【创新设计】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-1)同步课时作业与单元检测：圆锥曲线与方程 章末总结
创新设计同步人教A版选修第一章
明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s ＝ʃb a v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ， 所以ʃb a v (t )d t ＝ʃba y ′(t )d t ＝y (b )－y (a )．其中v (t )＝y ′(t )．小结 (1)一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃba f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )． 不影响，因为ʃba f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a ) 例1 计算下列定积分： (1)ʃ211xd x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x)d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x＝x 2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73，S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73.所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 解 图象如图．ʃ4f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x . 解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分： ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论． 解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．π B．2 C ．π－2 D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案 43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x＝x 33|2－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπ0f (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|π20＋sin x |ππ2＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞i ＝1nb －ans ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B3．ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43 C.23 D ．－23 答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( ) A.π4B.π2－1 C ．2D.π－24 答案 D解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|π20＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k ＝1.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 答案 33解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1， ∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. 10．计算下列定积分： (1)ʃ21(e x ＋1x )d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x . 解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e－0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|20＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1，∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值． 解 由定积分的性质，知： ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29 ＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时， 原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时， 原式＝ʃ－a－4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a－4＋(x 22＋ax )|3－a＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92)＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x22－ax )|3－4＝－7a ＋72.综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252(－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
2016版《创新设计》数学一轮复习(理科)人教A版课时作业第1章第1讲集合及其运算
第1讲集合及其运算基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝() A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}2．(2014·广州综合测试)已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－x＝0}，则集合A∩B的子集个数为() A．2 B．4C．6 D．83．(2015·贵阳监测)若集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则集合A∪B＝() A．{1} B．{1,2}C．{－1,1,2} D．{－1,1，－2}4．(2014·山东卷)设集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0,2] B．(1,2)C．[1,2) D．(1,4)5．(2014·武汉检测)设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R6．设集合A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，则A∩B＝()A．(2,3] B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,3] D．(－∞，0)∪(2，＋∞)7．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为() A．{－1,0,1} B．{－1,1}C．{－1,0} D．{0,1}8．(2015·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题9．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则集合(∁U B)∩A＝__________. 10．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________．11．(2013·山东卷改编)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)＝__________.12．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为__________．能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2015·皖南八校联考)设集合M＝{(x，y)|y＝lg x}，N＝{x|y＝lg x}，则下列结论中正确的是()A．M∩N≠∅B．M∩N＝∅C．M∪N＝N D．M∪N＝M14．已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有()A．1个B．2个C．3个D．4个15．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则实数c 的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(1，＋∞)16．已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝1x，x＞2}，则∁U P＝__________.17．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}，若C∩A＝C，则a的取值范围是__________．。
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：章末检测卷(一)
章末检测卷 (一 )(时间： 120 分钟满分：150分)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 )1．以下语句表示的事件中的要素不拥有有关关系的是()A ．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．抽烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧2．以下结论正确的选项是()①函数关系是一种确立性关系；②有关关系是一种非确立性关系；③回归剖析是对拥有函数关系的两个变量进行统计剖析的一种方法；④回归剖析是对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的一种常用方法．A ．①②B．①②③C．①②④D．①②③④^3．若线性回归方程为 y＝ 2－ 3.5x，则变量 x 增添一个单位，变量y 均匀 ()A ．减少 3.5 个单位B．增添 2个单位C．增添 3.5 个单位D．减少 2 个单位4．下表是某厂1～ 4 月份用水量 (单位：百吨 )的一组数据：月份 x1234用水量 y 4.543 2.5^^由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性有关关系，其线性回归方程是y ＝－ 0.7x＋ a ，^则 a 等于 ()A ． 10.5B． 5.15C． 5.2 D ． 5.255．独立性查验中，假定 H 0：变量 X 与变量 Y 没有关系，则在 H 0成立的状况下， P(K2≥ 6.635) ≈ 0.010表示的意义是 ()A ．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为1%B．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为99.9%C．变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99%D ．变量 X 与变量 Y 有关系的概率为99%6．依据以下样本数据x345678y 4.0 2.5－ 0.50.5－ 2.0－ 3.0^^^获取的回归方程为 y＝ bx＋ a，则 ()^^^^A. a>0 ， b>0B.a>0， b<0^^^^C.a<0， b>0D. a<0， b<07.如图， 5 个 (x， y)数据，去掉 D (3,10) 后，以下说法错误的选项是()A ．有关系数 r 变大B．残差平方和变大C． R2变大D ．解说变量 x 与预告变量y 的有关性变强8．依据一位母亲记录儿子3～ 9 岁的身高数据，成立儿子身高(单位： cm) 对年纪 (单位：岁 )的线性^回归方程 y ＝ 7.19x＋ 73.93，用此方程展望儿子10 岁的身高，有关表达正确的选项是()A ．身高必定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右9．四名同学依据各自的样本数据研究变量x，y 之间的有关关系，并求得回归直线方程，分别获取以下四个结论：^①y 与 x 负有关且 y ＝ 2.347 x－ 6.423 ；^②y 与 x 负有关且 y ＝－ 3.476 x＋ 5.648 ；^③y 与 x 正有关且 y ＝ 5.437 x＋ 8.493 ；^④y 与 x 正有关且 y ＝－ 4.326 x－ 4.578.此中必定不正确的结论的序号是()A ．①②B．②③C．③④D．①④10.以下是 x 与 y 之间的一组数据 ()x0123y1357^^^则 y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋ a ，对应的直线必过点()A．(3，4)B． (3， 2) 22C． (2,2)D． (1,2)11．在两个学习基础相当的班级推行某种教课举措的实验，测试结果见下表，则在出错误的概率不超出 0.005 的前提下推测实验成效与教课举措()优、良、中差总计实验班48250对照班381250总计8614100A. 有关B．没关C．关系不明确 D ．以上都不正确12．某检查者从检查中获知某企业最近几年来科研花费支出x(万元 )与企业所获取收益y(万元 )的统计资料以下表：序号科研花费支出 x i收益 y i x i y i x i21531155252114044012134301201645341702553257596220404总计30180 1 000200则收益 y 对科研花费支出x 的线性回归方程为 ()^^A. y ＝ 2x＋ 20B. y ＝ 2x－ 20^^C.y ＝ 20x＋ 2D. y ＝ 20x－ 2二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )13．很多要素都会影响贫困，教育或许是此中之一．在研究这两个要素的关系时，采集了美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少教育的百分比 (x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的^百分比 (y) 的数据，建立的线性回归方程为 y＝ 0.8x ＋ 4.6. 斜率的估计值为 0.8说明________________________________________________________________________ ．^ 14．考古学家经过鼻祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm) 与肱骨长度 y(cm) 的线性回归方程为y ＝1.197x－ 3.660，由此预计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的预计值为 ________ cm.15．下边是一个 2× 2 列联表：y1y2总计x1a2170x25c30总计b d100则 b－ d＝ ________.16．为了研究电离辐射的剂量与人体的受损程度能否有关，用两种不一样剂量的电离辐射照耀小白鼠．在照耀14 天内的结果如表所示：死亡存活总计第一种剂量141125第二种剂量61925总计203050进行统计剖析时的统计假定是________.题12345678910111213141516号答案三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分 )17.(10 分 )为研究质量x(单位：克 )对弹簧长度y(单位：厘米 )的影响，对不一样质量的 6 个物体进行测量，数据以下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出 R2；(3)进行残差剖析．18.(12 分 )电视传媒企业为了认识某地域电视观众对某类体育节目的收视状况，随机抽取了100 名观众进行检查．下边是依据检查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频次散布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”．依据已知条件达成下边的2× 2 列联表，并据此资料，你能否定为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷共计男女1055共计19.(12 分 )在海南省第二十四届科技创新大赛活动中，某同学为研究“ 网络游戏对今世青少年的影响”作了一次检查，共检查了50 名同学，此中男生26 人，有 8 人不喜爱玩电脑游戏，而检查的女生中有 9 人喜爱玩电脑游戏．(1) 依据以上数据成立一个2× 2 的列联表；(2) 依据以上数据，在出错误的概率不超出0.025 的前提下，可否定为“喜爱玩电脑游戏与性别有关系” ？20．(12 分)某校团对“学生性别与能否喜爱韩剧有关”作了一次检查，此中女生人数是男生人数的1122，男生喜爱韩剧的人数占男生人数的6，女生喜爱韩剧的人数占女生人数的3.若在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为能否喜爱韩剧和性别有关，则男生起码有多少人？21.(12 分 ) 某农科所对冬天日夜温差大小与某反季节大豆新品种抽芽多少之间的关系进行剖析研究，他们分别记录了12 月 1 日至 12 月 5 日的每日日夜温差与实验室每日每100 颗种子中的抽芽数，获取以下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日抽芽数 y(颗)2325302616该农科所确立的研究方案是：先从这五组数据中选用 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选用的 2 组数据进行查验．(1)求选用的 2 组数据恰巧是不相邻 2 天数据的概率；(2)若选用的是 12 月 1 日与 12月 5 日的两组数据，请依据12月 2日至 12 月 4 日的数据，求出y^^^对于 x 的线性回归方程 y ＝ b x＋ a；(3)若由线性回归方程获取的预计数据与所选出的查验数据的偏差均不超出2颗，则以为获取的线性回归方程是靠谱的，试问(2)中所得的线性回归方程能否靠谱？22.(12 分)某工厂有25 周岁以上 (含 25 周岁 )工人 300 名， 25 周岁以下工人200 名．为研究工人的日均匀生产量能否与年纪有关，现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100 名工人，先统计了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25 周岁以上 (含 25 周岁 )”和“25 周岁以下” 分为两组，再将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90) ，[90,100]分别加以统计，获取以下图的频次散布直方图．(1)从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成2×2列联表，并判断能否有 90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组有关”？P(K 2≥ k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.8282(注： K2＝n ad － bc)。
人教A版高中数学选修一-第一学期高二同步测试—.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年度第一学期海南省三亚市店中学高二数学同步测试—圆锥曲线综合姓名 班级 座位号一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（ ）F xy ABCOA ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23 D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积； （2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线yP 上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）． （1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222b y a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222by a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）y l BC xO A参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCACABCDCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321( 14． 25三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aaa a x ，yPO xAB表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当y p =2时，x p=8又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以ky y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及ax ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a .20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-by a a x ，又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。
2016-2017《创新设计》同步人教A版选修1-1第二章 2.1.2(二)
题型二
直线与椭圆的相交弦问题 2 2 x y 例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆 ＋ ＝1所截得的线段的中点，求直线l 36 9 的方程.
解 由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 解 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
解析答案
3 (2)若 cos∠AF2B＝5，求椭圆 E 的离心率. 解 设|F1B|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
8k4k－2 1 所以 x1＋x2＝ ＝8，所以 k＝－2. 2 4k ＋1 1 所以直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
反思与感悟 解析答案
x2 y2 跟踪训练2 设F1，F2分别是椭圆E： 2＋ 2 ＝1 (a>b>0)的左，右焦点， a b 过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
2 2 x ＋ 8 y ＝8， 联立方程 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， x－y＋a＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a＝3或a＝－3，
|4－3| 2 ∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为 d＝ 2 ＝ 2 . 8 2 2 x ＝－ ， x ＋ 8 y ＝ 8 ， 3 8 1 由 得 即 P(－3，3). 1 x－y＋3＝0， y＝3，
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第一章 统计案例
1 加深理解回归分析与独立性检验一、回归分析1．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^x . (注：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2主要方便计算，其中(x i ，y i )为样本数据，(x ，y )为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势． 公式联系：是进行残差分析的基础． 2．样本相关系数的具体计算公式：r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y(∑ni ＝1x 2i －n x2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r 的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当r >0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r >0时，两个变量正相关；当r <0时，两个变量负相关． (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．相关系数r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠．3．我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1(y i －y )2－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2用R 2来刻画回归的效果．对于已经获取的样本数据，R 2表达式中的∑ni ＝1(y i －y )2为确定的数．因此R 2越大，意味着残差平方和∑n i ＝1(y i －y ^i )2越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．R 2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R 2大的回归模型． 二、独立性检验(一)基础概念的梳理与理解1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．3．2×2列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的样本频数表称为2×2列联表(如下表).(二)两个分类变量是否有关的粗略估计等高条形图由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据a a ＋b 要比c c ＋d 小得多，因此，说明两分类变量X 和Y 有关系成立的可能性较大．重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况． (三)独立性检验的基本思想上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的．但是上面的分析给了我们一种重要的思想方法．下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法． 1．基本思想与图形的联系假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：a a ＋b ≈cc ＋d ⇒|ad －bc |＝0.构造随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解)．显然所构造的随机变量与|ad －bc |的大小具有一致性． 2．独立性检验的思想方法如果K 2的观察值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果K 2的观察值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法． 3．得到K 2的观测值k 常与以下几个临界值加以比较：如果k >2.706，就有90%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >3.841，就有95%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >6.635，就有99%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >10.828，就有99.9%的把握认为两分类变量X 和Y 有关；如果k ≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 有关系．像这种利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．2 回归分析题型归纳相关关系是自然中普遍存在的关系，高考中对具有线性相关关系的考查已成为趋势，有的考查概念性质，更多是考查线性回归直线方程的实际应用，下面精选几例题型供赏析． 一、考查相关系数例1 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1解析 方法一 由散点图可以得出结论：变量X 与Y 正相关；变量U 与V 负相关．故r 1>0，r 2<0，因此选C.方法二 由线性相关系数公式知r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.∵X ＝U ＝11.72，Y ＝V ＝3，X i ＝U i (i ＝1,2，…，5)，Y i ＝V 6－i (i ＝1,2，…，5)， ∴∑i ＝15(X i －X )2∑i ＝15(Y i －Y )2＝ ∑i ＝15(U i －U )2∑i ＝15(V i －V )2.令∑i ＝15(X i －X )(Y i －Y )＝A＝(10－X )(1－Y )＋(11.3－X )(2－Y )＋(11.8－X )·(3－Y )＋(12.5－X )(4－Y )＋(13－X )(5－Y )，∑i ＝15(U i －U )(V i －V )＝B＝(10－U )(5－V )＋(11.3－U )(4－V )＋(11.8－U )·(3－V )＋(12.5－U )(2－V )＋(13－U )(1－V )， ∴A >0，B <0，∴r 1>0，r 2<0. 答案 C二、考查线性回归直线的性质 例2设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( ) A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，y )解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知D 正确．所以选D. 答案 D三、考查线性回归直线方程的应用例3 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故线性回归方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.533 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想． 一、案例分析例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型． 解画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y ＝Bx 2＋A 的周围．令X ＝x 2，则变换后的样本点应该分布在y ＝bX ＋a (b ＝B ，a ＝A )的周围． 由已知数据可得变换后的样本数据表：计算得到线性回归方程为y ^＝0.199 94X ＋4.999 03.用x 2替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ^＝0.199 94x 2＋4.999 03. 计算得R 2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决．二、知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数y ＝ax m (a 为正数，x ，y 取正值)解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝m v ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数． (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)解决方案：对y ＝ca x 两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数．与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝kx(k >0)解决方案：令u ＝1x ，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数．(4)二次函数y ＝ax 2＋c解决方案：令u ＝x 2，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数． (5)对数型函数y ＝c log a x解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数．4 判断两个变量线性相关的方法一、由散点图判断两个变量线性相关例1 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺某季度的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：(1)相关关系？(2)若具有线性相关关系，求回归直线方程，然后再进一步根据回归直线方程预测一个区内大学生有1万人的店铺的季度销售额．分析 先根据表中的数据画出散点图，然后判断是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再根据所给的数据求出线性回归方程，最后进行预测． 解 (1)散点图如图所示．由散点图可以看出：这些点分布在一条直线的附近．所以各店铺该季度的销售额y 与店铺附近地区大学生人数x 具有线性相关关系． (2)由表中数据可知x ＝1.4，y＝13，∑i ＝110x 2i －10x 2＝5.68，∑i ＝110x i y i －10x y ＝28.4.所以b ^＝28.45.68＝5，a ^＝13－5×1.4＝6.因此回归直线方程是y ^＝5x ＋6.当x ＝1时，y ^＝5×1＋6＝11，即区内大学生有1万人的店铺的季度销售额约为11万元． 评注 本题根据线性回归方程进行预测，这要求同学们具备一定的数据分析、推测能力．通过学习，体会数据收集、分析在现实生活中的作用．二、由样本相关系数判断两个变量线性相关例2 2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大批生产帐篷支援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确定加工帐篷所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(2)如果x 与Y 具有线性相关关系，求出回归直线方程．分析 可通过计算相关系数判断Y 与x 是否具有相关关系，如果Y 与x 具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．解 (1)①作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系． ②由小概率0.05与n －2＝8在附表中查得r 0.05＝0.632. ③根据已知数据，可求得x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950. 因此，r ＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)×(87 777－10×91.72)≈0.999 8.④|r |>0.632，即|r |>r 0.05从而有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^ ＝y －b ^x ＝54.96.因此，所求的回归直线方程是y ^＝0.668x ＋54.96.评注 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量大，需要细心、谨慎地计算．5 独立性检验思想的应用在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，先利用等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系，再利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件X与Y是否有关的问题．其基本步骤如下：(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；(2)根据样本数据制作列联表；(3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关；(4)计算统计量K2，并查表分析．当K2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．例为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？解根据所给样本数据得到如下2×2列联表：由列联表可以粗略估计出：在吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．作出相应的等高条形图，如图所示．比较图中两个深色条的高可以发现在吸烟样本中患慢性气管炎的频率要高一些，可以在某种程度上认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．根据列联表中的数据，得到- 11 - K 2＝339×(43×121－13×162)256×283×205×134≈7.469>6.635. 而P (K 2≥6.635)≈0.010.所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．点评 对列联表的比例及等高条形图进行分析，可粗略地判断两个分类变量是否有关系．通过计算检验随机变量K 2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．。
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：章末检测卷(四)
章末检测卷 (四 )(时间： 120 分钟满分：150分)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 )1．以下说法正确的选项是()A．工序流程图中不行能出现闭合回路B．程序框图中不行能出现闭合回路C．在一个程序框图中三种程序构造能够都不出现D．在一个程序框图中三种程序构造一定都出现2．要描绘一个工厂某种产品的生产步骤，应用()A ．程序框图B ．工序流程图C．知识构造图 D ．组织构造图3．在下边的图示中，是构造图的为()A.B.C.D.4．如图是“会合”的知识构造图，假如要加入“子集”，则应当放在()—会合的观点—会合的表示会合——基本关系—会合的运算——基本运算A．“会合的观点”的下位B．“会合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位5．以下框图中不是构造图的是()A. 整数指数幂→ 有理指数幂→ 无理指数幂B. 随机事件→ 频次→ 概率C. 发现问题→ 剖析问题→ 解决问题→ 定义D. 对数函数→→ 图象与性质6．以下图所示的工序流程图中，设施采买的上一道工序是()A ．设施安装B ．土建设计C．厂房土建 D ．工程设计6题图7题图7．履行如下图的程序框图，若输入的 A 的值为2，则输出的P 值为 () A．2B．3C． 4D．58．如下图的构造图中“古典概型”的上位是()A ．试验B．随机事件C．概率统计定义D．概率的应用A．3B．5C． 8D．1210．某成品的组装工序流程图如下图，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时 )，不一样车间可同时工作，同一车间不可以同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是()A．11 小时B．13 小时C． 15 小时D．17 小时2π2π11．某程序框图如下图，现履行该程序，输入以下函数f(x)＝ sin 3 x，f(x)＝cos3x，f(x)＝tan 4π3 x，则能够输出的函数是()2π2πA ． f(x)＝ sin 3 xB． f(x)＝ cos 3 x4πC． f(x)＝ tan 3 xD．三个函数都没法输出3A ． 4 B. 22C.3D．－ 1二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13．如下图的是某企业的组织构造图，则后勤部的直接领导是________________ ．14．按以下程序框图运算：规定：程序运转到“判断结果能否大于244 ”为 1 次运算，若 x＝ 5，则运算进行________ 次才停止．15．程序框图 (即算法流程图)如下图，其输出结果是________ ．16．某市质量技术监察局计量认证审察流程图如下图，从图中可知在计量认证审察过程中审察可能不经过的环节有________ 处．三、解答 (本大共 6 小，共70 分 )17． (10 分 )汽托运重量P(kg) 的物，每千米的用(位：元 )准0.2P，当 P ≤20 kg ，y＝0.3× 20＋ 1.1 P－ 20 ，当 P>20 kg .画出行李托运用的程序框．18． (12 分 )画出修1－ 2 中“推理与明” 一部分内容的知构．19． (12 分 )画出求足1＋ 22＋ 32＋⋯＋ n2 >20 000 的最小自然数n 的程序框．20．(12 分 )明日小要参加班里的郊游活，了做好参加次郊游的准工作，他算了如下数据：整理床、整理携物件8 分，洗、刷牙7 分，煮牛奶15 分，吃早10 分，公交路9 分，出差在外的父手机短信 6 分，走到公共汽站10 分，等公共汽10 分．小大略地算了一下，共需要75 分，了追上7： 50 的公共汽，小决定6：30 起床，不幸的是他一下子睡到7：00！你帮小安排一下，画出一份郊游出行前安排流程，使他能来得及参加此次郊游．22． (12 分 )按相关定在国内投寄平信，每封信的重量x(g) 不超 60 g 的 (分 )的准：80x∈ 0， 20]，y＝ 160x∈ 20，40] ，240x∈ 40，60].一个算的流程．。
2016高中数学人教A版选修131《二项式定理》课时作业
【与名师对话］2015-2016学年高中数学1、3、1二项式定理课时作业新人教A版选修2-3一、选择题1、化简（x-l） *4-4 （-Y-1）‘+6（JV-1）2+4（Ar-1） + 1得（）A^ x B、（X— 1）sC、（x+1） *D、x解析：原式=（*一1 + 1）'=/、故选A、答案:A2、6+2），的展开式共有12项，则m等于（）A、9B、10C、11D、8解析:•・•（+）"的展开式共有”+1项，而（x+2）"的展开式共有12项,・・・”=11、故选C、答案：C3、（1-i） “（i为虚数单位）的二项展开式中第七项为（）A、一210B、210C、-120iD、-210i解析：由通项公式得％=C：。
・（一i） J-C错误！ = 一210、答案:A4、若C错误!x+C错误!f+・・・+C错误X能被7整除则X, m的值可能为（）A、x=5, n=5B、x=5,刀=4C、.v=4, n=4D、x=4, n=3解析:C错误!x+C错误!「+…+C错误!“= （1 +0"— 1,检验得B正确、答案：B5、在H1+.Y） e的展开式中，含空项的系数为（）A、30B、20C、15D、10解析:只需求（l+x）6的展开式中含f项的系数即可，而含空项的系数为015,故选C、答案：C6、若（1 +错误！）'=a+漏误！（a, 为有理数），则a+b等于（）A、45B、55D、80C、70解析：由二项式立理得（1 +错误！）5 = 1 + C错误！•错谋！+C错谋！•（错谋！F + C 错误！・(错误！)'+C错误！・(错误!)'+C错误！・(错误!)'= 1 + 5 错误J+20+20错误！+20+4 错误！=41+29 错误！，即a=41, 6=29,所以a+£>=70、答案:C二、填空题7、若£0,设错误!'的展开式中的第三项为M第四项为N、则“+用的最小值为、解析：？；=C错谋！•错谋!'错课!〜错視!x,错误！•错误广・错误!—错误！，故J/+.Z错误! +错误！22错误！=错误！、答案:错误！8、已知2X10“+a (OWa〈11)能被11整除，则实数a的值为___________ 、解析:根据题意，由于2X10lo+a=2X(ll-l) '°+a,由于2X10+ (0Wa<ll)能被11整除,根据二项式泄理展开式可知,2X(11 — 1)'。
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第一章统计案例
1 加深理解回归剖析与独立性查验一、回归剖析^ ^ ^1．回归直线方程 y ＝ b x ＋ a ，此中：nn^∑x i － x y i － y∑ x i y i － n x y ^ i ＝1＝i ＝1，a b ＝nx i － x2n ∑ ∑ x i 2－ n x 2i ＝1i ＝1n^∑ x i y i －n xy(注： b ＝ i＝1主要方便计算，此中n∑ x 2i － n x 2i ＝1^＝ y － b x .(x i ， y i )为样本数据， ( x ， y )为样本点的中心)公式作用：经过刻画线性有关的两变量之间的关系，预计和剖析数据的状况，解说一些实质问题，以及数据的变化趋向．公式联系：是进行残差剖析的基础．2．样真有关系数的详细计算公式：n∑x i － x y i － yi ＝1r ＝nny i － y2∑ x i － x 2∑i ＝1i ＝1n∑ x i y i －n xy＝i＝1nn∑ x i 2－ n x 2∑ y i 2－ n y2i ＝1i ＝1公式作用： 反应两个变量之间线性有关关系的强弱． 当 r 的绝对值靠近 1 时，表示两个变量的线性有关性越强； 当 r 的绝对值靠近 0 时，表示两个变量之间几乎不存在线性有关关系． 规定当 r >0.75 时，以为两个变量有很强的线性有关关系．公式联系： (1) 因为分子与回归方程中的斜率b 的分子同样 (这也给出了公式的内在联系以及公式的记法 ) ，所以，当 r>0 时，两个变量正有关；当r<0 时，两个变量负有关．(2) 常配合散点图判断两个随机变量能否线性有关．散点图是从形长进行大略地剖析判断，这个判断是可行的、靠谱的，也是进行线性回归剖析的基础，不然回归方程无效；它形象直观地反应了数据点的散布状况．有关系数 r 是从数上反应了两个随机变量能否拥有线性有关关系，以及线性有关关系的强弱，它较精准地反应了数据点的散布状况，正确靠谱．3．我们能够用有关指数R 2 来刻画回归的成效，其计算公式是：n^nn^∑y i － y2∑ y i － y 2－∑ y i － y 2＝i＝＝iR 2＝ 1－ in1＝ i1ni1∑y i － y2∑y i － y2用 R 2 来刻画回归的成效． 对于已经获得的样本数据， R 2n表达式中的∑ ( y i － y )2为确立的数．因i ＝1n ^R 2越小，残差平方此 R 2越大，意味着残差平方和∑(y i － y i )2越小，即模型的拟合成效越好；i ＝1和越大，即模型的拟合成效越差．在线性回归模型中，R 2 表示解说变量对于预告变量变化的贡献率． R 2 越靠近于 1，表示回归的成效越好． R 2 是常用的选择模型的指标之一， 在实质应用中应当尽量选择 R 2 大的回归模型． 二、独立性查验(一 )基础观点的梳理与理解1．分类变量：对于宗教崇奉来说，其取值为信宗教崇奉与不信宗教崇奉两种．像这样的变量的不一样“值”表示个体所属的不一样类其他变量称为分类变量．比如性别变量其取值为男和女两种，抽烟变量其取值为抽烟与不抽烟两种．2．两个分类变量：能否抽烟与能否患肺癌，性别男和女与能否喜爱数学课程等等，这些关系是我们所关怀的．3．2× 2 列联表：列出的两个分类变量X 和 Y ，它们的取值分别为 { x 1，x 2} 和 { y 1，y 2} 的样本频数表称为 2× 2 列联表 (以下表 ).y 1y 2 总计x 1a b a ＋bx 2c d c ＋ d总计a ＋ cb ＋ da ＋b ＋c ＋ d(二 )两个分类变量能否有关的大略预计等高条形图由深、浅颜色的高度可见两种状况下的百分比；另一方面，数据a要比 c小得多，所以，a ＋bc ＋ d说明两分类变量 X 和 Y 有关系成立的可能性较大．要点： 等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的状况下，各部分所占的比率状况．(三 )独立性查验的基本思想上边经过剖析数据与图形，得出的预计是大略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，究竟是有多大的差距？也就是说获得的结论是直观上的印象，其实与能否有关仍是有较大的差距的．可是上边的剖析给了我们一种重要的思想方法．下边从理论上说明两类分类变量能否有关，请同学们从中领会其思想方法．1．基本思想与图形的联系假定两类分类变量是没关的，可知以下的比应差不多，即：a ≈ c? |ad － bc|＝ 0.a ＋bc ＋ d结构随机变量 K 2＝n ad － bc 2b ＋ d ( 此中 n ＝ a ＋ b ＋c ＋ d)(此公式怎样记忆，其特色是c ＋d a ＋ ca ＋b 什么？联合 2× 2 列联表理解 )．明显所结构的随机变量与 |ad － bc|的大小拥有一致性．2．独立性查验的思想方法假如 K 2 的察看值较大，说明其发生(没关系 )的概率很小，此时不接受假定，也就是两分类变量是有关系的 (称小概率事件发生 )；假如 K 2 的察看值较小，此时接受假定，说明两分类变量是没关系的．其思想方法近似于数学上的反证法．3．获得 K 2 的观察值 k 常与以下几个临界值加以比较：假如 k>2.706，就有 90%的掌握以为两分类变量 X 和 Y 有关系；假如 k>3.841，就有 95%的把握以为两分类变量X 和 Y 有关系； 假如 k>6.635 ，就有 99%的掌握以为两分类变量 X 和 Y 有关系；假如 k>10.828 ，就有 99.9%的掌握以为两分类变量 X 和 Y 有关；假如 k ≤ 2.706，就以为没有充足的凭证说明变量X 和 Y 有关系．像这种利用随机变量K 2 来确立在多大程度上能够以为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性查验．2 回归剖析题型概括有关关系是自然中广泛存在的关系，高考取对拥有线性有关关系的观察已成为趋向，有的考查观点性质，更多是观察线性回归直线方程的实质应用，下边优选几例题型供赏析．一、观察有关系数例 1 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10,1) ， (11.3,2)， (11.8,3)， (12.5,4)， (13,5) ；变量 U 与 V相对应的一组数据为 (10,5) ，(11.3,4) ， (11.8,3)， (12.5,2)， (13,1) ． r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性有关系数， r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性有关系数，则()A ． r 2<r 1<0B ． 0< r 2<r 1C ． r 2<0<r 1D ． r 2＝ r 1分析 方法一 由散点图能够得出结论：变量 X 与 Y 正有关；变量U 与 V 负有关．故 r 12<0 ，所以选 C.>0， r方法二由性有关系数公式知nx i－ x y i－ yi＝ 1r＝.n nx i－ x 2y i－ y 2i＝ 1i＝1∵X ＝ U ＝11.72， Y ＝ V ＝3，X i＝U i(i ＝ 1,2，⋯， 5)， Y i＝ V6－i(i＝ 1,2，⋯， 5)，∴5i－X25Xi－Y2 Yi＝1i＝15U i－ U 25V i－ V 2.＝i＝1i＝15令(X i－ X )(Y i－ Y )＝ Ai＝1＝ (10－ X )(1 － Y )＋ (11.3－ X )(2－ Y )＋ (11.8－ X ) ·(3－ Y ) ＋ (12.5－ X )(4－ Y )＋ (13－X )(5－ Y )，5(U i－ U )( V i－ V )＝ Bi＝1＝(10－ U )(5－ V )＋(11.3－ U )(4 － V )＋(11.8－ U ) ·(3－ V )＋ (12.5－ U )(2－ V )＋ (13－U )(1－ V )，∴A>0， B<0，∴r 1>0， r 2<0.答案C二、考性回直的性例 2(x1， y1)， (x2， y2)，⋯， (x n， y n)是量 x 和 y 的 n 个本点，直l 是由些本点通最小二乘法获得的性回直 A ．x 和 y 的有关系数直 B ． x 和 y 的有关系数在 0 到C．当 n 偶数，散布在 l D ．直 l 点 ( x ，y )(如 )，以下中正确的选项是() l的斜率1之两的本点的个数必定同样分析因有关系数是表示两个量能否拥有性有关关系的一个，它的越靠近1，两个量的性有关程度越，所以 A 、 B ． C 中 n 偶数，散布在l 两的本点的个数能够不同样，所以 C ．依据性回方程必定本中心点可知 D 正确．所以D.答案D三、考性回直方程的用例 3认识球好者小李的投命中率与打球之的关系，下表了小李某月1号到 5 号每日打球x( 位：小 )与当日投命中率y 之的关系：x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李 5 天的均匀投命中率 ________；用性回剖析的方法，小李月6号打 6小球的投命中率________．分析小李 5 天的均匀投命中率0.4＋ 0.5＋ 0.6＋0.6＋ 0.4y ＝5＝0.5，可求得小李 5 天的均匀打球x ＝ 3.^^^依据表中数据可求得 b ＝ 0.01，a ＝ 0.47，故性回方程y＝ 0.47＋ 0.01x，将 x＝ 6 代入得6 号打 6 小球的投命中率0.53.答案0.5 0.533巧解非性回假如目所本点的散布不呈状散布，即两个量不呈性关系，那么，就不可以直接利如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，优选出与这些散点拟合最好的函数，而后利用变量置换，把非线性回归方程问题转变成线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，表现了转变思想．一、事例剖析例一个昆虫的某项指标和温度有关，现采集了7 组数据以下表：温度x/℃2345678某项指标 y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 试成立某项指标 y 对于温度 x 的回归模型，并判断你所成立的回归模型的拟合成效．剖析依据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．解画出散点图以下图，样本点并无散布在某个带状地区内，而是散布在某一条二次函数曲线 y＝ Bx2＋ A 的四周．令 X＝ x2，则变换后的样本点应当散布在y＝ bX＋ a(b＝ B， a＝ A) 的四周．由已知数据可得变换后的样本数据表：X491625364964某项指标 y 5.790 6.8108.19910.00112.19014.79017.801^计算获得线性回归方程为y ＝ 0.199 94X＋ 4.999 03.^用 x2替代 X，得某项指标 y 对于温度 x 的回归方程 y ＝ 0.199 94x2＋ 4.999 03.计算得 R2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合成效特别好．评论此题是非线性回归剖析问题，解决这种问题应当先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相比较，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，而后采纳适合的变量变换转变为线性回归剖析问题，使之得以解决．二、知识拓展常有的非线性函数变换方法：(1) 幂型函数 y ＝ ax m (a 为正数， x ， y 取正当 )解决方案：对 y ＝ ax m 两边取常用对数，有lg y ＝ lg a ＋ mlg x ，令 u ＝ lg y ，v ＝ lg x ，则原式可变为 u ＝ mv ＋ lg a ，此中 m ， lg a 为常数，该式表示 u ， v 的线性函数．(2) 指数型函数 xy ＝ c ·a (a ， c>0，且 a ≠ 1)解决方案：对 y ＝ ca x两边取常用对数，则有lg y ＝ lg c ＋ xlg a ，令 u ＝ lg y ，则原式可变成 u ＝xlg a ＋ lg c ，此中 lg a 和 lg c 为常数，该式表示 u ，x 的线性函数．与幂函数不一样的是 x 保持不变，用 y 的对数 lg y 取代了 y.k(3) 反比率函数 y ＝ x (k>0)解决方案：令 u ＝1，则 y ＝ku ，该式表示 y ， u 的线性函数．x(4) 二次函数 y ＝ ax 2＋ c解决方案：令 u ＝x 2 ，则原函数可变成 y ＝au ＋ c ，该式表示 y ，u 的线性函数．(5) 对数型函数 y ＝ clog a x解决方案：令 x ＝ a u ，则原函数可变成 y ＝cu ，该式表示 y ， u 的线性函数．4 判断两个变量线性有关的方法一、由散点图判断两个变量线性有关例 1 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各商铺某季度的销售额与商铺邻近地域大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，获得数据以下：商铺编号区内大学生数 x(万人 )某季度销售额 y(万元 )1 0.2 5.8 2 0.6 10.53 0.8 8.84 0.8 11.85 1.2 11.76 1.6 13.7 72 15.7 8216.99 2.214.910 2.620.2(1) 画出散点图，并判断各商铺该季度的销售额y 与商铺邻近地域大学生人数x 能否拥有线性有关关系？(2)若拥有线性有关关系，求回归直线方程，而后再进一步依据回归直线方程展望一个区内大学生有 1 万人的商铺的季度销售额．剖析先依据表中的数据画出散点图，而后判断能否拥有线性有关关系，若拥有线性有关关系，再依据所给的数据求出线性回归方程，最后进行展望．解 (1)散点图以下图．由散点图能够看出：这些点散布在一条直线的邻近．所以各商铺该季度的销售额y 与商铺邻近地域大学生人数 x 拥有线性有关关系．(2) 由表中数据可知102210x ＝ 1.4， y ＝ 13，x i－ 10 x＝ 5.68，x i y i－ 10 x y ＝ 28.4.i＝ 1i ＝1^28.4^所以 b ＝5.68＝ 5， a＝ 13－5× 1.4＝ 6.^所以回归直线方程是y＝ 5x＋6.^当 x＝ 1 时， y＝ 5×1＋ 6＝ 11，即区内大学生有 1 万人的商铺的季度销售额约为11 万元．评注此题依据线性回归方程进行展望，这要求同学们具备必定的数据剖析、推测能力．通过学习，领会数据采集、剖析在现实生活中的作用．二、由样真有关系数判断两个变量线性有关例 2 2010 年 4 月 14 日青海省玉树县发生7.1 级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大量生产帐篷增援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确立加工帐篷所花销的时间，为此进行了10 次试验，测得的数据以下：帐篷数x(顶 ) 102030405060708090100加工时间Y(小时 )62 68 75 81 89 95 102 108 115 122试问： (1) 对 x 与 Y 进行有关性查验；(2) 假如 x 与 Y 拥有线性有关关系，求出回归直线方程．剖析可经过计算有关系数判断 Y 与 x 能否拥有有关关系，假如 Y 与 x 拥有有关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．解 (1)①作统计假定： x 与 Y 不拥有线性有关关系．②由小概率 0.05 与 n － 2＝8 在附表中查得r 0.05＝ 0.632.10x i 2＝ 38 500，③依据已知数据，可求得x ＝55， y ＝ 91.7，i ＝11010i2＝ 87 777，i i ＝ 55 950.yx yi ＝1 i ＝1所以， r ＝55 950－ 10× 55× 91.738 500 －10× 552 × 87 777 －10× 91.72≈0.999 8.④ |r |>0.632，即 |r |>r 0.05 进而有 95% 的掌握以为 x 与 Y 之间拥有线性有关关系， 因此求回归直线方程是存心义的．(2) 设所求的回归直线方程为^^^^55 950－ 10× 55× 91.7 ^ ^y ＝b x ＋ a ，则有 b ＝38 500－ 10× 552≈0.668，a ＝ y －bx ＝ 54.96.^所以，所求的回归直线方程是 y ＝ 0.668x ＋ 54.96.评注 求解两个变量的有关系数及它们的回归直线方程的计算量大，需要仔细、慎重地计算．5 独立性查验思想的应用在平时生活中，常常见面对一些需要推测的问题．在对这些问题作出推测时，我们不可以仅凭主观臆断作出结论，需要经过试验来采集数据，并依照独立性查验思想做出合理的推测．所谓独立性查验，就是依据采集样本的数据，先利用等高条形图大略判断两个分类变量能否有关系，再利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系来判断事件X 与 Y 能否有关的问题．其基本步骤以下：(1)观察需抽样检查的背景问题，确立所波及的变量能否为二值分类变量；(2)依据样本数据制作列联表；(3)经过图形直观判断两个分类变量能否有关；(4)计算统计量 K 2，并查表剖析．当 K2很大时，就以为两个变量有关系；不然就以为没有充足的凭证显示两个变量有关系．下边举例说明独立性查验思想在解决实质问题中的应用．例为了检查患慢性气管炎能否与抽烟有关，检查了339 名 50 岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56 人，患慢性气管炎且抽烟的有43 人，未患慢性气管炎但抽烟的有162 人．根据检查统计结果，剖析患慢性气管炎与抽烟在多大程度上有关系？解依据所给样本数据获得以下2×2 列联表：患慢性气管炎未患慢性气管炎总计抽烟43162205不抽烟13121134总计56283339由列联表能够大略预计出：在抽烟者中，有 20.98% 的患慢性气管炎；在不抽烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比率的值相差较大，所以结论“ 患慢性气管炎与抽烟有关” 成立的可能性较大．作出相应的等高条形图，以下图．比较图中两个深色条的高能够发此刻抽烟样本中患慢性气管炎的频次要高一些，能够在某种程度上以为“ 患慢性气管炎与抽烟有关”．依据列联表中的数据，获得【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第一章统计案例K339× 43× 121－13× 162 22＝≈7.469>6.635.56× 283× 205× 134而 P(K2≥ 6.635)≈0.010.所以有 99% 的掌握以为“患慢性气管炎与抽烟有关”．评论对列联表的比率及等高条形图进行剖析，可大略地判断两个分类变量能否有关系．通过计算查验随机变量K2，能够比较精准地给出这种判断的靠谱程度．先采集数据，而后经过一些统计方法对数据进行科学的剖析，这是我们用统计方法解决实质问题的基本策略．-11-。
高中数学课时作业(人教A版选修第一册)本册过关检测
本册过关检测考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若直线l 的一个方向向量为(－1， 3 )，则它的倾斜角为( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°2．已知空间向量a ＝(3，5，－2)，b ＝(1，λ，－1)且a 与b 垂直，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．与向量a ＝⎝⎛⎭⎫1，27 平行，且经过点(4，－4)的直线方程为( ) A ．y ＝27 x －367 B ．y ＝－27 x －207C ．y ＝72 x －18D ．y ＝－72x ＋10 4．圆x 2＋y 2－6y ＋8＝0与圆x 2＋y 2－8x ＝0的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离5．已知等腰梯形ABCD 中，AB → ＝2DC → ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，G 为EF 的中点，若记AB → ＝a ，AD → ＝b ，则AG → ＝( )A ．38 a ＋34 bB ．38 a ＋12b C ．12 a ＋34 b D ．14 a ＋38b 6．如图正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长相等，D 为AA 1的中点，则异面直线A 1B 与C 1D 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．已知椭圆x 249 ＋y 224＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 与焦点F 1的距离等于6，则△PF 1F 2的面积为( )A ．24B ．36C ．48D ．608．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心，以a 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于A ，B 两点，若OA → ＝2OB → (O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为( ) A.173 B ．153C ．113 D ．73 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列说法中，正确的是( )A ．直线x －y －4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8B ．过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1C ．过点(1，1)且与直线2x ＋y ＋1＝0相互平行的直线方程是y ＝－2x ＋3D ．经过点(1，2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －3＝010．下列说法正确的有( )A ．直线mx －y －1＝0恒过定点(0，－1)B ．直线l 1：mx ＋2y －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则m ＝2C ．圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0的公共弦长为1255D ．若圆x 2＋y 2－4x －2y ＝0，则过点M (1，0)的最短弦所在直线方程为x －y －1＝011．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为BC 、CC 1、A 1D 1、C 1D 1的中点，则下列结论中正确的是( )A ．A 1E ⊥AC 1B ．BF ∥平面ADD 1A 1C ．BF ⊥DGD ．GE ∥HF12．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为C 上任意一点，若点M (1，3)，下列结论正确的是( )A ．|PF |的最小值为2B ．抛物线C 关于x 轴对称C ．过点M 与抛物线C 有一个公共点的直线有且只有一条D ．点P 到点M 的距离与到焦点F 距离之和的最小值为4三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知空间向量a ＝(4，－1，λ)，b ＝(2，1，1)，c ＝(1，2，1)，若a ，b ，c 共面，则实数λ＝________．14．若抛物线y 2＝mx 的焦点与椭圆x 26 ＋y 22＝1的右焦点重合，则实数m 的值为________． 15．过直线3x －4y －2＝0上一动点P 作圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 面积的最小值为________．16．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为线段B 1C 1中点，F 为线段BC 上动点，则|AF |＋|FE |的最小值为________；点F 到直线DE 距离的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知圆C 的圆心坐标为(2，1)，且点P (－1，－3)在圆C 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线y＝kx＋m－2k与圆相交于A、B两点，当k变化时，线段AB的最小值为6，求m的值．18．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，点P在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线x＋2＝0的距离为d，且d－|PF|＝1.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若过点(0，1)的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．19．(本小题满分12分)四棱锥P ABCD，底面为矩形，PD⊥面ABCD，且AB＝4，BC ＝PD＝2，Q点在线段AB上，且AC⊥面PQD.(1)求线段AQ的长；(2)对于(1)中的点Q，求直线PB与面PDQ所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点P在双曲线C上，点F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，(|PF1|－|PF2|)2＝4.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线P A，PB的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值．21．(本小题满分12分)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B，A1C1的中点．(1)求证：CE∥平面FC1D；(2)求平面FC1D与平面EDC所成的二面角的正弦值．22．(本小题满分12分)已知点A(3，0)，点C为圆B：(x＋3)2＋y2＝16(B为圆心)上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G.(1)设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；(2)若过点P(m，0)(m>1)作圆O：x2＋y2＝1的一条切线l交(1)中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值．。
2016高中数学人教A版选修121《第2课时 排列的应用》课时作业
【与名师对话】2015—2016学年高中数学 1、2、1第2课时排列的应用课时作业新人教A版选修2-31、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目、如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为（)A、42B、30C、20D、12解析:方法一：有两种插法,一种就是新节目相邻,有A错误!·6＝12种插法，一种就是新节目不相邻,有A错误!＝30种插法、∴共有12＋30＝42（种）、方法二：增加两个新节目,共有7个节目,先安排2个新节目，而原来的5个节目按原顺序放入余下的5个位置即可,共有A2，7＝42种方法、答案：A2、三位老师与三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为（)A、720B、144C、36D、12解析：先将老师排好有A错误!种排法，形成4个空位,将3个学生插入4个空位中,有A错误!种排法，∴共有A错误!·A错误!＝144种排法、答案：B3、要为5名志愿者与她们帮助的2位老人拍照，要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( ）A、1 440种B、960种C、720种D、480种解析：从5名志愿者中选2人排在两端有A错误!种排法，2位老人的排法有A错误!种,其余3人与老人排有A44种排法,共有A错误!A错误!A错误!＝960种不同的排法、答案：B4、从3名男生与3名女生中,选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有__________种、（)A、19B、54C、114D、120解析:从6名学生中选3名担任不同科目的课代表共有A36种方案，其中不选女生的有A 错误!种,则要求至少有1名女生的选派方案共有A错误!－A错误!＝114(种)、答案：C5、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )A、20种B、30种C、40种D、60种解析：分类完成，甲排周一,乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排,有A24种安排方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A2，3种安排方法；甲排周三,乙、丙只能排周四与周五，有A2，2种安排方法、由分类加法计数原理可知，共有A错误!＋A错误!＋A错误!＝20种不同的安排方法、答案:A6、直线Ax＋By＝0的系数A,B可以在0，1,2,3,5，7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有( ）A、30条B、23条C、22条D、14条解析:当A＝B≠0时，表示同一直线x＋y＝0；当A＝0,B≠0时,表示直线y＝0；当A≠0，B＝0,表示直线x＝0；当A≠0，B≠0,A≠B时有A25条直线,故共有1＋1＋1＋A2，5＝23条直线、答案:B二、填空题7、用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有________种、解析:0夹在1，3之间有A错误!A错误!种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有A错误! A错误!A错误!A错误!种排法、所以一共有A错误!A错误!＋A错误!A错误!A错误!A错误!＝28种排法、答案：288、用1，2，3，4,5，6，7组成没有重复数字的七位数,若1，3，5，7的顺序一定,则有________个七位数符合条件、解析：若1,3,5,7的顺序不定,有A44＝24种排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的错误!、故有错误!A错误!＝210个七位数符合条件、答案:2109、五人站成一排照相,其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有________种、解析:五人全排列有A错误!种排法，甲、乙相邻有A错误!A错误!种排法,甲、丙相邻有A22A错误!种排法,甲、乙相邻且甲、丙相邻有A错误!A错误!种排法,故所有排法有A错误!－A错误!A错误!－A错误!A错误!＋A错误!A错误!＝36种、答案：36三、解答题10、用0，1，2，…,9十个数可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的排列：（1）五位奇数？(2)大于30 000的五位偶数？解：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3,5,7，9五个数字中取，有5种取法,取定末位数字后，首位就有除这个数字与0之外的8种不同取法、首末两位取定后,十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取,共有A错误!种不同的排列方法、因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数、（2）要得偶数,末位应从0,2，4，6，8中选取，而要比30 000大的五位偶数，可分两类:①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4，5，6，7,8,9中任一个，共7种选取方法,其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取,共A错误!种取法、所以共有2×7×A错误!种不同情况、②末位数字从4,6，8中选取,则首位应从3,4,5，6,7，8,9中除去末位数字的六位数字中选取,其余三个数位仍有A错误!种选法，所以共有3×6×A错误!种不同情况、由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数的个数共有2×7×A错误!＋3×6×A错误!＝10 752、11、从5名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果A不能跑第一棒,那么有多少种不同的参赛方法?解:方法一:当A被选上时,共有A错误!×A错误!＝72(种）方法,其中A错误!表示A从除去第一棒的其她三棒中任选一棒;A错误!表示再从剩下4人中任选3人安排在其她三棒、当A没有被选上时,其她四人都被选上且没有限制，此时有A错误!种方法、故共有A错误!×A错误!＋A错误!＝96(种）参赛方法、方法二:接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图,第一个框图不能填A，有4种填法，其她三个框图共有A错误!种填法，故共有4×A错误!＝96(种)参赛方法、方法三:（间接法)先不考虑A就是否跑第一棒,共有A错误!＝120(种)方法、其中A在第一棒时共有A错误!种方法,故共有A错误!－A错误!＝96(种）参赛方法、12、某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？（1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻、解：(1)先排唱歌节目有A错误!种排法,再排其她节目有A错误!种排法,所以共有A错误!·A错误!＝1 440(种）排法、（2）先排3个舞蹈节目,3个曲艺节目有A错误!种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A错误!种插入方法,所以共有A错误!·A错误!＝30 240（种)排法、（3)把2个相邻的唱歌节目瞧作一个元素,与3个曲艺节目排列共A错误!种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A3，5种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A错误!种排法，故所求排法共有A错误!·A错误!·A错误!＝2 880(种）排法、。
【创新设计】高中数学(人教版选修1-1)配套练习：第一章 章末检测(A)(含答案解析)
第一章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列语句中是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗？2．设原命题：若a ＋b≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题3．给出命题：若函数y ＝f(x)是幂函数，则函数y ＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．04．设集合M ＝{x|x>2}，P ＝{x|x<3}，那么“x ∈M ，或x ∈P”是“x ∈M∩P”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．在△ABC 中，“A>30°”是“sin A>12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若p ：a ∈R ，|a|<1，q ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数a>1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a)的定义域为R ，命题q ：|x|<1是x<a的充分不必要条件，则( )A ．“p 或q”为真命题B ．“p 且q”为假命题C ．“綈p 且q”为真命题D ．“綈p 或綈q”为真命题10．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数11．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，2] D ．(－∞，－2) 12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p 且q”是真命题；②命题“p 且綈q”是假命题；③命题“綈p 或q”是真命题；④命题“綈p 或綈q”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的__________条件．12．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 13．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为______________________________________________________________________. 14．下列四个命题中①“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”的充要条件； ③函数y ＝x 2＋4x 2＋3的最小值为2. 其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)将下列命题改写成“若p ，则q”的形式，并判断其真假． (1)正方形是矩形又是菱形； (2)同弧所对的圆周角不相等； (3)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根．18．(12分)判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．19．(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m>0)，若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．21.(12分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．22．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．单元检测卷答案解析单元检测卷答案解析第一章 常用逻辑用语(A)答案1．A2．A [因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a ，b 都小于1，则a ＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3.]3．C4．A [“x ∈M ，或x ∈P”不能推出“x ∈M ∩P”，反之可以．] 5．C [①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]6．B [当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A>12⇒30°<A<150°⇒A>30°，即“回得来”．]7．A [a ∈R ，|a|<1⇒a －2<0，充分成立，反之不成立．] 8．A [綈p ：|x ＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q ：5x －6≤x 2， 即x 2－5x ＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.∴綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒綈p ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．]9．A [命题p ：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x 2＋2x ＋a>0恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a)的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a>1时，由|x|<1，得－1<x<1，即|x|<1是x<a 的充分不必要条件，故命题q 也是真命题．所以命题“p 或q”是真命题．]10．A [对“a 和b 都不是偶数”的否定为“a 和b 不都不是偶数”，等价于“a 和b 中至少有一个是偶数”．]11．B [注意二次项系数为零也可以．]12．D [∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．] 13．必要不充分 解析 q ⇒p ，p ⇒q. 14．[－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立， 当a ＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ＝4a 2＋12a≤0得－3≤a<0； ∴－3≤a≤0.15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形解析 本题考查复合命题“非p”的形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 16．①②③解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π，即y ＝cos 2kx ，T ＝2π|2k|＝π，k ＝±1.②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之垂直推出a ＝25；③函数y ＝x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3，令x 2＋3＝t ，t≥3， y min ＝3＋13＝433.17．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题． (2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．(3)如果一个方程为x 2－x ＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题． 18．解 方法一 (直接法)逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a<1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2) ＝4a －7.∵a<1，∴4a －7<0.即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真． 方法二 (先判断原命题的真假)∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a≥74，∵a≥74>1，∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真． 方法三 (利用集合的包含关系求解)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集． 命题q ：a≥1.∴p ：A ＝{a|关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≥74，q ：B ＝{a|a≥1}．∵A ⊆B ，∴“若p ，则q”为真，∴“若p ，则q”的逆否命题“若綈q ，则綈p”为真． 即原命题的逆否命题为真．19．解 綈p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x<－2，或x>10，A ＝{x|x<－2，或x>10}． 綈q ：x 2－2x ＋1－m 2>0， 解得x<1－m ，或x>1＋m ，B ＝{x|x<1－m ，或x>1＋m}．∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B A ，即{ 1－m≤－2 1＋m≥10且等号不能同时成立，⇒m≥9， ∴m≥9.20．解 令f(x)＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔ Δ＝ 2k －1 2－4k 2≥0 －2112k -> f 1 >0)即k<－2.所以其充要条件为k<－2.21．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0 Δ<0⇔0≤a<4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14；如果p 真，且q 假，有0≤a<4，且a>14，∴14<a<4；如果q 真，且p 假，有a<0或a≥4，且a≤14，∴a<0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫14，4. 22．解 假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a)2－4(－4a ＋3)<0 Δ2＝(a －1)2－4a 2<0 Δ3＝(2a)2－4(－2a)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32<a<12 a>13，或a<－1， －2<a<0得－32<a<－1.∴所求实数a 的范围是a≤－32或a≥－1.。
【创新设计】高中数学 1.2习题课课时作业 新人教A版必修1
【创新设计】2015-2016学年高中数学 1.2习题课课时作业 新人教A 版必修1 课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是( )2．已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，N ＝B B ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上4．已知函数，若f (a )＝3，则a 的值为( ) A. 3 B ．－ 3C ．± 3D ．以上均不对5．若f (x )的定义域为[－1,4]，则f (x 2)的定义域为( )A ．[－1,2]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[－2,0]6．函数y ＝x kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( ) A ．k <0或k >4 B ．0≤k <4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x)等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x )C.1f xD.1f －x 2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( ) A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞) 6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为____________．8．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f (f (－2))=______________________________.三、解答题10．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，求f (x )．11．已知，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．能力提升12．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (x －a )＋f (x ＋a )(0<a <12)的定义域为( )A ．∅B ．[a,1－a ]C ．[－a,1＋a ]D ．[0,1]13．已知函数(1)求f (－3)，f [f (－3)]；(2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若f (a )＝12，求a 的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2 习题课双基演练1．C [C 选项中，当x 取小于0的一个值时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义．]2．C [值域N 应为集合B 的子集，即N ⊆B ，而不一定有N ＝B .]3．C [当a 属于f (x )的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A [当a ≤－1时，有a ＋2＝3，即a ＝1，与a ≤－1矛盾；当－1<a <2时，有a 2＝3，∴a ＝3，a ＝－3(舍去)； 当a ≥2时，有2a ＝3，∴a ＝32与a ≥2矛盾． 综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计 1．A [f (1x )＝1x 1x2＋1＝x 1＋x2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝x －＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)． ∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12) 解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12. 8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25. 11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a .又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.] 13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。
高中数学课时作业(人教A版选修第一册)课时作业(十一)
课时作业(十一) 直线的倾斜角与斜率[练基础]1．直线l 经过原点和点(－2，2)，则l 的斜率是( )A ．0B ．－1C ．1D ．不存在2．下列直线中，倾斜角为锐角的是( )A ．x －y ＋1＝0B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝1D ．x ＝23．已知点A (1，3 )，B (－1，33 )，则直线AB 的倾斜角为( )A ．2π3B ．π6C ．π3D ．5π64．直线l 的倾斜角等于直线3 x －y ＝0倾斜角的2倍，则直线l 的斜率是( ) A ．233 B ．3 C ．23 D ．－3 5．(多选)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，且tan α>0，则α为锐角B ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α6．已知点A (m ，2)，B (3，0)，若直线AB 的斜率为1，则m ＝________．7．已知点A (1，1)，B (3，5)，若点C (－2，t )在直线AB 上，则实数t 的值为________．8．已知两点P (1－m ，1＋m )和Q (3，5m ).(1)m 为何值时，直线PQ 的斜率不存在；(2)m 为何值时，直线PQ 的斜率等于－3.[提能力]9．(多选)若经过A (1－a ，1＋a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．若直线l 的方程为x －y sin θ＋2＝0，则直线l 的倾角α的范围是( )A ．[0，π]B ．[π4 ，π2] C ．[π4 ，3π4 ] D ．[π4 ，π2 )∪(π2 ，3π4) 11．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角α的取值范围是________；直线l 的斜率k 的取值范围是________．12．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求证：1a ＋1b ＝12. [培优生]13．已知正△ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点P (x ，y )是△ABC内部及其边界上一点，则y x ＋1的最大值为( ) A ．12 B ．32C ．23D ．33－32。
高中数学人教A版选修1-1课时作业第2章习题课2 Word版含解析
习题课()一、选择题．动点到点()及点()的距离之差为，则点的轨迹是( )．双曲线．双曲线的一支．两条射线．一条射线解析：由已知－＝＝，所以点的轨迹是一条以为端点的射线．答案：．方程＝所表示的曲线是( )．双曲线．椭圆．双曲线的一部分．椭圆的一部分解析：依题意：≥，方程可化为：－＝，所以方程表示双曲线的一部分．故选.答案：．[·安徽省合肥一中月考]若双曲线＋＝的离心率是，则实数的值是( ). －.. . －解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线＋＝可化为＋＝，故离心率＝＝，解得＝－，故选.答案：．[·广东实验中学期末考试]已知双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则双曲线的离心率为( ). .. . 或解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为＝，所以结果为或，故选.答案：．已知双曲线的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆＋＝的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为( )．±＝．±＝．±＝．±＝解析：由已知得，双曲线焦点在轴上，且＝，＝，∴双曲线方程为－＝.∴渐近线方程为＝±＝±.答案：．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是().解析：由已知得＝＋，∴＝＋.∴＝＋.平方得(－)＝＋＋即－－＝.∴＝.答案：二、填空题．[·陕西高考]双曲线－＝的离心率为．解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得＝，＝，∴＝＋＝，∴＝＝，＝.答案：．[·北师大附中月考]已知直线＝＋与双曲线－＝的右支相交于不同两点，则的取值范围是．解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系和根与系数的关系的应用．由(\\(＝＋－＝))得(－)－－＝①，直线＝＋与双曲线－＝的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以(\\(－≠,Δ＝＋(－(>,(－)>,－(－)>))，解得－<<－.答案：(－，－)．对于曲线：＋＝，给出下面四个命题：①曲线不可能表示椭圆；②当<<时，曲线表示椭圆；③若曲线表示双曲线，则<或>；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则<<.其中命题正确的序号为．解析：由(\\(－>，－>，－≠－，))解得<<或<<，此时方程表示椭圆，且<<时表示焦点在轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(－)(－)<得<或>，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案：③④三、解答题．求适合下列条件的双曲线标准方程．()虚轴长为，离心率为；()顶点间距离为，渐近线方程为＝±；()求与双曲线－＝有公共渐近线，且过点(，－)的双曲线方程．。
人教a版高中数学选修1-1课时作业
课时作业1 命题及其关系一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是( )A．若m∥n，则α∥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若α，β相交，则m，n相交D．若m，n相交，则α，β相交[解析] 若α，β相交，因为m⊥α，n⊥β，所以m与n可能异面，也可能相交，故C错．所以选C.[答案] C2．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析] ①是假命题；②是真命题；③是真命题；④是假命题．故选B.[答案] B3．若条件P：x∈A∩B，则綈p是( )A．x∈A且x BB．x A或x BC．x A且x BD．x∈(A∪B)[解析] p：x∈A∩B，綈p：x A∩B⇔x A或x B，故选B.[答案] B4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有( )A．0个B．2个C．3个D．4个[解析] 原命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.真命题．逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．原命题与逆否命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题．故选B.[答案] B5．在下列三个命题中，正确的为( )①命题“△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1都不是直角三角形”；②命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆否命题是“若x＝0或y＝0，则xy＝0”；③命题“若x∈A或x∈B，则x∈(A∪B)”的逆命题是“若x∈(A∪B)，则x∈A 且x∈B”．A．②B．②③C．①③D．①②③[解析] “△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1不都是直角三角形”，∴①错误，排除C，D；而③错误，排除B.故选A.[答案] A6．有下列三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若m>n，则m2>n2”的逆否命题；③“若y≤－3，则y2－y－6>0”的否命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”．真命题．②的逆否命题同原命题等价，而原命题为假命题，故逆否命题为假命题．③的否命题为“若y>－3，则y2－y－6≤0”．假命题．故选B.[答案] B7．命题“若a>b，则ac2>bc2”(这里a，b，c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．4 B．2 C．1 D．0[解析] “若a>b，则ac2>bc2”为假，因为当c＝0时不成立，而“若ac2>bc2，则a>b”为真．故选B.[答案] B8．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数[解析] 由逆否命题，知选A.[答案] A二、填空题9．命题：若a>b，则ac2>bc2(a，b，c是实数)，与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．[解析] 若a>b，则ac2>bc2，当c＝0时，不成立，∴原命题为假，其逆否命题也为假．又若ac2>bc2，则a>b成立，∴否命题也成立．[答案] 210．在下列横线上填写“互逆”“互否”或“互为逆否”：(1)命题“若q，则綈p”与“若綈q，则p”的关系是________；(2)命题“若綈p则q”与“若q则綈p”的关系是________．[解析] 由命题之间关系可得．[答案] (1)互否(2)互逆11．已知A表示点，a，b，c表示直线，M、N表示平面，给出下列命题：①a⊥M，b M，若b∥M，则b⊥a；②a⊥M，若a⊥N，则M∥N；③a⊂M，b∩M＝A，c为b在M上的射影，若a⊥c，则a⊥b；④a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b.其中逆命题正确的是________．(填序号)[解析] 由判定方法知①②③正确，而④的逆命题“a⊥M，若a⊥b，c⊥b，则b∥M，c∥a”不正确，因为由条件b⊂M也可能成立，a，c相交、异面、平行，都有可能．[答案] ①②③12．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋φ(φ为常数)，有以下命题： ①不论φ取何值，函数f(x)的周期都是π；②存在常数φ，使得函数f(x)是偶函数；③函数f(x)在区间[π－2φ，3π－2φ]上是增函数；④若φ<0，函数f(x)的图象可由函数y ＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到．其中，所有正确命题的序号是________．[解析] ①错，f(x)的周期是4π；②当φ＝3π2时，f(x)＝－cos x 2是偶函数；③因为函数的增区间是[4k π－π－2φ，4k π＋π－2φ](k ∈Z)，故③错；④将y＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2φ2的图象，故④正确． [答案] ②④三、解答题13．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ；(2)到一角两边距离相等的点在这个角的平分线上．[解析] (1)逆命题为：若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，真．否命题为：若A B ，则A ∩B ≠A ，真．逆否命题为：若A ∩B ≠A ，A B ，真．(2)逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等，真．否命题：到一个角的两边距离不相等的点不在角平分线上，真． 逆否命题：不在角平分线上的点到角的两边距离不相等，假．14．写出命题：“若a 2>b 2，则a>b ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断四种命题的真假．[解析] 原命题：若a 2>b 2，则a>b.逆命题：若a>b ，则a 2>b 2.否命题：若a 2≤b 2，则a ≤b.逆否命题：若a ≤b ，则a 2≤b 2.∵(－1)2>02，而－1<0，∴原命题假．∵2>－3，而22<(－3)2，∴逆命题假．由等价命题知四种命题均为假．15．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即(x ＋1)(x －3)≥0，∴x ≤－1或x ≥3；由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1，得－1<1－x 2<1， ∴0<x<4.∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4.则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤－1或x≥4}．∴满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．16．命题“若m>0，则x2+ x－m=0有实数根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[解析] 方法一：原命题是真命题．∵m>0，∴－14<0<m，∴m>－14.∴4m＋1>0，方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1>0，因而方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”是真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，故命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题也是真命题．方法二：原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”∵x2＋x－m＝0无实数根，∴Δ＝4m＋1<0∴m<－14≤0.故原命题的逆否命题为真命题．课时作业4 充要条件一、选择题(每小题6分，共36分)1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．下列p是q的充要条件的是( )A．p：a>b，q：ac>bcB．p：x＝1，q：x2－x＝0C．p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数D．p：x>0，y>0，q：xy>04．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有( ) ①A∪B＝A ②∁U A∩B＝Ø③∁U A⊆∁U B ④A∪∁U B＝U，A．1个B．2个C．3个D．4个5．关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号的充要条件是( )A．k<－1或k≥2 3B．－2<k<－1C．－2≤k<－1或23<k≤1D．－2≤k≤16．(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题8分，共24分)7．m＝1是函数y＝x m2 －4m＋5为二次函数的________条件．8．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件．9．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”成立的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)三、解答题(共40分)10．(10分)若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？11．(15分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.12．(15分)求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．参考答案1.解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.答案：A2.解析：∵当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos2α＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4kπ＝12，∴“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的充分条件．而当α＝－π6时，cos2α＝12，但－π6≠π6＋2kπ(k∈Z)，∴“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”不是“cos2α＝12”的必要条件．答案：A3.解析：选项A中c可为0，不充要；选项B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，也不充要；选项D中，xy>0解得x>0，y>0或x<0，y<0，也不充要，只有C正确．答案：C4.解析：由韦恩图可知，①②③④都是充要条件．图1答案：D5.解析：方程2(k ＋1)x 2＋4kx ＋3k －2＝0的两根同号的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4k 2－4×2k ＋13k －20x 1x 2＝3k －22k ＋1>0k ≠－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －2≤03k －2k ＋1>0k ≠－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤k ≤1k<－1或k>23k ≠－1⇔－2≤k<－1或23<k ≤1. 答案：C6.解析：若y ＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称，如y ＝f(x)＝x 2，而它不是奇函数，故选B.答案：B7.解析：m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝3也能保证函数为二次函数．答案：充分不必要8.解析：a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行．反之，若ax ＋2y ＝0与x ＋y ＝1平行，得a ＝2，故“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．答案：充要9.解析：a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，所以a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，而a ＋b ＝3⇒／ a ＝1且b ＝2，所以a ≠1或b ≠2⇒／a ＋b ≠3.答案：必要不充分10.解：命题的充分必要性具有传递性M ⇒N ⇔P ⇒Q ，但Q ⇒/ P ，N ⇔P ，且N ⇒／ M ，故M 是Q 的充分不必要条件．11.证明：充分性：若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以f(x)＝x|x|.因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)对一切x ∈R 恒成立，所以f(x)是奇函数．必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x ∈R ，f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x|－x －a|＋b ＝－x|x －a|－b.令x ＝0，得b ＝－b ，所以b ＝0；令x ＝a ，得a|2a|＝0，所以a ＝0，即a 2＋b 2＝0.12.解：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋kx ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 2＋x x ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋1x －1＝0，x 2＋x ＋k ＝0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，k ＝－2.所以两方程有一公共根的充要条件为k ＝－2.课时作业7 含有一个量词的命题的否定一、选择题(每小题6分，共36分)1．∃m0，n0∈Z，使得m20＝n20＋1998的否定是( )A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋1998B．∃m0，n0∈Z，使得m20≠n20＋1998C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋1998D．以上都不对2．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20－2x0＋1<0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0C．∃x0∈R，x20－2x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－2x＋1<03．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>04．特称命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是( )A．∀x∈M，綈p(x) B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，綈p(x) D．∀x∈M，p(x)5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)6．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是( )A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数二、填空题(每小题8分，共24分)7．命题“∃x0∈R，x20≤0”的否定是________．8．已知命题p：“∀x∈R，e x≤1”，则命题綈p是________．9．设命题p：c2<c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1>0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________．三、解答题(共40分)10．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．11．(15分)用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．(4)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx.12．(15分)给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．参考答案:1.解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2＋1998.答案：C2.解析：由定义直接可得．答案：A3.解析：由特称命题的否定得出．答案：D4.解析：由特称命题的否定的定义可得．答案：C5.解析：由题知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.答案：C6.解析：对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则成为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f(x)＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f(x)是偶函数．答案：C7.解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．答案：∀x ∈R ，x 2>08.解析：由定义直接可得．答案：∃x 0∈R ，ex 0>19.解析：p ：0<c<1；q ：由Δ<0知－12<c<12.∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c<1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c<1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12<c<12，得－12<c ≤0.综上：12≤c<1或－12<c ≤0.10.答案：－12<c ≤0或12≤c<111.解：(1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β； (2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．12.解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔0≤a<4； 关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14； 若p 真，且q 假，有0≤a<4，且a>14，∴14<a<4； 若q 真，且p 假，有a<0或a ≥4，且a ≤14，∴a<0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)． 13.解：(1)綈p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．(4)綈p ：∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sinx ，是假命题．第一章第1节命题及其关系本节教材分析（一）三维目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
高中数学人教A版选修-课时作业
题． ∴其中(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．
题型二 命题的结构 【例 2】 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假． (1)已知 x，y 为正整数，当 y＝x＋1 时，y＝3，x＝2；
1 (2)当 m> 时，mx2－x＋1＝0 无实根；
4 (3)当 abc＝0 时，a＝0 或 b＝0 或 c＝0.
11 3.解析：选项 A，由 ＝ ，得 x＝y；选项 B，由 x2＝1，得 x＝±1；选项 C，当 x＝y＝－1
xy 时，x， y没有意义；选项 D，当 x＝－3，y＝1 时，x<y，但 x2＝9>1＝y2.故选 A.
答案：A 4.解析：与一个平面平行的两条直线不一定平行，所以 A 错误；两条平行直线分别平行 于两个平面，则这两个平面不一定平行，所以 B 错误；如图(1)，设 OA∥a，OB∥b，直线
4
一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是 正三角形)．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题： 若一个三角形的三个内角不全相等，则这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相 等的三角形不是正三角形)．
题型四 四种命题之间的关系 【例 4】 判断命题“若 m≥0，则关于 x 的方程 x2＋x－m＝0 有实数根”的逆否命题的真 假．
[解析] ：因为 m≥0，所以 4m≥0，所以 4m＋1>0.所以关于 x 的方程 x2＋x－m＝0 的 根的判别式 Δ＝4m＋1>0，所以关于 x 的方程 x2＋x－m＝0 有实数根，所以原命题“若 m≥0，则关于 x 的方程 x2＋x－m＝0 有实数根”为真．又因为原命题与它的逆否命题等价， 所以“若 m≥0，则关于 x 的方程 x2＋x－m＝0 有实数根”的逆否命题也为真．
【创新设计-课堂讲义】2015-2016学年高中数学(人教A版选修1-2)课时作业：第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2.2复数代数形式的乘除运算明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有3.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋b i，则z＝a－b i.4．复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？探究点一复数乘除法的运算思考1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.思考3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i； (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)原式＝(4－3i )2(4＋3i )(4－3i )＋(4＋3i )2(4－3i )(4＋3i )＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i 42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方法一 原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 方法二 (技巧解法)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )i (3－2i )i＝i 6＋(2＋3i )i 2＋3i ＝－1＋i. 反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i. 解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i. (2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i －i·i＝－1－3i. 探究点二 共轭复数及其应用思考1 像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？ 答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z .虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．思考2 复数a ＋b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数可表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2 ，所以两个共轭复数之积为实数．思考3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．思考4 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪训练3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4， ∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i＝－4i. 3．复数i －21＋2i 等于( ) A ．i B ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i 答案 A4．复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 因为z ＝2－i 2＋i＝(2－i )25＝3－4i 5，故复数z 对应的点在第四象限，选D.[呈重点、现规律]1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．一、基础过关1．复数－i ＋1i等于( ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i答案 A解析 －i ＋1i ＝－i －i 2i＝－2i ，选A. 2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( ) A ．0 B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ， ∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1a ＝1. 4．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i) ＝－32＋(23＋12)i ， 对应点(－32，23＋12)在第二象限． 5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43C ．－43D ．－34答案 A解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34. 6．若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i答案 D解析 z ＝1＋2i i＝2－i ，∴z ＝2＋i. 7．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋(21＋i )2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解(1)2＋2i(1－i)2＋(21＋i)2 010＝2＋2i－2i＋(22i)1 005＝i(1＋i)＋(1i)1 005＝－1＋i＋(－i)1 005＝－1＋i－i＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.二、能力提升8．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z等于() A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i答案 A解析由已知得z＝2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i.9.复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为() A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i答案 D解析由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝52－i＝2＋i，∴z＝5＋i，∴z＝5－i.10．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．答案 1解析由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－3＋2ii－1＝2＋3i－1＝1＋3i.11．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，求z及z z .解因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i)(1－2i)5＝2－i，故z＝2＋i.所以zz＝2－i2＋i＝(2－i)25＝3－4i5＝35－45i.12.已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z . 解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i ， ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10， ∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.三、探究与拓展13.已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2. ∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。
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第二章章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三 轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x 、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、y 之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式时，借助第三个变量t ，建立t 和x ，t 和y 的关系式x ＝φ(t )，y ＝Φ(t )，再通过一些条件消掉t 就间接地找到了x 和y 所满足的方程，从而求出动点P (x ，y )所形成的曲线的普通方程．例3 设点A 、B 是抛物线y 2＝4px (p >0)上除原点O 以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，垂足为M ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结 答案重点解读例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a . 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|. ①又S △PF 1F 2＝123，∴12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123， 即|PF 1||PF 2|＝48. ②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1. 例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k 2， ∵M 、N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16， 而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵ OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0.OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k， 进而可求A ⎝⎛⎭⎫4p k 2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )． 于是直线AB 的斜率为k AB ＝k 1－k 2， 从而k OM ＝k 2－1k， ∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1kx ， ① 直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)． ② 将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )， ③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0， ∴直线l 过定点．例5 解 因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知|MA |＋|MA ′|＝10.如图所示，则|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MA ′|＋|MB |－|MA ′|＝10＋|MB |－|MA ′|≤ 10＋|A ′B |.当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA |＋|MB |)max ＝10＋|A ′B |＝10＋210.又如图所示，|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MA ′|－|MA ′|＋|MB | ＝10－(|MA ′|－|MB |)≥10－|A ′B |，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA |＋|MB |)min ＝10－|A ′B |＝10－210.例6 解 由题意，|F 1F 2|＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2， ∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2. S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|x A －x B | ＝22×k 2＋1k 2＋2＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2. 当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时， S △ABF 2有最大面积为 2.。