经验copula函数

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copula函数及其应用.doc

copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。

首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。

其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。

另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。

此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。

正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。

Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。

S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。

J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。

Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。

D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。

【良心出品】Copula理论及MATLAB应用实例

%--------------------------------------------------------------------------% Copula理论及应用实例%--------------------------------------------------------------------------%******************************读取数据************************************* % 从文件hushi.xls中读取数据hushi = xlsread('hushi.xls');% 提取矩阵hushi的第5列数据，即沪市的日收益率数据X = hushi(:,5);% 从文件shenshi.xls中读取数据shenshi = xlsread('shenshi.xls');% 提取矩阵shenshi的第5列数据，即深市的日收益率数据Y = shenshi(:,5);%****************************绘制频率直方图********************************* % 调用ecdf函数和ecdfhist函数绘制沪、深两市日收益率的频率直方图[fx, xc] = ecdf(X);figure;ecdfhist(fx, xc, 30);xlabel('沪市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('f(x)'); % 为Y轴加标签[fy, yc] = ecdf(Y);figure;ecdfhist(fy, yc, 30);xlabel('深市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('f(y)'); % 为Y轴加标签%****************************计算偏度和峰度********************************* % 计算X和Y的偏度xs = skewness(X)ys = skewness(Y)% 计算X和Y的峰度kx = kurtosis(X)ky = kurtosis(Y)%******************************正态性检验*********************************** % 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对X进行正态性检验[h,p] = jbtest(X) % Jarque-Bera检验[h,p] = kstest(X,[X,normcdf(X,mean(X),std(X))]) % Kolmogorov-Smirnov检验[h, p] = lillietest(X) % Lilliefors检验% 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对Y进行正态性检验[h,p] = jbtest(Y) % Jarque-Bera检验[h,p] = kstest(Y,[Y,normcdf(Y,mean(Y),std(Y))]) % Kolmogorov-Smirnov检验[h, p] = lillietest(Y) % Lilliefors检验%****************************求经验分布函数值******************************* % 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数[fx, Xsort] = ecdf(X);[fy, Ysort] = ecdf(Y);% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值U1 = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);V1 = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);% 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数[fx, Xsort] = ecdf(X);[fy, Ysort] = ecdf(Y);% 提取fx和fy的第2个至最后一个元素，即排序后样本点处的经验分布函数值fx = fx(2:end);fy = fy(2:end);% 通过排序和反排序恢复原始样本点处的经验分布函数值U1和V1[Xsort,id] = sort(X);[idsort,id] = sort(id);U1 = fx(id);[Ysort,id] = sort(Y);[idsort,id] = sort(id);V1 = fy(id);%*******************************核分布估计********************************** % 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值U2 = ksdensity(X,X,'function','cdf');V2 = ksdensity(Y,Y,'function','cdf');% **********************绘制经验分布函数图和核分布估计图********************** [Xsort,id] = sort(X); % 为了作图的需要，对X进行排序figure; % 新建一个图形窗口plot(Xsort,U1(id),'c','LineWidth',5); % 绘制沪市日收益率的经验分布函数图hold onplot(Xsort,U2(id),'k-.','LineWidth',2); % 绘制沪市日收益率的核分布估计图legend('经验分布函数','核分布估计', 'Location','NorthWest'); % 加标注框xlabel('沪市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('F(x)'); % 为Y轴加标签[Ysort,id] = sort(Y); % 为了作图的需要，对Y进行排序figure; % 新建一个图形窗口plot(Ysort,V1(id),'c','LineWidth',5); % 绘制深市日收益率的经验分布函数图hold onplot(Ysort,V2(id),'k-.','LineWidth',2); % 绘制深市日收益率的核分布估计图legend('经验分布函数','核分布估计', 'Location','NorthWest'); % 加标注框xlabel('深市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('F(x)'); % 为Y轴加标签%****************************绘制二元频数直方图***************************** % 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值U = ksdensity(X,X,'function','cdf');V = ksdensity(Y,Y,'function','cdf');figure; % 新建一个图形窗口% 绘制边缘分布的二元频数直方图，hist3([U(:) V(:)],[30,30])xlabel('U（沪市）'); % 为X轴加标签ylabel('V（深市）'); % 为Y轴加标签zlabel('频数'); % 为z轴加标签%****************************绘制二元频率直方图***************************** figure; % 新建一个图形窗口% 绘制边缘分布的二元频数直方图，hist3([U(:) V(:)],[30,30])h = get(gca, 'Children'); % 获取频数直方图的句柄值cuv = get(h, 'ZData'); % 获取频数直方图的Z轴坐标set(h,'ZData',cuv*30*30/length(X)); % 对频数直方图的Z轴坐标作变换xlabel('U（沪市）'); % 为X轴加标签ylabel('V（深市）'); % 为Y轴加标签zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签%***********************求Copula中参数的估计值****************************** % 调用copulafit函数估计二元正态Copula中的线性相关参数rho_norm = copulafit('Gaussian',[U(:), V(:)])% 调用copulafit函数估计二元t-Copula中的线性相关参数和自由度[rho_t,nuhat,nuci] = copulafit('t',[U(:), V(:)])%********************绘制Copula的密度函数和分布函数图************************ [Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31)); % 为绘图需要，产生新的网格数据% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元正态Copula密度函数值Cpdf_norm = copulapdf('Gaussian',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元正态Copula分布函数值Ccdf_norm = copulacdf('Gaussian',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元t-Copula密度函数值Cpdf_t = copulapdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元t-Copula分布函数值Ccdf_t = copulacdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);% 绘制二元正态Copula的密度函数和分布函数图figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_norm,size(Udata))); % 绘制二元正态Copula密度函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_norm,size(Udata))); % 绘制二元正态Copula分布函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('C(u,v)'); % 为z轴加标签% 绘制二元t-Copula的密度函数和分布函数图figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_t,size(Udata))); % 绘制二元t-Copula密度函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_t,size(Udata))); % 绘制二元t-Copula分布函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('C(u,v)'); % 为z轴加标签%**************求Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数*********************** % 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Kendall秩相关系数Kendall_norm = copulastat('Gaussian',rho_norm)% 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Spearman秩相关系数Spearman_norm = copulastat('Gaussian',rho_norm,'type','Spearman')% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Kendall秩相关系数Kendall_t = copulastat('t',rho_t)% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Spearman秩相关系数Spearman_t = copulastat('t',rho_t,'type','Spearman')% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Kendall秩相关系数Kendall = corr([X,Y],'type','Kendall')% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Spearman秩相关系数Spearman = corr([X,Y],'type','Spearman')%******************************模型评价************************************* % 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数[fx, Xsort] = ecdf(X);[fy, Ysort] = ecdf(Y);% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值U = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);V = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);% 定义经验Copula函数C(u,v)C = @(u,v)mean((U <= u).*(V <= v));% 为作图的需要，产生新的网格数据[Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31));% 通过循环计算经验Copula函数在新产生的网格点处的函数值for i=1:numel(Udata)CopulaEmpirical(i) = C(Udata(i),Vdata(i));endfigure; % 新建图形窗口% 绘制经验Copula分布函数图像surf(Udata,Vdata,reshape(CopulaEmpirical,size(Udata)))xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('Empirical Copula C(u,v)'); % 为z轴加标签% 通过循环计算经验Copula函数在原始样本点处的函数值CUV = zeros(size(U(:)));for i=1:numel(U)CUV(i) = C(U(i),V(i));end% 计算线性相关参数为0.9264的二元正态Copula函数在原始样本点处的函数值rho_norm = 0.9264;Cgau = copulacdf('Gaussian',[U(:), V(:)],rho_norm);% 计算线性相关参数为0.9325，自由度为4的二元t-Copula函数在原始样本点处的函数值rho_t = 0.9325;k = 4.0089;Ct = copulacdf('t',[U(:), V(:)],rho_t,k);% 计算平方欧氏距离dgau2 = (CUV-Cgau)'*(CUV-Cgau) dt2 = (CUV-Ct)'*(CUV-Ct)。

经验copula函数

经验copula函数Copula函数是一种用于建立多元随机变量之间依赖关系的数学工具。

它可以将多个随机变量的分布函数连接起来，从而得到它们之间的联合分布函数。

Copula函数在金融、保险、气象、环境等领域都有广泛的应用。

Copula函数的基本思想是将多元随机变量的联合分布函数分解为边缘分布函数和一个称为Copula函数的中间部分。

边缘分布函数是每个随机变量的分布函数，而Copula函数则描述了随机变量之间的依赖关系。

Copula函数的形式可以是任意的，但必须满足一些基本条件，如单调性、正定性、对称性等。

Copula函数的应用非常广泛。

在金融领域，Copula函数可以用于建立不同资产之间的依赖关系，从而进行风险管理和投资组合优化。

在保险领域，Copula函数可以用于建立不同风险因素之间的依赖关系，从而进行风险评估和保险定价。

在气象和环境领域，Copula函数可以用于建立不同气象和环境因素之间的依赖关系，从而进行天气预测和环境监测。

Copula函数的优点在于它可以处理非线性和非正态的依赖关系。

传统的线性相关系数只能描述线性关系，而Copula函数可以描述任意形式的依赖关系。

此外，Copula函数还可以处理高维数据，即多个随机变量之间的依赖关系。

然而，Copula函数也存在一些限制。

首先，Copula函数的选择需要一定的经验和技巧，不同的Copula函数适用于不同的数据类型和依赖关系。

其次，Copula函数的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。

最后，Copula函数的应用需要一定的统计学知识和经验，否则可能会出现误解和错误。

Copula函数是一种非常有用的数学工具，可以用于建立多元随机变量之间的依赖关系。

它在金融、保险、气象、环境等领域都有广泛的应用，但也存在一些限制。

因此，在应用Copula函数时需要谨慎选择，并结合实际情况进行分析和判断。

金融计算与建模：Copula函数及其应用

i i j j
cd
2
根据上述定义，t即为数组对 {( xi , yi ),( x j , y j )} 一致与不一致的概率之差。
将Kendall’s tau引入Copula函数：定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则 (X，Y)的Kendall’s tau为： 4 C (u, v)dC (u, v) 1 (14.16)
n
n

是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量，必须满足：（1）对( X , Y ) 有定义；（2）1 X ,Y 1, X , X 1, X , X 1 （3） X ,Y Y , X （4）若X,Y独立，则 X ,Y 0 （5） X ,Y X ,Y X ,Y （6）若 C1, C2 满足 C1 C2 ，则 C1 C2 （7）若 {( X n , Yn )} 则 lim C C
Copula函数的一些其他性质：
性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递减，即，若 v [0,1]n，则： (14.4) 性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数， n v [0,1] 则对于每个，有： (14.5) W n (v ) C(v ) M n (v ) 其中
定理3为连续随机变量则彼此独立当且仅当这些变量的copula函数copula定义4正态分布随机变量的均值分别为方差分别为协方差矩阵为r则随机变量的分布函数为copula函数称为协方差矩阵为的正态gausscopula函数

Copula函数

一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。

边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。

也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。

Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。

Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959）令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。

不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。

对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。

Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。

Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德）型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。

Copula函数简介

3.2.二元t-Copula函数
C u , v; ,
T1 u T1 v

s 2 t 2 2 st 1 2 2 1 2 1 1
2 12 2 2 1 2 1 2 1
◆Sperman秩相关系数对严格单调增的变换也是不变的，由相应的Copula函数来表示如下：
12
1 1
0 0
uvdCu, v 3 12 Cu, vduv 3
1 1 0 0
2.2.基于Copula函数的相关性测度
③Gini关联系数γ
τ 和ρ 只考虑了随机变量变化方向的一致性和不一致性，而Gini关联系数则更细致地考虑了随机变量变化顺序的一致性和不一致性。设随机变量(X,Y)的n个样本为 x1, y1 , x2 , y2 ,, xn , yn ， xi 的名次 ri 称为它将 x1, x2 ,, xn 按从小到大顺序排列后，的秩，同样 y i 在y1, y2 ,, yn中的名次（秩）记为 si 。 ri si 就应该很小，所以如果x，y的变化是一致的， n ri si 反映了不一致的程度。如果变化方向相反，那么 ri i 1 si 应位于倒数第 ri 的 xi 位于 ri 位置时，与 si 应处于两端， si n 1 ri 就应该 n 1 ri 的位置上，因此，位置上，即第 n 很小，而 ri si n 1 就反映了相反变化的不一致程度。

1
1

因此，基于Copula函数的尾部相关性可以表示为
U lim
1 2u C u , u u 1 1 u C u, u u 0 u

copula函数的基本原理

copula函数的基本原理什么是copula函数Copula函数（Copula Function）是用于描述多维随机变量的分布函数的一种数学工具。

在金融、风险管理、生命科学等领域中，Copula函数被广泛应用于建立多变量模型，探索变量之间的相关性，进行风险度量和依赖性分析等工作。

Copula函数的定义在统计学中，Copula函数是一个二元分布函数，其边缘分布函数都是均匀分布函数的函数。

即对于二维随机变量(X,Y)，其Copula函数定义为C(u,v)=P(X≤F-1(u),Y≤F-1(v))，其中F-1(u)表示边缘分布函数的逆函数，u和v是区间[0,1]上的随机变量。

Copula函数的作用Copula函数的主要作用是将多维随机变量的边缘分布函数和其相关性分离开来。

通过使用Copula函数，我们可以将变量的边缘分布函数与变量之间的相关性独立建模，从而更好地描述变量之间的依赖关系。

Copula函数的性质Copula函数具有以下重要性质： 1. 边缘分布不相关性：Copula函数的构造使得边缘分布函数之间的相关性为零。

这使得Copula函数能够更好地描述变量之间的相关性。

2. 区间可变性：Copula函数的定义将变量的区间限制在[0,1]上，使得不同变量之间的比较和分析更加方便。

3. 自由度灵活性：Copula函数可以根据不同的需求和假设来选择。

常用的Copula函数包括高斯Copula、t-Copula和Clayton Copula等，每种函数都具有不同的分布特性和假设条件。

Copula函数的应用Copula函数在金融领域的应用非常广泛，例如： 1. 金融风险管理：Copula函数可以用于建立多变量风险模型，通过分析不同金融资产之间的相关性，实现风险的度量和管理。

2. 资产组合优化：通过分析不同资产之间的相关性，可以构建有效的投资组合，实现资产配置和风险控制的优化。

3. 衍生品定价：Copula函数可以用于对不同衍生品之间的相关性进行建模，从而实现衍生品的定价和风险度量。

Copula 函数的非参数估计方法

Copula 函数的非参数估计方法什么是 Copula 函数Copula 函数是指统计学中用于描述随机变量之间依赖关系的函数。

它可以将多个随机变量的边缘分布和之间的相关关系分离开来，从而使得分析更为简单。

常见的 Copula 函数有高斯 Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula 等。

Copula 的使用场景Copula 函数在金融领域中被广泛使用，比如：1.风险管理：使用 Copula 函数来计算多个风险因素之间的相关性，从而更好地估计风险；2.投资组合优化：使用 Copula 函数来评估不同资产之间的相关性，从而寻找最优的投资组合；3.金融衍生品定价：使用 Copula 函数来模拟多个随机变量之间的联动性，进而估计金融衍生品的价格。

Copula 函数的非参数估计在实际应用中，我们需要对 Copula 函数进行估计。

常见的估计方法有参数估计和非参数估计。

其中，参数估计法假设 Copula 函数的形式，比较常见的假设有高斯 Copula 和Archimedean Copula 等。

我们通过最大似然估计法等方法来估计 Copula 函数中的参数。

非参数估计法则不需要假设 Copula 函数的具体形式，而是通过类似核密度估计的方法来估计 Copula 函数。

具体来说，我们以二元 Copula 为例进行说明。

假设我们有两个随机变量X和Y，它们都服从[0,1]上的均匀分布。

我们想要估计它们之间的 Copula 函数。

这时候，我们可以将X和Y的观测值(x1,y1),(x2,y2),...,(x n,y n)看成是对Copula 函数的一组样本观测。

我们定义u i和v i分别为x i和y i在X和Y上的经验分布函数值。

即，$$ u_i = \\frac{1}{n} \\sum_{j=1}^n I(x_j \\leq x_i) , v_i = \\frac{1}{n}\\sum_{j=1}^n I(y_j \\leq y_i) $$其中，I是指示函数。

copula函数的定义

copula函数的定义
copula函数是一种将多个随机变量的分布函数与它们的边缘分布函数联系起来的函数。

它通常用于建立多元随机变量之间的依赖关系，并用于金融风险管理、精算学和统计推断等领域。

copula函数的定义包括以下两个方面：
1. 定义：copula函数是一个从[0,1]^n到[0,1]的映射，用于链接n个随机变量的边缘累积分布函数。

2. 特性：copula函数有以下特征：
（1）边缘分布：在给定copula函数后，可以通过边缘累积分布函数来确定每个随机变量的边缘分布。

（2）依赖关系：copula函数用于描述多元随机变量之间的依赖关系，包括正相关、负相关和无相关。

（3）标准化：copula函数可以标准化为[0,1]^n内的函数，使得它们具有相同的边缘分布。

（4）选择：不同的copula函数可以用于描述不同类型的依赖关系，例如高斯copula、t-copula和Archimedean copula等。

总之，copula函数是一种非常强大的工具，用于建立多元随机变量之间的依赖关系，并在金融风险管理和精算学等领域中发挥着重要作用。

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Copula函数及其应用详细介绍,喜欢这个函数的可以看过来！

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金融风险管理相关系数和Copula函数

Cov(V1,V2)=E(V1V2)−E(V1)E(V2)
3
独立性
如果两个变量V1、 V2，其中任意一个变量的
信息不会影响另一个变量的分布，那么这两个变量就是独立的，即
f (V2 V1 x) f (V2 )
其中， f(.)代表变量的概率密度函数
4
独立性不等同于不相关
假设 V1 = –1, 0, 或者 +1 (等可能性的)
)2
21 2 1 2
Cov(V1,V2
)
21
1
2
1
2
V2
|V1 v1
~
N 2
2
v1 1 1
,
2
1 2 2
12
多元正态分布
处理上相对简便方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差
和相关系数为了满足内部一致性的条件，方差-协方
差矩阵必须是半正定的
13
基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样
Ui ai F 1 ai2 Zi
共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分布且相互独立
变量Ui 和Uj 的相关系数是aiaj
F和Zi也可以假设服从其他分布
27
信贷违约相关系数
两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡量这两个公司同时违约的倾向
在风险管理上，违约相关系数对于分析信贷风险多样化是非常重要的
在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正态分布的随机样本
间接构造随机数
12
(1)一元标准正态分布随机数： Ri 6, Ri ~ [0,1] i 1
(2)二元标准正态分布：1 z1及 2 z1 z2 1 2
其中z1, z2是相互独立的标准正态分布 (3)多元标准正态分布：

copulas函数

copulas函数Copulas函数1. 引言Copulas函数是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量之间的依赖关系。

在本文中，我们将深入探讨Copulas函数的概念、性质和应用。

我们将介绍Copulas函数的基本定义和特征，然后讨论它们在金融和风险管理领域的应用，并最后分享我们的观点和理解。

2. Copulas函数的定义和性质Copulas函数是用来描述随机变量的联合分布的无参数函数。

它将每个随机变量的边际分布函数映射到一个标准均匀分布函数，从而消除了边际分布函数的影响，使得我们能够更好地研究随机变量之间的依赖关系。

Copulas函数具有以下几个重要的性质：- Copulas函数的取值范围在0到1之间，表示两个随机变量之间的依赖程度。

- 当Copulas函数等于0或1时，表示随机变量之间存在完全的负相关或正相关关系。

- Copulas函数是无参数的，这使得我们能够对不同类型的数据进行建模，而不需要知道其具体的分布函数形式。

3. Copulas函数在金融领域的应用Copulas函数在金融领域具有广泛的应用。

它可以用于建模和估计金融资产之间的相关性，从而帮助投资者和风险管理者更好地理解和管理投资组合的风险。

另一个重要的应用是用Copulas函数进行期权定价。

由于期权的价值取决于多个底层资产的联合分布，传统的单一分布模型难以准确地描述期权的价格。

通过使用Copulas函数，我们可以考虑不同底层资产之间的相关性，从而提供更准确的期权定价模型。

4. Copulas函数在风险管理中的应用Copulas函数在风险管理中也发挥着重要的作用。

它可以用于测量和估计极端事件的概率，从而帮助机构更好地管理市场风险和信用风险。

另一个应用是基于Copulas函数进行风险度量。

传统的VaR（Valueat Risk）方法通常假设资产之间的独立性，而这在现实市场中往往是不成立的。

通过使用Copulas函数，我们可以更准确地考虑不同资产之间的相关性，从而提供更准确的风险度量方法。

copulas函数

copulas函数Copulas函数是一种常见的概率统计学工具，用于描述两个或多个随机变量之间的依赖关系。

它们是建立在随机向量上的函数，可以用来模拟多元分布和条件分布。

Copulas函数在金融、保险、气象、环境等领域中得到广泛应用。

一、Copulas函数的基本概念1.1 Copula的定义Copula是一个从单位超立方体[0,1]^d到[0,1]的连续单调不降函数C(u_1,u_2,...,u_d)，其中u_i为第i个变量在其边缘分布下的累积分布函数。

Copula表示了多元随机变量之间依赖关系的结构，它将边缘分布与相关性结合起来。

1.2 Copula的性质Copula具有以下性质：（1）单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i≤u_j，则C(u_1,u_2,...,u_i,...,u_j,...,u_d)≤C(u_1,u_2,...,u_j,...,u_i,...,u_d)。

（2）正定性：对于任意n∈N和任意(u_1,u_2,...,u_n)∈[0,1]^n，有C(0,...,0,u_i,0,...,0)=0和C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i。

（3）边缘分布一致性：对于任意i∈{1,2,...,d}，令F_i(x)表示第i个变量的边缘分布函数，则有C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_d(x_d))=P(X_1≤x_1,X_2≤x_2,...,X_d≤x_d)，其中X=(X_1,X_2,...,X_d)是一个具有Copula C的随机向量。

（4）伪单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i=u_j，则有∂C(u)/∂u_k≥0，其中k∈{1,2,...,d}且k≠i,j。

二、Copulas函数的常见类型2.1 Gumbel CopulaGumbel Copula是一种常见的Copula类型，它基于极值理论和极值分布。

Gumbel Copula的密度函数为：c(u,v;θ)=exp[-( [-log u]^θ+[-log v]^θ )^(1/θ) ]，其中u,v∈[0,1]，θ>0为形状参数。

第四章补充2 Copula函数介绍

Sklar定理的作用
利用Sklar定理，风险管理者可以自由地把任意n个一元边际分布函数（其可以相同，也可以互不相同）构成一个n元的联合分布函数。同样是这n个一元分布函数，选用的Copula函数不同，得到的n元联合分布函数也不同。通过Copula函数构造联合分布函数，可以使风险管理者很容易地突破已知的标准多元分布函数限制，在多个随机变量的联合分布建模时，有更多的选择余地，从而更加容易地对金融保险领域中的随机风险建模。
补充2：Copula函数
内容提要：背景问题； Copula函数介绍； Copula函数的类型；相关性度量； Copula函数在风险管理中的应用。
一、背景问题
在保险与金融业，度量公司的保险产品组合或公司持有金融资产的组合的风险是一个非常普通的问题。
例：考虑两类保险风险——风暴和洪水—— 的索赔分布：（1）仅了解单个索赔的分布是否足够？（2）如果风险索赔具某种相关性，情况又会怎样？
非寿险公司准备金计算 (Goouon Actuarial
Solutions)
参考文献
Nelsen,R.B. An Introduction to Copulas. New York: Spring-Verlag, 1999
Joe,H. Multivariate Models and Dependence Concepts. London: Chapman and Hall, 1997
五、 Copula函数在风险管理中的应用：之一
李健伦，保险监管中的法定偿付能力度量问题研究第二章与第三章，中国科技大学博士论文，2006
关注点： 1）如何把现实问题转化为Copula可解决的
问题； 2）如何将Copula方法实现化。

Copula理论及MATLAB应用实例

%--------------------------------------------------------------------------% Copula理论及其在matlab中的实现程序应用实例%--------------------------------------------------------------------------%******************************读取数据************************************* % 从文件hushi.xls中读取数据hushi = xlsread('hushi.xls');% 提取矩阵hushi的第5列数据，即沪市的日收益率数据X = hushi(:,5);% 从文件shenshi.xls中读取数据shenshi = xlsread('shenshi.xls');% 提取矩阵shenshi的第5列数据，即深市的日收益率数据Y = shenshi(:,5);%****************************绘制频率直方图*********************************% 调用ecdf函数和ecdfhist函数绘制沪、深两市日收益率的频率直方图[fx, xc] = ecdf(X);figure;ecdfhist(fx, xc, 30);xlabel('沪市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('f(x)'); % 为Y轴加标签[fy, yc] = ecdf(Y);figure;ecdfhist(fy, yc, 30);xlabel('深市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('f(y)'); % 为Y轴加标签%****************************计算偏度和峰度********************************* % 计算X和Y的偏度xs = skewness(X)ys = skewness(Y)% 计算X和Y的峰度kx = kurtosis(X)ky = kurtosis(Y)%******************************正态性检验*********************************** % 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对X进行正态性检验[h,p] = jbtest(X) % Jarque-Bera检验[h,p] = kstest(X,[X,normcdf(X,mean(X),std(X))]) % Kolmogorov-Smirnov检验[h, p] = lillietest(X) % Lilliefors检验% 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对Y进行正态性检验[h,p] = jbtest(Y) % Jarque-Bera检验[h,p] = kstest(Y,[Y,normcdf(Y,mean(Y),std(Y))]) % Kolmogorov-Smirnov检验[h, p] = lillietest(Y) % Lilliefors检验%****************************求经验分布函数值******************************* % 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数[fx, Xsort] = ecdf(X);[fy, Ysort] = ecdf(Y);% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值U1 = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);V1 = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);% 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数[fx, Xsort] = ecdf(X);[fy, Ysort] = ecdf(Y);% 提取fx和fy的第2个至最后一个元素，即排序后样本点处的经验分布函数值fx = fx(2:end);fy = fy(2:end);% 通过排序和反排序恢复原始样本点处的经验分布函数值U1和V1[Xsort,id] = sort(X);[idsort,id] = sort(id);U1 = fx(id);[Ysort,id] = sort(Y);[idsort,id] = sort(id);V1 = fy(id);%*******************************核分布估计********************************** % 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值U2 = ksdensity(X,X,'function','cdf');V2 = ksdensity(Y,Y,'function','cdf');% **********************绘制经验分布函数图和核分布估计图********************** [Xsort,id] = sort(X); % 为了作图的需要，对X进行排序figure; % 新建一个图形窗口plot(Xsort,U1(id),'c','LineWidth',5); % 绘制沪市日收益率的经验分布函数图hold onplot(Xsort,U2(id),'k-.','LineWidth',2); % 绘制沪市日收益率的核分布估计图legend('经验分布函数','核分布估计', 'Location','NorthWest'); % 加标注框xlabel('沪市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('F(x)'); % 为Y轴加标签[Ysort,id] = sort(Y); % 为了作图的需要，对Y进行排序figure; % 新建一个图形窗口plot(Ysort,V1(id),'c','LineWidth',5); % 绘制深市日收益率的经验分布函数图hold onplot(Ysort,V2(id),'k-.','LineWidth',2); % 绘制深市日收益率的核分布估计图legend('经验分布函数','核分布估计', 'Location','NorthWest'); % 加标注框xlabel('深市日收益率'); % 为X轴加标签ylabel('F(x)'); % 为Y轴加标签%****************************绘制二元频数直方图***************************** % 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值U = ksdensity(X,X,'function','cdf');V = ksdensity(Y,Y,'function','cdf');figure; % 新建一个图形窗口% 绘制边缘分布的二元频数直方图，hist3([U(:) V(:)],[30,30])xlabel('U（沪市）'); % 为X轴加标签ylabel('V（深市）'); % 为Y轴加标签zlabel('频数'); % 为z轴加标签%****************************绘制二元频率直方图***************************** figure; % 新建一个图形窗口% 绘制边缘分布的二元频数直方图，hist3([U(:) V(:)],[30,30])h = get(gca, 'Children'); % 获取频数直方图的句柄值cuv = get(h, 'ZData'); % 获取频数直方图的Z轴坐标set(h,'ZData',cuv*30*30/length(X)); % 对频数直方图的Z轴坐标作变换xlabel('U（沪市）'); % 为X轴加标签ylabel('V（深市）'); % 为Y轴加标签zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签%***********************求Copula中参数的估计值****************************** % 调用copulafit函数估计二元正态Copula中的线性相关参数rho_norm = copulafit('Gaussian',[U(:), V(:)])% 调用copulafit函数估计二元t-Copula中的线性相关参数和自由度[rho_t,nuhat,nuci] = copulafit('t',[U(:), V(:)])%********************绘制Copula的密度函数和分布函数图************************ [Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31)); % 为绘图需要，产生新的网格数据% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元正态Copula密度函数值Cpdf_norm = copulapdf('Gaussian',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元正态Copula分布函数值Ccdf_norm = copulacdf('Gaussian',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元t-Copula密度函数值Cpdf_t = copulapdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元t-Copula分布函数值Ccdf_t = copulacdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);% 绘制二元正态Copula的密度函数和分布函数图figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_norm,size(Udata))); % 绘制二元正态Copula密度函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_norm,size(Udata))); % 绘制二元正态Copula分布函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('C(u,v)'); % 为z轴加标签% 绘制二元t-Copula的密度函数和分布函数图figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_t,size(Udata))); % 绘制二元t-Copula密度函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_t,size(Udata))); % 绘制二元t-Copula分布函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('C(u,v)'); % 为z轴加标签%**************求Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数*********************** % 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Kendall秩相关系数Kendall_norm = copulastat('Gaussian',rho_norm)% 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Spearman秩相关系数Spearman_norm = copulastat('Gaussian',rho_norm,'type','Spearman')% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Kendall秩相关系数Kendall_t = copulastat('t',rho_t)% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Spearman秩相关系数Spearman_t = copulastat('t',rho_t,'type','Spearman')% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Kendall秩相关系数Kendall = corr([X,Y],'type','Kendall')% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Spearman秩相关系数Spearman = corr([X,Y],'type','Spearman')%******************************模型评价************************************* % 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数[fx, Xsort] = ecdf(X);[fy, Ysort] = ecdf(Y);% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值U = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);V = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);% 定义经验Copula函数C(u,v)C = @(u,v)mean((U <= u).*(V <= v));% 为作图的需要，产生新的网格数据[Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31));% 通过循环计算经验Copula函数在新产生的网格点处的函数值for i=1:numel(Udata)CopulaEmpirical(i) = C(Udata(i),Vdata(i));endfigure; % 新建图形窗口% 绘制经验Copula分布函数图像surf(Udata,Vdata,reshape(CopulaEmpirical,size(Udata)))xlabel('U'); % 为X轴加标签ylabel('V'); % 为Y轴加标签zlabel('Empirical Copula C(u,v)'); % 为z轴加标签% 通过循环计算经验Copula函数在原始样本点处的函数值CUV = zeros(size(U(:)));for i=1:numel(U)CUV(i) = C(U(i),V(i));end% 计算线性相关参数为0.9264的二元正态Copula函数在原始样本点处的函数值rho_norm = 0.9264;Cgau = copulacdf('Gaussian',[U(:), V(:)],rho_norm);% 计算线性相关参数为0.9325，自由度为4的二元t-Copula函数在原始样本点处的函数值rho_t = 0.9325;k = 4.0089;Ct = copulacdf('t',[U(:), V(:)],rho_t,k);% 计算平方欧氏距离dgau2 = (CUV-Cgau)'*(CUV-Cgau)dt2 = (CUV-Ct)'*(CUV-Ct)灰色预测[GM(1,1) ]MATLAB程序% 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。

Copula系列(一)-什么是Copula函数

最近在学习过程中学习了Copula函数，在看了一些资料的基础上总结成了本文，希望对后面了解该知识的同学有所帮助。

本文读者要已知概率分布，边缘分布，联合概率分布这几个概率论概念。

我们为什么要引入Copula函数？当边缘分布（marginal probability distribution）不同的随机变量（random variable），互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。

此时，在已知多个已知边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。

什么是Copula函数？copula这个单词来自于拉丁语，意思是“连接”。

最早是由Sklar在1959年提出的，即Sklar定理：以二元为例，若 H(x,y) 是一个具有连续边缘分布的F(x) 与 G(y) 的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数 C ，使得H(x,y)=C(F(x),G(y)) 。

反之，如果 C 是一个copula函数，而 F 和 G 是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的 H 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F 和 G 。

Sklars theorem : Any multivariate joint distribution can be written in terms of univariate marginal distribution functions and a copula which describes the dependence structure between the twovariable.Sklar认为，对于N个随机变量的联合分布，可以将其分解为这N个变量各自的边缘分布和一个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离开来。

其中，随机变量各自的随机性由边缘分布进行描述，随机变量之间的耦合特性由Copula函数进行描述。

copula函数

copula函数1、Sklar定理Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。

反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。

Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。

在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]2、什么是copula函数？copula函数实际上是一个概率。

假设我们有n个变量（U1,U2,…,UN），这n个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u1,u2,…,un)即是P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}，（这里的n个变量是相互关联的）。

(1)copula是最全面的相关性(2)copula可以有尾部相依性(3)copula定义的C(u1,u2,…,un)=P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}对应的概率密度函数为c(u1,u2,…,un)=∂n C(u1,u2,… ,un)/∂u1∂u2…∂un，fi(x1,x2,…,xn)为联合分布函数F i (x1,x2,…,xn)= Ui的概率密度函数，fi(x1,x2,…,xn)为Ui的概率密度函数，则有：f(x1,x2,…,xn)= c(u1,u2,…,un)*[ f1(x1,x2,…,xn)*…*fn(x1,x2,…,xn)]3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1](2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤14、copula函数的种类（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）（2）多元t分布的copula：t-copula（3）阿基米德copula（人工构造）令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。

copula函数 python实现

copula函数 python实现copula函数是一种在编程语言中常见的函数，用于判断两个变量的相等关系。

在Python中，我们可以使用copula函数来实现这个功能。

我们需要明确copula函数的定义和作用。

copula函数通常用于比较两个变量的值是否相等，并返回一个布尔值表示结果。

例如，如果a和b是两个变量，我们可以使用copula函数来判断它们是否相等，如果相等则返回True，否则返回False。

在Python中，我们可以使用"=="符号来实现copula函数。

这个符号表示等于操作符，用于比较两个变量的值是否相等。

例如，如果a==b，则返回True，表示a和b相等；如果a!=b，则返回False，表示a和b不相等。

下面是一个使用copula函数的示例代码：```def copula(a, b):if a == b:return Trueelse:return False```在这个示例中，我们定义了一个名为copula的函数，接受两个参数a和b。

函数中使用了"=="符号来比较a和b的值，如果相等则返回True，否则返回False。

我们可以通过调用copula函数来判断两个变量的相等关系。

例如，如果我们有两个变量x和y，我们可以使用copula(x, y)来判断它们的值是否相等。

如果返回True，则表示x和y相等；如果返回False，则表示x和y不相等。

使用copula函数可以帮助我们在编程中进行条件判断和逻辑判断。

例如，我们可以使用copula函数来判断用户输入的用户名和密码是否匹配，或者判断两个日期是否相等等。

除了使用"=="符号外，我们还可以使用其他比较操作符来实现copula函数。

例如，">"表示大于操作符，"<"表示小于操作符，">="表示大于等于操作符，"<="表示小于等于操作符。

Copula函数

Copula函数
Copula函数
1. Copula介绍
Copula函数把边缘分布函数与联合分布函数联系起来，是研究变量间相依性的⼀种有效⼯具。

参考⽂献：赵梦婷. [D].华中科技⼤学,2016.
2. 常见的Copula 函数（⼆元）
作为联系边际分布与联合分布的纽带，Copula 函数可以选择多种样式，关键取决于随机变量间相关关系符合什么样的类型。

Copula 函数
与边际分布可以分开处理，先通过⼀定⽅式获取每⼀维度上的边际分布，再通过⼀定⽅式选取合适的Copula函数，再将两者相乘，即可得到最终的联合分布。

3. ⾼斯混合Copula函数
参考⽂献：
[1] Tewari A , Giering M J , Raghunathan A . Parametric Characterization of Multimodal Distributions with Non-gaussian Modes[C]// Data Mining Workshops (ICDMW), 2011 IEEE 11th International Conference on, Vancouver, BC, Canada, December 11, 2011. IEEE, 2011.。