深圳大学算法设计与分析杨煊实验三

深圳大学实验报告

课程名称：算法设计与分析

实验项目名称：高斯消元

学院：

专业、班级：

指导教师：杨烜

报告人：学号：

实验报告提交时间： 2015.5.15

教务处制

一、实验目的

1.掌握变治法思想。

2.学会高斯列主元消去法及其应用。

二、实验内容

1. 高斯列主元消去法求解线性方程组。

2. 高斯列主元消去法判断矩阵是否可逆？需要说明理由，如果可逆，求出其逆矩阵。

三、实验原理

算法：GaussElimination(A[1...n,1...n],b[1...n])

//用部分选主元法实现高斯消去法

//输入：矩阵A[1...n,1...n]和列向量b[1...n]

//输出：一个代替A的上三角形等价矩阵图，相应的右边的值位于第(n+1)列中for i<-1 to n do A[i,n+1]<-b[i] //把b作为最后一列添加到A中

for i<-1 to n-1 do

pivotrow<-i

for j<-i+1 to n do

if |A[j,i]|>|A[pivotrow,i]|

pivotrow<-j

for k<-i to n+1 do

swap(A[i,k],A[pivotrow,k])

for j<-i+1 to n do

temp<-A[j,i]/A[i,i]

for k<-i to n+1 do

A[j,k]<-A[j,k]-A[i,k]*temp

算法：GaussBackSub(A[1...n,1...n+1])

//实现高斯消去法的反向替换

//输入：一个代替A的上三角形等价矩阵图，相应的右边的值位于第(n+1)列中 //输出：方程组的n个解

for i<-n downto 1 do

temp<-0.0

for j<-n downto i+1

temp<-temp+A[i,j]*x[j]

x[i]<-(A[i,n+1]-temp)/A[i,i]

return x

算法：IsInverseMatrix(A[1...n,1...n],b[1...n])

//用高斯消去法判断是否为逆矩阵

//输入：矩阵A[1...n,1...n]

//输出：如果是逆矩阵输出1，否则输出0

for i<-1 to n do A[i,n+1]<-b[i] //把b作为最后一列添加到A中

for i<-1 to n-1 do

pivotrow<-i

for j<-i+1 to n do

if |A[j,i]|>|A[pivotrow,i]|

pivotrow<-j

for k<-i to n+1 do

swap(A[i,k],A[pivotrow,k])

for j<-i+1 to n do

temp<-A[j,i]/A[i,i]

for k<-i to n+1 do

A[j,k]<-A[j,k]-A[i,k]*temp

for i<-1 to n

if(A[i,i]=0)

return 0

return 1

算法：求矩阵的逆矩阵(伪代码篇幅较长，仅描述主要思想)

思想描述：设待求矩阵B的逆矩阵为X，根据逆矩阵的定义，满足BX=I(其中I为n阶单位矩阵)。显然，对于一个n*n的矩阵B，其逆矩阵X同样为n*n。将待求矩阵X的第i 列xi看做一组未知数，同样的将单位矩阵I的第i列ei看作方程组右边的值。(1<=i<=n) 求解 Bxi=ei;所得解即为所求可逆矩阵第i列的值。即利用高斯消元法进行n次的方程求解，最终得到的矩阵即为逆矩阵。

四、实验代码(由于篇幅有限，实验源代码作为附件上传，此处仅列出部分代码)

高斯消元法求解线性方程组部分代码：

求解逆矩阵的部分代码：

五、实验结果

程序运行截图如下：

结果一：方程组AX=B的解

结果二：矩阵B的逆矩阵

利用MATLAB计算的结果如下：

结果一：方程组AX=B的解

结果二：矩阵B的逆矩阵

实验结果：通过实验验证以及对比可以得出，实验结果和MATLAB验证结果基本一致。

六、实验分析

1.实验正确性分析：对比结果如上，理论上来说，高斯消去法要么在一个线性方程组有唯一解时生成它的精确解，要么确定该方程组不存在这样的解。在后一种情况下，该方程要么无解，要么有无穷多个解。在实践中，用该方法在计算机解一个规模比较大的方程组，最主要的困难在于如何防止舍入误差的累积。也就是说，一定的误差是在所难免的，因此，通过MATLAB的验证，可以认为，这次实验结果基本正确。

2.实验效率分析：

函数功能基本操作效率

GaussElimination(int n,double a[N][N]) 高斯消元，使系数矩

阵变为上三角矩阵

a[j][k]=a[j][k]-a[i][k]*t

emp

n^3

GaussBackSub(int n,double a[N][N]) 反向替换，利用上三

角矩阵求出解集

temp=temp+a[i][j]*x[j] n^2

IsInverseMatrix(int n,double a[N][N]) 判断是否为逆矩阵，

判断主对角线元素

a[j][k]=a[j][k]-a[i][k]*t

emp

n^3

GetInverseMatrix(int n,double a[N][N]) 求逆矩阵，通过n次

高斯消元法进行求解

进行n次的高斯消元以及反向

替换

n*(n^3+n

^2)=n^4

可以看出，无论是求解方程组的解还是求解逆矩阵，算法效率都主要取决于高斯消元的消去阶段n^3。对于求解逆矩阵，效率达到了n^4,可以肯定的是，当数据规模达到一定程度时，该算法已经失去了实际意义。因此我们可以寻找其他效率更高的算法(比如利用LU 分解来求解)，当然，该算法的优点在于简单易懂，算法主要进行了n次高斯消元的操作。因此，在一定的意义下，还是有着它的作用。

七、实验总结