4，已知AB ∥EF ∥DC ，则△AOB ∽________∽△COD .图20－K －46．如图20－K －5，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E 和点C ，F .若BC ＝2，则EF 的长是________．图20－K －57．［2017·蚌埠市期末］如图20－K －6，△ABC 的两条中线AD ，BE 相交于点G ，如果AD ＝6，那么DG ＝________.图20－K －6三、解答题8．如图20－K －7，AC ∥BD ，AD ，BC 相交于点E ，EF ∥BD ，求证：1AC ＋1BD ＝1EF.图20－K －79规律探索如图20－K －8，AD 是△ABC 的中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F .某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：(1)当AF AD ＝12时，AE AC ＝13； (2)当AF AD ＝13时，AE AC ＝15； (3)当AF AD ＝14时，AE AC ＝17； …… 猜想：当AF AD ＝1n ＋1时，求AEAC的值，并说明理由．图20－K－81．A2．[解析] C ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ＝AD AD ＋BD ＝13，∴BC ＝3DE ＝3×3＝9.3．[解析] A ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴AB A′B′＝BCB′C′. ∵BC ＝AB2－AC2＝52－32＝4， ∴510＝4B′C′，解得B ′C ′＝8.故选A . 4．[解析] A ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，BE ∥AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴BE ∶AD ＝BF ∶FD ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶3，∴BE ∶EC ＝1∶2. 5．[答案] △FOE[解析] ∵AB ∥EF ，∴△AOB ∽△FOE. ∵EF ∥DC ，∴△FOE ∽△COD. 6．[答案] 5[解析] ∵l 3∥l 6，∴BC ∥EF ， ∴△ABC ∽△AEF ，∴AB AE ＝BC EF ＝25.∵BC ＝2，∴EF ＝5.7．[答案] 2[解析] 如图，连接DE ，则DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，∴△DEG ∽△ABG ，∴DG AG ＝DE AB ＝12，∴DG ＝12AG ＝13AD ＝2.8．证明：∵AC ∥BD ∥EF ，∴△BEF ∽△BCA ，△AEF ∽△ADB ， ∴EF AC ＝BF AB ，EF BD ＝AF AB. ∴EF AC ＋EF BD ＝BF AB ＋AF AB ＝BF ＋AF AB ＝1，∴1AC ＋1BD ＝1EF. 9解：猜想：当AF AD ＝1n ＋1时，AE AC ＝12n ＋1.理由如下：如图，过点D 作DG ∥BE ，交AC于点G ，则AE AG ＝AF AD ＝1n ＋1，∴AE EG ＝1n，即EG ＝nAE.∵AD 是△ABC 的中线，DG ∥BE ，∴EG ＝CG ，AC ＝(2n ＋1)AE ，∴AE AC ＝12n ＋1.。
《22.2相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级上册
《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对相似三角形概念的理解，掌握相似三角形的判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本作业的完成，学生应能初步建立数学建模的思想，培养分析问题和解决问题的能力。
二、作业内容（一）知识点复习1. 回顾相似三角形的定义，明确相似三角形的特征。
2. 掌握相似三角形的判定定理，如AA相似、SSS相似等。
（二）作业题目设计1. 基础题：设计一系列选择题和填空题，考察学生对相似三角形概念及判定定理的掌握情况。
- 例题：给出两个三角形，根据其边长或角度关系，判断是否相似，并说明理由。
2. 应用题：设计实际情境下的应用问题，要求学生运用所学知识解决实际问题。
- 例题：在建筑测量中，如何通过相似三角形的原理确定建筑物的高度？3. 拓展题：设计一些具有挑战性的题目，鼓励学生进行深度思考和创新。
- 例题：给出多个条件，让学生自行设计并证明两个三角形相似的多种方法。
（三）作业实践环节1. 小组合作：学生分组进行讨论，每组选择一个题目进行深入研究，并记录讨论过程和结果。
2. 动手操作：利用几何工具，让学生亲手制作相似三角形，加深对概念的理解。
3. 数学日记：鼓励学生记录今天学习的收获和感悟，以及对作业题目的解题思路和过程。
三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案偏离。
2. 规范答题：按照数学作业的规范格式进行答题，字迹工整，步骤清晰。
3. 独立思考：在完成作业过程中，应独立思考，尽量自己解决问题，不轻易求助他人。
4. 小组合作：在小组合作环节中，应积极参与讨论，尊重他人意见，共同完成任务。
四、作业评价1. 教师评价：教师根据学生完成作业的情况，给予客观、公正的评价，并指出存在的问题及改进方向。
2. 小组互评：小组内成员互相评价，促进相互学习和交流。
3. 自评反思：学生应对自己的作业进行反思，找出不足并制定改进措施。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
3.4.1 相似三角形的判定 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
2. 数学表达式： 如图3.4-4 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC ∽△DEF.
课堂新授
知识点 3 边角关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关 系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法.
课堂新授
2. 数学表达式：如图3.4-7 所示， 在△ABC和△DEF 中， ∵DABE＝BEFC，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF.
3-1. 【二模·广州越秀区】 如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 为 BC边上的点(不与点 B，点C 重合)， 连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F.
求证： △ CDE ∽△ AFD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AF，∠C＝∠A. ∴∠CDE＝∠F. ∴△CDE∽△AFD.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
沪科版数学九年级上册22.2第2课时三角形相似判定定理1 课件(共18张PPT)
2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE. 求证:(1) △DEF∽△BDE . (2) DG·DF=DB·EF .证明：源自同学们再见！授课老师：
时间：2024年9月1日
归纳小结
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
随堂练习
回顾复习
怎样判定两个三角形相似？(1)定义法 对应角相等，对应边长度的比例相等的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.(2)预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.利用预备定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.
在△ADE与△A′B′C′中， ∠A=∠A′ ,∵ AD=A′B′ , ∠ADE=∠B′ ,∴△ADE∽△A′B′C′(ASA) ,∴△ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22.2节的内容，本节课主要让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入实物图片和生活中的实例，引导学生探究相似三角形的性质，进而推导出判定方法。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但学生对相似三角形的判定方法可能较难理解，特别是对于证明过程中的逻辑推理。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习困难，通过具体实例和引导，帮助学生理解和掌握判定方法。
三. 教学目标1.让学生掌握相似三角形的判定方法，并能运用这些方法解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3.培养学生合作交流、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.判定相似三角形的条件和方法。
2.相似三角形的性质和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物图片和生活中的实例，引导学生探究相似三角形的性质。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作。
4.练习巩固法：通过练习题，帮助学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括教材内容、实例、练习题等。
2.实物图片：准备一些实物图片，用于引导学生探究相似三角形的性质。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实物图片，如比例尺绘制的地图、相同模型的不同大小等，引导学生观察和思考这些实物之间的相似关系。
进而提出问题：“什么是相似三角形？”引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）教师简要回顾一下相似三角形的定义和性质，然后通过PPT呈现相似三角形的判定方法。
引导学生关注判定方法中的关键词和条件，如“对应角相等”、“对应边成比例”等。