2018年高考数学核按钮考点突破 课标理科第一章1.1

设集合 A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合 B＝{x|x2－2ax－ 1≤0，a>0}．若 A∩B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值 范围是________．
解：A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1 或 x<－3}，设函 数 f(x)＝x2－2ax－1，则其对称轴 x＝a＞0，由对称性知， 若 A∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为 2，所以 f(2)≤0 且 f(3)>0，即49－ －46aa－ －11≤＞00，， 得34≤a＜43.故填
解：由已知得ba＝0 及 a≠0，所以 b＝0，于是 a2＝1， 即 a＝1 或 a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知 a＝－ 1，所以 a2 017＋b2 017＝－1.故填－1.
类型二 集合间的关系
已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}． (1)若 B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数 m 的取 值范围； (2)若 B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数 m 的取 值范围； (3)若 B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数 m 的取值 范围．
A．4 B．6 C．8 D．12
解：令 x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12，代入验证，得 x＝1，2，3，4，6，12 时，1x2∈Z，
即集合中有 6 个元素．故选 B.
(2)已知 a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，
则 a2 017＋b2 017＝________.
(2)集合与集合之间的关系：
表示 关系
文字语言
符号语言
相等
集合 A 与集合 B 中 __________⇔
的所有元素都相同
A＝B
子集
A 中任意一个元素 ________或
均为 B 中的元素
________
A 中任意一个元素
均为 B 中的元素，
真子集
且 B 中至少有一个 元素不是 A 中的元 素
________或 ________
2m－1＞m－6， (3)若 A⊆B，则m－6≤－2，
2m－1≥5，
解得 3≤m≤4.所以 m 的取值范围为[3，4]．
点拨： 本例主要考查了集合间的关系，“当 B⊆A 时， B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷 阱”．
集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若 B⊆A，求实数 m 的取值范围；
数集
自然 数集
正整 数集
整数 集
有理 数集
实数 集
复数 集
符号
3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就 说 a ________集合 A，记作________；如果 a 不是集合 A 中的元素，就 说 a________集合 A，记作________．
第一章 集合与常用逻辑用语
考纲链接
1.集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义． (6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．
(3) 已 知 集 合 A ＝ {x∈R||x ＋ 2|<3} ， 集 合 B ＝ {x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且 A∩B＝(－1，n)，则 m＝
________，n＝________.
解：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由
A∩B＝(－1，n)，可知 m<1，由 B＝{x|m<x<2}，画 出数轴，可得 m＝－1，n＝1.
所以
3 m＝－2，log2
018m＋52＝log2
0181＝0.故填
0.
点拨： (1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中 代表元素的含义，再看元素的限制条件，明 白集合的类型，是数集、点集还是其他类型 集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值 后，要注意检验集合中的元素是否满足互异 性．
(1)( 2015·苏州一模) 集合x∈N*|1x2∈Z 中含有的元素个数为( )
综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
类型三 集合的运算
(1)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|lg x≤0}，B＝
{x|2x≤3 2}，则 A∪B＝(
)
A．∅ B.0，13 C.13，1
D．(－∞，1]
解：由题意知，A＝(0，1]，B＝－∞，13，所以 A∪B
＝(－∞，1]．故选 D.
故填－1，1.
点拨： (1) 在 进 行 集 合 的 运 算 时 要 尽 可 能 地 借 助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合 元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数 轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2) 在解决有关 A∩B＝∅的问题时，易忽略空集的情 况，一定要先考虑 A(或 B)＝∅是否成立，以防漏 解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
{x|x∈A 且 x∈B} {x|x∈U 且 x∉A}
5．(1)①⊆ ②⊆ ③A ④∅ ⑤＝
(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A⊆B ②A＝B (5)card(A)＋card(B)－card(A∩B) card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
34，43.
类型一 集合的概念
(1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则
a＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0 或 4
解：由 ax2＋ax＋1＝0 只有一个实数解，可得当 a＝0 时，方程无实数解；
当 a≠0 时，Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4.故选 A.
(2)已知集合 A＝{m＋2，2m2＋m}，若 3∈A，则 log2 018m＋52
{x|lgx≤0}，则 M∪N＝( )
A．[0，1]
B．(0，1]
C．[0，1)
D．(－∞，1]
解：因为 M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝
{x|0＜x≤1}，所以 M∪N＝[0，1]．故选 A.
(2016·山东)设集合 A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝
{x|x2－1＜0}，则 A∪B＝( )
(2)已知集合 A，B 均为全集 U＝{1，2，3，4}的子集，
且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则 A∩(∁UB)＝________.
解：因为 U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，所以 A∪B
＝{1，2，3}．又因为 B＝{1，2}，所以{3}⊆A⊆{1，2， 3}．又∁UB＝{3，4}，所以 A∩(∁UB)＝{3}．故填{3}．
• 考纲解读 • 1.1 集合及其运算
1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做
________．
(2)集合中元素的三个特性：______，______，_______________.
(3)集合常用的表示方法：________和________．
2．常用数集的符号
(2016·北京)已知集合 A＝{x||x|＜2}， B＝{－1，
0，1，2，3}，则 A∩B＝( )
A．{0，1}
B．{0，1，2}
C．{－1，0，1}
D．{－1，0，1，2}
解：由 A＝{x|－2＜x＜2}，得 A∩B＝{－1，
0，1}．故选 C.
(2015·陕西)设集合 M＝{x|x2＝x}，N＝
(2)当 x∈Z 时，求 A 的非空真子集的个数；
(3)当 x∈R 时，若 A∩B＝∅，求实数 m 的取值范围．
解：(1)①当 m＋1>2m－1，即 m<2 时，B＝∅，满足 B⊆A.
②当
m＋1≤2m－1，即
m≥2
时，要使
B⊆A
成立，则m＋1≥－2， 2m－1≤5，
可得
2≤m≤3.
综上，m 的取值范围是(－∞，3]．
空集
空集是任何集合的 子集，是任何______ 的真子集
∅⊆A，∅ B (B≠∅)
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有______ 个，非空真子集有______个．
4．两个集合 A 与 B 之间的运算
集合的并 集合的交
集
集
符号 表示
Venn 图 表示(阴影
部分) 意义
解：由 A＝{x|x2－3x－10≤0}，得 A＝{x|－2≤x≤5}， (1)若 B⊆A，则 ①当 B＝∅，有 m＋1＞2m－1，即 m＜2，此时满足 B⊆A；
m＋1≤2m－1， ②当 B≠∅，有m＋1≥－2， 解得 2≤m≤3.
2m－1≤5，
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若 A＝B，则必有m2m－－6＝ 1＝－52，， 解得 m∈∅，即不存 在实数 m 使得 A＝B.
(1)设集合 M＝x|121－x>1，N＝{x|x2－
2x－3≤0}，则 N∩(∁RM)＝( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，1] D．(1，3)
自查自纠：
1．(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性
(3)列举法 描述法
2．N N*(N＋) Z Q R C 3．(1)属于 a∈A 不属于 a∉A
(2)A⊆B 且 B⊆A A⊆B B⊇A A B B A 非空集合 2n 2n－1 2n－2
4．A∪B A∩B ∁UA {x|x∈A 或 x∈B}
(2)当 x∈Z 时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
所以 A 的非空真子集个数为 28－2＝254.
(3)因为 x∈R，且 A∩B＝∅，
所以当 B＝∅时，即 m＋1＞2m－1，得 m＜2，满足条件；
当 B≠∅时，有mm＋＋11≤＞25m－1，或m2m＋－1≤1＜2m－－2，1， 解得 m＞4.
A．(－1，1)
B．(0，1)
C．(－1，＋∞)
D．(0，＋∞)
解：易知 A＝(0，＋∞)，B＝{x|－1＜x＜1}，
所以 A∪B＝(－1，＋∞)．故选 C.
设 A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若 B⊆ A，则 x 的值为________．
解：当 x2＝4 时，x＝±2，若 x＝2，则不满足集合 中的元素的互异性，所以 x≠2；若 x＝－2，则 A＝{1， 4，－4}，B＝{1，4}，满足题意．当 x2＝2x 时，x＝0 或 2(舍去)，x＝0 满足题意，所以 x＝0 或－2.故填 0 或－2.
集合的补 集
若全集为 U，则集合 A 的补集
记为
________
5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B________A；②A∩B________B； ③A∩A＝________； ④A∩∅＝________； ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________； ④A∪∅＝________； ⑤A∪B________B∪A. (3)①∁U(∁UA)＝________；②∁UU＝________； ③∁U∅＝________； ④A∩(∁UA)＝____________； ⑤A∪(∁UA)＝____________； (4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B⇔____________. (5)记有限集合 A，B 的元素个数为 card(A)，card(B)，则： card(A∪B)＝__________________________； card[∁U(A∪B)]＝________________________.
的值为________．
解：因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3. 当 m＋2＝3，即 m＝1 时，2m2＋m＝3，不满足集合中元 素的互异性，所以 m＝1 不符合题意，舍去；
当 2m2＋m＝3 时，解得 m＝－32或 m＝1(舍去)．
3
Байду номын сангаас
1
此时当 m＝－2时，m＋2＝2≠3，符合题意．