离散数学教学PPT第四章

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定理4.7 一个集合为无限集,则它必会有与它等势 的真子集。 说明:
无限集的另一个定义; 该无限集减去这个真子集后得到的差集,可以是无限
集,可以是有限集。
设M是一个无限集,现在需要证明:
必存在另一个无限集M’,M⊃ M’且M~ M’; 因为M不一定是可列集,因此才要这样证明,即:
M=(一个可列集)⋃(另一个集合)
店主人的方法: • #1房的客人移到#2房 • #2房的客人移到#4房 • #3房的客人移到#6房 •… • 所有奇数号的房间全部腾空了,新
的无限多个客人就全住进了旅店。
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紧接着发生了更为严重的情况,来了无穷多个具有无穷多 名游客的旅游团,怎么办?
第一个旅游团客人按如下房间编号住
3, 32 , 33 ,L , 3n ,L
即f(S)是S的真子集,则S是无限集合,否则S是有 限集合。
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定理4.1 自然数集N是无限集。
证明:设函数f: N→N,定义为f(x)=2x,显然f是一 一对应,而且f(N)⊂N ,因此N是无限集。
定理4.2 常数集R是无限集。 证明:设函数f: R→R,为
显然f(x)是一一对应的, 而且显然有f(R)⊂R,因 此R是无限的。
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证明过程:
构造一个集合M,先从M中任取一个元素m1,这样剩余部分也是 一个集合M-{m1},并且是无限集;
再从此无限集M-{m1}中任取一个元素m2,剩余部分为M-{m1, m2}也是一个无限集;
• 如此继续,可取出m3,m4,m5,…无限多个元素,则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…};
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对于无限集合,可用下面的例子说明
自然数集合N={0,1,2,...}与其子集S={1,3,…}均 为无限集,且N~S;
可得无限集的一个特性:S⊂N及S~N; 即表明S是N的一个真子集,并且同时S与N等
势; 这种特性在有限集是不可能存在的。
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集合间的等势关系“~”是个等价关系
证明:令S是个集合族(即“所有集合构成的集合”), 在S上的等势关系~,满足: ⑴自反性:因为任何集合A,存在双射
无限子集可做进一步划分:可列集和不可列集。
定义4.6 与自然数集N等势的集合称为可列集。
能和自然数集合N建立一一对应关系的集合是可列集; 可排成一列,能一个一个数下来的集合; 也称为可数集。
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定理4.8 无限集必包含可列集。
证明:
设一无限集A,由A中取出一个元素a0,再从其剩 余部分取出一个元素a1,如此继续进行,可得一 个序列:
第二个旅游团客人住的房间编号为
5, 52 , 53 ,L , 5n ,L
接着是
7, 72 , 73 ,L , 7n ,L
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这样不仅安排了无穷多个旅游团的住宿,而且还 空出了很多房间!
无限多个房间可住无穷多个具有无穷多个游客的 旅游团!
对于一个无穷集合,向其中添加有限个元素,甚至 “无穷多个”元素得到的新集合,其势不变
“全体正整数的集合和全体有 理数的集合等势”是在数学上 很重要的一个例子,说明一个 实数中的稠密集可以和一个离 散集等势(稠密:在任意两个 元素之间存在第三个元素)
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因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下:
... -3/1 -2/1 --1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 ... ... -3/2 -2/2 -1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 ... ... -3/3 -2/3 -1/3 0/3 1/3 2/3 3/3 ...
令M2=M-M1,即M中除去M1后得到的集合, 则M=M1∪ M2, 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2,显然M⊃M’且M’~M,因此存在如
下一一对应的关系: 对于M的每个mi对应mi+1,对于M中的每个m∈ M2,对应M’中的
m。
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推论:一集合为无限集的充分必要条件是它包含有 与它等势的真子集。
证明:必要条件已经在前面证明,下面证明其充分 条件。
反证法:
鸽洞原理
设一集合M含有与其等势的真子集M’,若M’为有限集, 设其元素个数为n,即|M|=n,则此时必有n>m;
但此时M与M’间由于元素个数不同而无法建立一一对应 的关系而产生矛盾。
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有限集和无限集的重要定义 定义4.5 一集合存在与其等势的真子集,则称为无 限集,否则称为有限集。
定义4.2 集合A和集合B的元素间,如果存在一一对 应的关系,则说A和B是等势(Cardinality)的,记 作A~B
说明:
对有限集来说,两集合等势即说明两个集合的元素的 个数相同;
集合的势:Cardinality of Sets
3
Hilbert旅馆
问题:
一旅店有无穷多个房间,各房间编号依次为:
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2,…n-1},如 存在一一对应函数 f : Nn→S,则称S是有限集合, 并称其有基数n,如果S不是有限集合,则称为无 限集合。
说明:
由集合的元素个数来定义; 由于量变引起的质变; 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
2
基本概念
-1
-2
23
之前出现过了
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定理4.12 实数集R不是可列集。
思路:首先证明R~(0,1), 然后证明(0,1)不是可列集。
0
证明: 构造函数f: (0,1) R f(x)=tg(πx-π/2) 显然 f是双射,所以R~(0,1).
1
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实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的。
证明:假设(0,1)是可数的,则可以将它的元素写成如下序列 形式:{x1,x2,x3,...} ,其中
IA:AA,因此A~A ⑵对称性:任何集合A,B,若A~B,有双射 f:AB,又有双射f -1:BA,所以B~A。
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⑶传递性:任何集合A、B、C,若A~B,且B~C, 则有双射f:AB,和双射g:BC,由函数的复合得 双射: g◦f:AC,所以A~C。
所以~是等价关系。
按照等势关系“~”对集合族S进行划分,得到商集 S/~,进而得到基数类的概念。
因此:
无限集也有大小,最小的无限 集是可列集,其次是实数集;
对于任何一个无限集,总存在 一个基数大于这个集合的集合, 比如这个集合的幂集;
可列集的幂集和实数集等势。
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自然数 N 的幂集 (2N) 是不可数的
[0,1) 之间的小数可以用十进制表示,也可以用二进制表示,表示 形式是唯一的,0.5 D = 0.1 B,0.25 D = 0.01 B,....
... -3/4 -2/4 -1/4 0/4 1/4 2/4 3/4 ...
... ... ... ... ...
... ...
可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素
(如果这个有理数在前面出现,就跳过去), 2
所以Q是可数集。
1
另外 I×I~N如右图所示。
-3 -2 -1 0 1 2 3
同理可证 N×N~N
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说明:
• 这种方法称为:康托对角线法 • 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证
明,而是发表在他第一个证明的三年后; • 他的第一个证明既未用到十进制展开,也未用到
任何其它数字系统; • 自从该技巧第一次使用以来,在很大范围内的证
明中都用到了类似的证明构造方法。
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由前面这些定理可知:
实数集比可列集要大; 可列集的基数可表示为0 (Aleph 0,阿列夫零); 实数集的基数用1或c表示,称作连续统的势。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数; 满足包含排斥原理。
无限集合
元素无限多,如:自然数集合N、整数集I、实数集R等。
问题:
对于这样的集合有没有基数呢? 如果有,基数是多少? 无限集合之间有无大小的差别?
本章主要借助于函数(对应)讨论集合的所谓“大小”问 题。这里用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
xi =0.ai1ai2ai3 …… i=1,2,3,….. 即 0< xi<1 aik∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} k=1,2,3,4,… 令 x1 =0.a11a12a13a14…... x2 =0.a21a22a23a24…... x3 =0.a31a32a33a34…...
………...
一个集合A,若真子集B :B⊂A,B与A等势,则A 一定是无限集
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Hilbert旅馆的内涵
如果把自然数集合中的元素数量记为z, 那么z不管加 上多大的数,乘以多少,它始终是一个无穷,不会变 大或变小。
问题:自然数和平方数谁要更多?
用普通人的眼光来看,前10个数字中不过4和9两个数, 前100个数中也不过10个;
#1, #2, #3,……
现所有房间已住满了人,这时来了一位新客人要求住 店,怎么安排?
4
Hilbert旅馆
解决方法:
店主人把#1房的客人移到#2房,把#2房的客人移到#3房,依此类 推,新客人就住进了已腾空的#1房间;
接着,又来了第二位新客人,旅店主也照此办理,使第二 位客人得到落实;
紧接着,来了一个有无限多个游客的旅游团要求定住房间, 怎么办 ?
任意一个小于1 的非负小数,取其二进制形式,比如 0.1101001, 如果将小数点后第 i 位对应的 0/1 看成是自然数 i 在某个集合中的 无/有,那么0.1101001就对应自然数的一个子集 {1, 2, 4, 7};
所以,任一个小数可以对应一个自然数的子集,当然,自然数的 一个子集,也可以很容易写出一个小数: [0,1) 之间的小数与自然 数 N 的所有子集的一一对应关系;
a0,a1,a2,。。。 由此可得一个无限集A’={a0,a1,a2,...} 集合A’为可列集
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定理4.9 可列集的无限子集仍为一可列集。
证明:设有一可列集A={a0,a1,a2,...},依次顺序取 一个任意的无限集A’={am0,am1,am2,...},A’与N一 一对应;
N: 0 1 2 3 4 L bbbbb
再往后,平方数在自然数中所占的比例越来越小;
但是从另一个角度看,每一个自然数都对应着一个平 方数;
所以,自然数和平方数是一样多的, 这 “一一对应” 的 规则也就是判断集合是否一样大的标准。
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任何一个有限集合不能与其真子集等势。 另一种有限集、无限集的定义方法; 定义:如果存在一一对应的f: S→S,使得f(S)⊂S,
xn =0.an1an2an3an4…... ..……..
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构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……, 其中 :
于是
b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33…
b≠x1, b≠ x2, b≠ x3 ... 因此: b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的,因此产生 矛盾,所以(0,1)是不可数的。
2 | i | i 0
f(i)= 0
i 0 是I到N的双射。
2i 1 i 0 因此I是可列集。
-3 -2 -1 0
1
2
3
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定理4.11 有理数集Q是可列集
证明:一切有理数均呈的形式,现将所有按下列次序排列,
① 正分数按其分子分母之和的大小顺序排列:从小到大
② 正分数的分子分母之和相同者按照分子大小顺序排列:从大到小
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例1:证明 N={0,1,2,3,4,…...} 与下列集合等势 A={0,2,4,6,8,…...} B={1,3,5,7,9,…...} C={100,10,102,103,104,,…...}
证: f:NA,f(x)=2x g:NB, g(x)=2x+1 h:NC, h(x)=10x 是双射, 故N与A、B、C等势 可见:无限集合与其真子集等势。
A ' : am0 am1 am2 am3 am4 L
故A’为可列集; 由此可知,可列集是无限集中最小的集合。
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定理4.10 整数集I是可列集。
证明:整数集合I与N是等势的。
将集合I元素重排,写成
Leabharlann Baidu
N={0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
I={0,+1, -1,+2, -2, +3 -3,…}
③ 与正分数具有相同形式的负分数拍于正分数之后
按照上述规则可以得到一个序列
0, 1, 1, 2 , 2 , 1 , 1 , 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 , L 1 11 1 2 21 12 23 3
此序列可以跟自然数一一对应,因此是可列集。
直观上看,有理数比自然数多得多, 但本质上它们却 “一样多”!
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