菱形的性质及判定

菱形的性质
及判定
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．
③
对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定
判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．
重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

重、难点
知识点睛
中考要求
板块一、菱形的性质
【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是
【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则
1∠= 度．
图2
1
C
B
A
⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．
【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，
证明：AB 与EF 互相平分．
P H
F
E D
C
B
A
【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的
周长为24，则OH 的长等于 ．
图1
H
O D
C B
A
【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，
，于点E ，则DE 的长为 E F D
B
C A
例题精讲
【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为
【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）
A ．5
B ．10
C ．6
D ．8
图2
D
C
B
A
【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则
FPC ∠=（ ）
A ．35︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
图3
E D
P C
F B
A
【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪
口与折痕所成的角α的度数应为（ ）
A ．15︒或30︒
B ．30︒或45︒
C ．45︒或60︒
D ．30︒或60︒
【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．
【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚
线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A ．210cm
B ．220cm
C ．240cm
D ．280cm
图1
D
C
B
A
【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，
的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是
【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和
BD ，求两条小路的长和花坛的面积．
图2
【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．
F
E
D
C
B
A
板块二、菱形的判定
【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件
是 ．
D
C
A
B
【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边
形BEDF 是菱形
F
E
D
C
B
A
【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .
求证：四边形AFCE 是菱形.
O
D
E
F
C
A
B
【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在
AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．
C'D
C
B A E
【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，
证明：AB 与EF 互相平分
A
B C
D
E
F P P
F E
D
C B A
【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E
与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？
证明你的结论．
G
F E D
C
B
A
【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．
分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．
P
M
F E D
G C
B
A
【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD
于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．
H
F D
E
C
B
A
【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移
动到点'M 的位置
⑴画出平移后的三角形；
⑵连结'MD MC MM ，
，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；
⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？
M'
M D
C B
A
三、与菱形相关的几何综合题
【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点
除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .
⑴求证四边形AEPM 为菱形
⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？
M
P
F
A
B
C
D
E
1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．
2.
如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC
+的最小值为
D
B
3. 已知菱形的一个内角为60︒
，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．
4.
已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．
F
E
D
C
B
A
5.
如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC
是菱形？并说明理由．
E
D
C
B A
6.
如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．
⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应
的条件．
⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．
课后练习
F
E
D
C
B A
7.
如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．
N
M
E
F
C
B
A。