梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡

由

0,0=+⋅=∑e RA B

M l F M

得 l

M F e

RA -= 由

0,0=-⋅=∑e RB A

M l F M

得 l

M F e

RB =

则距左端为x 的任一横截面上的剪力和

剪力图

弯矩表达式为：

()l M F x F e

RA S -

== ()x l

M x F x M e

RA ⋅-

=⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡

由

04

5

2,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB

c 得 ql F RB 8

5

=

由 02

1

,02=+⋅=∑ql l F M RC B

得 ql F RC 21

-=

则相应的剪力方程和弯矩方程为：

AB 段：（2

01l

x ≤

≤） 剪力图

()()21

1112

1qx x M qx x F S -=-=

BC 段：（2

322l x l

≤

≤） ()()⎪

⎭⎫

⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-==-=

285428

21852222l x ql l x l q x M ql

ql ql x F S

AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图）

5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。

解：由梁的平衡求出支座反力：

KN F KN F RB RA 12,8==

AB 段作用有均布荷载，所以

AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；

BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的

水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，

突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有

转折，转折方向与集中力方向一致。（如图）

（5）

解：由梁的平衡求出支座反力：

KN F KN F RB RA 5.6,5.3==

AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

在B 处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力F 的大小；

弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图）

（7）

解：AB 段作用有均布荷载（方

向向下），所以AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段作用有均布荷载（方向向上），所以

BC 段的剪力图为上倾直线，弯矩图为上凸直线。（如图）

5.14试用叠加法画下列各梁的弯矩图。 （1）

q

弯矩图

（4）

题型：计算题

题目：试作图所示悬臂梁A B的剪力图和弯矩图。

+

=

弯矩图

+

【解】

1、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B的剪力方程和弯矩方程为

上面两式后的括号内，表明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力

作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。由于截面B有

集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。

2、作剪力图和弯矩图

剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行

于横轴的直线。取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。

弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直

线。可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=P L。取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为

常见问题题2

题型：计算题

题目：试作图（a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为

3、作剪力图和弯矩图

剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。在处（应理解为

x略大于0）,；处（应理解为x略小于），。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座

内侧的横截面上，其值为

弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在处，M=0；在

处，M=0；在处，

。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为

在此截面上剪力为零。

常见问题题3

题型：计算题

题目：试作图(a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力